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Capitolo 36
Somma degli angoli interni di un poligono

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“La matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse.”
— Henri Poincaré

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Il triangolo è il poligono con il minor numero di lati: tre. Cosa accade aumentando il numero di lati? Possiamo studiare i quadrilateri, i pentagoni, gli esagoni, e in generale i poligoni con \(n\) lati, ricavando proprietà valide per tutti senza dover ripetere il ragionamento caso per caso. È esattamente il tipo di generalizzazione di cui parla la frase di Poincaré: cose apparentemente diverse — un triangolo e un dodecagono — sono in realtà manifestazioni dello stesso oggetto matematico, e si trattano con un unico linguaggio.

In questo capitolo definiamo il concetto generale di poligono, ne classifichiamo i tipi e dimostriamo tre risultati universali: la somma degli angoli interni, la somma degli angoli esterni, il numero di diagonali. Tutti e tre dipendono solo dal numero di lati \(n\), attraverso semplici formule che generalizzano quanto abbiamo già visto per il caso \(n = 3\).

36.1 Poligoni: definizione e classificazione

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Definizione 36.1 — Poligono

Si chiama poligono una figura piana delimitata da una spezzata chiusa semplice, cioè da una successione di segmenti \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), …, \(A_{n-1}A_n\), \(A_nA_1\) tale che:

I segmenti sono i lati del poligono, i punti \(A_1, A_2, \ldots , A_n\) ne sono i vertici. Un poligono con \(n\) lati si dice n-gono.

La nomenclatura classica associa a ogni valore di \(n\) un nome specifico, di origine greca:

Per valori di \(n\) poco frequenti, si usa la dicitura “poligono di \(n\) lati” o “\(n\)-gono”.

Definizione 36.2 — Angoli interni ed esterni di un poligono

Gli angoli interni di un poligono sono gli \(n\) angoli convessi formati da coppie di lati consecutivi, presi all’interno del poligono. Gli angoli esterni sono gli angoli adiacenti agli angoli interni, ottenuti prolungando ciascun lato oltre il vertice corrispondente; ad ogni vertice si considera uno solo dei due angoli esterni possibili (per convenzione, quello “che esce” dal poligono nella direzione del prolungamento del lato).

Poligoni convessi e concavi

Definizione 36.3 — Poligono convesso e concavo

Un poligono si dice convesso se ogni segmento che congiunge due punti qualsiasi del poligono è interamente contenuto nel poligono. Si dice concavo (o non convesso) altrimenti.

Una caratterizzazione equivalente: un poligono è convesso se e solo se tutti i suoi angoli interni sono minori di un piatto. Un poligono concavo presenta invece almeno un angolo interno maggiore di un piatto, detto angolo rientrante.

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Figura 36.1: Tre poligoni: un pentagono convesso (a sinistra), un poligono concavo (al centro, con un angolo rientrante segnalato dal piccolo arco rosso) e un esagono regolare (a destra, con lati congruenti segnalati da trattini). Salvo avviso contrario, in questo capitolo i poligoni considerati sono convessi.

Poligoni regolari

Definizione 36.4 — Poligono regolare

Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli interni congruenti.

Si noti che la definizione richiede entrambe le condizioni: nei triangoli, equilatero (tre lati congruenti) implica equiangolo (tre angoli congruenti) e viceversa, ma per \(n \geq 4\) le due nozioni sono indipendenti. Ad esempio un rombo non quadrato ha quattro lati congruenti ma non quattro angoli congruenti, mentre un rettangolo non quadrato ha quattro angoli congruenti ma non quattro lati congruenti.

In questo capitolo lavoriamo sempre con poligoni convessi (eventualmente regolari). Salvo avviso contrario, poligono significa poligono convesso.

36.2 Somma degli angoli interni di un poligono convesso

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Il risultato fondamentale è una generalizzazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo (Capitolo 35).

Teorema 36.1 — Somma degli angoli interni

La somma degli angoli interni di un poligono convesso di \(n\) lati vale

\[ S_n = (n - 2) \cdot 180\,{^\circ } . \]

Dimostrazione. Sia \(A_1 A_2 \dots A_n\) un poligono convesso. Fissiamo un vertice, ad esempio \(A_1\), e tracciamo tutte le diagonali uscenti da esso, cioè i segmenti \(A_1 A_3, A_1 A_4, \dots , A_1 A_{n-1}\) che congiungono \(A_1\) con i vertici non adiacenti.

