82 Logaritmo: definizione e proprietà

“

Questo metodo meraviglioso riduce calcoli lunghissimi a pochi semplici passaggi: nessun altro genere di calcolo è così ostacolato dalle difficoltà di moltiplicazioni e divisioni.”

— John Napier (Nepero), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614)

____________________________________________________________________________________

82.1 Introduzione motivazionale

Nel 1614 lo scozzese John Napier (italianizzato in Nepero) pubblicò un’opera che avrebbe rivoluzionato il calcolo numerico per i successivi tre secoli: la Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio — “Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi”. L’idea, geniale, era di trasformare il calcolo più difficile (moltiplicazioni e divisioni di numeri lunghi, indispensabili per gli astronomi) nel calcolo più facile (addizioni e sottrazioni). La chiave era una nuova funzione, il logaritmo:

Bastava saper sommare logaritmi (cosa che si fa a mano) per moltiplicare numeri arbitrariamente grandi (cosa che a mano è molto lunga).

L’idea fu ripresa e perfezionata da Henry Briggs (1617), che introdusse i logaritmi in base $10$, e da Bürgi, Eulero, e tanti altri. Per oltre $350$ anni — fino all’avvento delle calcolatrici elettroniche negli anni ’70 del ’900 — la tavola dei logaritmi e il regolo calcolatore (basato sui logaritmi) furono gli strumenti universali di calcolo di ingegneri, scienziati, navigatori.

Oggi il calcolo è demandato ai computer, ma il logaritmo rimane fondamentale per due ragioni:

82.2 Definizione di logaritmo

Definizione 82.1 — Logaritmo

Siano $a > 0$, $a \neq 1$ (base) e $x > 0$ (argomento). Si chiama logaritmo in base $a$ di $x$, e si scrive $\log _a x$, l’unico numero reale $y$ tale che

\[ a^y = x. \]

In sintesi:

\[ \log _a x = y \iff a^y = x. \]

\[ \boxed {\ \log _a x = y \iff a^y = x\ }\qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0). \]

Nota — Significato in parole

“$\log _a x$ è l’esponente che bisogna dare ad $a$ per ottenere $x$.”

Per esempio: $\log _2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$. $\log _{10} 1000 = 3$ perché $10^3 = 1000$. $\log _5 1 = 0$ perché $5^0 = 1$.

Nota — Esistenza e unicità

Per $a > 0, a \neq 1$ fissati, la funzione esponenziale $y \mapsto a^y$ è strettamente monotona e ha immagine $\mathbb{R} ^+ = (0, +\infty )$ (81). Quindi:

per ogni $x > 0$ esiste uno e un solo $y \in \mathbb{R} $ tale che $a^y = x$: il logaritmo è ben definito;
per $x \leq 0$, l’equazione $a^y = x$ non ha soluzioni: il logaritmo non è definito.

Quindi: esistono solo logaritmi di numeri positivi.

Nota — Logaritmo come funzione inversa dell’esponenziale

Per definizione:

\[ \log _a(a^x) = x\quad \text {per ogni $x \in \mathbb{R} $},\qquad a^{\log _a x} = x\quad \text {per ogni $x > 0$}. \]

Cioè $\log _a$ e $a^{(\cdot )}$ sono funzioni inverse l’una dell’altra (45). Applicate in sequenza, si “annullano”.

Esempio 82.1 — Calcolo a mente

$\log _2 16 = 4$ (perché $2^4 = 16$).
$\log _3 81 = 4$ (perché $3^4 = 81$).
$\log _{10} 100000 = 5$ (perché $10^5 = 100000$).
$\log _5 \tfrac {1}{25} = -2$ (perché $5^{-2} = 1/25$).
$\log _4 2 = \tfrac {1}{2}$ (perché $4^{1/2} = \sqrt 4 = 2$).
$\log _a 1 = 0$ per qualunque $a$ (perché $a^0 = 1$).
$\log _a a = 1$ per qualunque $a$ (perché $a^1 = a$).

