Due insiemi possono dirsi della stessa potenza quando esiste fra di essi una corrispondenza biunivoca: i
biiettivi sono la chiave per misurare gli infiniti.”
— adattamento da Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1895)
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto le funzioni e i tre insiemi che le definiscono
(dominio, codominio, immagine). Ora le classifichiamo secondo come si distribuiscono le frecce
dal dominio al codominio: ogni elemento di \(B\) è raggiunto? Ogni elemento di \(A\) va in un \(y\)
diverso? Le risposte a queste domande definiscono i concetti di funzione iniettiva, suriettiva,
biiettiva.
Queste proprietà non sono curiosità: hanno conseguenze profonde. Una funzione biiettiva si può
“invertire”: esiste una nuova funzione, \(f^{-1}\), che riporta indietro ciò che \(f\) aveva trasformato. Le coppie
funzione/inversa sono fra le strutture più importanti della matematica: \(x^n\) e \(\sqrt [n]{x}\), \(a^x\) e \(\log _a x\), \(\operatorname{sen} x\) e \(\operatorname{arcsen} x\). Studieremo
queste funzioni elementari nei capitoli 68, 81, 98.
Concluderemo il capitolo con la composizione di funzioni, l’operazione che “incatena” più
trasformazioni e che è il fondamento di tutta l’analisi: senza composizione non avremmo regola
della catena per la derivata (capitolo 135), né funzioni composte da studiare.
In parole: nessun elemento di \(B\) “riceve” più di una freccia.
Esempio 45.1
\(f(x) = 3x+1\) definita su \(\mathbb{R} \) è iniettiva: se \(3x_1+1=3x_2+1\) allora \(3x_1=3x_2\), quindi \(x_1=x_2\).
\(f(x) = x^2\) definita su \(\mathbb{R} \) non è iniettiva: \(f(2)=f(-2)=4\), ma \(2\neq -2\).
\(f(x) = x^2\) definita su \([0,+\infty )\) è iniettiva: in quel dominio l’unico “preimmagine” di \(y\) è \(\sqrt {y}\). Restringere il
dominio può rendere iniettiva una funzione che non lo è.
\(f(x) = x^3\) è iniettiva su \(\mathbb{R} \): il cubo è strettamente crescente.
Teorema 45.1 — Test della retta orizzontale
Una funzione \(f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al più
in un punto.
Dimostrazione. L’iniettività dice che a ogni valore \(y_0\in \mathbb{R} \) corrisponde al massimo un \(x_0\in D\) con \(f(x_0)=y_0\).
Equivalente: la retta \(y=y_0\) tocca il grafico al più in un punto.
Figura 45.1: Test della retta orizzontale. A sinistra, \(y=x^3\) è iniettiva: ogni orizzontale tocca il
grafico in un solo punto. A destra, \(y=x^2\) non lo è: la retta \(y=1\) tocca la parabola in due punti, \(x=1\) e \(x=-1\), che
producono entrambi \(y=1\).
Nota — Iniettività e monotonia
Le funzioni strettamente monotone (sempre crescenti, oppure sempre decrescenti) sono
iniettive. È una conseguenza diretta del fatto che, se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)<f(x_2)\) (o \(f(x_1)>f(x_2)\) se decrescente), e in
entrambi i casi \(f(x_1)\neq f(x_2)\).
Il viceversa non è sempre vero: esistono funzioni iniettive non monotone (ad esempio
una funzione che è crescente su \([0,1]\) e cambia “ordine” ma rimane iniettiva). Per funzioni
continue su un intervallo, però, vale il viceversa: continua + iniettiva \(\Rightarrow \) monotona (lo
vedremo nel capitolo 131).
Una funzione \(f:A\to B\) si dice suriettiva (o onto) se ogni elemento del codominio è immagine di
almeno un elemento del dominio:
\[ \forall y\in B,\ \exists x\in A:\ f(x) = y. \]
Equivalentemente: \(\operatorname {Im}(f) = B\).
