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Capitolo 51
Equazioni biquadratiche, binomie, trinomie

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Quando un’equazione di grado superiore al secondo si presenta in una forma particolare, una sostituzione opportuna la ricondurrà a un’equazione di grado uguale o minore al secondo: e quello che sappiamo risolvere, sappiamo risolvere.”

— adattamento didattico

____________________________________________________________________________________

51.1 Introduzione motivazionale

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Le equazioni di terzo, quarto, quinto grado sono molto difficili da risolvere in generale. La formula risolutiva “cubica” (Tartaglia-Cardano, xvi sec.) c’è ma è laboriosissima; quella “quartica” (Ferrari) anche; per il quinto grado, nel 1824 Niels Abel dimostrò che non esiste una formula risolutiva radicale generale.

Per fortuna, però, certe forme particolari di equazioni di grado superiore si riducono a equazioni di secondo grado (o di primo) tramite una sostituzione opportuna. Sono i casi di:

In tutti questi casi, una sostituzione del tipo \(y = x^n\) o \(y = x^2\) riduce il grado, riportandoci nel territorio dei capitoli 21 (primo grado) e 49 (secondo grado).

Più in generale, vedremo che la tecnica della sostituzione si applica a tutte le equazioni che hanno una struttura ripetuta (come \((x^2+1)^2 - 5(x^2+1) + 4 = 0\)): si battezza con una variabile ausiliaria, si risolve, si torna indietro.

51.2 Equazioni binomie

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Definizione 51.1 — Equazione binomia

Si chiama equazione binomia un’equazione della forma

\[ a\,x^n + b = 0,\qquad a\neq 0,\quad n\in \mathbb{N} ,\ n\ge 2. \]

Teorema 51.1 — Risoluzione

L’equazione \(ax^n+b=0\) è equivalente a \(x^n = -\dfrac {b}{a}\). Posto \(k = -\dfrac {b}{a}\):

Esempio 51.1

Nota  — Numero di soluzioni in \(\mathbb{R} \) vs \(\mathbb{C} \)

In \(\mathbb{C} \) ogni equazione binomia di grado \(n\) ha esattamente \(n\) soluzioni (teorema fondamentale dell’algebra). In \(\mathbb{R} \), invece, abbiamo o \(1\) soluzione, o \(2\) soluzioni, o nessuna, a seconda del segno e della parità. La formula di De Moivre (capitolo 121) dà tutte le \(n\) radici complesse: sono i vertici di un poligono regolare nel piano complesso.

51.3 Equazioni biquadratiche

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Definizione 51.2 — Equazione biquadratica

Si chiama equazione biquadratica un’equazione di quarto grado priva dei termini di grado \(1\) e \(3\):

\[ a\,x^4 + b\,x^2 + c = 0,\qquad a\neq 0. \]

L’idea per risolverla è semplicissima: trattarla come un’equazione di secondo grado nella variabile \(y = x^2\).

Procedura  — Risolvere una biquadratica

Per risolvere \(ax^4+bx^2+c=0\):

1.
Si sostituisce \(y = x^2\): l’equazione diventa \(a y^2 + b y + c = 0\), di secondo grado in \(y\).
2.
Si risolve in \(y\) con la formula risolutiva: si ottengono al più due soluzioni \(y_1, y_2\).
3.
Per ciascuna soluzione \(y_i\), si torna alla variabile \(x\) tramite \(x^2 = y_i\):
  • se \(y_i > 0\): due soluzioni \(x = \pm \sqrt {y_i}\);
  • se \(y_i = 0\): una soluzione \(x = 0\);
  • se \(y_i < 0\): nessuna soluzione reale.
4.
Le soluzioni totali in \(\mathbb{R} \) sono l’unione delle soluzioni dei singoli casi.

Esempio 51.2

Risolvere \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).

Soluzione. Posto \(y = x^2\): \(y^2 - 13y + 36 = 0\). \(\Delta = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt {\Delta }=5\). \(y_{1,2} = \tfrac {13\pm 5}{2}\), cioè \(y_1 = 4\), \(y_2 = 9\).

Torniamo a \(x\):

Quattro soluzioni reali: \(x\in \{-3, -2, 2, 3\}\). Verifica per \(x=2\): \(16 - 52 + 36 = 0\). \(\checkmark\)

Esempio 51.3 — Caso con \(y\) negativa

Risolvere \(x^4 + 3x^2 - 4 = 0\).

Soluzione. \(y^2 + 3y - 4 = 0\). \(\Delta = 9 + 16 = 25\). \(y = \tfrac {-3\pm 5}{2}\): \(y_1 = 1\), \(y_2 = -4\).

Soluzioni: \(x\in \{-1, 1\}\).

Esempio 51.4 — Nessuna soluzione reale

Risolvere \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\).

Soluzione. \(y^2 + 5y + 4 = 0\). \(\Delta = 25 - 16 = 9\), \(y = \tfrac {-5\pm 3}{2}\): \(y_1 = -1\), \(y_2 = -4\). Entrambe negative: nessuna soluzione reale per \(x\).

