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Capitolo 50
Relazioni tra radici e coefficienti e Viète

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Tutto ciò che si può dire sulle radici di un’equazione è già scritto, in forma cifrata, nei suoi coefficienti: basta saperlo leggere.”

— adattamento da François Viète, De aequationum recognitione et emendatione (1615)

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50.1 Introduzione motivazionale

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Risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare le sue radici \(x_1, x_2\). Ma in molti problemi non ci interessa il valore preciso di ciascuna radice: ci interessano combinazioni di esse — la loro somma, il loro prodotto, la somma dei loro quadrati, eccetera. Una scoperta sorprendente del matematico francese François Viète (xvi secolo) è che queste combinazioni si leggono direttamente dai coefficienti dell’equazione, senza bisogno di risolverla.

Le formule di Viète per il secondo grado sono semplicissime: se \(x_1\) e \(x_2\) sono le radici di \(ax^2+bx+c=0\), allora

\[ x_1 + x_2 = -\dfrac {b}{a}, \qquad x_1\cdot x_2 = \dfrac {c}{a}. \]

In particolare, due numeri di cui conosciamo la somma \(s\) e il prodotto \(p\) sono le radici dell’equazione \(x^2 - s\,x + p = 0\). È un risultato che si presta a innumerevoli applicazioni: ricostruire un’equazione data una coppia di radici, scomporre rapidamente un trinomio di secondo grado, trovare la seconda radice conoscendone una, valutare funzioni simmetriche delle radici (somma dei quadrati, dei reciproci, ecc.).

In questo capitolo presentiamo le formule di Viète con la loro dimostrazione, le tecniche applicative, e diamo un cenno alla loro generalizzazione ai polinomi di grado superiore (di cui le formule di Viète per il secondo grado sono il caso più semplice).

50.2 Somma e prodotto delle radici

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Teorema 50.1 — Formule di Viète per il secondo grado

Sia \(ax^2+bx+c=0\) una equazione di secondo grado (con \(a\neq 0\)), con discriminante \(\Delta \ge 0\) e radici \(x_1, x_2\). Allora:

\[ x_1 + x_2 = -\dfrac {b}{a}, \qquad x_1\cdot x_2 = \dfrac {c}{a}. \]
\[ s = x_1 + x_2 = -\dfrac {b}{a}, \qquad p = x_1\cdot x_2 = \dfrac {c}{a}. \]

Dimostrazione. Dalla formula risolutiva \(x_{1,2} = \dfrac {-b\pm \sqrt {\Delta }}{2a}\):

\begin{align*} x_1 + x_2 &= \dfrac {-b-\sqrt {\Delta }}{2a} + \dfrac {-b+\sqrt {\Delta }}{2a} = \dfrac {-2b}{2a} = -\dfrac {b}{a};\\ x_1\cdot x_2 &= \dfrac {(-b-\sqrt {\Delta })(-b+\sqrt {\Delta })}{4a^2} = \dfrac {b^2 - \Delta }{4a^2} = \dfrac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \dfrac {4ac}{4a^2} = \dfrac {c}{a}. \end{align*}

Esempio 50.1 — Verifica diretta

Per \(x^2-5x+6=0\) abbiamo \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\). Le radici (per il capitolo precedente) sono \(x_1=2\), \(x_2=3\). Verifica:

\[ s = 2+3 = 5 = -\dfrac {-5}{1} = -\dfrac {b}{a},\quad p = 2\cdot 3 = 6 = \dfrac {6}{1} = \dfrac {c}{a}. \checkmark \]

Nota  — Caso \(a=1\) (equazione normalizzata)

Se l’equazione è già scritta con coefficiente direttivo \(1\), \(x^2 + b'x + c' = 0\), le formule si semplificano:

\[ s = -b', \qquad p = c'. \]

Il termine di primo grado è l’opposto della somma, il termine noto è il prodotto. Sono i due numeri da cercare per la classica scomposizione “\(x^2 + b'x + c'\)”.

50.3 Scomposizione del trinomio di 2° grado

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Teorema 50.2 — Scomposizione

Se \(ax^2+bx+c\) ha radici reali \(x_1, x_2\), allora

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). \]

Se \(\Delta <0\), il trinomio è irriducibile in \(\mathbb{R} \) (non si scompone in fattori lineari reali).