Esempio 45.2
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=2x+1\): per ogni \(y\in \mathbb{R} \), \(x=\tfrac {y-1}{2}\) è un elemento del dominio con \(f(x)=y\). Suriettiva.
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\): \(\operatorname {Im}(f)=[0,+\infty )\subsetneq \mathbb{R} \). Non suriettiva (i \(y\) negativi non sono raggiunti).
\(f:\mathbb{R} \to [0,+\infty )\), \(f(x)=x^2\) è suriettiva: ridefinire il codominio basta.
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^3\): per ogni \(y\in \mathbb{R} \), \(x=\sqrt [3]{y}\) esiste in \(\mathbb{R} \). Suriettiva.
Nota — Suriettività dipende dal codominio
scelto
Una stessa formula può essere suriettiva o no a seconda del codominio dichiarato. \(f(x)=x^2\) non
è suriettiva \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), ma è suriettiva \(\mathbb{R} \to [0,+\infty )\). Tagliare opportunamente il codominio è un modo per
rendere suriettiva qualunque funzione: basta porre \(B=\operatorname {Im}(f)\).
Una funzione \(f:A\to B\) è biiettiva (o biunivoca, o biiezione) se è contemporaneamente iniettiva
e suriettiva: a ogni \(y\in B\) corrisponde uno e un solo \(x\in A\) con \(f(x)=y\).
Esempio 45.3
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=3x+1\): iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva.
\(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\): né iniettiva, né suriettiva. Per renderla biiettiva: restringere il dominio a \([0,+\infty )\) e
ridefinire il codominio a \([0,+\infty )\). Si ottiene \(f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )\), \(f(x)=x^2\), biiettiva.
\[ f \text { biiettiva} \iff f \text { iniettiva } \land \ f \text { suriettiva}. \]
Quando una funzione è biiettiva, possiamo “percorrere le frecce all’indietro”: nasce così la
funzione inversa.
Definizione 45.4 — Funzione inversa
Sia \(f:A\to B\) una funzione biiettiva. La sua funzione inversa è la funzione \(f^{-1}:B\to A\) definita da
\[ f^{-1}(y) = x \quad \iff \quad f(x) = y. \]
Attenzione! — \(f^{-1}\) non è \(1/f\)
Il simbolo \(f^{-1}\) indica la funzione inversa di \(f\), non il suo reciproco. Cioè \(f^{-1}(x) \neq \dfrac {1}{f(x)}\) in generale. La
notazione è ambigua, ma standard: il contesto e le parentesi chiariscono il senso.
Procedura — Determinare l’inversa di una funzione \(f:A\to B\)
biiettiva
1.
Si parte dall’equazione \(y = f(x)\).
2.
Si risolve in \(x\) in funzione di \(y\) ottenendo \(x = g(y)\) per qualche espressione \(g\).
3.
Si rinomina la variabile per riportarla a \(x\): \(f^{-1}(x) = g(x)\).
Se \(f:A\to B\) è biiettiva e \(f^{-1}:B\to A\) è la sua inversa:
\((f^{-1})^{-1} = f\);
\(f(f^{-1}(y)) = y\) per ogni \(y\in B\);
\(f^{-1}(f(x)) = x\) per ogni \(x\in A\).
Teorema 45.3 — Grafico dell’inversa
Nel piano cartesiano, il grafico di \(f^{-1}\) è il simmetrico del grafico di \(f\) rispetto alla bisettrice
del primo e terzo quadrante (la retta \(y=x\)).
Dimostrazione (idea). Il punto \((x_0, y_0)\) appartiene al grafico di \(f\) se e solo se \(y_0 = f(x_0)\). Per definizione dell’inversa,
ciò equivale a \(x_0 = f^{-1}(y_0)\), cioè \((y_0, x_0)\) appartiene al grafico di \(f^{-1}\). Scambiare ascissa e ordinata corrisponde
geometricamente alla riflessione rispetto a \(y=x\).
