83 Funzione logaritmica

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Capitolo 83
Funzione logaritmica

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L’invenzione dei logaritmi, abbreviando i lavori, ha quasi raddoppiato la vita degli astronomi.”

— Pierre-Simon Laplace (c. 1810)

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83.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (82) abbiamo definito il logaritmo come un numero: l’esponente che bisogna dare alla base per ottenere l’argomento. Adesso lo guardiamo come una funzione: al variare di $x$ in $\mathbb{R} ^+$, $\log _a x$ è una funzione $\mathbb{R} ^+ \to \mathbb{R} $ — la funzione logaritmica.

Per la definizione stessa, la funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale (81): tutto quanto sappiamo dell’esponenziale si traduce — per riflessione rispetto alla bisettrice $y = x$ — in proprietà della logaritmica. In particolare:

dominio e codominio si scambiano: la logaritmica è definita per $x > 0$ e produce valori in tutto $\mathbb{R} $;
la monotonia si conserva ($a > 1$: entrambe crescenti; $0 < a < 1$: entrambe decrescenti);
l’asintoto orizzontale di $a^x$ ($y = 0$) diventa l’asintoto verticale di $\log _a x$ ($x = 0$);
la convessità si scambia con la concavità.

In questo capitolo:

definiamo formalmente la funzione logaritmica e ne deduciamo il grafico per riflessione;
descriviamo i due casi $a > 1$ (crescente) e $0 < a < 1$ (decrescente);
riepiloghiamo le proprietà chiave (dominio, codominio, asintoto, monotonia, iniettività, concavità);
prepariamo il terreno per le equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche (91, 92, 93).

83.2 Definizione come inversa dell’esponenziale

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Definizione 83.1 — Funzione logaritmica

Sia $a > 0$, $a \neq 1$. Si chiama funzione logaritmica di base $a$ la funzione

\[ f: \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ,\qquad f(x) = \log _a x. \]

\[ f(x) = \log _a x,\qquad a > 0,\ a \neq 1. \]

Teorema 83.1 — Logaritmica come inversa dell’esponenziale

La funzione $f(x) = \log _a x$ è la funzione inversa (45) della funzione esponenziale $g(x) = a^x$. Quindi:

$\log _a(a^x) = x$ per ogni $x \in \mathbb{R} $ (composizione $f \circ g$);
$a^{\log _a x} = x$ per ogni $x > 0$ (composizione $g \circ f$);
il grafico di $y = \log _a x$ è il riflesso del grafico di $y = a^x$ rispetto alla bisettrice $y = x$.

Dimostrazione (riflessione dei grafici). Ricordiamo che la simmetria rispetto alla retta $y = x$ è la trasformazione $(x, y) \leftrightarrow (y, x)$ (73). Un punto $(x_0, y_0)$ appartiene al grafico di $y = \log _a x$ se e solo se $y_0 = \log _a x_0$, cioè $x_0 = a^{y_0}$, cioè il punto simmetrico $(y_0, x_0)$ appartiene al grafico di $y = a^x$. Quindi i due grafici sono uno il riflesso dell’altro rispetto a $y = x$.

Nota — Domini, codomini e valori notevoli

Dominio di $\log _a$: $(0, +\infty )$ (esistono solo logaritmi di numeri positivi, 82).
Codominio di $\log _a$: $\mathbb{R} $ (l’immagine è tutta la retta reale).
Valori notevoli: $\log _a 1 = 0$ e $\log _a a = 1$ per ogni $a$ ammissibile. Quindi tutti i grafici di $y = \log _a x$ passano per $(1, 0)$ e $(a, 1)$.

83.3 Grafico per a>1

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Teorema 83.2 — Caratteristiche del grafico per $a > 1$

La funzione $f(x) = \log _a x$ con $a > 1$ ha le seguenti proprietà:

Dominio: $(0, +\infty )$. Codominio: $\mathbb{R} $.
Passa per $(1, 0)$ e $(a, 1)$.
Strettamente crescente su $(0, +\infty )$.
Concava (il grafico “si curva verso il basso”).
Asintoto verticale a sinistra: $\log _a x \to -\infty $ per $x \to 0^+$. La retta $x = 0$ (asse $y$) è asintoto verticale.
Cresce illimitatamente a destra: $\log _a x \to +\infty $ per $x \to +\infty $. La crescita è molto lenta: più lenta di ogni potenza $x^{1/n}$ con $n \in \mathbb{N} $.