82.3 Logaritmi notevoli decimale e naturale

Esistono tre logaritmi “privilegiati” in matematica e nelle scienze applicate, ciascuno con la sua notazione abbreviata:

Definizione 82.2 — Logaritmi notevoli

Logaritmo decimale (o di Briggs): base $a = 10$.
\[ \log _{10} x = \log x \quad \text {(in alcune convenzioni, ``Log''; in altre, ``lg'').} \]

È il più usato nelle scienze sperimentali (chimica, ingegneria, fisica delle scale logaritmiche).
Logaritmo naturale (o neperiano): base $a = e \approx 2.71828$.
\[ \log _e x = \ln x. \]

È il più usato nella matematica avanzata e in analisi, perché legato in modo naturale alla derivata e all’integrale (134, 145).
Logaritmo binario: base $a = 2$.
\[ \log _2 x = \mathrm {lg}\, x. \]

È usato in informatica (complessità degli algoritmi, teoria dell’informazione).

Attenzione! — Notazione ambigua

La notazione $\log x$ senza pedice è ambigua e cambia da contesto a contesto:

In Italia, nella scuola superiore, $\log x$ di solito significa $\log _{10} x$.
In matematica universitaria, $\log x$ spesso significa $\ln x$ (cioè base $e$).
In informatica, $\log x$ può significare $\log _2 x$.

Quando in dubbio, specifica sempre la base: $\log _{10} x$, $\ln x$, $\log _2 x$.

Nota — Valori notevoli

\[ \begin {array}{c|c|c} x & \log _{10} x & \ln x \\ \hline 1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & \approx 2.303 \\ 100 & 2 & \approx 4.605 \\ 1000 & 3 & \approx 6.908 \\ e & \approx 0.434 & 1 \\ 2 & \approx 0.301 & \approx 0.693 \\ \end {array} \]

82.4 Proprietà dei logaritmi

Tutte le proprietà dei logaritmi discendono direttamente, per inversione, dalle proprietà della funzione esponenziale (80). Queste sono lo strumento di base per manipolare espressioni logaritmiche, risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche, semplificare calcoli.

Teorema 82.1 — Proprietà fondamentali dei logaritmi

Per ogni $a > 0$, $a \neq 1$, $x, y > 0$, $k \in \mathbb{R} $ valgono:

1.: $\log _a 1 = 0$.
2.: $\log _a a = 1$.
3.: Logaritmo di un prodotto: $\log _a(x\cdot y) = \log _a x + \log _a y$.
4.: Logaritmo di un quoziente: $\log _a\!\left (\dfrac {x}{y}\right ) = \log _a x - \log _a y$.
5.: Logaritmo di una potenza: $\log _a(x^k) = k\cdot \log _a x$.
6.: Logaritmo del reciproco: $\log _a\!\left (\dfrac {1}{x}\right ) = -\log _a x$.
7.: Logaritmo di una radice: $\log _a \sqrt [n]{x} = \dfrac {1}{n}\log _a x$ (caso particolare della 5 con $k = 1/n$).

\begin{align*} \log _a(xy) &= \log _a x + \log _a y, \\ \log _a(x/y) &= \log _a x - \log _a y, \\ \log _a(x^k) &= k\cdot \log _a x. \end{align*}

Dimostrazione. (3) Siano $u = \log _a x$ e $v = \log _a y$. Per definizione di logaritmo: $x = a^u$ e $y = a^v$. Allora

(5) Sia $u = \log _a x$, dunque $x = a^u$. Allora $x^k = (a^u)^k = a^{uk}$. Quindi $\log _a(x^k) = uk = k\log _a x$.

(4) Combinazione di (3) e (6): $\log _a(x/y) = \log _a(x\cdot y^{-1}) = \log _a x + \log _a(y^{-1}) = \log _a x - \log _a y$.

Attenzione! — Errori classici sui logaritmi

Non valgono le seguenti “proprietà sbagliate” (errori comuni!):

$\log _a(x + y) \neq \log _a x + \log _a y$ — la somma dentro il logaritmo non si distribuisce!
$\log _a(x - y) \neq \log _a x - \log _a y$.
$\log _a(x\cdot y) \neq \log _a x \cdot \log _a y$ — il prodotto va in somma, non in prodotto.
$\dfrac {\log _a x}{\log _a y} \neq \log _a(x/y)$.
$(\log _a x)^k \neq \log _a(x^k)$ — sono cose diverse: la prima è la potenza $k$-esima del logaritmo, la seconda è il logaritmo di $x^k$.

La regola sicura: le proprietà valide trasformano prodotti/quozienti/potenze nell’argomento in somme/differenze/multipli nel risultato, e non viceversa.