Dimostrazione. Sviluppando \(a(x-x_1)(x-x_2)\):

\[ a\bigl (x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 x_2\bigr ) = a\,x^2 - a(x_1+x_2)\,x + a(x_1 x_2). \]

Per le formule di Viète, \(a(x_1+x_2) = a\cdot (-b/a) = -b\) e \(a(x_1 x_2) = a\cdot (c/a) = c\). Sostituendo:

\[ a\,x^2 + b\,x + c. \]

Procedura  — Scomporre velocemente \(x^2 + sx + p\)

Per scomporre \(x^2 + sx + p\) con \(s, p\in \mathbb{Z} \) (caso \(a=1\)):

1.
Si cercano due numeri \(r_1, r_2\in \mathbb{Z} \) tali che \(r_1+r_2 = s\) e \(r_1\cdot r_2 = p\). (Equivalente: si guardano i divisori di \(p\).)
2.
Se esistono, si scompone: \(x^2+sx+p = (x-r_1)(x-r_2)\) con \(r_1 = -x_1\), \(r_2 = -x_2\) — attenzione al segno: nel formato \((x-x_i)\) il segno nella scomposizione cambia.

Quando \(p\) è positivo, i due numeri hanno lo stesso segno; quando \(p\) è negativo, segni opposti.

Esempio 50.2 — Scomposizione veloce

Scomporre \(x^2 + 7x + 12\).

Soluzione. Cerchiamo due numeri con somma \(-7\) (perché \(s=7\Rightarrow x_1+x_2 = -7\)) e prodotto \(12\). Sono \(-3\) e \(-4\). Quindi le radici sono \(x_1=-3\), \(x_2=-4\):

\[ x^2 + 7x + 12 = (x-(-3))(x-(-4)) = (x+3)(x+4). \]

Esempio 50.3 — Coefficiente direttivo \(\neq 1\)

Scomporre \(2x^2 + 5x - 3\).

Soluzione. \(a=2\), \(b=5\), \(c=-3\). Calcoliamo le radici con la formula: \(\Delta = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt {\Delta }=7\). \(x_{1,2} = \tfrac {-5\pm 7}{4}\), da cui \(x_1 = \tfrac {1}{2}\), \(x_2 = -3\). Allora:

\[ 2x^2 + 5x - 3 = 2\left (x - \dfrac {1}{2}\right )(x + 3) = (2x - 1)(x + 3). \]

50.4 Determinazione delle radici noti somma e prodotto

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Teorema 50.3 — Equazione data somma e prodotto

Due numeri \(x_1, x_2\) con somma \(s\) e prodotto \(p\) sono le radici dell’equazione

\[ x^2 - s\,x + p = 0. \]

Dimostrazione. Dalle formule di Viète: \(x_1+x_2 = s = -b/1\), \(x_1 x_2 = p = c/1\). Quindi \(b=-s\), \(c=p\), e l’equazione \(x^2+bx+c=0\) diventa \(x^2 - s x + p = 0\).

Nota  — Esistenza

L’equazione \(x^2 - sx + p = 0\) ammette soluzioni reali se e solo se \(\Delta = s^2 - 4p \ge 0\). Se \(s^2 < 4p\), non esistono due numeri reali con somma \(s\) e prodotto \(p\). Esempio: cercare due numeri reali di somma \(0\) e prodotto \(1\) è impossibile; servirebbe \(i\) e \(-i\) (capitolo 88).

Esempio 50.4 — Costruire un’equazione

Trovare l’equazione di secondo grado con radici \(4\) e \(-7\).

Soluzione. \(s = 4 + (-7) = -3\), \(p = 4\cdot (-7) = -28\). Equazione: \(x^2 - (-3)x + (-28) = 0\), cioè

\[ x^2 + 3x - 28 = 0. \]

Verifica: \(\Delta = 9 + 112 = 121 = 11^2\). Soluzioni: \(x = \tfrac {-3\pm 11}{2}\), cioè \(4\) e \(-7\). \(\checkmark\)

Esempio 50.5 — Problema di età

Trovare due numeri di somma \(20\) e prodotto \(96\).

Soluzione. L’equazione è \(x^2 - 20x + 96 = 0\). \(\Delta = 400 - 384 = 16\), \(\sqrt {\Delta }=4\). Soluzioni: \(x = \tfrac {20\pm 4}{2}\), cioè \(12\) e \(8\). Verifica: \(12 + 8 = 20\), \(12\cdot 8 = 96\). \(\checkmark\)

Esempio 50.6 — Conoscere una radice e trovare l’altra

Sapendo che una radice di \(3x^2 + 7x + c = 0\) è \(x_1 = -1\), determinare \(c\) e l’altra radice \(x_2\).

Soluzione. Per Viète, \(x_1 + x_2 = -\tfrac {7}{3}\), da cui \(x_2 = -\tfrac {7}{3} - (-1) = -\tfrac {4}{3}\). Inoltre \(x_1 x_2 = \tfrac {c}{3}\), dunque \(c = 3 x_1 x_2 = 3\cdot (-1)\cdot (-\tfrac {4}{3}) = 4\). L’equazione è \(3x^2+7x+4=0\).

