Conoscere a fondo poche funzioni elementari significa avere a disposizione l’alfabeto della matematica: con
esse, e con le loro combinazioni, si esprime quasi tutto quel che incontriamo al liceo.”
— adattamento da Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748)
Esistono infinite funzioni possibili, ma poche sono elementari, nel senso che si ottengono con
espressioni semplicissime: un termine costante, una potenza, una radice, una proporzionalità diretta
o inversa. Sono le funzioni che si incontrano fin dalla scuola media e che danno il vocabolario di
base per descrivere fenomeni: la velocità costante porta a una funzione lineare; un grave in caduta
libera segue una funzione quadratica; il rapporto \(\tfrac {1}{x}\) descrive proporzionalità inverse come legge di
Boyle dei gas.
In questo capitolo studiamo le caratteristiche delle funzioni elementari più frequenti del biennio:
lineare (o affine), di proporzionalità diretta (\(y=kx\)) e inversa (\(y=k/x\)), quadratica (la parabola), valore
assoluto. Per ognuna esamineremo dominio, immagine, grafico, simmetrie, monotonia.
Daremo poi cenni alle trasformazioni geometriche dei grafici (traslazioni, riflessioni,
dilatazioni) — strumento potentissimo per ricavare il grafico di una funzione “derivata” da una
nota.
Funzioni elementari più avanzate — esponenziale, logaritmo, goniometriche — saranno
introdotte nei capitoli dedicati: 81, 83, 95, 98.
Si chiama funzione lineare (stretto sensu) la funzione \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f(x) = m x, \]
con \(m\in \mathbb{R} \). Si chiama funzione affine (spesso anche, per esteso, “lineare” nel parlato comune)
la funzione
\[ f(x) = m x + q, \]
con \(m, q\in \mathbb{R} \). La costante \(m\) si dice coefficiente angolare (o pendenza); \(q\) si dice intercetta (o
ordinata all’origine).
Nota — Significato di \(m\) e \(q\)
\(m\) misura la velocità di variazione di \(y\) rispetto a \(x\): per ogni incremento \(\Delta x\), \(y\) aumenta di \(\Delta y = m\,\Delta x\).
Quindi \(m = \tfrac {\Delta y}{\Delta x}\).
\(q\) è il valore di \(y\) quando \(x=0\): \(f(0)=q\). È dove la retta interseca l’asse delle ordinate.
Teorema 68.1 — Caratteristiche
Per la funzione affine \(f(x)=mx+q\):
Grafico: una retta nel piano cartesiano (lo vedremo in dettaglio nel capitolo 70).
Dominio: \(\mathbb{R} \); Immagine: \(\mathbb{R} \) se \(m\neq 0\), \(\{q\}\) se \(m=0\) (caso di funzione costante).
Monotonia: strettamente crescente se \(m>0\), costante se \(m=0\), strettamente decrescente se \(m<0\).
Biiettività: \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è biiettiva se e solo se \(m\neq 0\).
Simmetria: rispetto all’origine (\(f(-x)=-f(x)\), funzione dispari).
Monotonia: strettamente decrescente su \((-\infty ,0)\) e su \((0,+\infty )\) se \(k>0\); strettamente crescente se \(k<0\).
(Attenzione: la funzione non è monotona su tutto il dominio, perché il dominio non
è connesso.)
Biiettività: \(f\) è biiettiva sul proprio dominio e \(f^{-1} = f\) stessa.
Esempio 68.2 — Boyle: pressione \(\cdot \) volume =
costante
Per un gas a temperatura costante, \(p\cdot V = k\) (legge di Boyle). Per pressione \(p\) data, \(V = \tfrac {k}{p}\): il volume è
proporzionale inversamente alla pressione. È un’iperbole nel piano \((p, V)\).
Monotonia: cambio in corrispondenza del vertice (la funzione è monotona su \((-\infty , -b/(2a)]\) e su \([-b/(2a),+\infty )\)
con direzioni opposte).
Iniettività: la funzione non è iniettiva su \(\mathbb{R} \) (per ogni \(y\) non estremo ci sono due
preimmagini, una a sinistra e una a destra del vertice).