Figura 45.2: Grafico di una funzione biiettiva \(f(x)=x^2\) ristretta a \([0,+\infty )\) e della sua inversa \(f^{-1}(x)=\sqrt {x}\). I due grafici
sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y=x\): ogni punto \((a, b)\) sul grafico di \(f\) corrisponde a un punto \((b, a)\)
sul grafico di \(f^{-1}\).
Esempio 45.5 — Inversa di una potenza
\(f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )\), \(f(x)=x^n\) (con \(n\in \mathbb{N} ^*\)). È biiettiva, e l’inversa è la radice \(n\)-esima:
\[ f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x}. \]
Per \(n=2\): parabola e radice quadrata, simmetriche rispetto a \(y=x\).
Nota — Restringere il dominio per invertire
\(f(x)=x^2\) su tutto \(\mathbb{R} \) non è biiettiva. Ma se restringiamo il dominio a \([0,+\infty )\) diventa iniettiva (e suriettiva
su \([0,+\infty )\)), quindi invertibile. Questa è una tecnica generale: per costruire la radice quadrata
di un reale negativo non si può; per costruirla di un reale positivo serve scegliere uno
solo dei due segni, e si sceglie convenzionalmente quello positivo. Riprenderemo lo stesso
ragionamento per \(\operatorname{arcsen} \), \(\arccos \), \(\operatorname{arctg} \) nel capitolo 98.
Siano \(f:A\to B\) e \(g:B\to C\) due funzioni. La funzione composta \(g\circ f\) (si legge “\(g\) composta con \(f\)” oppure “\(g\)
tondino \(f\)”) è la funzione \(g\circ f: A\to C\) definita da
\[ (g\circ f)(x) = g(f(x)). \]
Si legge “prima si applica \(f\), poi \(g\)”: l’ordine è cruciale.
Non commutativa in generale: \(g\circ f \neq f\circ g\) il più delle volte.
L’identità \(\mathrm {id}_A: A\to A\), \(\mathrm {id}_A(x)=x\), è elemento neutro: \(f\circ \mathrm {id}_A = \mathrm {id}_B\circ f = f\).
Una funzione \(f:A\to B\) è biiettiva se e solo se esiste \(g:B\to A\) tale che \(g\circ f = \mathrm {id}_A\) e \(f\circ g = \mathrm {id}_B\); in tal caso \(g = f^{-1}\).
Nota — Inversa come “cancella-funzione”
L’inversa \(f^{-1}\) è esattamente quella funzione che, composta con \(f\), dà l’identità: applica \(f\), poi
\(f^{-1}\), e torni al punto di partenza. È il motivo per cui le coppie \(a^x \leftrightarrow \log _a x\), \(\operatorname{sen} x \leftrightarrow \operatorname{arcsen} x\) sono strumenti di calcolo:
permettono di “annullare” un’operazione applicandone un’altra.
Mostrare che \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = 5x - 7\), è iniettiva.
Soluzione. Supponiamo \(f(x_1) = f(x_2)\). Allora \(5x_1 - 7 = 5x_2 - 7\), da cui \(5x_1 = 5x_2\), ossia \(x_1 = x_2\). Iniettiva.
Esempio 45.8 — Funzione non iniettiva
Mostrare che \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = x^2 - 4\), non è iniettiva, e indicare una restrizione del dominio su cui diventa
iniettiva.
Soluzione. \(f(3) = 9-4 = 5\) e \(f(-3) = 9-4 = 5\): due valori diversi danno la stessa immagine. Non iniettiva. Restringendo
il dominio a \([0,+\infty )\), \(f\) diventa strettamente crescente, dunque iniettiva.
Entrambe le composizioni danno l’identità: \(f = g^{-1}\) (e \(g = f^{-1}\)).
Esempio 45.12 — Restringere per invertire
Sia \(f(x) = x^2 - 4x + 7\). Restringere opportunamente il dominio e trovare l’inversa.
Soluzione. Completiamo il quadrato: \(f(x) = (x-2)^2 + 3\). Vertice in \((2, 3)\), parabola con la concavità verso l’alto.
