“
La parabola dice tutto: sopra o sotto l’asse \(x\), dentro o fuori dalle radici. Vedere una disequazione di secondo
grado significa guardare la sua parabola.”
— adattamento didattico
____________________________________________________________________________________
Risolvere una disequazione di secondo grado significa trovare tutti i valori di \(x\) per cui un trinomio \(ax^2+bx+c\) è (rispettivamente) maggiore, maggiore o uguale, minore, minore o uguale a zero. È un problema strettamente legato al capitolo precedente sulle equazioni di secondo grado (49): risolvere \(ax^2+bx+c=0\) trova i punti in cui il trinomio si annulla; risolvere \(ax^2+bx+c>0\) trova gli intervalli su cui è positivo. Il legame è geometrico: si guarda dove sta la parabola rispetto all’asse \(x\).
Il metodo che presentiamo è classico ed efficace: si calcola il discriminante, si trovano le eventuali radici, si fa un disegno qualitativo della parabola (concavità verso l’alto o verso il basso), e si legge dal disegno l’insieme delle soluzioni. È un esempio paradigmatico di come la geometria aiuti l’algebra (e viceversa).
Useremo le disequazioni di secondo grado in tantissime applicazioni successive: nello studio del segno di funzioni razionali fratte (capitolo 54), nelle condizioni di esistenza di radicali, nello studio di funzioni (capitolo 141), nei problemi di ottimizzazione (capitolo 143).
Definizione 53.1 — Disequazione di secondo grado
Procedura — Risolvere \(ax^2+bx+c>0\) (o \(<0\), \(\ge 0\), \(\le 0\))
Sia \(a>0\) (concavità verso l’alto). Distinguiamo i tre casi del discriminante.
La parabola interseca l’asse \(x\) in due punti distinti.
La parabola è tangente all’asse \(x\) in \(x_0\), sempre \(\ge 0\) (mai negativa).
La parabola non incontra l’asse \(x\), è sempre positiva (con \(a>0\)).
Teorema 53.1 — Regola pratica: “concorde fuori, discorde dentro”
Sia \(\Delta > 0\) e siano \(x_1<x_2\) le radici di \(ax^2+bx+c=0\).
Nota — Caso \(\Delta \le 0\): “segno costante”
Se \(\Delta = 0\), il trinomio è \(\ge 0\) ovunque (\(\le 0\) se \(a<0\)), con uno zero in \(x_0 = -b/(2a)\).
Se \(\Delta < 0\), il trinomio ha sempre lo stesso segno di \(a\) (sempre positivo se \(a>0\), sempre negativo se \(a<0\)), e non si annulla mai.
Procedura — Disequazione di secondo grado in 4 passi
Esempio 53.1 — Caso \(\Delta >0\), disequazione \(>\)
Risolvere \(x^2 - 5x + 6 > 0\).
Soluzione. \(a=1>0\), \(\Delta = 25-24 = 1\), radici \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Parabola con concavità verso l’alto, taglia l’asse \(x\) in \(2\) e \(3\). Il trinomio è positivo esternamente alle radici (regola “concorde fuori”):
Soluzione: \((-\infty , 2) \cup (3, +\infty )\).
Esempio 53.2 — Caso \(\Delta >0\), disequazione \(<\)
Risolvere \(x^2 + x - 6 \le 0\).
Soluzione. \(\Delta = 1 + 24 = 25\). Radici \(x_{1,2} = \tfrac {-1\pm 5}{2}\): \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). Negativo o nullo tra le radici (estremi inclusi):
Soluzione: \([-3, 2]\).
Esempio 53.3 — \(\Delta =0\), soluzioni speciali
Risolvere \(x^2 - 6x + 9 \le 0\).
Soluzione. \(\Delta = 36 - 36 = 0\). Radice doppia \(x_0 = 3\). Il trinomio è \((x-3)^2\), sempre \(\ge 0\), uguale a zero solo in \(x=3\). Quindi \((x-3)^2\le 0 \iff x = 3\). Soluzione: \(\{3\}\).
(Per \(>0\) sarebbe stato \(x\neq 3\); per \(<0\) impossibile; per \(\ge 0\) sempre vera.)
Esempio 53.4 — \(\Delta <0\), parabola sempre sopra l’asse
Risolvere \(x^2 + 2x + 5 > 0\).
Soluzione. \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\). Nessuna radice reale, parabola sempre \(>0\) (perché \(a>0\)). La disequazione è verificata per ogni \(x\in \mathbb{R} \): soluzione \(\mathbb{R} \).
Se la disequazione fosse stata \(x^2+2x+5 < 0\), sarebbe stata impossibile (nessuna soluzione).