Nota — Caso più semplice: \(y=x^2\)
La parabola di base \(y=x^2\) ha vertice nell’origine, concavità verso l’alto, asse di simmetria l’asse
\(y\). È pari: \(f(-x)=f(x)\) (lo studieremo nel capitolo 44 insieme alle altre simmetrie, e ne studieremo le
radici sistematicamente nel capitolo 49).
Simmetria: rispetto all’asse \(y\) (\(f(-x)=f(x)\), funzione pari).
Monotonia: decrescente su \((-\infty , 0]\), crescente su \([0,+\infty )\). Vertice (punto angoloso) in \((0,0)\).
Iniettività: non iniettiva su \(\mathbb{R} \) (è simmetrica). Lo è se la restringiamo a \([0,+\infty )\) (o \((-\infty ,0]\)).
Equivalente algebrico: \(|x| = \sqrt {x^2}\).
Nota — Grafico a forma di V
Il grafico è una “V” formata da due semirette uscenti dall’origine, di pendenza \(+1\) a destra
e \(-1\) a sinistra. Approfondito nelle disequazioni con valore assoluto, capitolo 25.
Figura 68.1: Le sei funzioni elementari più frequenti del biennio: lineare (\(y=2x+1\)), costante (\(y=2\)),
quadratica (\(y=x^2\)), valore assoluto (\(y=|x|\)), proporzionalità inversa (\(y=1/x\), due rami), radice quadrata (\(y=\sqrt {x}\),
definita per \(x\ge 0\)).
Conoscere le funzioni elementari permette di ricavare tantissimi altri grafici, attraverso semplici
operazioni che corrispondono a trasformazioni geometriche del piano.
Teorema 68.5 — Traslazioni
Sia \(y = f(x)\) il grafico di una funzione.
\(y = f(x) + k\): grafico traslato verticalmente di \(k\) (verso l’alto se \(k>0\), verso il basso se \(k<0\)).
\(y = f(x - h)\): grafico traslato orizzontalmente di \(h\) (verso destra se \(h>0\), verso sinistra se \(h<0\)).
Attenzione! — Segno opposto nella traslazione
orizzontale
La traslazione orizzontale è “opposta a quel che ci si aspetterebbe”: \(y = f(x-3)\) è il grafico spostato a
destra di \(3\), non a sinistra. Per ricordarlo: il punto di ascissa \(3\) del nuovo grafico corrisponde
al punto di ascissa \(0\) del vecchio (perché \(x-3 = 0\) quando \(x=3\)).
Teorema 68.6 — Riflessioni
\(y = -f(x)\): riflessione rispetto all’asse \(x\) (ogni punto \((x,y)\) va in \((x,-y)\)).
\(y = f(-x)\): riflessione rispetto all’asse \(y\) (ogni punto \((x,y)\) va in \((-x,y)\)).
Teorema 68.7 — Dilatazioni
\(y = k\cdot f(x)\) con \(k>0\): dilatazione verticale di fattore \(k\) (allungamento se \(k>1\), contrazione se \(0<k<1\)).
\(y = f(k x)\) con \(k>0\): dilatazione orizzontale di fattore \(1/k\) (inversa di \(k\): contrazione orizzontale se \(k>1\),
allungamento se \(0<k<1\)).
Figura 68.2: Trasformazioni elementari della parabola \(f(x)=x^2\). In blu il grafico di partenza; in verde
\(f(x-2)\) (traslata a destra di \(2\)); in arancio \(f(x)+1\) (traslata in alto di \(1\)); in rosso \(-f(x)\) (riflessa rispetto all’asse \(x\),
concavità rovesciata).
Nota — Combinazioni
Le trasformazioni si possono combinare. Per esempio, \(y = -(x-2)^2 + 3\) è la parabola \(y=x^2\):
1.
traslata a destra di \(2\) (sostituire \(x\) con \(x-2\));
2.
riflessa rispetto all’asse \(x\) (segno meno);
3.
traslata in alto di \(3\) (\(+3\) alla fine).
È una parabola con vertice in \((2, 3)\), concavità verso il basso.
Esempio 68.5 — Riconoscere una funzione
trasformata
Tracciare il grafico di \(y = |x - 1| - 2\).
Soluzione. Partiamo da \(y = |x|\) (V con vertice nell’origine).
1.
