“
Due insiemi possono dirsi della stessa potenza quando esiste fra di essi una corrispondenza biunivoca: i
biiettivi sono la chiave per misurare gli infiniti.”
— adattamento da Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1895)
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Nel capitolo precedente abbiamo introdotto le funzioni e i tre insiemi che le definiscono (dominio, codominio, immagine). Ora le classifichiamo secondo come si distribuiscono le frecce dal dominio al codominio: ogni elemento di \(B\) è raggiunto? Ogni elemento di \(A\) va in un \(y\) diverso? Le risposte a queste domande definiscono i concetti di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Queste proprietà non sono curiosità: hanno conseguenze profonde. Una funzione biiettiva si può “invertire”: esiste una nuova funzione, \(f^{-1}\), che riporta indietro ciò che \(f\) aveva trasformato. Le coppie funzione/inversa sono fra le strutture più importanti della matematica: \(x^n\) e \(\sqrt [n]{x}\), \(a^x\) e \(\log _a x\), \(\operatorname{sen} x\) e \(\operatorname{arcsen} x\). Studieremo queste funzioni elementari nei capitoli 68, 81, 98.
Concluderemo il capitolo con la composizione di funzioni, l’operazione che “incatena” più trasformazioni e che è il fondamento di tutta l’analisi: senza composizione non avremmo regola della catena per la derivata (capitolo 135), né funzioni composte da studiare.
Definizione 45.1 — Funzione iniettiva
Una funzione \(f:A\to B\) si dice iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte:
Equivalentemente (formulazione contropositiva, spesso più comoda da verificare):
In parole: nessun elemento di \(B\) “riceve” più di una freccia.
Esempio 45.1
Teorema 45.1 — Test della retta orizzontale
Una funzione \(f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al più in un punto.
Dimostrazione. L’iniettività dice che a ogni valore \(y_0\in \mathbb{R} \) corrisponde al massimo un \(x_0\in D\) con \(f(x_0)=y_0\). Equivalente: la retta \(y=y_0\) tocca il grafico al più in un punto.
Nota — Iniettività e monotonia
Le funzioni strettamente monotone (sempre crescenti, oppure sempre decrescenti) sono iniettive. È una conseguenza diretta del fatto che, se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)<f(x_2)\) (o \(f(x_1)>f(x_2)\) se decrescente), e in entrambi i casi \(f(x_1)\neq f(x_2)\).
Il viceversa non è sempre vero: esistono funzioni iniettive non monotone (ad esempio una funzione che è crescente su \([0,1]\) e cambia “ordine” ma rimane iniettiva). Per funzioni continue su un intervallo, però, vale il viceversa: continua + iniettiva \(\Rightarrow \) monotona (lo vedremo nel capitolo 131).
Definizione 45.2 — Funzione suriettiva
Una funzione \(f:A\to B\) si dice suriettiva (o onto) se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:
Equivalentemente: \(\operatorname {Im}(f) = B\).
Esempio 45.2
Nota — Suriettività dipende dal codominio scelto
Una stessa formula può essere suriettiva o no a seconda del codominio dichiarato. \(f(x)=x^2\) non è suriettiva \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), ma è suriettiva \(\mathbb{R} \to [0,+\infty )\). Tagliare opportunamente il codominio è un modo per rendere suriettiva qualunque funzione: basta porre \(B=\operatorname {Im}(f)\).
Definizione 45.3 — Funzione biiettiva
Una funzione \(f:A\to B\) è biiettiva (o biunivoca, o biiezione) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva: a ogni \(y\in B\) corrisponde uno e un solo \(x\in A\) con \(f(x)=y\).
Esempio 45.3
Quando una funzione è biiettiva, possiamo “percorrere le frecce all’indietro”: nasce così la funzione inversa.
Definizione 45.4 — Funzione inversa
Sia \(f:A\to B\) una funzione biiettiva. La sua funzione inversa è la funzione \(f^{-1}:B\to A\) definita da
Attenzione! — \(f^{-1}\) non è \(1/f\)
Il simbolo \(f^{-1}\) indica la funzione inversa di \(f\), non il suo reciproco. Cioè \(f^{-1}(x) \neq \dfrac {1}{f(x)}\) in generale. La notazione è ambigua, ma standard: il contesto e le parentesi chiariscono il senso.
Procedura — Determinare l’inversa di una funzione \(f:A\to B\) biiettiva
Esempio 45.4 — Inversa di una funzione lineare
Trovare l’inversa di \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = 3x + 5\).
Soluzione. \(f\) è biiettiva (è lineare strettamente crescente). Da \(y = 3x+5\) ricaviamo \(x = \tfrac {y-5}{3}\). Quindi
Verifica: \(f(f^{-1}(x)) = 3\cdot \tfrac {x-5}{3} + 5 = x-5+5 = x\). \(\checkmark\)
Teorema 45.2 — Proprietà dell’inversa
Se \(f:A\to B\) è biiettiva e \(f^{-1}:B\to A\) è la sua inversa:
Teorema 45.3 — Grafico dell’inversa
Nel piano cartesiano, il grafico di \(f^{-1}\) è il simmetrico del grafico di \(f\) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (la retta \(y=x\)).
