Un cerchio è una figura piana racchiusa da una sola linea, detta circonferenza, alla quale tutti i segmenti
che si conducono da un solo punto, fra quelli situati all’interno della figura, sono uguali fra
loro.”
— Euclide, Elementi, libro I, definizione 15 (iii sec. a.C.)
La circonferenza è insieme la forma più semplice e la più ricca di sorprese: ogni punto sta alla
stessa distanza dal centro. Da questa definizione di una riga, Euclide deduce una quantità
impressionante di proprietà, che riempiono il libro III degli Elementi.
Studiamo in questo capitolo gli elementi base della geometria della circonferenza: raggio,
diametro, corde, archi; le posizioni reciproche tra una retta e una circonferenza, e tra due
circonferenze; le tangenti da un punto esterno; e una prima panoramica sugli angoli al centro e alla
circonferenza, sui poligoni inscritti e circoscritti. La trattazione si approfondirà in alcuni capitoli
successivi: gli angoli alla circonferenza in modo sistematico nel capitolo 63, le aree di poligoni e
cerchio nel capitolo 64.
La circonferenza è anche il primo luogo geometrico “vero” che incontriamo (l’asse di un
segmento è un altro), e la sua equazione analitica nel piano cartesiano sarà l’oggetto del capitolo 75:
là le proprietà geometriche di questo capitolo diventeranno equazioni.
56.2 Definizioni di circonferenza, cerchio, raggio
Sia \(O\) un punto del piano e \(r\) un numero reale positivo. La circonferenza di centro \(O\) e raggio
\(r\) è il luogo geometrico dei punti \(P\) del piano tali che la distanza da \(O\) è \(r\):
Attenzione alla distinzione: la circonferenza è la linea (la frontiera, 1-dimensionale); il
cerchio è la regione piena (l’area, 2-dimensionale). Nel parlato comune si usa spesso
“cerchio” per indicare la linea, ma in matematica i due concetti vanno distinti.
Definizione 56.3 — Elementi della
circonferenza
Raggio (\(r\)): il segmento che unisce il centro a un punto della circonferenza, oppure la
sua lunghezza.
Diametro (\(d=2r\)): il segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il
centro.
Corda: un segmento che unisce due punti distinti della circonferenza. Il diametro è
la corda più lunga.
Arco: una porzione della circonferenza compresa fra due punti. Una corda divide la
circonferenza in due archi: il maggiore e il minore.
Settore circolare: la regione del cerchio compresa fra due raggi.
Segmento circolare: la regione del cerchio compresa fra una corda e l’arco sotteso.
Figura 56.1: Elementi della circonferenza: centro \(O\), raggio \(r\) (segmento \(OA\), in verde), diametro \(d = 2r\)
(segmento \(BC\), in rosso), corda \(DE\) (in arancio). Il diametro è la corda di lunghezza massima (\(d = 2r\)).
viceversa, corde equidistanti dal centro sono uguali;
la corda di lunghezza massima è il diametro (lungo \(2r\));
più una corda è vicina al centro, più è lunga.
Teorema 56.2 — Asse della corda
L’asse di una corda (la perpendicolare alla corda nel suo punto medio) passa per il centro
della circonferenza. Equivalentemente: il diametro perpendicolare a una corda la divide
in due parti uguali.
Dimostrazione (idea). Per la definizione di asse, ogni suo punto è equidistante dagli estremi
della corda. Il centro \(O\) della circonferenza è equidistante dagli estremi (entrambi a distanza \(r\)): quindi
\(O\) appartiene all’asse.
Nota — Conseguenza pratica
Per trovare il centro di una circonferenza data, basta tracciare gli assi di due corde
qualsiasi: il loro punto di intersezione è il centro. È la base della costruzione classica del
centro dato un cerchio (riga e compasso).
56.4 Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
Data una retta \(r\) e una circonferenza \(\mathcal {C}\), ci sono tre configurazioni possibili, classificate dalla
distanza \(d\) del centro \(O\) dalla retta.
Teorema 56.3 — Posizione
retta-circonferenza
Sia \(d\) la distanza del centro \(O\) dalla retta \(r\), ed \(R\) il raggio della circonferenza.
Se \(d > R\): la retta è esterna, non ha punti in comune con la circonferenza.
Se \(d = R\): la retta è tangente, ha esattamente un punto in comune.
Se \(d < R\): la retta è secante, ha esattamente due punti in comune.
Teorema 56.4 — Tangente e raggio
La tangente in un punto \(T\) della circonferenza è perpendicolare al raggio \(OT\) nel punto \(T\).
Dimostrazione (idea). Per assurdo: se non fosse perpendicolare, dal centro \(O\) si potrebbe condurre
la perpendicolare alla retta, con piede \(H\neq T\). Allora \(OH < OT = R\) (il cateto è minore dell’ipotenusa), ma allora \(H\)
sarebbe interno alla circonferenza, e la retta — che passa per \(H\) — sarebbe secante, contraddicendo
l’ipotesi di tangenza.