Esempio 82.2 — Applicazione delle proprietà

$\log _2(8\cdot 16) = \log _2 8 + \log _2 16 = 3 + 4 = 7$. (Verifica: $8\cdot 16 = 128 = 2^7$ $\checkmark$.)
$\log _3 \dfrac {81}{27} = \log _3 81 - \log _3 27 = 4 - 3 = 1$. (Verifica: $81/27 = 3 = 3^1$ $\checkmark$.)
$\log _5 25^3 = 3\log _5 25 = 3\cdot 2 = 6$. (Verifica: $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$ $\checkmark$.)
$\log _{10}\!\sqrt {1000} = \tfrac {1}{2}\log _{10} 1000 = \tfrac {3}{2}$.

Esempio 82.3 — Scomposizione di un logaritmo composto

Scomporre $\log _2\dfrac {8 x^3}{y^{1/2}}$.

Soluzione.

\[ \log _2\dfrac {8 x^3}{y^{1/2}} = \log _2 8 + 3\log _2 x - \tfrac {1}{2}\log _2 y = 3 + 3\log _2 x - \tfrac {1}{2}\log _2 y. \]

Esempio 82.4 — Ricomposizione di una somma di logaritmi

Esprimere $2\log _a x + \log _a y - 3\log _a z$ come un solo logaritmo.

Soluzione.

\[ 2\log _a x + \log _a y - 3\log _a z = \log _a x^2 + \log _a y - \log _a z^3 = \log _a \dfrac {x^2 y}{z^3}. \]

82.5 Cambiamento di base

Tutte le calcolatrici scientifiche calcolano direttamente solo due logaritmi: $\log _{10}$ (tasto “log”) e $\ln $ (tasto “ln”). Per calcolare un logaritmo in base diversa, si usa la formula del cambiamento di base:

Teorema 82.2 — Cambiamento di base

Per ogni $a, b > 0$ con $a, b \neq 1$, e ogni $x > 0$:

\[ \log _b x = \frac {\log _a x}{\log _a b}. \]

\[ \log _b x = \frac {\log _a x}{\log _a b},\qquad \text {in particolare}\quad \log _b x = \frac {\ln x}{\ln b} = \frac {\log _{10} x}{\log _{10} b}. \]

Dimostrazione. Sia $y = \log _b x$, cioè $b^y = x$. Applichiamo $\log _a$ a entrambi i membri (è una funzione monotona, quindi conserva l’uguaglianza):

Nota — Corollario: relazione inversa

Ponendo $x = a$ nella formula del cambio di base:

\[ \log _b a = \frac {\log _a a}{\log _a b} = \frac {1}{\log _a b}. \]

Cioè:

\[ \boxed {\ \log _a b\cdot \log _b a = 1\ }\qquad \text {(per $a, b > 0$, $a, b \neq 1$).} \]

Per esempio: $\log _2 10\cdot \log _{10} 2 = 1$.

Esempio 82.5 — Cambiamento di base con calcolatrice

Calcolare $\log _2 5$ usando la calcolatrice (che fornisce solo $\ln $ e $\log _{10}$).

Soluzione. Con base $e$:

\[ \log _2 5 = \frac {\ln 5}{\ln 2} = \frac {1.6094}{0.6931} \approx 2.3219. \]

Con base $10$:

\[ \log _2 5 = \frac {\log _{10} 5}{\log _{10} 2} = \frac {0.6990}{0.3010} \approx 2.3219. \]

Stesso risultato (a meno di errori di arrotondamento).

82.6 Calcolo di logaritmi

A mente

I logaritmi “a mente” si calcolano riconoscendo che l’argomento è una potenza intera della base:

Esempi: $\log _2 32 = 5$ (perché $32 = 2^5$); $\log _{10} 0.001 = -3$ (perché $0.001 = 10^{-3}$); $\log _5 \sqrt 5 = 1/2$.

Con la calcolatrice

Per $\log _{10}$ e $\ln $ esistono i tasti dedicati. Per altre basi: cambio di base.

Stime numeriche

Conoscendo a memoria pochi valori chiave si possono stimare molti altri logaritmi:

Da questi si calcolano i logaritmi decimali di tutti i numeri scomponibili in $2, 3, 5, 7$ ($5 = 10/2$, $6 = 2\cdot 3$, ecc.):

82.7 Esempi svolti

Esempio 82.6 — Calcolo immediato

Calcolare: (a) $\log _3 81$; (b) $\log _{1/2} 8$; (c) $\log _7 1$; (d) $\log _{10} 0.01$.

Soluzione.