[Picture] — Figura 83.1: Funzione logaritmica $y = \log _2 x$ (blu pieno) come riflesso della funzione esponenziale $y = 2^x$ (blu chiaro) rispetto alla bisettrice $y = x$. Passa per $(1, 0)$ e $(2, 1)$. Asintoto verticale $x = 0$.

Nota — Velocità di crescita estremamente lenta

La funzione logaritmica $\log _a x$ con $a > 1$ cresce più lentamente di qualsiasi potenza positiva di $x$. In simboli: per ogni $\alpha > 0$,

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac {\log _a x}{x^\alpha } = 0. \]

Esempio quantitativo: $\log _{10}(10^{100}) = 100$, mentre $(10^{100})^{1/10} = 10^{10}$. Il logaritmo di un numero gigantesco è “piccolo” (qui $100$), molto più piccolo di una sua qualunque potenza positiva.

Per questo motivo, in informatica un algoritmo con complessità $O(\log n)$ è considerato molto efficiente: il tempo di calcolo cresce così lentamente che è quasi indipendente dalla dimensione $n$ del problema.

83.4 Grafico per 0<a<1

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Teorema 83.3 — Caratteristiche del grafico per $0 < a < 1$

La funzione $f(x) = \log _a x$ con $0 < a < 1$ ha le seguenti proprietà:

Dominio: $(0, +\infty )$. Codominio: $\mathbb{R} $.
Passa per $(1, 0)$ e $(a, 1)$ (con $a < 1$, quindi il secondo punto è “in basso a sinistra” di $(1, 0)$).
Strettamente decrescente su $(0, +\infty )$.
Convessa (il grafico “si curva verso l’alto”).
Asintoto verticale a sinistra: $\log _a x \to +\infty $ per $x \to 0^+$.
$\log _a x \to -\infty $ per $x \to +\infty $.

Nota — Simmetria $a$ vs $1/a$

Vale l’identità

\[ \log _{1/a} x = -\log _a x. \]

Quindi il grafico di $\log _{1/a} x$ è il riflesso rispetto all’asse $x$ del grafico di $\log _a x$. Esempi: $\log _{1/2} x = -\log _2 x$; $\log _{1/e} x = -\ln x$.

83.5 Proprietà della funzione logaritmica

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Riassumiamo in un unico teorema tutte le proprietà della funzione logaritmica:

Teorema 83.4 — Proprietà generali della funzione logaritmica

Sia $f(x) = \log _a x$, $a > 0$, $a \neq 1$.

Dominio: $(0, +\infty )$. Codominio: $\mathbb{R} $.
Continua su $(0, +\infty )$ (130).
Strettamente monotona: crescente se $a > 1$, decrescente se $0 < a < 1$.
Iniettiva: $\log _a x = \log _a y \iff x = y$ (per $x, y > 0$). È quindi biettiva da $\mathbb{R} ^+$ a $\mathbb{R} $, e la sua inversa è la funzione esponenziale $a^x$.
Convessa se $0 < a < 1$; concava se $a > 1$.
Asintoto verticale $x = 0$.
Tutti i grafici passano per $(1, 0)$ e $(a, 1)$.

Nota — Monotonia ordinata $\Rightarrow $ disequazioni

La monotonia stretta della funzione logaritmica è la chiave per risolvere disequazioni logaritmiche (93). Vale la regola:

se $a > 1$ (base maggiore di 1): $\log _a x > \log _a y \iff x > y$ (la disuguaglianza si conserva);
se $0 < a < 1$ (base minore di 1): $\log _a x > \log _a y \iff x < y$ (la disuguaglianza si rovescia).

Lo stesso vale per l’esponenziale (81): è la conseguenza diretta della monotonia.