Per renderla iniettiva, prendiamo il ramo \(x\ge 2\). Allora \(f:[2,+\infty )\to [3,+\infty )\) è biiettiva.
Da \(y = (x-2)^2 + 3\), con \(x\ge 2\):
\[ (x-2)^2 = y - 3 \Rightarrow x - 2 = \sqrt {y-3} \quad (\text {ramo positivo}) \Rightarrow x = 2 + \sqrt {y-3}. \]
Quindi \(f^{-1}(x) = 2 + \sqrt {x-3}\), definita per \(x\ge 3\).
Restringi il dominio per rendere biiettive le seguenti funzioni e poi trova l’inversa:
(a) \(f(x) = x^2 - 1\); (b) \(f(x) = (x-3)^2 + 4\); (c) \(f(x) = -x^2 + 6x\) (suggerimento: ramo decrescente).
4.
Per le coppie di funzioni, calcola \(g\circ f\) e \(f\circ g\) (specificando il dominio): (a) \(f(x) = 2x+1\) e \(g(x) = x^2\); (b) \(f(x) = x+3\) e \(g(x) = \sqrt {x}\); (c)
\(f(x) = \dfrac {1}{x}\) e \(g(x) = x+1\).
5.
Stabilisci se le seguenti coppie sono inverse l’una dell’altra: (a) \(f(x) = 3x - 4\) e \(g(x) = \dfrac {x+4}{3}\); (b) \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = \sqrt {x}\) (con
dominio appropriato); (c) \(f(x) = x^3 + 1\) e \(g(x) = \sqrt [3]{x-1}\).
6.
Sia \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = 2x^3 + 5\). (a) Mostra che è biiettiva. (b) Trova \(f^{-1}\). (c) Calcola \(f^{-1}(7)\), \(f^{-1}(5)\), \(f^{-1}(13)\).
7.
Verifica geometricamente: i grafici di \(f(x) = e^x\) e \(g(x) = \ln x\) sono simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = x\).
(Saranno studiati nel cap. 82.)
8.
Per la composizione, mostra che in generale \(f\circ g \neq g\circ f\): (a) calcola \(f\circ g\) e \(g\circ f\) per \(f(x)=x+2\), \(g(x)=3x\). Confronta; (b)
trova un caso particolare in cui invece \(f\circ g = g\circ f\).
9.
(Discussione.) “Tutte le funzioni \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continue e strettamente monotone sono biiettive”.
Vero o falso? Motiva, eventualmente con esempi (suggerimento: cosa cambia se
l’immagine non è tutto \(\mathbb{R} \)?).
Una funzione \(f:A\to B\) è iniettiva se \(x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\) (equivalentemente: \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)). Test grafico: ogni retta orizzontale
incontra il grafico al più in un punto.
Una funzione è suriettiva se ogni \(y\in B\) è immagine di almeno un \(x\in A\): \(\operatorname {Im}(f)=B\). La suriettività dipende
dal codominio scelto.
Una funzione biiettiva (o biiezione) è sia iniettiva che suriettiva. È invertibile.
L’inversa \(f^{-1}:B\to A\) di una funzione biiettiva \(f\) soddisfa \(f(f^{-1}(y))=y\) e \(f^{-1}(f(x))=x\). Notazione \(f^{-1}\), da non confondere con
\(1/f\).
Il grafico di \(f^{-1}\) è il simmetrico del grafico di \(f\) rispetto alla bisettrice \(y=x\).
Per invertire una funzione non biiettiva si può restringere il dominio (e/o il codominio)
finché non lo diventa.
La composizione \(g\circ f\) è definita da \((g\circ f)(x) = g(f(x))\): è associativa ma non commutativa.
L’identità \(\mathrm {id}(x)=x\) è elemento neutro per la composizione. \(f\) è biiettiva \(\iff \) esiste \(g\) con \(f\circ g = g\circ f = \mathrm {id}\), e tale \(g\) è
\(f^{-1}\).
Funzioni continue strettamente monotone su un intervallo sono iniettive (e dunque
biiettive sulla loro immagine); approfondimento nel capitolo 131.
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