(a) $81 = 3^4 \Rightarrow \log _3 81 = 4$.
(b) $8 = 2^3 = (1/2)^{-3} \Rightarrow \log _{1/2} 8 = -3$.
(c) $1 = 7^0 \Rightarrow \log _7 1 = 0$.
(d) $0.01 = 10^{-2} \Rightarrow \log _{10} 0.01 = -2$.

Esempio 82.7 — Scomposizione di un logaritmo

Scomporre $\ln \!\left (\dfrac {e^2\sqrt x}{y^3}\right )$.

Soluzione.

\[ \ln e^2 + \ln \sqrt x - \ln y^3 = 2 + \tfrac {1}{2}\ln x - 3\ln y. \]

Esempio 82.8 — Cambio di base

Esprimere $\log _8 32$ come logaritmo in base $2$, poi calcolare il valore.

Soluzione. Sia $y = \log _8 32 = \frac {\log _2 32}{\log _2 8} = \frac {5}{3}$.

(Verifica: $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$. $\checkmark$)

Esempio 82.9 — Equazione semplice con logaritmi

Risolvere $\log _3(x + 1) = 2$.

Soluzione. Per definizione: $x + 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 8$.

(Verifica delle condizioni di esistenza: $x + 1 > 0 \iff x > -1$. La soluzione $x = 8$ è ammissibile.)

Esempio 82.10 — Applicazione delle proprietà

Semplificare $\log _2 12 + \log _2\tfrac {1}{6}$.

Soluzione.

\[ \log _2 12 + \log _2\tfrac {1}{6} = \log _2\!\left (12\cdot \tfrac {1}{6}\right ) = \log _2 2 = 1. \]

Esempio 82.11 — Equazione con scomposizione

Risolvere $\log _5(x^2 - 1) - \log _5(x - 1) = 1$.

Soluzione.

\[ \log _5\dfrac {x^2 - 1}{x - 1} = 1 \implies \dfrac {(x-1)(x+1)}{x - 1} = 5^1 = 5 \implies x + 1 = 5 \implies x = 4. \]

(Verifica: $x = 4 \Rightarrow x^2 - 1 = 15 > 0$, $x - 1 = 3 > 0$ $\checkmark$.)

Esempio 82.12 — pH e logaritmi in chimica

Il pH di una soluzione è definito come $\mathrm {pH} = -\log _{10}[\mathrm {H}^+]$, dove $[\mathrm {H}^+]$ è la concentrazione molare degli ioni $\mathrm {H}^+$. Calcolare il pH di una soluzione con $[\mathrm {H}^+] = 10^{-7}\,\mathrm {mol/L}$ (acqua pura).

Soluzione. $\mathrm {pH} = -\log _{10}(10^{-7}) = -(-7) = 7$. (L’acqua pura ha pH $= 7$, “neutro”.)

Una soluzione con $[\mathrm {H}^+] = 10^{-3}$: $\mathrm {pH} = 3$ (acida). Una con $[\mathrm {H}^+] = 10^{-10}$: $\mathrm {pH} = 10$ (basica).

82.8 Esercizi proposti

Esercizio 82.1

1.

Calcola a mente:

(a) $\log _2 64$;
(b) $\log _3 \tfrac {1}{27}$;
(c) $\log _5 125$;
(d) $\log _{10} 10000$;
(e) $\log _2 \sqrt 2$;
(f) $\log _{1/3} 9$;
(g) $\ln e^3$;
(h) $\log _a a^7$ ($a > 0, a \neq 1$).

2.

Determina il valore di $x$:

(a) $\log _x 16 = 4$;
(b) $\log _2 x = 5$;
(c) $\log _3 x = -2$;
(d) $\log _x 8 = 3$.

3.

Applica le proprietà dei logaritmi per scomporre (in somma/differenza/multiplo di logaritmi elementari):

(a) $\log _2(8 x y)$;
(b) $\log _3 \dfrac {x^2}{3 y}$;
(c) $\ln \sqrt [3]{x^2 y}$;
(d) $\log _{10}\!\left (\dfrac {100 x^3}{\sqrt y}\right )$;
(e) $\log _a\!\left (\dfrac {x^{1/2}\cdot y^3}{z^4}\right )$.

4.

Ricomponi in un solo logaritmo:

(a) $\log _2 x + \log _2 y - \log _2 z$;
(b) $2 \ln x - \ln 3$;
(c) $\tfrac {1}{2}\log _5 x - 2\log _5 y$;
(d) $\log _a 3 + 2\log _a x - 3\log _a y$.

