145 Integrali immediati e quasi-immediati

“

Il calcolo integrale è il metodo per ritrovare, a partire da una relazione differenziale, la grandezza variabile da cui essa proviene. Esso si fonda interamente sull’inversione delle regole di derivazione: ogni regola del calcolo differenziale produce, letta al contrario, una regola di integrazione.”

— Leonhard Euler, Institutiones calculi integralis (1768), prefazione, traduzione adattata

____________________________________________________________________________________

145.1 Introduzione motivazionale

Nel capitolo 144 abbiamo introdotto la tabella delle primitive immediate delle funzioni elementari. In questo capitolo ampliamo la nostra capacità operativa di calcolo, sfruttando una sola idea-chiave, semplice e potente: la regola della catena al contrario.

Ricordiamo che, derivando una funzione composta \(F(g(x))\), otteniamo \(F'(g(x)) \cdot g'(x)\). Letta al contrario, questa identità ci dice che

In pratica: se nell’integranda riconosciamo una funzione composta moltiplicata per la derivata della funzione interna, possiamo integrare “come se” la funzione interna fosse la nostra variabile. Gli integrali che hanno questa struttura si dicono quasi-immediati: non sono direttamente in tabella, ma diventano immediati una volta identificato il pattern.

Questa tecnica, talvolta chiamata integrazione per riconoscimento, è la prima vera competenza operativa del calcolo integrale: padroneggiarla è essenziale prima di affrontare le tecniche più sofisticate (sostituzione, parti, fratti) che vedremo in 146 e 147.

145.2 Integrali delle funzioni elementari

Riprendiamo la tabella di 144, completandola con qualche riga aggiuntiva che ricorre spesso nella pratica.

Tabella delle primitive immediate (estesa)


Integranda	Primitiva

\(x^n\) (\(n \ne -1\))	\(\dfrac {x^{n+1}}{n+1} + c\)
\(\dfrac {1}{x}\)	\(\ln \|x\| + c\)
\(e^x\)	\(e^x + c\)
\(a^x\) (\(a > 0, a \ne 1\))	\(\dfrac {a^x}{\ln a} + c\)
\(\operatorname{sen} x\)	\(-\cos x + c\)
\(\cos x\)	\(\operatorname{sen} x + c\)
\(\dfrac {1}{\cos ^2 x}\)	\(\operatorname{tg} x + c\)
\(\dfrac {1}{\operatorname{sen} ^2 x}\)	\(-\operatorname{cotg} x + c\)
\(\dfrac {1}{\sqrt {1 - x^2}}\)	\(\operatorname{arcsen} x + c\)
\(\dfrac {1}{1 + x^2}\)	\(\operatorname{arctg} x + c\)

\(\dfrac {1}{\sqrt {a^2 - x^2}}\)	\(\operatorname{arcsen} \dfrac {x}{a} + c\)
\(\dfrac {1}{a^2 + x^2}\)	\(\dfrac {1}{a}\operatorname{arctg} \dfrac {x}{a} + c\)
\(\dfrac {1}{x^2 - a^2}\)	\(\dfrac {1}{2 a} \ln \left \|\dfrac {x - a}{x + a}\right \| + c\)
\(\dfrac {1}{\sqrt {x^2 + k}}\)	\(\ln \left \| x + \sqrt {x^2 + k} \right \| + c\)

Ciascuna riga si verifica derivando la primitiva, esattamente come fatto nel capitolo precedente.

Esempio 145.1 — Verifica di una primitiva con parametro

Verifichiamo \(\int \dfrac {1}{a^2 + x^2}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{a}\operatorname{arctg} \dfrac {x}{a} + c\). Derivando il secondo membro:

\[ \dfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x}\left ( \dfrac {1}{a} \operatorname{arctg} \dfrac {x}{a} \right ) = \dfrac {1}{a} \cdot \dfrac {1}{1 + (x/a)^2} \cdot \dfrac {1}{a} = \dfrac {1}{a^2 + x^2}. \quad \checkmark \]

145.3 Integrali immediati riconducibili

Molti integrali apparentemente complessi si riducono a immediati semplificando algebricamente l’integranda. Le tecniche più comuni sono:

Esempio 145.2 — Divisione di polinomio

\[ \int \dfrac {x^3 + 1}{x^2}\,\mathrm {d}x = \int \left ( x + \dfrac {1}{x^2} \right )\,\mathrm {d}x = \dfrac {x^2}{2} - \dfrac {1}{x} + c. \]