\(y = |x-1|\): traslata a destra di \(1\). Vertice in \((1, 0)\).
2.
\(y = |x-1| - 2\): traslata in basso di \(2\). Vertice in \((1, -2)\).
Grafico: V con vertice in \((1, -2)\), pendenze \(\pm 1\) ai lati.
Esempio 68.6 — Proporzionalità inversa con costante
negativa
Disegnare il grafico di \(y = -\dfrac {2}{x}\) e descrivere le sue caratteristiche.
Soluzione. \(k = -2 < 0\), quindi l’iperbole occupa il secondo e quarto quadrante. Su \((0,+\infty )\) è strettamente
crescente (sale da \(-\infty \) verso \(0^-\)); su \((-\infty ,0)\) è strettamente crescente (sale da \(0^+\) verso \(+\infty \)). Asintoti: assi
cartesiani. Punti di prova: \(f(1)=-2\), \(f(2)=-1\), \(f(-1)=2\), \(f(-2)=1\).
Esempio 68.7 — Trasformazione composta
Tracciare il grafico di \(y = 2(x+3)^2 - 4\).
Soluzione. Partiamo da \(y=x^2\):
1.
\(y = (x+3)^2\): traslata a sinistra di \(3\) (sostituire \(x\) con \(x-(-3) = x+3\)).
2.
\(y = 2(x+3)^2\): dilatazione verticale di fattore \(2\) (più “stretta”).
3.
\(y = 2(x+3)^2 - 4\): traslata in basso di \(4\).
Parabola con vertice in \((-3, -4)\), concavità verso l’alto, “stretta” rispetto a \(y=x^2\).
Per ciascuna funzione affine, indica \(m\), \(q\), e descrivi il grafico
(crescente/decrescente/costante): (a) \(y = 3x - 7\); (b) \(y = -x + 2\); (c) \(y = 5\); (d) \(y = -\dfrac {1}{2}x\).
2.
Determina l’equazione della retta passante per i punti dati: (a) \(A(0, 1)\) e \(B(2, 5)\); (b) \(A(-1, 3)\) e \(B(4, -2)\); (c) \(A(0, 0)\)
e \(B(3, -6)\) (è proporzionalità diretta?).
3.
Per ciascuna parabola, determina vertice, asse di simmetria, concavità e intersezioni
con l’asse \(y\): (a) \(y = x^2 - 4\); (b) \(y = -x^2 + 2x + 3\); (c) \(y = 3x^2 - 12x + 7\).
Verifica che la funzione \(f(x)=mx+q\) con \(m\neq 0\) è biiettiva \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), e calcola la sua inversa.
8.
Boyle in pratica: a temperatura ambiente, un gas occupa \(2{,}0\,{\mathrm{L} }\) a \(1{,}0\,{\mathrm{atm}}\). Quale volume occuperà
a \(2{,}5\,{\mathrm{atm}}\)? E a \(0{,}5\,{\mathrm{atm}}\)? Scrivi \(V\) come funzione di \(p\).
9.
(Discussione.) Perché la funzione \(y=1/x\), pur essendo biiettiva sul suo dominio, ha un
grafico che si può sembrare “due rami separati”? Cosa cambierebbe se restringessimo
il dominio a \((0,+\infty )\) soltanto?
Funzione quadratica: \(y=ax^2+bx+c\), \(a\neq 0\). Parabola con vertice \(V(-\tfrac {b}{2a}, -\tfrac {\Delta }{4a})\), concavità verso l’alto se \(a>0\).
Approfondimento nei capitoli 74 e 49.
Valore assoluto: \(y=|x|\). V con vertice nell’origine, pari, immagine \([0,+\infty )\).
Trasformazioni geometriche dei grafici:
\(y=f(x)+k\): traslazione verticale di \(k\);
\(y=f(x-h)\): traslazione orizzontale di \(h\) (attenzione al segno!);
\(y=-f(x)\): riflessione rispetto all’asse \(x\);
\(y=f(-x)\): riflessione rispetto all’asse \(y\);
\(y=k\,f(x)\): dilatazione verticale di fattore \(k\);
\(y=f(kx)\): dilatazione orizzontale di fattore \(1/k\).
Saper riconoscere le trasformazioni elementari permette di tracciare grafici complessi a
partire da quelli base.
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