Nota — Confronto con altre funzioni elementari

La crescita lenta del logaritmo dà luogo alla seguente scala di velocità (per $x \to +\infty $):

\[ \log _a x\ <\ x^{1/n}\ \text {(qualsiasi $n$)}\ <\ x\ <\ x^n\ <\ a^x\ \text {(qualsiasi $a > 1$)}. \]

A sinistra il logaritmo, a destra l’esponenziale. Tra di loro, in mezzo, polinomi e radici. Questa scala diventa importante per il confronto di funzioni in analisi (141).

83.6 Esempi svolti

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Esempio 83.1 — Dominio di una funzione logaritmica

Determinare il dominio di $f(x) = \log _2(x - 3)$.

Soluzione. L’argomento del logaritmo deve essere positivo: $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

Quindi $\mathrm {Dom}(f) = (3, +\infty )$.

Esempio 83.2 — Dominio con argomento più complesso

Determinare il dominio di $g(x) = \ln (x^2 - 1)$.

Soluzione. $x^2 - 1 > 0 \iff (x-1)(x+1) > 0 \iff x < -1$ o $x > 1$.

$\mathrm {Dom}(g) = (-\infty , -1) \cup (1, +\infty )$.

Esempio 83.3 — Tabella di valori

Costruire la tabella di valori di $y = \log _3 x$ per alcuni valori notevoli di $x$.

Soluzione.

\[ \begin {array}{c|c} x & \log _3 x \\ \hline \tfrac {1}{9} & -2 \\ 1/3 & -1 \\ 1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 9 & 2 \\ 27 & 3 \end {array} \]

Nota: triplicando $x$, $\log _3 x$ aumenta di $1$. (È la proprietà fondamentale dei logaritmi: “moltiplicazioni $\to $ somme”.)

Esempio 83.4 — Funzione logaritmica traslata

Disegnare il grafico di $y = \log _2(x - 1) + 3$ partendo dal grafico di $y = \log _2 x$.

Soluzione. (Vedi 73.) Sequenza di trasformazioni:

1.: Da $y = \log _2 x$ a $y = \log _2(x - 1)$: traslazione orizzontale di $+1$ (l’asintoto verticale si sposta a $x = 1$).
2.: Da $y = \log _2(x - 1)$ a $y = \log _2(x - 1) + 3$: traslazione verticale di $+3$.

Il grafico finale è una curva crescente con asintoto verticale $x = 1$, passante per $(2, 3)$ (poiché $\log _2(2-1) + 3 = 0 + 3$).

Esempio 83.5 — Riflessione

Disegnare $y = \log _{1/2} x$ partendo da $y = \log _2 x$.

Soluzione. $\log _{1/2} x = -\log _2 x$: si riflette il grafico rispetto all’asse $x$. La curva diventa decrescente.

Esempio 83.6 — Equazione semplice

Risolvere $\log _3(x + 2) = 4$.

Soluzione. Per definizione: $x + 2 = 3^4 = 81 \Rightarrow x = 79$.

(Condizione di esistenza: $x + 2 > 0 \iff x > -2$. La soluzione $x = 79$ è ammissibile.)

Esempio 83.7 — Disequazione elementare

Risolvere $\log _3 x > 2$.

Soluzione. $\log _3 x > 2 \iff \log _3 x > \log _3 9$. Poiché la base $3 > 1$, la funzione è crescente e la disuguaglianza si conserva:

\[ x > 9. \]

(E ricordando la condizione di esistenza $x > 0$, che è inclusa.)

Soluzione: $x > 9$, cioè $x \in (9, +\infty )$.

Esempio 83.8 — Disequazione con base $< 1$

Risolvere $\log _{1/2} x > 1$.

Soluzione. $\log _{1/2} x > 1 = \log _{1/2}(1/2)$. La base è $1/2 < 1$, quindi la disuguaglianza si rovescia:

\[ x < 1/2. \]

Combinato con la condizione di esistenza $x > 0$: $0 < x < 1/2$, cioè $x \in (0, 1/2)$.

83.7 Esercizi proposti

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Esercizio 83.1

1.

Determina il dominio delle seguenti funzioni:

(a) $f(x) = \log _2(x + 5)$;
(b) $f(x) = \ln (x^2 - 4)$;
(c) $f(x) = \log _{10}(2x - 1)$;
(d) $f(x) = \log _3 \dfrac {x - 1}{x + 2}$ (suggerimento: $\dfrac {x-1}{x+2} > 0$);
(e) $f(x) = \ln (-x^2 + 4)$.