Esempio 145.3 — Tangente al quadrato

\[ \int \operatorname{tg} ^2 x\,\mathrm {d}x = \int \left ( \dfrac {1}{\cos ^2 x} - 1 \right )\,\mathrm {d}x = \operatorname{tg} x - x + c. \]

Esempio 145.4 — Prodotto goniometrico via duplicazione

\[ \int \operatorname{sen} x \cos x\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \int \operatorname{sen} (2 x)\,\mathrm {d}x = -\dfrac {1}{4} \cos (2 x) + c. \]

Esempio 145.5 — Frazione con radice

\[ \int \dfrac {x - 1}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x = \int (x^{1/2} - x^{-1/2})\,\mathrm {d}x = \dfrac {2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2} + c. \]

145.4 Integrali quasi-immediati

Gli integrali quasi-immediati sono quelli che si presentano nella forma \(g(f(x)) \cdot f'(x)\), dove \(g\) è una funzione di cui conosciamo la primitiva. La regola è una sola, ed è la chain rule rovesciata:

Regola fondamentale del riconoscimento. Sia \(G\) una primitiva di \(g\). Allora

\[ \int g(f(x)) \cdot f'(x) \,\mathrm {d}x = G(f(x)) + c. \]

Verifica: derivando il secondo membro, \(G(f(x))' = G'(f(x)) f'(x) = g(f(x)) f'(x)\), che è proprio l’integranda.

Applicando la regola con le primitive note, si ottengono i seguenti pattern-cardine, da imparare a riconoscere a colpo d’occhio:

Schemi di integrazione quasi-immediata


Pattern	Primitiva

\([f(x)]^n \cdot f'(x)\), \(n \ne -1\)	\(\dfrac {[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c\)
\(\dfrac {f'(x)}{f(x)}\)	\(\ln \|f(x)\| + c\)
\(f'(x)\, e^{f(x)}\)	\(e^{f(x)} + c\)
\(f'(x)\, a^{f(x)}\)	\(\dfrac {a^{f(x)}}{\ln a} + c\)
\(f'(x) \cos (f(x))\)	\(\operatorname{sen} (f(x)) + c\)
\(f'(x) \operatorname{sen} (f(x))\)	\(-\cos (f(x)) + c\)
\(\dfrac {f'(x)}{\cos ^2(f(x))}\)	\(\operatorname{tg} (f(x)) + c\)
\(\dfrac {f'(x)}{\sqrt {1 - [f(x)]^2}}\)	\(\operatorname{arcsen} (f(x)) + c\)
\(\dfrac {f'(x)}{1 + [f(x)]^2}\)	\(\operatorname{arctg} (f(x)) + c\)

Procedura — Riconoscimento di un integrale quasi-immediato

1.: Identificare nell’integranda una funzione candidata \(f(x)\) all’interno della composizione.
2.: Calcolare \(f'(x)\) e verificare se compare (esattamente o a meno di una costante moltiplicativa) come fattore dell’integranda.
3.: Se è presente a meno di una costante, “aggiustare” moltiplicando e dividendo per essa (linearità).
4.: Applicare lo schema corrispondente.

Esempio 145.6 — Pattern potenza-per-derivata

Calcoliamo \(\int (3 x^2 + 1)^5 \cdot 6 x\,\mathrm {d}x\). Riconosciamo il pattern \([f(x)]^n f'(x)\). Pongo \(f(x) = 3 x^2 + 1\), \(f'(x) = 6 x\): è esattamente il fattore. Quindi

\[ \int (3 x^2 + 1)^5 \cdot 6 x\,\mathrm {d}x = \dfrac {(3 x^2 + 1)^6}{6} + c. \]

Esempio 145.7 — Pattern potenza-per-derivata con aggiustamento

Calcoliamo \(\int x (x^2 + 1)^5\,\mathrm {d}x\). \(f = x^2 + 1\), \(f' = 2 x\). Nell’integranda c’è \(x\), manca un fattore \(2\):

\[ \int x (x^2 + 1)^5\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \int 2 x (x^2 + 1)^5\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {(x^2 + 1)^6}{6} + c = \dfrac {(x^2 + 1)^6}{12} + c. \]

Esempio 145.8 — Pattern \(f'/f\) (logaritmica)

\[ \int \dfrac {2 x}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x = \ln (x^2 + 1) + c. \]

(Il valore assoluto si può omettere se \(f > 0\) sempre, come qui.)