5.

Usando il cambio di base e la calcolatrice, calcola:

(a) $\log _3 7$;
(b) $\log _2 100$;
(c) $\log _5 0.2$;
(d) $\log _7 49$ (a mente! deve venire $2$).

6.

Verifica le relazioni:

(a) $\log _5 7\cdot \log _7 5 = 1$;
(b) $\log _2 27 = 3\log _2 3$.

7.

Sapendo che $\log _{10} 2 \approx 0.301$ e $\log _{10} 3 \approx 0.477$, calcola senza calcolatrice:

(a) $\log _{10} 6$;
(b) $\log _{10} 5$;
(c) $\log _{10} 12$;
(d) $\log _{10} 0.06$;
(e) $\log _{10}\!\sqrt [3]{18}$.

8.

Risolvi le equazioni elementari:

(a) $\log _2(x + 3) = 4$;
(b) $\log _3(x^2) = 2$;
(c) $\log _5(x - 1) + \log _5(x + 1) = 1$;
(d) $\ln x = 0$.

9.

Una soluzione ha pH $= 5$. Calcola la concentrazione di ioni $\mathrm {H}^+$.

10.

L’intensità di un terremoto è espressa secondo la scala Richter: $M = \log _{10}(A/A_0)$, dove $A$ è l’ampiezza misurata e $A_0$ un’ampiezza di riferimento. Confronta due terremoti con magnitudo $M_1 = 5$ e $M_2 = 7$: di quanto è più grande l’ampiezza del secondo rispetto al primo?

11.

(Discussione.) Spiega perché non esistono $\log _2(-3)$ e $\log _{-2} 8$.

12.

(Sfida.) Mostra che, per ogni $a, b, c > 0$ (con $a, b \neq 1$):

\[ \log _a b\cdot \log _b c = \log _a c. \]

(Suggerimento: applicare due volte il cambio di base.)

82.9 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Definizione: $\log _a x = y \iff a^y = x$, con $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
Significato: il logaritmo è l’esponente che bisogna dare alla base per ottenere l’argomento.
Esistenza: $\log _a x$ è ben definito solo per $x > 0$. Non esistono logaritmi di numeri negativi o zero.
Inversa dell’esponenziale: $\log _a(a^x) = x$ per ogni $x$, $a^{\log _a x} = x$ per ogni $x > 0$.
Logaritmi notevoli:
- $\log _{10} x = \log x$ (decimale, di Briggs);
- $\log _e x = \ln x$ (naturale);
- $\log _2 x = \mathrm {lg}\, x$ (binario, in informatica).
Proprietà fondamentali (per $x, y > 0$, $k \in \mathbb{R} $):
\[ \log _a(xy) = \log _a x + \log _a y,\quad \log _a(x/y) = \log _a x - \log _a y,\quad \log _a(x^k) = k\log _a x. \]

Inoltre: $\log _a 1 = 0$, $\log _a a = 1$, $\log _a(1/x) = -\log _a x$.
Errori da evitare: $\log _a(x + y) \neq \log _a x + \log _a y$; $\log _a(xy) \neq \log _a x\cdot \log _a y$; $(\log _a x)^k \neq \log _a(x^k)$.
Cambio di base: $\log _b x = \dfrac {\log _a x}{\log _a b}$. Conseguenza: $\log _a b\cdot \log _b a = 1$.
Calcolo: a mente per argomenti che sono potenze della base; con calcolatrice (e cambio di base) per gli altri.
Applicazioni: equazioni esponenziali ($a^x = b \Rightarrow x = \log _a b$); pH chimico; scala Richter; decibel; magnitudine stellare; complessità computazionale.
Prossimi passi: funzione logaritmica $y = \log _a x$ e suo grafico (83); equazioni e disequazioni esponenziali/logaritmiche (91, 92, 93).

Capitolo 82 Logaritmo: definizione e proprietà

82.1 Introduzione motivazionale

82.2 Definizione di logaritmo

82.3 Logaritmi notevoli decimale e naturale

82.4 Proprietà dei logaritmi

82.5 Cambiamento di base

82.6 Calcolo di logaritmi

A mente

Con la calcolatrice

Stime numeriche

82.7 Esempi svolti

82.8 Esercizi proposti

82.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 82
Logaritmo: definizione e proprietà