55 Disequazioni irrazionali

[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

Capitolo 55
Disequazioni irrazionali

WEB (Materiali vari)

“

Studia questo capitolo con l’AI: quiz, esercizi e altro

Ripassa con le flashcard

Esercizi auto-generati

Sorgente di questo capitolo

Schede, test e video di matematika.it

Esercizi del prof. De Capoa

Una disequazione irrazionale è una disequazione che chiede a un radicale di stare sotto, sopra o uguale a qualcosa: la chiave è leggere bene chi è positivo e chi negativo, prima di pensare al quadrato.”

— adattamento didattico

____________________________________________________________________________________

55.1 Introduzione motivazionale

quiz e materiali con l’AI

Dopo le equazioni irrazionali (capitolo 52) e le disequazioni di secondo grado e fratte (capitoli 53, 54), arriviamo all’ultimo grande capitolo di algebra del biennio: le disequazioni irrazionali, in cui l’incognita compare sotto radice e si chiede non un’uguaglianza ma una disuguaglianza.

La differenza rispetto alle equazioni irrazionali è sottile ma fondamentale: $\sqrt {f(x)}\ge g(x)$ non si risolve semplicemente elevando al quadrato. Il segno del membro destro è decisivo: se $g(x)<0$, la disuguaglianza è automaticamente vera (un radicale è sempre $\ge 0$, dunque sicuramente $\ge $ qualcosa di negativo); se $g(x)\ge 0$, allora possiamo elevare al quadrato in modo equivalente. L’analisi va condotta separatamente nei due casi.

In questo capitolo presentiamo la tecnica per casi per le due strutture fondamentali $\sqrt {f}\le g$ e $\sqrt {f}\ge g$, il caso $\sqrt {f}\ge \sqrt {g}$, e il caso con indice dispari. Sono gli ultimi strumenti che ci servono per affrontare lo studio delle funzioni razionali e irrazionali in analisi (capitoli 139 e seguenti).

55.2 Disequazioni con un radicale

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Forma $\sqrt {f(x)} \le g(x)$ (radicale “piccolo”)

Teorema 55.1 — Disequazione $\sqrt {f(x)}\leq g(x)$

La disequazione $\sqrt {f(x)}\le g(x)$ equivale al sistema

\[ \begin {cases} f(x) \ge 0 \quad \text {(esistenza del radicale)}\\ g(x) \ge 0 \quad \text {(perch\'e un radicale $\ge 0$ pu\`o stare $\le $ solo a un numero $\ge 0$)}\\ f(x) \le g(x)^2 \quad \text {(elevamento al quadrato)} \end {cases} \]

Dimostrazione (idea).

La prima condizione è la condizione di esistenza del radicale (indice pari).
Se $g(x)<0$, la disuguaglianza $\sqrt {f(x)}\le g(x)$ è impossibile (un radicale è $\ge 0$, non può essere $\le $ a un numero negativo).
Se $g(x)\ge 0$, entrambi i membri sono $\ge 0$ e l’elevamento al quadrato è equivalente: $\sqrt {f(x)}\le g(x)\iff f(x)\le g(x)^2$.

Esempio 55.1

Risolvere $\sqrt {2x+3} \le x$.

Soluzione. Sistema:

\[ \begin {cases} 2x+3\ge 0 \\ x\ge 0 \\ 2x+3 \le x^2 \end {cases} \]

Prima: $x\ge -\tfrac {3}{2}$.
Seconda: $x\ge 0$. (Più restrittiva.)
Terza: $x^2 - 2x - 3 \ge 0 \iff (x-3)(x+1)\ge 0 \iff x\le -1\ \lor \ x\ge 3$.

Intersezione: $x\ge 3$ (la condizione $x\ge 0$ esclude la parte $x\le -1$). Soluzione: $[3, +\infty )$.

Verifica per $x=3$: $\sqrt {9} = 3 \le 3$. $\checkmark$

Forma $\sqrt {f(x)} \ge g(x)$ (radicale “grande”)

Teorema 55.2 — Disequazione $\sqrt {f(x)}\geq g(x)$

La disequazione $\sqrt {f(x)}\ge g(x)$ equivale all’unione di due sistemi:

\[ \begin {cases} f(x)\ge 0 \\ g(x) < 0 \end {cases} \quad \lor \quad \begin {cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge g(x)^2 \end {cases} \]

(il primo blocco copre il caso $g(x)<0$, in cui basta esistere il radicale; il secondo blocco gestisce $g(x)\ge 0$ con elevamento al quadrato).

Dimostrazione (idea).

