“
Se più rette parallele tagliano due trasversali, i segmenti staccati su una trasversale sono proporzionali ai
segmenti corrispondenti sull’altra.”
— enunciato classico del teorema di Talete
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Talete di Mileto (vii–vi sec. a.C.), uno dei sette saggi della Grecia antica, è considerato il primo matematico “teorico” di cui ci sono giunte notizie. Una leggenda racconta che misurò l’altezza della grande piramide di Giza usando la sua ombra e quella di un bastone, in un dato istante della giornata: il rapporto fra ombre e oggetti è costante (le ombre sono “proporzionali” alle altezze). Questa intuizione contiene il germe del teorema di Talete.
Il teorema, nella sua forma classica, riguarda fasci di rette parallele tagliate da due trasversali: i segmenti staccati su una trasversale sono proporzionali ai segmenti corrispondenti sull’altra. Da qui discendono molte conseguenze:
In questo capitolo enunciamo e dimostriamo il teorema, ne discutiamo l’inverso, esploriamo le conseguenze sui triangoli, e applichiamo Talete a problemi classici di costruzione.
Teorema 61.1 — Talete del fascio di rette parallele
Siano \(r_1, r_2, r_3, \ldots \) rette parallele del piano, e siano \(t\) e \(t'\) due trasversali (rette che intersecano tutte le parallele). Indichiamo con \(A_i\) i punti d’intersezione di \(t\) con \(r_i\), e con \(A'_i\) quelli di \(t'\) con \(r_i\).
Allora i rapporti fra i segmenti corrispondenti staccati su \(t\) e su \(t'\) sono uguali:
Nota — Versione con segmenti generici
La proporzionalità si estende a ogni coppia di segmenti corrispondenti, non solo a quelli “consecutivi”. Per esempio:
In generale, \(\tfrac {A_iA_j}{A_kA_l} = \tfrac {A'_iA'_j}{A'_kA'_l}\) per ogni \(i, j, k, l\) tali che le frazioni abbiano senso.
Dimostrazione (caso commensurabile). Consideriamo il caso più semplice: tre parallele \(r_1, r_2, r_3\) con \(A_1A_2 = A_2A_3\) (cioè la parallela “intermedia” equidistante dalle altre due, sulla trasversale \(t\)). Dobbiamo mostrare \(A'_1 A'_2 = A'_2 A'_3\).
Tracciamo da \(A_2\) una parallela alla trasversale \(t'\): questa interseca \(r_1\) in \(B_1\) e \(r_3\) in \(B_3\). I quadrilateri \(B_1 A_2 A'_2 A'_1\) e \(A_2 B_3 A'_3 A'_2\) sono parallelogrammi (lati opposti paralleli), dunque \(B_1 A_2 = A'_1 A'_2\) e \(A_2 B_3 = A'_2 A'_3\).
Si dimostra ora che i triangoli \(A_1 B_1 A_2\) e \(A_2 B_3 A_3\) sono congruenti per il secondo criterio (un lato uguale \(A_1 A_2 = A_2 A_3\) per ipotesi, due angoli adiacenti uguali per corrispondenza tra parallele). Dunque \(A_1 B_1 = B_3 A_3\), e di conseguenza \(A'_1 A'_2 = A'_2 A'_3\).
Il caso generale (segmenti incommensurabili) richiede l’uso dei numeri reali e una passaggio al limite: lo accenniamo qui ma rimandiamo a corsi più avanzati.
Teorema 61.2 — Corollario di Talete sui triangoli
Sia \(ABC\) un triangolo. Se una retta parallela al lato \(BC\) interseca i lati \(AB\) in \(D\) e \(AC\) in \(E\), allora
Dimostrazione (idea). Applicando il teorema di Talete al fascio formato dalle rette \(BC\), \(DE\) e dalla parallela ad esse passante per \(A\), con le due trasversali \(AB\) e \(AC\). (Equivalentemente: \(A\), \(D\), \(E\), \(B\), \(C\) formano la configurazione del teorema con il vertice \(A\).)
Teorema 61.3 — Inverso del teorema di Talete
Sia \(ABC\) un triangolo. Se sui lati \(AB\) e \(AC\) si prendono punti \(D, E\) tali che \(\tfrac {AD}{AB} = \tfrac {AE}{AC}\), allora la retta \(DE\) è parallela a \(BC\).
(La dimostrazione si basa sulla congruenza dei triangoli \(ADE\) e \(ABC\) “ridotti” in modo proporzionale.)
Nota — Conseguenza: similitudine
Una retta parallela a un lato di un triangolo ritaglia un triangolo più piccolo (il triangolo \(ADE\)) che è simile al triangolo originale (omotetia di centro \(A\)). La similitudine è approfondita nel capitolo 62.
Teorema 61.4 — Teorema della bisettrice nel triangolo
In un triangolo \(ABC\), la bisettrice dell’angolo interno in \(A\) divide il lato opposto \(BC\) in due segmenti proporzionali ai lati adiacenti:
dove \(D\) è il piede della bisettrice su \(BC\).