Da \(A_1\) partono \(n - 3\) diagonali (i vertici sono \(n\) in tutto, escludiamo \(A_1\) stesso e i due vertici adiacenti \(A_2\) e \(A_n\)). Queste \(n - 3\) diagonali, insieme ai lati del poligono, decompongono il poligono in \(n - 2\) triangoli, ottenuti raggruppando i vertici in terne consecutive: \(\triangle A_1 A_2 A_3\), \(\triangle A_1 A_3 A_4\), …, \(\triangle A_1 A_{n-1} A_n\).

La somma di tutti gli angoli di tutti questi triangoli coincide con la somma degli angoli interni del poligono, perché:

Poiché ogni triangolo ha somma degli angoli interni pari a \(180\,{^\circ }\), e i triangoli sono \(n - 2\):

\[ S_n = (n - 2) \cdot 180\,{^\circ } . \]

[Picture]

Figura 36.2: Decomposizione di un poligono convesso in triangoli mediante le diagonali uscenti da un singolo vertice. Per un \(n\)-gono si ottengono \(n-2\) triangoli, da cui \(S_n = (n-2) \cdot 180\,{^\circ }\).

Angolo interno di un poligono regolare

Corollario 36.1 — Angolo interno di un poligono regolare

In un poligono regolare di \(n\) lati, ciascun angolo interno misura

\[ \alpha _n = \frac {(n-2) \cdot 180\,{^\circ }}{n} . \]

Dimostrazione. I \(n\) angoli sono congruenti e la loro somma è \(S_n = (n-2) \cdot 180\,{^\circ }\); ciascuno misura dunque \(S_n / n\).

Riportiamo qualche valore notevole.

Si osservi che, all’aumentare di \(n\), \(\alpha _n\) cresce e si avvicina a \(180\,{^\circ }\) senza mai raggiungerlo: il poligono regolare con molti lati “si avvicina” a una circonferenza, e i suoi angoli interni a un piatto.

36.3 Somma degli angoli esterni

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Mentre la somma degli angoli interni cresce con il numero di lati, la somma degli angoli esterni rimane costante. È un risultato sorprendente e di grande eleganza.

Teorema 36.2 — Somma degli angoli esterni

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso, presi uno per vertice, è sempre congruente a un angolo giro (cioè \(360\,{^\circ }\)), indipendentemente dal numero di lati.

Dimostrazione. Ad ogni vertice del poligono, l’angolo interno \(\alpha _i\) e l’angolo esterno \(\beta _i\) sono adiacenti, dunque supplementari:

\[ \alpha _i + \beta _i \cong \text {piatto} = 180\,{^\circ } . \]

Sommando questa uguaglianza per tutti gli \(n\) vertici:

\[ \sum _{i=1}^{n} \alpha _i + \sum _{i=1}^{n} \beta _i = n \cdot 180\,{^\circ } . \]

Sostituendo la somma degli angoli interni \(\sum \alpha _i = (n-2) \cdot 180\,{^\circ }\):

\[ (n-2) \cdot 180\,{^\circ } + \sum _{i=1}^{n} \beta _i = n \cdot 180\,{^\circ } , \]

da cui

\[ \sum _{i=1}^{n} \beta _i = n \cdot 180\,{^\circ } - (n-2) \cdot 180\,{^\circ } = 2 \cdot 180\,{^\circ } = 360\,{^\circ } . \]

Nota

Interpretazione cinematica. Immaginiamo di percorrere il perimetro di un poligono convesso in senso antiorario. Ad ogni vertice giriamo a sinistra di un angolo pari all’angolo esterno corrispondente. Dopo aver percorso tutto il perimetro siamo tornati al punto di partenza e abbiamo girato in totale di un angolo giro completo: questa è esattamente l’osservazione che il teorema formalizza. È un fatto puramente topologico, valido per qualunque cammino chiuso semplice nel piano, e non dipende affatto dalla forma del poligono.

Angolo esterno di un poligono regolare

Corollario 36.2 — Angolo esterno di un poligono regolare

In un poligono regolare di \(n\) lati, ciascun angolo esterno misura

\[ \beta _n = \frac {360\,{^\circ }}{n} . \]

Dimostrazione. I \(n\) angoli esterni sono congruenti e sommano a \(360\,{^\circ }\); ciascuno misura dunque \(360\,{^\circ }/n\).