2.

Costruisci la tabella di valori per $y = \log _5 x$ con $x \in \{1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125\}$.

3.

Disegna il grafico di $y = \log _3 x$ partendo dai punti $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.

4.

Disegna sullo stesso piano cartesiano $y = \log _2 x$ e $y = 2^x$. Verifica visivamente che sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y = x$.

5.

Disegna $y = \log _{1/3} x$ e confrontalo con $y = \log _3 x$. Quale relazione algebrica li lega?

6.

Disegna il grafico di $y = \log _2(x + 2)$ a partire da $y = \log _2 x$. Dove si trova l’asintoto verticale del nuovo grafico?

7.

Risolvi le equazioni:

(a) $\log _2 x = 5$;
(b) $\ln x = -1$;
(c) $\log _{10}(x - 2) = 1$;
(d) $\log _3(x^2) = 2$.

8.

Risolvi le disequazioni (attenzione alla base $\lessgtr 1$):

(a) $\log _2 x > 3$;
(b) $\log _3 x \leq 0$;
(c) $\log _{1/2} x < 2$;
(d) $\ln x \geq 1$.

9.

Trova i punti di intersezione del grafico $y = \log _2 x$ con la retta $y = 2$.

10.

(Discussione.) Spiega perché il grafico di $y = \log _a x$ non interseca mai l’asse $y$, mentre quello di $y = a^x$ non interseca mai l’asse $x$. Quale “inversione di ruoli” c’è tra le due funzioni?

11.

(Confronto crescite.) Per $x = 10, 100, 1000, 1000000$, calcola con la calcolatrice $\log _{10} x$ e $\sqrt x$. Quale dei due cresce più velocemente?

12.

(Sfida — algoritmica.) Un algoritmo di ricerca binaria su un insieme di $n$ elementi impiega circa $\log _2 n$ confronti. Quanti confronti servono per cercare in un insieme di $1$ milione di elementi? E in un insieme di $1$ miliardo? Confronta con il numero di confronti richiesti da un algoritmo lineare ($n$ confronti).

83.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Funzione logaritmica: $f(x) = \log _a x$, $a > 0$, $a \neq 1$. Dominio $\mathbb{R} ^+ = (0, +\infty )$, codominio $\mathbb{R} $.
È l’inversa della funzione esponenziale $g(x) = a^x$: il suo grafico è il riflesso di $y = a^x$ rispetto alla bisettrice $y = x$.
Grafico:
- passa sempre per $(1, 0)$ e $(a, 1)$;
- se $a > 1$: crescente, concava, asintoto $x = 0$ (a sinistra $\to -\infty $, a destra $\to +\infty $);
- se $0 < a < 1$: decrescente, convessa, asintoto $x = 0$ (a sinistra $\to +\infty $, a destra $\to -\infty $).
Simmetria: $\log _{1/a} x = -\log _a x$ (riflesso rispetto all’asse $x$).
Iniettività: $\log _a x = \log _a y \iff x = y$ (per $x, y > 0$). Strumento di base per equazioni logaritmiche (92).
Monotonia $\Rightarrow $ disequazioni:
\[ a > 1:\ \log _a x > \log _a y \iff x > y;\qquad 0 < a < 1:\ \log _a x > \log _a y \iff x < y. \]
Crescita molto lenta: $\log _a x$ con $a>1$ cresce più lentamente di ogni $x^\alpha $ con $\alpha > 0$ (138). Questo è il motivo per cui in informatica $O(\log n)$ è considerato efficientissimo.
Scala di velocità: $\log _a x < x^{1/n} < x < x^n < a^x$ (per $x$ grande, $a > 1$).
Prossimi passi: equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche (91÷93). In analisi: derivata di $\ln x$ è $1/x$ (134); integrale di $1/x$ è $\ln |x|$ (145).

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Capitolo 83 Funzione logaritmica

83.1 Introduzione motivazionale

83.2 Definizione come inversa dell’esponenziale

83.3 Grafico per a>1

83.4 Grafico per 0<a<1

83.5 Proprietà della funzione logaritmica

83.6 Esempi svolti

83.7 Esercizi proposti

83.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 83
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