(La dimostrazione utilizza il teorema di Talete e una costruzione ausiliaria: si traccia da \(C\) una parallela alla bisettrice fino a incontrare il prolungamento di \(AB\).)
Esempio 61.1
In un triangolo \(ABC\) con \(AB=8\), \(AC=12\), e \(BC=15\), la bisettrice dell’angolo \(A\) divide \(BC\) in due segmenti \(BD\) e \(DC\) tali che \(\tfrac {BD}{DC} = \tfrac {8}{12} = \tfrac {2}{3}\). Quindi \(BD = \tfrac {2}{5}\cdot 15 = 6\) e \(DC = \tfrac {3}{5}\cdot 15 = 9\).
Procedura — Costruzione classica con riga e compasso
Per dividere un segmento \(\overline {AB}\) in \(n\) parti uguali:
La correttezza è garantita dal teorema di Talete: le parallele staccano su \(\overline {AB}\) segmenti uguali, perché sono uguali quelli che staccano su \(r\).
Esempio 61.2 — Misurare l’altezza di un albero (Talete in pratica)
Per misurare l’altezza \(h\) di un albero senza poterlo scalare: si pianta a terra un bastone di altezza nota \(\ell \) in modo che la sua ombra sia di lunghezza \(\ell '\). Si misura nello stesso istante l’ombra dell’albero, \(L\). Per il teorema di Talete (applicato ai due triangoli rettangoli formati dai raggi del sole paralleli):
È la storia leggendaria di Talete e la piramide.
Procedura — Quarto proporzionale
Dati tre segmenti \(a, b, c\), costruire un segmento \(x\) tale che \(a:b = c:x\) (cioè \(x = \tfrac {bc}{a}\)):
Esempio 61.3 — Trovare un segmento con Talete
Tre rette parallele intersecano una trasversale in segmenti \(\overline {A_1 A_2} = 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(\overline {A_2 A_3} = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). La stessa trasversale ha intersezione \(A'_1 A'_2\) su una seconda trasversale, lunga \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Quanto vale \(A'_2 A'_3\)?
Soluzione. Per Talete: \(\tfrac {4}{6} = \tfrac {10}{A'_2 A'_3}\), da cui \(A'_2 A'_3 = \tfrac {6\cdot 10}{4} = 15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 61.4 — Triangolo con parallela
In un triangolo \(ABC\), una retta parallela a \(BC\) taglia \(AB\) in \(D\) e \(AC\) in \(E\), con \(AD = 4\), \(DB = 6\). Sapendo che \(AC = 15\), calcolare \(AE\) ed \(EC\).
Soluzione. Per il corollario di Talete: \(\tfrac {AD}{DB} = \tfrac {AE}{EC} = \tfrac {4}{6} = \tfrac {2}{3}\). E \(\tfrac {AD}{AB} = \tfrac {4}{10} = \tfrac {2}{5} = \tfrac {AE}{AC} = \tfrac {AE}{15}\). Quindi \(AE = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) ed \(EC = 15 - 6 = 9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 61.5 — Bisettrice di un triangolo
In un triangolo \(ABC\) con \(AB = 9\), \(AC = 12\), \(BC = 14\), trovare \(BD\) e \(DC\) dove \(D\) è il piede della bisettrice di \(A\).
Soluzione. Per il teorema della bisettrice: \(\tfrac {BD}{DC} = \tfrac {AB}{AC} = \tfrac {9}{12} = \tfrac {3}{4}\). Quindi \(BD = \tfrac {3}{7}\cdot 14 = 6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(DC = \tfrac {4}{7}\cdot 14 = 8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\).
Esempio 61.6 — Dividere un segmento in 5 parti
Spiegare come dividere un segmento \(\overline {AB}\) di \(20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) in \(5\) parti uguali con riga e compasso.
Soluzione. Applicando la procedura della sezione precedente: si traccia una semiretta uscente da \(A\), vi si riportano \(5\) segmenti consecutivi uguali (es. di \(3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) ciascuno), ottenendo punti \(P_1, \ldots , P_5\). Si congiunge \(P_5\) con \(B\) e si tracciano le parallele a \(P_5 B\) passanti per \(P_1, P_2, P_3, P_4\). Queste tagliano \(AB\) in \(4\) punti che lo dividono in \(5\) parti uguali da \(4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) ciascuna.
Esempio 61.7 — Altezza dell’albero (Talete)
Un bastone alto \(1{,}50\,{\mathrm{m} }\) proietta un’ombra di \(2{,}25\,{\mathrm{m} }\). Allo stesso istante, l’albero proietta un’ombra di \(18\,{\mathrm{m} }\). Quanto è alto l’albero?
Soluzione. \(\dfrac {h}{18} = \dfrac {1{,}5}{2{,}25}\). Quindi \(h = \dfrac {1{,}5\cdot 18}{2{,}25} = 12\,{\mathrm{m} }\).
Esercizio 61.1
Riepilogo
Applicazioni classiche:
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