Esempio 145.9 — Pattern \(f'/f\) con aggiustamento: \(\int \operatorname{tg} x\,\mathrm {d}x\)

\[ \int \operatorname{tg} x\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {\operatorname{sen} x}{\cos x}\,\mathrm {d}x = -\int \dfrac {-\operatorname{sen} x}{\cos x}\,\mathrm {d}x = -\ln |\cos x| + c. \]

(Riconosciuto \(f = \cos x\), \(f' = -\operatorname{sen} x\).)

Esempio 145.10 — \(\int \operatorname{cotg} x\)

\[ \int \operatorname{cotg} x\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {\cos x}{\operatorname{sen} x}\,\mathrm {d}x = \ln |\operatorname{sen} x| + c. \]

Esempio 145.11 — Pattern \(f' e^f\)

\[ \int x\, e^{x^2}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \int 2 x\, e^{x^2}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} e^{x^2} + c. \]

Esempio 145.12 — Pattern \(f' \cos (f)\)

\[ \int \cos (3 x + 5)\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{3} \int 3 \cos (3 x + 5)\,\mathrm {d}x = \dfrac {\operatorname{sen} (3 x + 5)}{3} + c. \]

Esempio 145.13 — Pattern \(f'/(1 + f^2)\)

\[ \int \dfrac {e^x}{1 + e^{2 x}}\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {e^x}{1 + (e^x)^2}\,\mathrm {d}x = \operatorname{arctg} (e^x) + c. \]

Caso speciale: argomento lineare \(f(x) = a x + b\)

Quando l’argomento interno è una funzione lineare \(a x + b\), allora \(f'(x) = a\) è una costante, e l’aggiustamento è facile:

\[ \int g(a x + b)\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{a} G(a x + b) + c, \]

dove \(G\) è una primitiva di \(g\).

Esempio 145.14 — Primitive con argomento lineare

\begin{align*} \int e^{2 x + 1}\,\mathrm {d}x &= \dfrac {1}{2} e^{2 x + 1} + c, \\ \int \cos (3 x)\,\mathrm {d}x &= \dfrac {1}{3} \operatorname{sen} (3 x) + c, \\ \int \dfrac {1}{2 x + 5}\,\mathrm {d}x &= \dfrac {1}{2} \ln |2 x + 5| + c, \\ \int (2 x + 1)^7\,\mathrm {d}x &= \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {(2 x + 1)^8}{8} + c = \dfrac {(2 x + 1)^8}{16} + c. \end{align*}

145.5 Esempi svolti

Esempio 145.15 — Pattern logaritmico con polinomio

\[ \int \dfrac {x}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \int \dfrac {2 x}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \ln (x^2 + 4) + c. \]

Esempio 145.16 — Pattern arcotangente con argomento composto

\[ \int \dfrac {1}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{4} \int \dfrac {1}{(x/2)^2 + 1}\,\mathrm {d}x. \]

Pongo \(f(x) = x/2\), \(f' = 1/2\): \(\int \dfrac {1}{4} \cdot \dfrac {1}{1 + f^2}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{4} \cdot 2 \int \dfrac {1/2}{1 + f^2}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \operatorname{arctg} \dfrac {x}{2} + c\).

(Più rapido: applicare direttamente la formula generale \(\int 1/(a^2 + x^2) = (1/a) \operatorname{arctg} (x/a) + c\) con \(a = 2\).)

Esempio 145.17 — \(\int (\ln x)^2 / x\)

\(f(x) = \ln x\), \(f'(x) = 1/x\). Riconosco pattern \(f^n \cdot f'\) con \(n = 2\):

\[ \int \dfrac {(\ln x)^2}{x}\,\mathrm {d}x = \dfrac {(\ln x)^3}{3} + c. \]

Esempio 145.18 — \(\int 1/(x \ln x)\)

\(f(x) = \ln x\), \(f'(x) = 1/x\). Pattern \(f'/f\):

\[ \int \dfrac {1}{x \ln x}\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {1/x}{\ln x}\,\mathrm {d}x = \ln |\ln x| + c. \]

(Valido per \(x > 1\) con valore assoluto omesso; per \(0 < x < 1\), \(\ln x < 0\) e va tenuto il valore assoluto.)