Dimostrazione (idea). Il punto \((x_0, y_0)\) appartiene al grafico di \(f\) se e solo se \(y_0 = f(x_0)\). Per definizione dell’inversa, ciò equivale a \(x_0 = f^{-1}(y_0)\), cioè \((y_0, x_0)\) appartiene al grafico di \(f^{-1}\). Scambiare ascissa e ordinata corrisponde geometricamente alla riflessione rispetto a \(y=x\).
Esempio 45.5 — Inversa di una potenza
\(f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )\), \(f(x)=x^n\) (con \(n\in \mathbb{N} ^*\)). È biiettiva, e l’inversa è la radice \(n\)-esima:
Per \(n=2\): parabola e radice quadrata, simmetriche rispetto a \(y=x\).
Nota — Restringere il dominio per invertire
\(f(x)=x^2\) su tutto \(\mathbb{R} \) non è biiettiva. Ma se restringiamo il dominio a \([0,+\infty )\) diventa iniettiva (e suriettiva su \([0,+\infty )\)), quindi invertibile. Questa è una tecnica generale: per costruire la radice quadrata di un reale negativo non si può; per costruirla di un reale positivo serve scegliere uno solo dei due segni, e si sceglie convenzionalmente quello positivo. Riprenderemo lo stesso ragionamento per \(\operatorname{arcsen} \), \(\arccos \), \(\operatorname{arctg} \) nel capitolo 98.
Definizione 45.5 — Funzione composta
Siano \(f:A\to B\) e \(g:B\to C\) due funzioni. La funzione composta \(g\circ f\) (si legge “\(g\) composta con \(f\)” oppure “\(g\) tondino \(f\)”) è la funzione \(g\circ f: A\to C\) definita da
Si legge “prima si applica \(f\), poi \(g\)”: l’ordine è cruciale.
Esempio 45.6 — Composizione passo passo
Siano \(f(x) = x+1\) e \(g(x) = x^2\). Allora:
Le due composizioni non coincidono: \(f\circ g \neq g\circ f\) in generale. La composizione non è commutativa.
Teorema 45.4 — Proprietà della composizione
Nota — Inversa come “cancella-funzione”
L’inversa \(f^{-1}\) è esattamente quella funzione che, composta con \(f\), dà l’identità: applica \(f\), poi \(f^{-1}\), e torni al punto di partenza. È il motivo per cui le coppie \(a^x \leftrightarrow \log _a x\), \(\operatorname{sen} x \leftrightarrow \operatorname{arcsen} x\) sono strumenti di calcolo: permettono di “annullare” un’operazione applicandone un’altra.
Esempio 45.7 — Verificare iniettività
Mostrare che \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = 5x - 7\), è iniettiva.
Soluzione. Supponiamo \(f(x_1) = f(x_2)\). Allora \(5x_1 - 7 = 5x_2 - 7\), da cui \(5x_1 = 5x_2\), ossia \(x_1 = x_2\). Iniettiva.
Esempio 45.8 — Funzione non iniettiva
Mostrare che \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x) = x^2 - 4\), non è iniettiva, e indicare una restrizione del dominio su cui diventa iniettiva.
Soluzione. \(f(3) = 9-4 = 5\) e \(f(-3) = 9-4 = 5\): due valori diversi danno la stessa immagine. Non iniettiva. Restringendo il dominio a \([0,+\infty )\), \(f\) diventa strettamente crescente, dunque iniettiva.
Esempio 45.9 — Determinare l’inversa
Determinare l’inversa di \(f:\mathbb{R} \setminus \{1\}\to \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(f(x) = \dfrac {2}{x-1}\).
Soluzione. Da \(y = \dfrac {2}{x-1}\):
Quindi \(f^{-1}(x) = \dfrac {2+x}{x} = \dfrac {2}{x}+1\), definita per \(x\neq 0\).
Esempio 45.10 — Composizione
Date \(f(x) = \sqrt {x}\) (dominio \([0,+\infty )\)) e \(g(x) = x+5\), calcolare \(g\circ f\) e \(f\circ g\), specificando il dominio di ciascuna.
Soluzione.
Le due composizioni differiscono sia nell’espressione che nel dominio.
Esempio 45.11 — Verificare che due funzioni sono inverse
Verificare che \(f(x) = \dfrac {x-3}{2}\) e \(g(x) = 2x+3\) sono inverse l’una dell’altra.
Soluzione.
Entrambe le composizioni danno l’identità: \(f = g^{-1}\) (e \(g = f^{-1}\)).
Esempio 45.12 — Restringere per invertire
Sia \(f(x) = x^2 - 4x + 7\). Restringere opportunamente il dominio e trovare l’inversa.
Soluzione. Completiamo il quadrato: \(f(x) = (x-2)^2 + 3\). Vertice in \((2, 3)\), parabola con la concavità verso l’alto. Per renderla iniettiva, prendiamo il ramo \(x\ge 2\). Allora \(f:[2,+\infty )\to [3,+\infty )\) è biiettiva.
Da \(y = (x-2)^2 + 3\), con \(x\ge 2\):
Quindi \(f^{-1}(x) = 2 + \sqrt {x-3}\), definita per \(x\ge 3\).
Esercizio 45.1
Riepilogo
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