Se $g(x)<0$: $\sqrt {f(x)}\ge 0 > g(x)$ è automaticamente vera, basta che il radicale esista ($f(x)\ge 0$).
Se $g(x)\ge 0$: entrambi i membri $\ge 0$, si può elevare al quadrato in modo equivalente, $\sqrt {f}\ge g\iff f\ge g^2$. (Nota: $f\ge g^2\ge 0$ implica $f\ge 0$, dunque la condizione di esistenza è automatica.)

Esempio 55.2

Risolvere $\sqrt {x+5} \ge x - 1$.

Soluzione. Caso 1: $x-1 < 0$, ossia $x<1$. Servono $x+5\ge 0$ (i.e. $x\ge -5$) e $x<1$. Intersezione: $-5\le x<1$.

Caso 2: $x-1\ge 0$, ossia $x\ge 1$. Servono $x+5\ge (x-1)^2$, ossia $x+5\ge x^2-2x+1$, cioè $x^2-3x-4\le 0$. $\Delta = 9+16=25$, radici $-1, 4$. Quindi $-1\le x\le 4$, intersezione con $x\ge 1$: $1\le x\le 4$.

Unione dei due casi: $-5\le x\le 4$, cioè $[-5, 4]$.

[Picture] — Figura 55.1: Schemi risolutivi per le due forme fondamentali di disequazione irrazionale. La forma $\sqrt {f}\le g$ richiede un unico sistema di tre condizioni. La forma $\sqrt {f}\ge g$ richiede l’unione di due sistemi distinti, uno per ogni segno di $g$.

55.3 Casistica con la disuguaglianza >= o <=

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Per le disuguaglianze strette ($<$ o $>$) la struttura è la stessa, con qualche aggiustamento:

$\sqrt {f(x)} < g(x)$: stesso sistema di $\le $, ma con $g(x)>0$ stretto (perché $g(x)=0$ darebbe $\sqrt {f}<0$ impossibile) e $f(x)<g(x)^2$ stretto.
$\sqrt {f(x)} > g(x)$: stessa unione di sistemi del $\ge $, con $g(x)<0$ (la condizione $g\le 0$ è incorporata) e $f(x)>g(x)^2$ stretto nel secondo caso.

Nota — Caso $g(x)<0$ stretto

Quando il secondo membro è strettamente negativo e abbiamo $\sqrt {f(x)}\ge g(x)$ o $\sqrt {f(x)}>g(x)$, la disuguaglianza è automaticamente vera (basta che il radicale esista). È un caso “gratis” che rende la soluzione spesso più ampia di quanto ci si aspetterebbe.

55.4 Disequazioni con due radicali

quiz e materiali con l’AI

flashcard del paragrafo

Teorema 55.3 — Disuguaglianza tra due radicali

La disequazione $\sqrt {f(x)}\ge \sqrt {g(x)}$ equivale al sistema

\[ \begin {cases} f(x)\ge 0 \\ g(x)\ge 0 \\ f(x)\ge g(x) \end {cases} \]

(prima si verifica l’esistenza dei radicali, poi si confrontano i radicandi).

Dimostrazione (idea). Entrambi i membri sono $\ge 0$ per la definizione dei radicali, dunque l’elevamento al quadrato è equivalente: $\sqrt {f}\ge \sqrt {g}\iff f\ge g$. Va però imposta l’esistenza di entrambi i radicali.

Esempio 55.3

Risolvere $\sqrt {x^2-1}\ge \sqrt {2x+1}$.

Soluzione.

\[ \begin {cases} x^2-1\ge 0 \\ 2x+1\ge 0 \\ x^2-1\ge 2x+1 \end {cases} \]

Prima: $x\le -1\ \lor \ x\ge 1$.
Seconda: $x\ge -\tfrac {1}{2}$.
Terza: $x^2 - 2x - 2\ge 0$. $\Delta = 4+8=12$, $x = \tfrac {2\pm 2\sqrt {3}}{2} = 1\pm \sqrt {3}$. Quindi $x\le 1-\sqrt {3}\ \lor \ x\ge 1+\sqrt {3}$. Numericamente $\sqrt {3}\approx 1{,}732$, dunque $x\le -0{,}732\ \lor \ x\ge 2{,}732$.

Intersezione di tutte le condizioni: $x\ge -\tfrac {1}{2}$ (dalla seconda) e $x\le -1\lor x\ge 1$ (dalla prima) $\Rightarrow $ $x\ge 1$. Poi con $x\le 1-\sqrt {3}\lor x\ge 1+\sqrt {3}$: $x\ge 1+\sqrt {3}$.

Soluzione: $x\ge 1+\sqrt {3}$, cioè $[1+\sqrt {3}, +\infty )$.