Esempio 145.19 — \(\int \operatorname{sen} x \cos ^4 x\)

\(f(x) = \cos x\), \(f' = -\operatorname{sen} x\). Pattern \(f^n f'\) con segno aggiustato:

\[ \int \operatorname{sen} x \cos ^4 x\,\mathrm {d}x = -\int (-\operatorname{sen} x) \cos ^4 x\,\mathrm {d}x = -\dfrac {\cos ^5 x}{5} + c. \]

Esempio 145.20 — \(\int x e^{-x^2}\) – la "mezza-gaussiana"

\(f(x) = -x^2\), \(f' = -2 x\). Pattern \(f' e^f\):

\[ \int x e^{-x^2}\,\mathrm {d}x = -\dfrac {1}{2} \int (-2 x) e^{-x^2}\,\mathrm {d}x = -\dfrac {1}{2} e^{-x^2} + c. \]

Notare che invece \(\int e^{-x^2}\,\mathrm {d}x\) (senza il fattore \(x\) davanti) non è esprimibile in forma elementare: il fattore \(x = -f'/2\) è ciò che rende l’integrale “risolubile”.

Esempio 145.21 — \(\int \dfrac {1}{\sqrt {4 - x^2}}\)

Pattern \(\operatorname{arcsen} \): \(\int \dfrac {1}{\sqrt {a^2 - x^2}}\,\mathrm {d}x = \operatorname{arcsen} (x/a) + c\) con \(a = 2\):

\[ \int \dfrac {1}{\sqrt {4 - x^2}}\,\mathrm {d}x = \operatorname{arcsen} \dfrac {x}{2} + c. \]

Esempio 145.22 — Combinazione di tecniche

\[ \int \dfrac {x + 2}{x^2 + 4 x + 5}\,\mathrm {d}x. \]

Il denominatore \(x^2 + 4 x + 5 = (x + 2)^2 + 1\) ha derivata \(2x + 4 = 2(x + 2)\). Il numeratore è proprio metà di questa derivata: pattern \(f'/f\) logaritmico.

\[ = \dfrac {1}{2} \int \dfrac {2 x + 4}{x^2 + 4 x + 5}\,\mathrm {d}x = \dfrac {1}{2} \ln (x^2 + 4 x + 5) + c. \]

(Non serve il valore assoluto perché \(x^2 + 4x + 5 > 0\) sempre.)

Esempio 145.23 — Decomposizione del numeratore

\[ \int \dfrac {2 x + 3}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \int \dfrac {2 x}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x + \int \dfrac {3}{x^2 + 4}\,\mathrm {d}x = \ln (x^2 + 4) + \dfrac {3}{2} \operatorname{arctg} \dfrac {x}{2} + c. \]

Il primo addendo è una logaritmica \(f'/f\); il secondo è un arcotangente generalizzato.

145.6 Esercizi proposti

Esercizio 145.1

1.

Argomento lineare:

(a): \(\int e^{-3 x}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int (5 x - 7)^4\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \operatorname{sen} (4 x + 1)\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int \dfrac {1}{2 - 3 x}\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int \dfrac {1}{\cos ^2(2 x)}\,\mathrm {d}x\).

2.

Pattern \([f]^n f'\):

(a): \(\int 2 x (x^2 + 7)^4\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int x^2 (x^3 - 5)^6\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \operatorname{sen} ^3 x \cos x\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int \cos ^5 x \operatorname{sen} x\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int \dfrac {\operatorname{arctg} x}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x\).

3.

Pattern \(f'/f\) (logaritmico):

(a): \(\int \dfrac {3 x^2}{x^3 + 5}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int \dfrac {2 x + 3}{x^2 + 3 x + 7}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \dfrac {1}{x \ln ^2 x}\,\mathrm {d}x\) (attenzione: è \(f^{-2} f'\), non \(f'/f\));
(d): \(\int \operatorname{tg} x\,\mathrm {d}x\) e \(\int \operatorname{cotg} x\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int \dfrac {e^x}{e^x + 1}\,\mathrm {d}x\).

4.

Pattern \(f' e^f\):

(a): \(\int 3 x^2 e^{x^3}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int e^{\operatorname{sen} x} \cos x\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \dfrac {e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int x e^{x^2 + 3}\,\mathrm {d}x\).

5.

Pattern goniometrici:

(a): \(\int \operatorname{sen} (x^2) \cdot 2 x\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int x \cos (x^2 + 1)\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \operatorname{sen} ^2 x\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: formula di duplicazione);
(d): \(\int \operatorname{sen} x \cos x\,\mathrm {d}x\) (due metodi: duplicazione oppure pattern \(f f'\)).