[Picture]

Figura 51.1: Schema della tecnica risolutiva per le equazioni biquadratiche: si pone \(y=x^2\), si risolve l’equazione di secondo grado in \(y\), poi per ogni \(y_i\ge 0\) si torna a \(x\) tramite \(x=\pm \sqrt {y_i}\). Nell’esempio, si ottengono \(4\) soluzioni reali distinte.

51.4 Equazioni trinomie

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Definizione 51.3 — Equazione trinomia

Si chiama equazione trinomia un’equazione della forma

\[ a\,x^{2n} + b\,x^n + c = 0,\qquad a\neq 0,\ n\in \mathbb{N} ^*. \]

È la generalizzazione della biquadratica: per \(n=2\) si ha la biquadratica \(ax^4+bx^2+c=0\); per \(n=3\) si ha \(ax^6+bx^3+c=0\); eccetera.

Procedura  — Risolvere una trinomia

Si applica la stessa tecnica della biquadratica:

1.
Si pone \(y = x^n\): l’equazione diventa \(a y^2 + b y + c = 0\), di secondo grado in \(y\).
2.
Si trovano \(y_1, y_2\).
3.
Per ciascuna \(y_i\), si risolve \(x^n = y_i\) usando la regola dell’equazione binomia: il numero e il segno delle soluzioni \(x\) dipende dalla parità di \(n\) e dal segno di \(y_i\).

Esempio 51.5 — Trinomia di sesto grado

Risolvere \(x^6 - 9x^3 + 8 = 0\).

Soluzione. Posto \(y = x^3\): \(y^2 - 9y + 8 = 0\). \(\Delta = 81 - 32 = 49\), \(y = \tfrac {9\pm 7}{2}\): \(y_1 = 1\), \(y_2 = 8\).

Tornando a \(x\):

Soluzioni reali: \(x\in \{1, 2\}\). (In \(\mathbb{C} \) ce ne sarebbero \(6\).)

51.5 Equazioni risolvibili per sostituzione

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Il principio “riduzione a secondo grado tramite sostituzione” è più generale delle biquadratiche e trinomie. Si applica a ogni equazione in cui compaia ripetutamente un’espressione \(E(x)\), e l’equazione si possa scrivere come un polinomio di secondo grado in \(E(x)\).

Procedura  — Sostituzione generale

1.
Si individua un’espressione ricorrente \(E(x)\) nell’equazione.
2.
Si pone \(y = E(x)\) e si riscrive l’equazione in \(y\).
3.
Se l’equazione in \(y\) è di grado che sappiamo risolvere (di solito 1°, 2°, biquadratica), si risolve.
4.
Per ogni \(y_i\) ottenuta, si risolve l’equazione \(E(x) = y_i\) in \(x\), e si raccolgono tutte le soluzioni.

Esempio 51.6 — Sostituzione con \(E(x)=x^2+1\)

Risolvere \((x^2+1)^2 - 5(x^2+1) + 4 = 0\).

Soluzione. Poniamo \(y = x^2+1\): \(y^2 - 5y + 4 = 0\). Soluzioni: \(y_1 = 1\), \(y_2 = 4\).

Torniamo a \(x\):

Soluzioni: \(x\in \{-\sqrt {3}, 0, \sqrt {3}\}\).

Esempio 51.7 — Sostituzione con \(E(x) = \dfrac {x+1}{x-1}\)

Risolvere \(\left (\dfrac {x+1}{x-1}\right )^2 - 3\left (\dfrac {x+1}{x-1}\right ) + 2 = 0\), con \(x\neq 1\).

Soluzione. Poniamo \(y = \dfrac {x+1}{x-1}\): \(y^2 - 3y + 2 = 0\). Soluzioni \(y_1 = 1\), \(y_2 = 2\).

Torniamo a \(x\):

Soluzione: \(x = 3\). (La condizione \(x\neq 1\) è soddisfatta.)

51.6 Esempi svolti

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Esempio 51.8 — Binomia di quarto grado

Risolvere \(16x^4 - 81 = 0\).

Soluzione. \(x^4 = \tfrac {81}{16}\). Estraendo: \(x = \pm \sqrt [4]{\tfrac {81}{16}} = \pm \dfrac {3}{2}\). Due soluzioni reali.

(Curiosità: questo si può anche risolvere riconoscendo \((2x)^4 - 3^4\) e usando la differenza di quadrati doppia: \(16x^4 - 81 = (4x^2-9)(4x^2+9)\). Da \(4x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm \tfrac {3}{2}\); da \(4x^2+9=0\) nessuna soluzione reale.)

Esempio 51.9 — Biquadratica completa

Risolvere \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).