Disequazione con indice dispari

Teorema 55.4 — Disequazioni con radici di indice dispari

Per radici di indice dispari, le disuguaglianze si conservano con l’elevamento alla potenza dispari. Quindi

\[ \sqrt [n]{f(x)}\square g(x) \iff f(x) \square g(x)^n \qquad (n\text { dispari},\ \mathrm{in}^{2} \{<,\le ,>,\ge \}). \]

Nessun caso, nessuna condizione di esistenza (la radice di indice dispari è definita ovunque).

Esempio 55.4

Risolvere $\sqrt [3]{2x-1} < 3$.

Soluzione. Cubando: $2x-1<27 \iff x<14$. Soluzione: $(-\infty , 14)$.

55.5 Esempi svolti

quiz e materiali con l’AI

Esempio 55.5 — Caso $\le $ con sistema unico

Risolvere $\sqrt {x+4}\le 2x$.

Soluzione.

\[ \begin {cases} x+4\ge 0\\ 2x\ge 0 \\ x+4\le 4x^2 \end {cases} \]

Prima: $x\ge -4$.
Seconda: $x\ge 0$.
Terza: $4x^2-x-4\ge 0$. $\Delta = 1+64=65$, $x = \tfrac {1\pm \sqrt {65}}{8}$. Numericamente: $x\le \tfrac {1-\sqrt {65}}{8}\approx -0{,}883\ \lor \ x\ge \tfrac {1+\sqrt {65}}{8}\approx 1{,}133$.

Intersezione con $x\ge 0$: $x\ge \tfrac {1+\sqrt {65}}{8}$. Soluzione: $\left [\tfrac {1+\sqrt {65}}{8}, +\infty \right )$.

Esempio 55.6 — Caso $\ge $ con unione di due sistemi

Risolvere $\sqrt {x^2-2x}\ge x-3$.

Soluzione.

Caso 1: $x-3<0$, $x<3$. Esistenza: $x^2-2x\ge 0\iff x(x-2)\ge 0 \iff x\le 0\lor x\ge 2$. Intersezione con $x<3$: $x\le 0\ \lor \ 2\le x<3$.

Caso 2: $x-3\ge 0$, $x\ge 3$. Quadrando: $x^2-2x\ge (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \iff 4x\ge 9 \iff x\ge \tfrac {9}{4}$. Intersezione con $x\ge 3$: $x\ge 3$.

Unione dei due casi: $x\le 0\ \lor \ x\ge 2$.

Soluzione: $(-\infty , 0]\cup [2, +\infty )$.

Esempio 55.7 — Due radicali con $\le $

Risolvere $\sqrt {x+2}\le \sqrt {3-x}$.

Soluzione.

\[ \begin {cases} x+2\ge 0 \\ 3-x\ge 0 \\ x+2\le 3-x \end {cases} \iff \begin {cases} x\ge -2\\ x\le 3\\ 2x\le 1\Rightarrow x\le \tfrac {1}{2} \end {cases} \]

Intersezione: $-2\le x\le \tfrac {1}{2}$. Soluzione: $[-2, \tfrac {1}{2}]$.

Esempio 55.8 — Con valore assoluto come confronto

Risolvere $\sqrt {x^2-4}\le |x-3|$.

Soluzione. Poiché $|x-3|\ge 0$ sempre, possiamo applicare il sistema:

\[ \begin {cases} x^2-4\ge 0\\ |x-3|\ge 0\;\text {(sempre)}\\ x^2-4\le (x-3)^2 \end {cases} \]

Prima: $x\le -2\ \lor \ x\ge 2$.
Terza: $x^2-4\le x^2-6x+9 \iff 6x\le 13 \iff x\le \tfrac {13}{6}$.

Intersezione: $x\le -2\ \lor \ 2\le x\le \tfrac {13}{6}$. Soluzione: $(-\infty ,-2]\cup [2, \tfrac {13}{6}]$.

Esempio 55.9 — Indice dispari

Risolvere $\sqrt [3]{x^2 - 3}\ge 1$.

Soluzione. Indice dispari, equivalenza diretta:

\[ x^2-3\ge 1 \iff x^2\ge 4 \iff x\le -2 \lor x\ge 2. \]

Soluzione: $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$.