Figura 56.2: Posizioni reciproche di una retta (in rosso) e di una circonferenza (in blu). La
distanza \(d\) del centro \(O\) dalla retta classifica i tre casi: esterna (\(d>R\)), tangente (\(d=R\), un punto \(T\)), secante
(\(d<R\), due punti).
Teorema 56.5 — Tangenti da un punto
esterno
Da un punto \(P\) esterno a una circonferenza si possono condurre esattamente due rette
tangenti alla circonferenza. I segmenti di tangenza da \(P\) ai punti di tangenza \(T_1, T_2\) sono
congruenti:
\[ \overline {PT_1} = \overline {PT_2}. \]
Dimostrazione (idea). I triangoli \(O T_1 P\) e \(O T_2 P\) sono rettangoli in \(T_1, T_2\) (tangenti perpendicolari ai raggi), hanno
l’ipotenusa \(OP\) in comune e i cateti \(OT_1=OT_2=R\). Per il criterio dell’ipotenusa-cateto sono congruenti, dunque
\(PT_1 = PT_2\).
Date due circonferenze di centri \(O_1, O_2\) e raggi \(R_1, R_2\) (con \(R_1\ge R_2\)), e detta \(d = \overline {O_1 O_2}\) la distanza dei loro centri, le
configurazioni possibili sono cinque.
Teorema 56.6 — Posizioni reciproche
\(d > R_1 + R_2\): le circonferenze sono esterne, nessun punto in comune.
\(d = R_1 + R_2\): tangenti esternamente, un punto in comune.
\(|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2\): secanti, due punti in comune.
\(d = R_1 - R_2\) (con \(R_1>R_2\)): tangenti internamente, un punto in comune.
\(d < R_1 - R_2\): una è interna all’altra, nessun punto in comune.
Nota — Concentriche
Se \(d=0\) (cioè \(O_1=O_2\)), le due circonferenze sono concentriche. Non hanno punti in comune (a meno
che \(R_1=R_2\), caso in cui coincidono). La regione tra le due si chiama corona circolare.
Definizione 56.4 — Angolo al centro, angolo alla
circonferenza
Un angolo al centro ha vertice nel centro della circonferenza, ed è delimitato da due
raggi.
Un angolo alla circonferenza ha vertice sulla circonferenza, ed è delimitato da due
corde (oppure da una corda e una tangente).
Si dice che un angolo insiste su un arco \(AB\) se i suoi lati intersecano la circonferenza nei
punti \(A\) e \(B\).
Teorema 56.7 — Angolo al centro e alla
circonferenza
Se un angolo al centro \(\widehat {AOB}\) e un angolo alla circonferenza \(\widehat {APB}\) insistono sullo stesso arco \(AB\) (con \(P\)
sull’arco opposto), allora
\[ \widehat {AOB} = 2\,\widehat {APB}. \]
La dimostrazione si fa per casi (a seconda della posizione di \(P\) rispetto al diametro per \(A\) o \(B\)): la
rimandiamo al capitolo 63 dove la sviluppiamo per esteso.
Nota — Conseguenze immediate
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti (è
metà dello stesso angolo al centro).
Un angolo alla circonferenza che insiste su un diametro (quindi sull’angolo al centro
di \(\ang {180}\)) è un angolo retto. È il celebre “angolo nel semicerchio” di Talete (capitolo 63).
Definizione 56.5 — Poligono inscritto e
circoscritto
Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici giacciono sulla
circonferenza.
Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla
circonferenza.
Teorema 56.8 — Condizioni di inscrivibilità e circoscrivibilità per
quadrilateri
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma di due angoli
opposti è \(\ang {180}\).
Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati
opposti è uguale alla somma degli altri due.
Nota — Centro come intersezione
Per costruire la circonferenza circoscritta a un poligono (passante per tutti i vertici), il
centro è l’intersezione degli assi dei lati: il circocentro. Esiste sempre per un triangolo,
ma non in generale per quadrilateri (servono le condizioni di inscrivibilità).
Per costruire la circonferenza inscritta (tangente a tutti i lati), il centro è l’intersezione
delle bisettrici degli angoli: l’incentro. Anche qui, esiste sempre per un triangolo.
Approfondimento nel capitolo 64.
Esempio 56.1 — Lunghezza di una corda nota la distanza dal
centro
In una circonferenza di raggio \(10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcolare la lunghezza della corda che dista \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal centro.
Soluzione. Sia \(H\) il piede della perpendicolare dal centro \(O\) alla corda \(AB\): \(H\) è il punto medio di
\(AB\). Nel triangolo rettangolo \(OAH\), \(OA = R = 10\), \(OH = d = 6\), quindi per Pitagora (capitolo 59):
Da un punto \(P\) esterno a una circonferenza di centro \(O\) e raggio \(5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), distante \(13\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) da \(O\), si conducono
le due tangenti. Trovare la lunghezza di ciascun segmento di tangenza.