Si verifica subito la coerenza con l’angolo interno: \(\alpha _n + \beta _n = \frac {(n-2) \cdot 180\,{^\circ }}{n} + \frac {360\,{^\circ }}{n} = \frac {(n-2) \cdot 180\,{^\circ } + 360\,{^\circ }}{n} = \frac {n \cdot 180\,{^\circ }}{n} = 180\,{^\circ }\), come deve essere per due angoli adiacenti.

36.4 Diagonali di un poligono

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Definizione 36.5 — Diagonale

Una diagonale di un poligono è un segmento che congiunge due vertici non adiacenti.

Ad esempio, in un quadrilatero \(ABCD\) le diagonali sono \(AC\) e \(BD\); in un pentagono se ne possono tracciare cinque.

Teorema 36.3 — Numero di diagonali

Il numero di diagonali di un poligono convesso di \(n\) lati è

\[ d_n = \frac {n(n-3)}{2} . \]

Dimostrazione. Da ogni vertice \(A_i\) si possono tracciare \(n-3\) diagonali (verso ognuno degli \(n\) vertici, escludendo \(A_i\) stesso e i due vertici adiacenti, che con \(A_i\) formerebbero un lato e non una diagonale).

In totale, contando le diagonali da tutti gli \(n\) vertici, si ottiene \(n \cdot (n-3)\). Ma in questo conteggio ogni diagonale è stata contata due volte, una per ciascun suo estremo: la diagonale \(A_i A_j\) è infatti contata sia tra le diagonali uscenti da \(A_i\) sia tra quelle uscenti da \(A_j\).

Per ottenere il numero corretto si divide quindi per \(2\):

\[ d_n = \frac {n(n-3)}{2} . \]

Riportiamo qualche valore:

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Figura 36.3: Diagonali (in arancio) di un quadrilatero, di un pentagono e di un esagono. Il numero di diagonali \(d_n = n(n-3)/2\) cresce rapidamente con \(n\): vale \(2\) per \(n=4\), \(5\) per \(n=5\), \(9\) per \(n=6\).

Esempi svolti

Esempio 36.1 — Determinare \(n\) dalla somma degli angoli interni

Sapendo che la somma degli angoli interni di un poligono convesso vale \(1980\,{^\circ }\), determiniamo il numero di lati.

Impostazione. Per la formula della somma degli angoli interni:

\[ (n - 2) \cdot 180\,{^\circ } = 1980\,{^\circ } . \]

Risoluzione.

\[ n - 2 = \frac {1980\,{^\circ }}{180\,{^\circ }} = 11 , \qquad n = 13 . \]

Il poligono è un tridecagono (poligono di \(13\) lati).

Esempio 36.2 — Angolo interno di un poligono regolare

Quanto misura ciascun angolo interno di un dodecagono regolare?

Calcolo. Per la formula dell’angolo interno di un poligono regolare con \(n = 12\):

\[ \alpha _{12} = \frac {(12 - 2) \cdot 180\,{^\circ }}{12} = \frac {10 \cdot 180\,{^\circ }}{12} = \frac {1800\,{^\circ }}{12} = 150\,{^\circ } . \]

Verifica con l’angolo esterno. L’angolo esterno è \(\beta _{12} = 360\,{^\circ } / 12 = 30\,{^\circ }\), e infatti \(\alpha _{12} + \beta _{12} = 150\,{^\circ } + 30\,{^\circ } = 180\,{^\circ }\), come deve essere per due angoli adiacenti. \(\checkmark\)

Esempio 36.3 — Determinare il poligono regolare dato l’angolo interno

Un poligono regolare ha gli angoli interni di \(144\,{^\circ }\). Determiniamo il numero di lati.

Impostazione. Per la formula dell’angolo interno:

\[ \frac {(n - 2) \cdot 180\,{^\circ }}{n} = 144\,{^\circ } . \]

Risoluzione algebrica. Moltiplicando entrambi i membri per \(n\):

\[ (n - 2) \cdot 180\,{^\circ } = 144n \cdot {^\circ } . \]

Sviluppando e isolando \(n\):

\[ 180n - 360 = 144n , \qquad 36n = 360 , \qquad n = 10 . \]

Il poligono è un decagono regolare.