55.6 Esercizi proposti

quiz e materiali con l’AI

Esercizio 55.1

1.: Risolvi le disequazioni del tipo $\sqrt {f}\le g$: (a) $\sqrt {x}\le 3$; (b) $\sqrt {x-1}\le x$; (c) $\sqrt {2x+3}\le x+1$; (d) $\sqrt {x^2-9}\le x$.
2.: Risolvi le disequazioni del tipo $\sqrt {f}\ge g$: (a) $\sqrt {x}\ge 2$; (b) $\sqrt {x+1}\ge x$; (c) $\sqrt {2x+5}\ge x+1$; (d) $\sqrt {x^2-1}\ge x-2$.
3.: Risolvi le disequazioni con due radicali: (a) $\sqrt {x+2}\ge \sqrt {2x-1}$; (b) $\sqrt {x^2-4}<\sqrt {x+2}$; (c) $\sqrt {x-3}\le \sqrt {2x-1}$.
4.: Risolvi le disequazioni con indice dispari (equivalenza diretta): (a) $\sqrt [3]{x+5}\ge 2$; (b) $\sqrt [3]{2x-1}<1$; (c) $\sqrt [3]{x^2}\ge 3$.
5.: Determina il dominio in $\mathbb{R} $: (a) $f(x) = \sqrt {x-1} - \sqrt {2-x}$ (definita ovunque entrambi i radicali esistano); (b) $f(x) = \dfrac {1}{\sqrt {x^2-1}}$; (c) $f(x) = \sqrt {\dfrac {x+1}{x-2}}$ (suggerimento: argomento $\ge 0$, disequazione fratta).
6.: Risolvi: (a) $\sqrt {x^2-2x+1}\le x$ (suggerimento: $x^2-2x+1=(x-1)^2$); (b) $\sqrt {4-x^2}\ge x-1$; (c) $\sqrt {x+3}\ge \sqrt {x-1} + 1$ (suggerimento: isola e quadra).
7.: Sapendo che $\sqrt {f}\ge 0$ sempre, deduci immediatamente la soluzione di: (a) $\sqrt {x^2+1}\ge -3$ (cosa puoi dire subito?); (b) $\sqrt {x^2+1}\le -3$.
8.: Per quali $x$ vale $\sqrt {x+1}<x-1$? (Caso $\sqrt {f}<g$.)
9.: (Discussione.) Spiega perché nel caso $\sqrt {f}\ge g$ servono due sistemi alternativi, mentre nel caso $\sqrt {f}\le g$ ne basta uno solo. (Suggerimento: ragiona sul segno di $g$ e su cosa succede quando $g<0$.)

55.7 Riepilogo del capitolo

quiz e materiali con l’AI

Riepilogo

Una disequazione irrazionale ha l’incognita sotto radice. Il segno del secondo membro è determinante perché un radicale (indice pari) è sempre $\ge 0$.
Caso $\sqrt {f(x)}\le g(x)$: equivalente a un unico sistema
\[ \begin {cases} f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0 \\ f(x)\le g(x)^2 \end {cases} \]

(con $g(x)\ge 0$ obbligatorio, altrimenti impossibile).
Caso $\sqrt {f(x)}\ge g(x)$: equivalente all’unione di due sistemi:
\[ \begin {cases} f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end {cases}\quad \lor \quad \begin {cases} g(x)\ge 0\\ f(x)\ge g(x)^2 \end {cases} \]

Il primo gestisce il caso “gratis” $g<0$, il secondo l’elevamento al quadrato.
Caso $\sqrt {f(x)}\ge \sqrt {g(x)}$: sistema $\{f\ge 0,\ g\ge 0,\ f\ge g\}$.
Indice dispari: la disuguaglianza si conserva con l’elevamento alla potenza dispari (radici cubiche e oltre), senza casi né condizioni di esistenza.
Regola operativa: prima si pensa al segno di entrambi i membri, dopo si pensa al quadrato. Mai l’inverso.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]

Capitolo 55
Disequazioni irrazionali

55.1 Introduzione motivazionale

55.2 Disequazioni con un radicale

Forma \(\sqrt {f(x)} \le g(x)\) (radicale “piccolo”)

Forma \(\sqrt {f(x)} \ge g(x)\) (radicale “grande”)

55.3 Casistica con la disuguaglianza >= o <=

55.4 Disequazioni con due radicali

Disequazione con indice dispari

55.5 Esempi svolti

55.6 Esercizi proposti

55.7 Riepilogo del capitolo

Capitolo 55 Disequazioni irrazionali

55.1 Introduzione motivazionale

55.2 Disequazioni con un radicale

Forma \(\sqrt {f(x)} \le g(x)\) (radicale “piccolo”)

Forma \(\sqrt {f(x)} \ge g(x)\) (radicale “grande”)

55.3 Casistica con la disuguaglianza >= o <=

55.4 Disequazioni con due radicali

Disequazione con indice dispari

55.5 Esempi svolti

55.6 Esercizi proposti

55.7 Riepilogo del capitolo

Capitolo 55
Disequazioni irrazionali