“
Dopo aver scritto l’equazione e averla ridotta alla forma più semplice possibile, si applichi la regola: la metà
del coefficiente di \(x\), presa di segno opposto, più o meno la radice quadrata del quadrato di quella metà
diminuita del termine noto.”
— adattamento da Bhaskara II, Bijaganita (1150)
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Nei capitoli precedenti abbiamo imparato a risolvere equazioni di primo grado (capitolo 21): l’incognita \(x\) compare con esponente \(1\), e c’è sempre un’unica soluzione (a parte i casi degeneri impossibile/indeterminato). Ora facciamo il passo successivo: il secondo grado, in cui \(x\) compare al quadrato.
Le equazioni di secondo grado sono ovunque: il moto di un proiettile genera un’equazione di secondo grado in \(t\) (capitolo del libro di fisica sulla cinematica); l’intersezione di una retta con una parabola dà un’equazione di secondo grado in \(x\); molti problemi di geometria piana, di economia, di chimica si riconducono a quadratiche.
La storia della formula risolutiva è lunga oltre quattro millenni: tavolette babilonesi del ii millennio a.C. contengono già metodi geometrici per risolvere “il quadrato e dieci volte il lato fanno trentanove”; gli indiani Brahmagupta (628 d.C.) e Bhaskara (1150) ne danno una formulazione algebrica esplicita; gli arabi al-Khwarizmi (820) la sistemano nel “Compendio sull’algebra” (da cui il nome). La formula moderna \(x = \tfrac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\) è del Rinascimento europeo (Cardano, Bombelli, Tartaglia).
In questo capitolo studiamo: casi particolari (pure, spurie, monomie); la formula risolutiva generale con il discriminante \(\Delta = b^2-4ac\), che classifica il numero di soluzioni; la formula ridotta per il caso \(b\) pari; la scomposizione di un trinomio di secondo grado; e alcuni problemi applicativi. Nel capitolo 50 approfondiremo le relazioni tra radici e coefficienti (formule di Viète).
Definizione 49.1 — Equazione di secondo grado
Si chiama equazione di secondo grado in una incognita \(x\) ogni equazione che, ridotta a forma normale (capitolo 21), si scriva come
Il numero \(a\) si chiama coefficiente quadratico, \(b\) lineare, \(c\) termine noto. La condizione \(a\neq 0\) è indispensabile: se \(a=0\) l’equazione degenera in una di primo grado.
A seconda dei valori di \(b\) e \(c\), si distinguono casi notevoli più facili da risolvere.
\(\;\;ax^2+c=0 \iff x^2 = -\dfrac {c}{a}\).
Esempio 49.1
\(3x^2-12=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2\). Due soluzioni opposte.
\(2x^2+5=0 \Rightarrow x^2=-\tfrac {5}{2}\), impossibile in \(\mathbb{R} \).
\(\;\;ax^2+bx=0 \iff x(ax+b)=0\). Per la legge di annullamento del prodotto:
Sempre due soluzioni reali, una delle quali è \(0\).
Esempio 49.2
\(2x^2-6x=0 \iff 2x(x-3)=0 \Rightarrow x=0\ \lor \ x=3\).
\(\;\;ax^2=0 \iff x^2=0 \iff x=0\) (soluzione doppia).
Teorema 49.1 — Formula risolutiva
L’equazione \(ax^2+bx+c=0\) (con \(a\neq 0\)) ha soluzioni date dalla formula risolutiva:
La quantità \(\Delta = b^2 - 4ac\) si chiama discriminante.
Dimostrazione (completamento del quadrato). Partiamo da \(ax^2+bx+c=0\) e dividiamo per \(a\):
“Completiamo il quadrato” a sinistra aggiungendo e sottraendo \(\bigl (\tfrac {b}{2a}\bigr )^2\):
Se \(\Delta \ge 0\), possiamo estrarre la radice:
da cui \(x = \dfrac {-b\pm \sqrt {\Delta }}{2a}\). Se \(\Delta <0\), il quadrato a sinistra dovrebbe essere negativo: impossibile in \(\mathbb{R} \).
Il segno del discriminante \(\Delta = b^2-4ac\) determina quante soluzioni reali ha l’equazione.
Teorema 49.2 — Classificazione delle soluzioni
Considerata \(ax^2+bx+c=0\) con \(a\neq 0\):
Nota — Lettura grafica del discriminante
L’equazione \(ax^2+bx+c=0\) corrisponde geometricamente alla ricerca delle ascisse dei punti di intersezione della parabola \(y = ax^2+bx+c\) con l’asse \(x\) (cfr. capitolo 74). I tre casi del discriminante corrispondono a:
Quando il coefficiente \(b\) è pari, conviene una formula ridotta che evita di trascinarsi un \(4\) nel discriminante.
Teorema 49.3 — Formula ridotta
Se \(b = 2k\) (cioè \(b\) è pari, e poniamo \(k = b/2\)), allora
con discriminante ridotto \(\Delta /4 = k^2 - ac\).
