“
Elevare al quadrato è la mossa più potente e la più pericolosa: permette di togliere una radice, ma può
introdurre soluzioni che non c’erano. Ogni soluzione trovata va dunque verificata.”
— adattamento didattico
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Un’equazione irrazionale è un’equazione in cui l’incognita compare sotto il segno di radice. Esempi:
Il modo di risolverle è apparentemente semplice: elevare a potenza entrambi i membri per “liberarsi” della radice. Ma — ed è il punto delicato di tutto il capitolo — l’operazione di elevamento al quadrato non è equivalente: può trasformare un’equazione falsa in una vera. Conseguenza: dopo aver risolto, va sempre verificato che le soluzioni trovate siano davvero soluzioni dell’equazione originale.
In questo capitolo studiamo le tecniche risolutive per le equazioni irrazionali nei casi fondamentali, distinguendo:
La presenza di radicali ci costringerà sempre a porre attenzione alle condizioni di esistenza dei radicandi (capitolo 46) e al segno dei membri quando eleviamo al quadrato.
Definizione 52.1 — Equazione irrazionale
Nota — Sempre identificare le condizioni di esistenza
Per le radici di indice pari (\(\sqrt {f(x)}\), \(\sqrt [4]{g(x)}\), \(\ldots \)), il radicando deve essere \(\ge 0\): questa è la prima cosa da scrivere prima di risolvere.
Le radici di indice dispari (\(\sqrt [3]{f(x)}\), \(\sqrt [5]{g(x)}\), \(\ldots \)) sono definite per ogni valore reale: nessuna restrizione sul radicando.
Attenzione! — Elevamento al quadrato non è equivalente
L’operazione \(a = b\) implica \(a^2 = b^2\), ma il viceversa è falso: \(a^2=b^2\) non implica \(a=b\) (per esempio, \((-3)^2 = 3^2\) ma \(-3\neq 3\)).
Conseguenza: se da un’equazione \(A=B\) passiamo a \(A^2=B^2\) (per eliminare una radice), la nuova equazione potrebbe avere soluzioni che non risolvono quella originaria. Tali soluzioni si chiamano estranee (qualcuno le chiama anche spurie: nulla a che vedere con le equazioni spurie di secondo grado del capitolo 49). Vanno individuate e scartate.
Regola operativa: dopo aver risolto, sostituire ogni soluzione nell’equazione originale per verificare; se non la soddisfa, scartare.
Teorema 52.1 — Equazione \(\sqrt {f(x)}=k\)
Sia \(k\in \mathbb{R} \). L’equazione \(\sqrt {f(x)} = k\):
Esempio 52.1
\(\sqrt {x-3} = 5 \Rightarrow x-3 = 25 \Rightarrow x = 28\). Verifica: \(\sqrt {25}=5\). \(\checkmark\)
Esempio 52.2
\(\sqrt {x+1} = -2\): impossibile (\(-2<0\)), nessuna soluzione.
Teorema 52.2 — Equazione \(\sqrt {f(x)}=g(x)\)
\(\sqrt {f(x)} = g(x)\) equivale al sistema
La condizione \(g(x)\ge 0\) è essenziale: senza di essa, elevando al quadrato si introdurrebbero soluzioni estranee.
(La condizione \(f(x)\ge 0\) è automaticamente verificata, perché \(g(x)^2\ge 0\).)
Procedura — Risoluzione di \(\sqrt {f(x)} = g(x)\)
Esempio 52.3
Risolvere \(\sqrt {x+5} = x - 1\).
Soluzione. Condizione: \(x - 1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1\). Eleviamo al quadrato:
\(\Delta = 9 + 16 = 25\), \(\sqrt {\Delta }=5\). \(x = \tfrac {3\pm 5}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -1\).
Verifica con la condizione \(x\ge 1\):
Unica soluzione: \(x = 4\).
(Nota: senza la condizione di accettabilità avremmo erroneamente accettato anche \(x=-1\), che soddisfa \(f(x) = g(x)^2\) ma non \(\sqrt {f(x)} = g(x)\): infatti \(\sqrt {4} = 2\), ma \(-1-1 = -2\). Le due quantità sono opposte, non uguali.)
Teorema 52.3 — Equazioni con radici di indice dispari
Per radici di indice dispari, l’operazione di elevamento a potenza dispari è equivalente:
Nessuna verifica delle soluzioni è necessaria, perché la funzione \(y=x^n\) con \(n\) dispari è biunivoca su tutto \(\mathbb{R} \) (capitolo 45).
Esempio 52.4
Risolvere \(\sqrt [3]{x-1} = 2\).
Soluzione. \(x-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9\). Niente verifica necessaria (indice dispari).
Esempio 52.5
Risolvere \(\sqrt [3]{2x+1} = x-1\).
Soluzione. \(2x+1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\), cioè \(x^3 - 3x^2 + x - 2 = 0\). Soluzione intera: provando \(x=2\) otteniamo \(8 - 12 + 2 - 2 = -4\neq 0\). Provando \(x=1\): \(1 - 3 + 1 - 2 = -3\). Provando \(x=-1\): \(-1-3-1-2=-7\). Le radici reali si possono trovare numericamente (è di terzo grado). Lasciamo l’esempio come illustrazione della tecnica.
Teorema 52.4 — Equazione \(\sqrt {f(x)}=\sqrt {g(x)}\)
\(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}\) equivale al sistema
Esempio 52.6
\(\sqrt {x+3} = \sqrt {2x-1}\).