Soluzione alternativa via angolo esterno. L’angolo esterno è \(\beta = 180\,{^\circ } - 144\,{^\circ } = 36\,{^\circ }\). Dalla formula \(\beta _n = 360\,{^\circ }/n\):

\[ n = \frac {360\,{^\circ }}{\beta } = \frac {360\,{^\circ }}{36\,{^\circ }} = 10 . \]

Il calcolo è più rapido. Per problemi di questo tipo, passare dall’angolo esterno è spesso la strategia migliore.

Esempio 36.4 — Diagonali da un singolo vertice

In un poligono di \(n\) lati, da un singolo vertice si possono tracciare \(n - 3\) diagonali. Da un singolo vertice di un eptadecagono (poligono di \(17\) lati), quante diagonali partono? E quante diagonali ha in totale l’eptadecagono?

Diagonali da un singolo vertice. \(n - 3 = 17 - 3 = 14\) diagonali.

Diagonali totali.

\[ d_{17} = \frac {17 \cdot (17 - 3)}{2} = \frac {17 \cdot 14}{2} = \frac {238}{2} = 119 . \]

L’eptadecagono ha \(119\) diagonali in totale.

Esercizio 36.1

1.
Calcola la somma degli angoli interni dei seguenti poligoni convessi: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono, ottagono, decagono, dodecagono, eicosagono (\(n = 20\)).
2.
Determina il numero di lati di un poligono convesso sapendo che la somma dei suoi angoli interni vale:
(a)
\(720\,{^\circ }\);
(b)
\(1260\,{^\circ }\);
(c)
\(2520\,{^\circ }\);
(d)
\(3240\,{^\circ }\).
3.
Calcola la misura dell’angolo interno e dell’angolo esterno dei seguenti poligoni regolari:
(a)
pentagono;
(b)
esagono;
(c)
ottagono;
(d)
nonagono (\(n = 9\));
(e)
decagono;
(f)
dodecagono.
4.
Determina il numero di lati di un poligono regolare sapendo che il suo angolo interno misura:
(a)
\(120\,{^\circ }\);
(b)
\(135\,{^\circ }\);
(c)
\(156\,{^\circ }\);
(d)
\(162\,{^\circ }\).
5.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Esiste un poligono regolare con angoli interni di \(100\,{^\circ }\).
(b)
Per ogni \(n \geq 3\) esiste un poligono regolare di \(n\) lati.
(c)
La somma degli angoli esterni di un poligono dipende dal numero di lati.
(d)
In un poligono regolare l’angolo esterno è sempre acuto.
(e)
Un poligono convesso può avere due angoli interni la cui somma supera \(360\,{^\circ }\).
6.
In un pentagono convesso, quattro angoli interni misurano \(100\,{^\circ }\), \(110\,{^\circ }\), \(105\,{^\circ }\), \(115\,{^\circ }\). Determina il quinto angolo.
7.
In un esagono convesso, gli angoli interni sono proporzionali ai numeri \(2, 3, 3, 4, 4, 4\). Determina la misura di ciascun angolo.
8.
Determina il numero di diagonali di un poligono di \(n\) lati per \(n = 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20\).
9.
Un poligono convesso ha \(35\) diagonali. Quanti lati ha? (Suggerimento: imposta l’equazione \(\frac {n(n-3)}{2} = 35\) e risolvi.)
10.
Esiste un poligono con \(17\) diagonali? Motiva la risposta.
11.
Sia \(P\) un poligono regolare di \(n\) lati. Calcola la somma dell’angolo interno e dell’angolo esterno e verifica che è sempre \(180\,{^\circ }\) (per qualsiasi \(n\)).
12.
Dimostra che in un poligono convesso ci possono essere al più \(3\) angoli acuti. (Suggerimento: usa il fatto che ogni angolo esterno è positivo e la loro somma è \(360\,{^\circ }\); un angolo interno acuto corrisponde a un angolo esterno maggiore di \(90\,{^\circ }\).)
13.
Quale poligono regolare ha l’angolo interno uguale al doppio dell’angolo esterno? (Suggerimento: \(\alpha _n = 2 \beta _n\) e \(\alpha _n + \beta _n = 180\,{^\circ }\).)
14.
In un esagono regolare di lato \(\ell = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), le diagonali più lunghe (quelle che passano per il centro) congiungono vertici opposti. Quante sono? Senza calcolare la loro misura, identifica quale relazione lega la diagonale al lato. (Suggerimento: un esagono regolare si decompone in \(6\) triangoli equilateri di lato \(\ell \) con il centro come vertice comune.)

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