6.

Pattern \(\operatorname{arcsen} \) e \(\operatorname{arctg} \) generalizzati:

(a): \(\int \dfrac {1}{\sqrt {9 - x^2}}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int \dfrac {1}{16 + x^2}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \dfrac {1}{\sqrt {1 - 4 x^2}}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int \dfrac {1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: completare il quadrato).

7.

Decomposizione del numeratore:

(a): \(\int \dfrac {x + 1}{x^2 + 1}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int \dfrac {2 x - 3}{x^2 + 9}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int \dfrac {3 x + 5}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm {d}x\).

8.

Calcolare \(\int \dfrac {x}{\sqrt {1 - x^4}}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: \(f = x^2\)).

9.

Calcolare \(\int \dfrac {1}{x^2 - 9}\,\mathrm {d}x\) (formula di tabella; oppure scomposizione \(1/(x-3)(x+3)\)).

10.

Mostrare che \(\int \dfrac {1}{\sqrt {x^2 + 1}}\,\mathrm {d}x = \ln (x + \sqrt {x^2 + 1}) + c\) (per derivazione del secondo membro; il risultato è la funzione \(\mathrm {arsh}\,x\), settore-seno iperbolico).

11.

Determinare \(f(x)\) sapendo che \(f'(x) = \dfrac {2 x}{(x^2 + 1)^3}\) e \(f(0) = 5\).

12.

Calcolare \(\int (\operatorname{sen} x + 2)^3 \cos x\,\mathrm {d}x\).

13.

Determinare la primitiva di \(\dfrac {1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac {1}{x^2 - 1}\) (tabella) e verificarla per derivazione.

14.

Calcolare \(\int \dfrac {\operatorname{sen} x}{1 + \cos ^2 x}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: pattern \(\operatorname{arctg} \) con \(f = \cos x\)).

15.

Sfida. Mostrare che, per ogni \(n \ge 0\) intero,

\[ \int \cos ^{2 n + 1} x\,\mathrm {d}x = \int (1 - \operatorname{sen} ^2 x)^n \cos x\,\mathrm {d}x, \]

da cui, posto \(f = \operatorname{sen} x\), l’integrale si riduce a quello di un polinomio. Calcolare in particolare \(\int \cos ^3 x\,\mathrm {d}x\) e \(\int \cos ^5 x\,\mathrm {d}x\).

145.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Idea-chiave. Ogni regola del calcolo differenziale, letta al contrario, è una regola di integrazione. La chain rule rovesciata è la più importante.
Regola fondamentale del riconoscimento: \(\int g(f(x)) f'(x)\,\mathrm {d}x = G(f(x)) + c\) con \(G' = g\).
Pattern-cardine:
- \([f]^n f' \to f^{n+1}/(n+1)\) (potenze);
- \(f'/f \to \ln |f|\) (logaritmica);
- \(f' e^f \to e^f\) (esponenziale);
- \(f' \cos f \to \operatorname{sen} f\), \(f' \operatorname{sen} f \to -\cos f\);
- \(f'/(1 + f^2) \to \operatorname{arctg} f\);
- \(f'/\sqrt {1 - f^2} \to \operatorname{arcsen} f\).
Aggiustamento delle costanti. Quando la derivata interna \(f'\) compare a meno di un fattore moltiplicativo, si compensa moltiplicando e dividendo per esso.
Argomento lineare: caso particolare con \(f(x) = a x + b\), \(f' = a\): \(\int g(a x + b)\,\mathrm {d}x = G(a x + b)/a + c\).
Tabella estesa delle primitive immediate: oltre alle dieci funzioni elementari di 144, si memorizzano i casi parametrici \(1/(a^2 + x^2) \to (1/a) \operatorname{arctg} (x/a)\), \(1/\sqrt {a^2 - x^2} \to \operatorname{arcsen} (x/a)\), \(1/(x^2 - a^2) \to (1/(2a)) \ln |(x-a)/(x+a)|\).
Trucchi algebrici: divisione di polinomio (per gradi \(\ge \) denominatore), identità trigonometriche di duplicazione/bisezione, completamento del quadrato (per ricondurre a \(\operatorname{arctg} \) generalizzato).
Nel prossimo capitolo (146) le tecniche di sostituzione e per parti sistematizzano e potenziano queste idee, permettendo di affrontare integrali ben più generali di quelli quasi-immediati.

Capitolo 145 Integrali immediati e quasi-immediati