Soluzione. Condizione: \(2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \tfrac {1}{2}\) (e implica anche \(x+3\ge 0\) poiché \(x\ge \tfrac {1}{2}>-3\)). Da \(x+3 = 2x-1 \Rightarrow x = 4\). Accettabile. Soluzione: \(x=4\).
Quando ci sono due radicali in somma, la tecnica è elevare al quadrato due volte: la prima elimina un radicale lasciando l’altro, la seconda elimina anche quello.
Procedura — Risoluzione di \(\sqrt {f} + \sqrt {g} = h\)
Esempio 52.7
Risolvere \(\sqrt {x+5} + \sqrt {x} = 5\).
Soluzione. Condizioni: \(x\ge 0\) (implica anche \(x+5\ge 0\)). Isolando: \(\sqrt {x+5} = 5 - \sqrt {x}\). Eleviamo al quadrato:
Quadrando di nuovo: \(x = 4\). Verifica nell’originale: \(\sqrt {9} + \sqrt {4} = 3 + 2 = 5\). \(\checkmark\)
Nota — Quando la verifica è obbligatoria
La verifica numerica delle soluzioni nell’equazione originale è obbligatoria quando:
È facoltativa (ma sempre utile) quando si è imposta correttamente la condizione \(g(x)\ge 0\) e si è verificato che sia soddisfatta dalle soluzioni accettate.
Per radici di indice dispari, invece, la verifica non è strettamente necessaria, perché l’elevamento a una potenza dispari è equivalenza.
Esempio 52.8 — Una soluzione estranea da scartare
Risolvere \(\sqrt {2x+3} = x\).
Soluzione. Condizione: \(x\ge 0\). Quadrando: \(2x+3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0\). \(\Delta = 4+12=16\), \(x = \tfrac {2\pm 4}{2}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).
Verifica:
Unica soluzione: \(x = 3\).
Esempio 52.9 — Caso base
Risolvere \(\sqrt {x-7} = 3\).
Soluzione. \(x-7 = 9 \Rightarrow x = 16\). Verifica: \(\sqrt {9}=3\). \(\checkmark\)
Esempio 52.10 — Con espressione a destra
Risolvere \(\sqrt {x^2 - 3x + 3} = x - 1\).
Soluzione. Condizione: \(x\ge 1\). Quadrando:
\(x=2\) soddisfa \(x\ge 1\). Verifica: \(\sqrt {4-6+3} = \sqrt {1} = 1 = 2-1\). \(\checkmark\)
Esempio 52.11 — Due radicali uguagliati
Risolvere \(\sqrt {x^2-4} = \sqrt {3x-2}\).
Soluzione. Condizioni: \(x^2-4\ge 0\iff x\le -2\lor x\ge 2\); \(3x-2\ge 0\iff x\ge \tfrac {2}{3}\). Intersezione: \(x\ge 2\).
Dall’equazione: \(x^2-4 = 3x-2 \iff x^2-3x-2 = 0\). \(\Delta = 9+8 = 17\), \(x = \tfrac {3\pm \sqrt {17}}{2}\). Numericamente: \(x_1 = \tfrac {3+\sqrt {17}}{2}\approx 3{,}56\); \(x_2 = \tfrac {3-\sqrt {17}}{2}\approx -0{,}56\).
Soltanto \(x_1\) soddisfa \(x\ge 2\). Soluzione: \(x = \tfrac {3+\sqrt {17}}{2}\).
Esempio 52.12 — Due radicali in somma
Risolvere \(\sqrt {x+1} + \sqrt {x-3} = 4\).
Soluzione. Condizioni: \(x-3\ge 0 \iff x\ge 3\). Isoliamo: \(\sqrt {x-3} = 4 - \sqrt {x+1}\). Quadrando:
Più ordinatamente: \(x-3 = 17 + x - 8\sqrt {x+1}\), da cui \(-20 = -8\sqrt {x+1}\), ovvero \(\sqrt {x+1} = \tfrac {5}{2}\). Quadrando: \(x+1 = \tfrac {25}{4}\), \(x = \tfrac {21}{4}\).
Condizione \(x\ge 3\): \(\tfrac {21}{4} = 5{,}25 \ge 3\). \(\checkmark\). Verifica nell’equazione: \(\sqrt {\tfrac {21}{4}+1}+\sqrt {\tfrac {21}{4}-3} = \sqrt {\tfrac {25}{4}}+\sqrt {\tfrac {9}{4}} = \tfrac {5}{2}+\tfrac {3}{2} = 4\). \(\checkmark\)
Esempio 52.13 — Radice cubica, no verifica
Risolvere \(\sqrt [3]{x^2 + 2x + 1} = 1\).
Soluzione. Elevando al cubo entrambi i membri: \(x^2+2x+1 = 1\iff x^2+2x = 0 \iff x(x+2)=0 \Rightarrow x = 0\lor x = -2\). (Indice dispari, nessuna verifica obbligatoria.) Soluzioni: \(\{-2, 0\}\).
Esempio 52.14 — Soluzione estranea da scartare
Risolvere \(\sqrt {3x+4} = x\).
Soluzione. Condizione: \(x\ge 0\). Quadrando: \(3x+4 = x^2\), cioè \(x^2-3x-4=0\). \(\Delta = 9+16 = 25\), \(x = \tfrac {3\pm 5}{2}\): \(x_1=4\), \(x_2=-1\).
Accettabili (con \(x\ge 0\)): solo \(x_1=4\). Verifica: \(\sqrt {16} = 4\). \(\checkmark\). La soluzione \(x_2=-1\) è estranea: \(\sqrt {1}=1\neq -1\).
Unica soluzione: \(x=4\).
Esercizio 52.1
Riepilogo
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