(Verifica: sostituendo \(x_1=-1\): \(3-7+4=0\). \(\checkmark\))

50.5 Funzioni simmetriche delle radici

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Le formule di Viète permettono di calcolare molte combinazioni delle radici senza risolvere l’equazione.

Teorema 50.4 — Funzioni simmetriche notevoli

Siano \(x_1, x_2\) le radici di \(ax^2+bx+c=0\). Allora, con \(s=-b/a\), \(p=c/a\):

Dimostrazione (per \(x_1^2+x_2^2\)). Si parte dall’identità algebrica \((x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2\), da cui \(x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = s^2 - 2p\). Le altre formule si dimostrano analogamente.

Esempio 50.7

Sia \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Calcolare \(x_1^2+x_2^2\) senza risolvere.

Soluzione. \(s = 5\), \(p = 4\). \(x_1^2+x_2^2 = s^2 - 2p = 25 - 8 = 17\).

(Verifica: \(x_1=1\), \(x_2=4\); \(1+16=17\). \(\checkmark\))

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Figura 50.1: Diagramma del legame tra equazione di secondo grado, formule di Viète (\(s\), \(p\)) e radici. Si può andare in entrambe le direzioni: dall’equazione alle radici (tramite la formula risolutiva), e dalle radici (o solo da \(s\) e \(p\)) all’equazione (tramite \(x^2-sx+p=0\)).

50.6 Regola dei segni di Cartesio

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Dalle formule di Viète si possono dedurre informazioni sul segno delle radici, anche senza conoscerne il valore preciso.

Teorema 50.5 — Segno delle radici reali

Sia \(ax^2+bx+c=0\) con \(\Delta \ge 0\) e radici \(x_1, x_2\).

Nota  — Versione operativa: regola dei segni

Dato \(ax^2+bx+c=0\) con \(\Delta \ge 0\), si guardano i segni di \(a, b, c\) (senza calcolare le radici):

È una regola pratica: contando permanenze e variazioni, si conosce il numero di radici positive e negative.

Esempio 50.8

\(x^2 - 5x + 6 = 0\): segni \(+, -, +\). Variazione (++ \(\to \) -), variazione (\(-\) \(\to \) +): due variazioni, due radici positive. (Sono infatti \(2\) e \(3\).)

\(x^2 + 5x + 6 = 0\): segni \(+, +, +\). Due permanenze, due radici negative. (Sono infatti \(-2\) e \(-3\).)

\(x^2 + x - 6 = 0\): segni \(+, +, -\). Permanenza ++, variazione \(+\to -\): una positiva, una negativa. (Sono \(2\) e \(-3\).)

Cenno alla generalizzazione

Le formule di Viète si estendono a polinomi di grado qualunque. Per il polinomio

\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 \]

con radici \(x_1, \ldots , x_n\) (possibilmente complesse), si ha:

\[ \sum x_i = -\dfrac {a_{n-1}}{a_n},\qquad \sum _{i<j} x_i x_j = \dfrac {a_{n-2}}{a_n},\qquad \cdots ,\qquad \prod x_i = (-1)^n\,\dfrac {a_0}{a_n}. \]

Per esempio, per un’equazione di terzo grado \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) con radici \(x_1, x_2, x_3\):

\[ x_1+x_2+x_3 = -\dfrac {b}{a},\quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac {c}{a},\quad x_1 x_2 x_3 = -\dfrac {d}{a}. \]

Sono dette funzioni simmetriche elementari. Approfondimenti in eventuale corso di algebra superiore.

50.7 Esempi svolti

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Esempio 50.9 — Costruire l’equazione date le radici

Trovare l’equazione di secondo grado con radici \(-2\) e \(5\).

Soluzione. \(s = -2+5 = 3\), \(p = -2\cdot 5 = -10\). Equazione: \(x^2 - 3x - 10 = 0\).

Esempio 50.10 — Costruire l’equazione date radici irrazionali

Trovare l’equazione (a coefficienti razionali) con radici \(2+\sqrt {3}\) e \(2-\sqrt {3}\).

Soluzione. \(s = (2+\sqrt {3})+(2-\sqrt {3}) = 4\); \(p = (2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3}) = 4 - 3 = 1\). Equazione: \(x^2 - 4x + 1 = 0\).

(È una proprietà generale: le radici irrazionali coniugate \(a\pm \sqrt {b}\) producono un’equazione a coefficienti razionali, dato che \(s\) e \(p\) si semplificano in razionali.)