Soluzione. Nel triangolo rettangolo \(OTP\) (retto in \(T\)): \(OT = R = 5\), \(OP = 13\). Per Pitagora:
Esempio 56.3 — Posizione relativa di due
circonferenze
Due circonferenze hanno raggi \(R_1 = 8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(R_2 = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), e i centri distano \(11\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Stabilire la posizione reciproca.
Soluzione. \(R_1+R_2 = 13\), \(|R_1-R_2| = 3\). La distanza \(d=11\) soddisfa \(3 < 11 < 13\), dunque le circonferenze sono secanti, con due punti
in comune.
Esempio 56.4 — Quadrilatero inscritto
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza, due angoli opposti misurano \(\ang {75}\) e \(\ang {110}\).
Determinare gli altri due angoli.
Soluzione. Per il teorema sui quadrilateri inscritti, gli angoli opposti sono supplementari
(\(\ang {180}\)). L’opposto di \(\ang {75}\) è \(\ang {105}\), l’opposto di \(\ang {110}\) è \(\ang {70}\). Verifica della somma totale: \(75+105+110+70 = \ang {360}\). \(\checkmark\)
Esempio 56.5 — Angolo al centro e alla
circonferenza
Un angolo al centro \(\widehat {AOB}\) misura \(\ang {120}\). Quanto vale ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco \(AB\)?
Soluzione. Per il teorema, \(\widehat {APB} = \tfrac {1}{2}\widehat {AOB} = \ang {60}\). Tutti gli angoli alla circonferenza sullo stesso arco hanno
questa misura.
In una circonferenza di raggio \(15\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcola la lunghezza della corda che dista dal centro:
(a) \(9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (b) \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\); (c) \(0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) (cosa si ottiene?).
2.
In una circonferenza una corda lunga \(16\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dista \(6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal centro. Determina il raggio.
3.
Da un punto \(P\) distante \(25\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) dal centro di una circonferenza di raggio \(7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcola la lunghezza
dei segmenti di tangenza.
4.
Stabilisci la posizione reciproca delle circonferenze (in \(\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\)): (a) \(R_1=4\), \(R_2=3\), \(d=10\); (b) \(R_1=4\), \(R_2=3\), \(d=7\); (c) \(R_1=4\), \(R_2=3\), \(d=5\);
(d) \(R_1=4\), \(R_2=3\), \(d=1\); (e) \(R_1=4\), \(R_2=3\), \(d=0{,}5\).
5.
Un quadrilatero è inscritto in una circonferenza. Tre angoli misurano \(\ang {60}\), \(\ang {85}\), \(\ang {105}\). Trova il
quarto. È un caso ammissibile?
6.
Un quadrilatero \(ABCD\) è circoscritto a una circonferenza. Sapendo che \(AB=8\), \(BC=5\), \(CD=6\), determina \(AD\).
7.
Un angolo alla circonferenza misura \(\ang {42}\). Calcola il corrispondente angolo al centro che
insiste sullo stesso arco.
8.
Verifica con riga e compasso (o GeoGebra): le tangenti a una circonferenza condotte
dagli estremi di un diametro sono parallele. Spiega perché (suggerimento: usa la
perpendicolarità tangente-raggio).
9.
(Discussione.) Mostra che, in una circonferenza, due corde si bisecano in un punto
interno se e solo se passano entrambe per il centro (cioè sono diametri).
La circonferenza è il luogo dei punti del piano a distanza \(r\) da un punto \(O\) (centro). Il
cerchio è la regione piana racchiusa dalla circonferenza.
Elementi: raggio \(r\), diametro \(d=2r\), corde, archi, settori, segmenti circolari. Il diametro è la
corda più lunga.
Asse della corda: passa per il centro. Conseguenza pratica: per trovare il centro, basta
intersecare gli assi di due corde.
Posizione retta-circonferenza: tre casi in base a \(d\) (distanza centro-retta) vs \(R\): \(d>R\) esterna,
\(d=R\) tangente, \(d<R\) secante.
Tangente perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Da un punto esterno passano
due tangenti, con segmenti di tangenza congruenti.
Posizione di due circonferenze: cinque casi in base a \(d\) (distanza centri) vs \(R_1\pm R_2\).
Teorema dell’angolo al centro: ogni angolo alla circonferenza è metà del
corrispondente angolo al centro che insiste sullo stesso arco (approfondimento:
capitolo 63).
Poligono inscritto: vertici sulla circonferenza. Circoscritto: lati tangenti. Per un
quadrilatero, inscrivibile \(\iff \) angoli opposti supplementari; circoscrivibile \(\iff \) somme di lati
opposti uguali.
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