Dimostrazione. Sostituendo \(b=2k\) in \(\Delta = b^2-4ac = 4k^2 - 4ac = 4(k^2-ac)\). Allora \(\sqrt {\Delta } = 2\sqrt {k^2-ac}\), e la formula generale dà
Esempio 49.3 — Quando conviene la ridotta
\(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(a=1\), \(b=-6\) (pari, \(k=-3\)), \(c=5\). \(\Delta /4 = 9 - 5 = 4\). Soluzioni:
Teorema 49.4 — Scomposizione
Se l’equazione \(ax^2+bx+c=0\) (con \(a\neq 0\)) ha due radici reali \(x_1, x_2\) (anche coincidenti), allora
Se \(\Delta <0\), il trinomio è irriducibile in \(\mathbb{R} \).
Dimostrazione. Sviluppando: \(a(x-x_1)(x-x_2) = a\,x^2 - a(x_1+x_2)\,x + a\,x_1 x_2\). Usando le relazioni \(x_1+x_2 = -b/a\) e \(x_1 x_2 = c/a\) (relazioni di Viète, capitolo 50), si ottiene \(ax^2+bx+c\).
Esempio 49.4
\(2x^2 - 10x + 12 = 0\): \(\Delta = 100-96 = 4\), \(\sqrt {\Delta }=2\). Soluzioni \(x_{1,2} = \tfrac {10\pm 2}{4}\), ovvero \(x_1=2\), \(x_2=3\). Scomposizione:
Verifica: \(2(x-2)(x-3) = 2(x^2-5x+6) = 2x^2-10x+12\). \(\checkmark\)
Procedura — Risolvere un problema con un’equazione di secondo grado
Esempio 49.5 — Area di un rettangolo
Un rettangolo ha base maggiore dell’altezza di \(3\,{\mathrm{m} }\) e area \(40\,{\mathrm{m}^{2} }\). Trova le sue dimensioni.
Soluzione. Sia \(h\) l’altezza in metri (\(h>0\)). La base è \(h+3\), l’area è
\(\Delta = 9 + 160 = 169\), \(\sqrt {\Delta }=13\). Soluzioni \(h = \tfrac {-3\pm 13}{2}\): \(h_1 = 5\), \(h_2 = -8\) (scartata). Altezza \(h=5\,{\mathrm{m} }\), base \(8\,{\mathrm{m} }\). Verifica: \(5\cdot 8 = 40\). \(\checkmark\)
Esempio 49.6 — Età sconosciuta
Due fratelli hanno età che differiscono di \(4\) anni; il prodotto delle loro età è \(60\). Quanti anni hanno?
Soluzione. Sia \(x\) l’età del minore (\(x>0\)). Allora il maggiore ha \(x+4\) anni, e
\(\Delta /4 = 4 + 60 = 64\), \(\sqrt {\Delta /4} = 8\). \(x = -2\pm 8\): \(x_1 = 6\), \(x_2 = -10\) (scartata). Il minore ha \(6\) anni, il maggiore \(10\). Verifica: \(6\cdot 10 = 60\). \(\checkmark\)
Esempio 49.7 — Equazione completa, \(\Delta >0\)
Risolvere \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
Soluzione. \(\Delta = 25 - 24 = 1\), \(\sqrt {\Delta }=1\). Soluzioni: \(x = \tfrac {5\pm 1}{2}\), cioè \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). (Si poteva anche notare “due numeri di somma \(5\) e prodotto \(6\)”: \(2\) e \(3\).)
Esempio 49.8 — Equazione con \(\Delta =0\)
Risolvere \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Soluzione. \(\Delta = 144 - 144 = 0\). Unica soluzione doppia: \(x = \tfrac {12}{8} = \tfrac {3}{2}\). (Si poteva anche riconoscere il quadrato del binomio: \(4x^2-12x+9 = (2x-3)^2\), e \((2x-3)^2=0 \Rightarrow x=3/2\).)
Esempio 49.9 — Equazione con \(\Delta <0\)
Risolvere \(x^2 + x + 1 = 0\).
Soluzione. \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\). Nessuna soluzione reale.
Esempio 49.10 — Equazione pura
Risolvere \(5x^2 - 45 = 0\).
Soluzione. \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).
Esempio 49.11 — Equazione spuria
Risolvere \(3x^2 + 5x = 0\).
Soluzione. \(x(3x+5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0\), \(x_2 = -\tfrac {5}{3}\).
Esempio 49.12 — Da un’equazione non in forma normale
Risolvere \((x-1)(x+2) = 4\).
Soluzione. Sviluppando: \(x^2+x-2 = 4 \iff x^2+x-6 = 0\). \(\Delta = 1+24 = 25\), \(\sqrt {\Delta }=5\). Soluzioni: \(x = \tfrac {-1\pm 5}{2}\): \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\).
Esempio 49.13 — Scomposizione tramite radici
Scomporre il trinomio \(3x^2 - 8x + 4\).
Soluzione. Risolviamo \(3x^2-8x+4=0\): \(\Delta /4 = 16 - 12 = 4\), \(\sqrt {\Delta /4} = 2\). Soluzioni \(x = \tfrac {4\pm 2}{3}\): \(x_1 = \tfrac {2}{3}\), \(x_2 = 2\). Allora:
Esercizio 49.1
Riepilogo
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