Esempio 50.11 — Calcolare una funzione simmetrica

Per l’equazione \(2x^2 - 7x + 3 = 0\), calcolare \(\dfrac {1}{x_1} + \dfrac {1}{x_2}\) senza risolvere.

Soluzione. \(s = 7/2\), \(p = 3/2\). Allora \(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2} = \dfrac {s}{p} = \dfrac {7/2}{3/2} = \dfrac {7}{3}\).

Esempio 50.12 — Seconda radice nota la prima

Per l’equazione \(x^2 + 4x - 21 = 0\) una soluzione è \(x_1 = 3\). Trovare \(x_2\).

Soluzione. Da \(s = -4\): \(x_2 = -4 - 3 = -7\). Verifica con il prodotto: \(x_1 x_2 = 3\cdot (-7) = -21 = c/a = -21/1\). \(\checkmark\)

Esempio 50.13 — Regola dei segni

Determinare il segno delle radici di \(3x^2 - 14x + 8 = 0\) senza calcolarle.

Soluzione. \(\Delta = 196 - 96 = 100 > 0\), dunque due radici reali. Segni dei coefficienti: \(+, -, +\). Due variazioni \(\Rightarrow \) entrambe positive. (Verifica: \(\sqrt {\Delta }=10\), \(x = \tfrac {14\pm 10}{6}\), cioè \(4\) e \(2/3\), entrambe positive.)

Esempio 50.14 — Funzione simmetrica più complessa

Per \(x^2 - 3x - 1 = 0\), calcolare \(x_1^3 + x_2^3\) senza risolvere.

Soluzione. \(s = 3\), \(p = -1\). Allora \(x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3sp = 27 - 3\cdot 3\cdot (-1) = 27 + 9 = 36\).

50.8 Esercizi proposti

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Esercizio 50.1

1.
Verifica le formule di Viète per le seguenti equazioni risolvendole prima e poi calcolando \(s\) e \(p\) dai coefficienti: (a) \(x^2 - 8x + 15 = 0\); (b) \(2x^2 - 3x - 2 = 0\); (c) \(x^2 + x - 12 = 0\).
2.
Scomponi rapidamente (cercando due numeri con somma e prodotto opportuni): (a) \(x^2 + 9x + 20\); (b) \(x^2 - 6x + 8\); (c) \(x^2 + x - 30\); (d) \(x^2 - 11x + 30\).
3.
Costruisci l’equazione di secondo grado a coefficienti interi (o razionali) con le radici date: (a) \(3\) e \(-1\); (b) \(0\) e \(5\); (c) \(\dfrac {1}{2}\) e \(-\dfrac {2}{3}\); (d) \(1+\sqrt {2}\) e \(1-\sqrt {2}\).
4.
Per ciascuna equazione, calcola le funzioni simmetriche indicate senza risolverla: (a) \(x^2 - 6x + 5 = 0\): calcola \(x_1^2 + x_2^2\); (b) \(2x^2 + 7x - 3 = 0\): calcola \(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}\); (c) \(x^2 + 4x - 2 = 0\): calcola \(x_1^3 + x_2^3\); (d) \(x^2 - 5x + 6 = 0\): calcola \(x_1^2\cdot x_2 + x_1\cdot x_2^2\) (suggerimento: raccogli).
5.
Sapendo che una radice è quella indicata, trova l’altra (e \(c\), se ignoto): (a) \(x^2 + 5x + c = 0\), \(x_1 = -2\); (b) \(2x^2 + bx + 6 = 0\), \(x_1 = 1\); (c) \(x^2 - 4x + c = 0\), \(x_1 = 3\).
6.
Determina il segno delle radici di: (a) \(x^2 + 5x + 6 = 0\); (b) \(x^2 - 7x + 10 = 0\); (c) \(x^2 + 2x - 8 = 0\); (d) \(-x^2 + 3x + 4 = 0\) (suggerimento: cambia segno per ridurla alla forma standard).
7.
Per quali valori del parametro \(k\) l’equazione \(x^2 - (k+1)x + k = 0\) ha due radici di segno opposto?
8.
Trova due numeri sapendo che la loro somma è \(11\) e il prodotto è \(24\). (Imposta un’equazione di secondo grado e risolvila.)
9.
(Discussione.) Generalizzazione: per un’equazione di terzo grado con radici \(x_1, x_2, x_3\), scrivi \(x_1+x_2+x_3\), \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3\) e \(x_1 x_2 x_3\) in funzione dei coefficienti di \(ax^3+bx^2+cx+d=0\). (Suggerimento: sviluppa \(a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\).)

50.9 Riepilogo del capitolo

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