Soluzione. \(y^2 - 5y + 4 = 0\). \(\Delta = 25-16=9\). \(y_{1,2} = \tfrac {5\pm 3}{2}\), cioè \(y_1=1, y_2=4\). \(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\); \(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Quattro soluzioni: \(\{-2,-1,1,2\}\).

Esempio 51.10 — Trinomia con sostituzione \(y=x^3\)

Risolvere \(x^6 + 7x^3 - 8 = 0\).

Soluzione. \(y^2 + 7y - 8 = 0\), \(\Delta = 49+32 = 81\), \(y = \tfrac {-7\pm 9}{2}\): \(y_1 = 1\), \(y_2 = -8\).

Soluzioni: \(x\in \{-2, 1\}\).

Esempio 51.11 — Sostituzione astuta

Risolvere \(x^4 - 2x^2 - 3 = 0\) e indicare le radici sulla retta reale.

Soluzione. \(y^2 - 2y - 3 = 0\), \(y = \tfrac {2\pm \sqrt {4+12}}{2} = \tfrac {2\pm 4}{2}\): \(y_1 = 3\), \(y_2 = -1\).

Soluzioni: \(x = \pm \sqrt {3}\approx \pm 1{,}732\). Sulla retta reale sono due punti simmetrici rispetto all’origine.

Esempio 51.12 — Sostituzione con radicale

Risolvere \(x - 3\sqrt {x} + 2 = 0\) (con \(x\ge 0\)).

Soluzione. Poniamo \(y = \sqrt {x}\) (con \(y\ge 0\)): l’equazione diventa \(y^2 - 3y + 2 = 0\). \(y = \tfrac {3\pm 1}{2}\): \(y_1 = 1\), \(y_2 = 2\).

Soluzioni: \(x\in \{1, 4\}\). Verifica: \(1 - 3 + 2 = 0\), \(4 - 6 + 2 = 0\). \(\checkmark\)

Esempio 51.13 — Equazione di quarto grado riconducibile

Risolvere \((x^2 - 4)^2 = 9\).

Soluzione. \(x^2 - 4 = \pm 3\), cioè \(x^2 = 7\) oppure \(x^2 = 1\). Da \(x^2=7 \Rightarrow x = \pm \sqrt {7}\); da \(x^2=1 \Rightarrow x = \pm 1\). Soluzioni: \(\{-\sqrt {7}, -1, 1, \sqrt {7}\}\).

In alternativa: \((x^2-4)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x^2-4-3)(x^2-4+3) = 0 \Rightarrow (x^2-7)(x^2-1) = 0\). Stesso risultato.

51.7 Esercizi proposti

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Esercizio 51.1

1.
Risolvi le equazioni binomie: (a) \(x^3 = 27\); (b) \(x^4 = 81\); (c) \(x^5 + 1 = 0\); (d) \(2x^3 + 16 = 0\); (e) \(x^6 = 64\).
2.
Risolvi le equazioni biquadratiche: (a) \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\); (b) \(x^4 - 8x^2 + 16 = 0\) (occhio al discriminante!); (c) \(4x^4 - 17x^2 + 4 = 0\); (d) \(x^4 + 5x^2 + 4 = 0\); (e) \(9x^4 - 13x^2 + 4 = 0\).
3.
Risolvi le equazioni trinomie (con sostituzione \(y = x^n\)): (a) \(x^6 - 7x^3 - 8 = 0\); (b) \(x^6 - 19x^3 - 216 = 0\); (c) \(x^8 - 5x^4 + 4 = 0\).
4.
Risolvi per sostituzione (individuando \(y = E(x)\) opportuno): (a) \((x^2-3)^2 - 4(x^2-3) + 3 = 0\); (b) \(\left (\dfrac {1}{x}\right )^2 - 5\cdot \dfrac {1}{x} + 6 = 0\) (\(x\neq 0\)); (c) \(x - 5\sqrt {x} + 6 = 0\) (\(x\ge 0\)).
5.
Riduci a forma binomia o biquadratica e risolvi: (a) \(x^4 = 16\); (b) \((x^2 + 1)^2 = 4\); (c) \(\left (\dfrac {x}{2}\right )^4 = 1\).
6.
Quanti zeri reali ha l’equazione \(x^4 + ax^2 + b = 0\) in funzione dei segni di \(a\) e \(b\)? Scrivi una tabella con i quattro casi.
7.
Risolvi \(x^4 = 1\). Quante soluzioni reali? Quante complesse (cenno, capitolo 121)?
8.
Problema: Per quali \(k\) l’equazione \(x^4 - 2kx^2 + (k-1) = 0\) ha esattamente \(4\) soluzioni reali distinte? (Suggerimento: condizioni su discriminante e segni di \(y_1, y_2\).)
9.
(Discussione.) Mostra con un esempio numerico che, anche se un’equazione di quarto grado ha tutti i coefficienti reali, può non avere alcuna soluzione reale ed averne quattro complesse. Discutere l’analogia con il caso del secondo grado con \(\Delta <0\).

51.8 Riepilogo del capitolo

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