Quando un’equazione di grado superiore al secondo si presenta in una forma particolare, una sostituzione
opportuna la ricondurrà a un’equazione di grado uguale o minore al secondo: e quello che sappiamo risolvere,
sappiamo risolvere.”
Le equazioni di terzo, quarto, quinto grado sono molto difficili da risolvere in generale. La
formula risolutiva “cubica” (Tartaglia-Cardano, xvi sec.) c’è ma è laboriosissima; quella “quartica”
(Ferrari) anche; per il quinto grado, nel 1824 Niels Abel dimostrò che non esiste una formula
risolutiva radicale generale.
Per fortuna, però, certe forme particolari di equazioni di grado superiore si riducono a
equazioni di secondo grado (o di primo) tramite una sostituzione opportuna. Sono i casi di:
equazioni binomie: \(ax^n + b = 0\), con solo due termini (un termine di grado \(n\) e un termine noto);
equazioni biquadratiche: \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), prive del termine di grado \(1\) e \(3\);
equazioni trinomie: \(ax^{2n} + bx^n + c = 0\) (con \(n\in \mathbb{N} ^*\)), generalizzazione delle biquadratiche.
In tutti questi casi, una sostituzione del tipo \(y = x^n\) o \(y = x^2\) riduce il grado, riportandoci nel territorio dei capitoli
21 (primo grado) e 49 (secondo grado).
Più in generale, vedremo che la tecnica della sostituzione si applica a tutte le equazioni che
hanno una struttura ripetuta (come \((x^2+1)^2 - 5(x^2+1) + 4 = 0\)): si battezza con una variabile ausiliaria, si risolve, si torna
indietro.
\(x^6 + 1 = 0 \Rightarrow x^6 = -1\). Impossibile in \(\mathbb{R} \) (in \(\mathbb{C} \) ci sono \(6\) soluzioni complesse, cfr. capitolo 121).
Nota — Numero di soluzioni in \(\mathbb{R} \) vs \(\mathbb{C} \)
In \(\mathbb{C} \) ogni equazione binomia di grado \(n\) ha esattamente \(n\) soluzioni (teorema fondamentale
dell’algebra). In \(\mathbb{R} \), invece, abbiamo o \(1\) soluzione, o \(2\) soluzioni, o nessuna, a seconda del
segno e della parità. La formula di De Moivre (capitolo 121) dà tutte le \(n\) radici complesse:
sono i vertici di un poligono regolare nel piano complesso.
Figura 51.1: Schema della tecnica risolutiva per le equazioni biquadratiche: si pone \(y=x^2\), si risolve
l’equazione di secondo grado in \(y\), poi per ogni \(y_i\ge 0\) si torna a \(x\) tramite \(x=\pm \sqrt {y_i}\). Nell’esempio, si ottengono
\(4\) soluzioni reali distinte.
È la generalizzazione della biquadratica: per \(n=2\) si ha la biquadratica \(ax^4+bx^2+c=0\); per \(n=3\) si ha \(ax^6+bx^3+c=0\); eccetera.
Procedura — Risolvere una trinomia
Si applica la stessa tecnica della biquadratica:
1.
Si pone \(y = x^n\): l’equazione diventa \(a y^2 + b y + c = 0\), di secondo grado in \(y\).
2.
Si trovano \(y_1, y_2\).
3.
Per ciascuna \(y_i\), si risolve \(x^n = y_i\) usando la regola dell’equazione binomia: il numero e il segno
delle soluzioni \(x\) dipende dalla parità di \(n\) e dal segno di \(y_i\).
Il principio “riduzione a secondo grado tramite sostituzione” è più generale delle biquadratiche e
trinomie. Si applica a ogni equazione in cui compaia ripetutamente un’espressione \(E(x)\), e l’equazione si
possa scrivere come un polinomio di secondo grado in \(E(x)\).
Procedura — Sostituzione generale
1.
Si individua un’espressione ricorrente \(E(x)\) nell’equazione.
2.
Si pone \(y = E(x)\) e si riscrive l’equazione in \(y\).
3.
Se l’equazione in \(y\) è di grado che sappiamo risolvere (di solito 1°, 2°, biquadratica), si
risolve.
4.
Per ogni \(y_i\) ottenuta, si risolve l’equazione \(E(x) = y_i\) in \(x\), e si raccolgono tutte le soluzioni.
(Curiosità: questo si può anche risolvere riconoscendo \((2x)^4 - 3^4\) e usando la differenza di quadrati
doppia: \(16x^4 - 81 = (4x^2-9)(4x^2+9)\). Da \(4x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm \tfrac {3}{2}\); da \(4x^2+9=0\) nessuna soluzione reale.)
Esempio 51.9 — Biquadratica completa
Risolvere \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).
Soluzione. \(y^2 - 5y + 4 = 0\). \(\Delta = 25-16=9\). \(y_{1,2} = \tfrac {5\pm 3}{2}\), cioè \(y_1=1, y_2=4\). \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\); \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Quattro soluzioni: \(\{-2,-1,1,2\}\).
Esempio 51.10 — Trinomia con sostituzione
\(y=x^3\)
Problema: Per quali \(k\) l’equazione \(x^4 - 2kx^2 + (k-1) = 0\) ha esattamente \(4\) soluzioni reali distinte?
(Suggerimento: condizioni su discriminante e segni di \(y_1, y_2\).)
9.
(Discussione.) Mostra con un esempio numerico che, anche se un’equazione di quarto
grado ha tutti i coefficienti reali, può non avere alcuna soluzione reale ed averne
quattro complesse. Discutere l’analogia con il caso del secondo grado con \(\Delta <0\).
Equazione binomia: \(ax^n+b=0 \Leftrightarrow x^n = -b/a\). Per \(n\) dispari sempre una soluzione reale; per \(n\) pari, \(0/1/2\) soluzioni a
seconda del segno di \(-b/a\).
Equazione biquadratica: \(ax^4+bx^2+c=0\). Sostituzione \(y=x^2\): si risolve \(ay^2+by+c=0\), poi per ogni \(y_i\ge 0\) si ricava \(x = \pm \sqrt {y_i}\). Le soluzioni
di \(y<0\) vengono scartate (in \(\mathbb{R} \)).
Equazione trinomia: \(ax^{2n}+bx^n+c=0\). Sostituzione \(y=x^n\): si risolve l’equazione di secondo grado, poi si
torna a \(x\) con \(x^n=y_i\) (regola dell’equazione binomia, parità di \(n\) rilevante).
Sostituzione generale: per equazioni con struttura \(aE(x)^2 + bE(x) + c = 0\), si pone \(y = E(x)\) e si risolve in \(y\), poi si
torna a \(x\) in ciascun caso. Si applica a \(E(x) = x^2\), \(\sqrt {x}\), \(1/x\), \((x+1)/(x-1)\), ecc.
Numero massimo di soluzioni reali distinte: \(n\) (biquadratica) o meno; in \(\mathbb{C} \) il polinomio
di grado \(n\) ha esattamente \(n\) radici (teorema fondamentale dell’algebra, capitolo 88).
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