Esempio 53.5 — Coefficiente direttivo negativo
Risolvere \(-x^2 + 3x + 4 \ge 0\).
Soluzione. Moltiplicando per \(-1\) e invertendo il verso: \(x^2 - 3x - 4 \le 0\). \(\Delta = 9+16 = 25\), radici \(x_{1,2}=\tfrac {3\pm 5}{2}\): \(x_1=-1\), \(x_2=4\). Negativo o zero tra le radici:
Soluzione: \([-1, 4]\).
Alternativamente: si poteva ragionare direttamente sulla parabola \(y=-x^2+3x+4\), concava verso il basso. È positiva o nulla tra le radici, e si arriva allo stesso risultato.
Un sistema di disequazioni richiede di risolvere tutte le disequazioni che lo compongono e di prendere l’intersezione delle soluzioni. Quando le disequazioni sono di secondo grado, si applicano i metodi visti, e poi si interseca usando una rappresentazione grafica sulla retta reale (lo schema classico “a barrette” del capitolo 24).
Esempio 53.6 — Sistema
Risolvere \(\begin {cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4 \le 0 \end {cases}\).
Soluzione.
Intersezione: \(\{x : (x<2 \lor x>3)\ \land \ -2\le x\le 2\} = [-2, 2)\).
Quindi la soluzione del sistema è \([-2, 2)\).
Esempio 53.7 — Caso classico
Risolvere \(2x^2 - 5x + 2 < 0\).
Soluzione. \(\Delta = 25 - 16 = 9\). Radici \(x_{1,2} = \tfrac {5\pm 3}{4}\): \(x_1 = \tfrac {1}{2}\), \(x_2 = 2\). Parabola concava verso l’alto, negativa tra le radici: \(\tfrac {1}{2} < x < 2\). Soluzione: \(\left (\tfrac {1}{2}, 2\right )\).
Esempio 53.8 — Disequazione \(\ge 0\) con \(\Delta <0\)
Risolvere \(3x^2 + 2x + 1 \ge 0\).
Soluzione. \(\Delta = 4 - 12 = -8 < 0\), \(a=3>0\). La parabola è sempre positiva, dunque la disequazione \(\ge 0\) è sempre verificata. Soluzione: \(\mathbb{R} \).
Esempio 53.9 — Risoluzione di una disequazione fattorizzata
Risolvere \((x-1)(x+2) > 0\) senza calcolare il discriminante.
Soluzione. Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno: entrambi positivi (\(x>1\)) o entrambi negativi (\(x<-2\)). Soluzione: \(x<-2 \lor x>1\), cioè \((-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )\).
(Equivalente: \(x^2+x-2 = 0\) ha radici \(-2, 1\), “positivo fuori dalle radici”.)
Esempio 53.10 — Condizione di esistenza
Per quali \(x\) è definita in \(\mathbb{R} \) la funzione \(f(x) = \sqrt {x^2 - 4x + 3}\)?
Soluzione. Serve \(x^2-4x+3\ge 0\). Radici di \(x^2-4x+3=0\): \(\Delta = 16-12 = 4\), \(x = \tfrac {4\pm 2}{2}\): \(x_1=1, x_2=3\). “Concorde fuori, discorde dentro”: \(x\le 1 \lor x\ge 3\). Dominio: \((-\infty , 1]\cup [3, +\infty )\).
Esempio 53.11 — Problema geometrico
Per quali valori di \(b\) il rettangolo di base \(b\) e altezza \(b-2\) ha area maggiore di \(24\)?
Soluzione. Condizioni geometriche: \(b>0\) e \(b-2>0\), cioè \(b>2\). Area: \(b(b-2) > 24 \iff b^2 - 2b - 24 > 0\). Radici di \(b^2-2b-24=0\): \(\Delta = 4 + 96 = 100\), \(b = \tfrac {2\pm 10}{2}\): \(b_1 = -4, b_2 = 6\). “Positivo fuori dalle radici”: \(b<-4 \lor b>6\). Intersecando con \(b>2\): \(b>6\).
Esempio 53.12 — Sistema parametrico
Per quali valori di \(k\) l’equazione \(x^2 - 2kx + 4 = 0\) ha due soluzioni reali distinte?
Soluzione. Servono \(\Delta > 0\): \(\Delta = 4k^2 - 16 > 0 \iff k^2 > 4 \iff |k|>2 \iff k<-2 \lor k>2\). Soluzione: \(k\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )\).
Esercizio 53.1
Riepilogo
Regola pratica (per \(a>0\), \(\Delta >0\), radici \(x_1<x_2\)):
Casi degeneri:
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli289x.svg)
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli290x.svg)