“
Se la funzione \(f(x+i)\) può essere sviluppata in serie nella forma \(f(x) + p\,i + q\,i^2 + r\,i^3 + \ldots \), la funzione \(p\) si chiamerà funzione primitiva
derivata di \(f(x)\) e si indicherà con \(f'(x)\).”
— Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (1797), traduzione adattata
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Nel capitolo precedente (133) abbiamo definito la derivata come limite del rapporto incrementale. Calcolare la derivata di ogni funzione partendo ogni volta dal limite sarebbe impraticabile: già per un polinomio di grado \(4\) il calcolo diretto richiede di sviluppare \((x+h)^4\), semplificare, passare al limite.
Si procede invece in due passi:
Restano fuori da questo capitolo soltanto due operazioni: composizione di funzioni (chain rule) e inversione, che richiedono argomenti dedicati e sono trattate nel 135. Le derivate delle funzioni goniometriche inverse e la tecnica della derivata logaritmica vengono di conseguenza ricavate solo lì.
A fine capitolo avremo a disposizione una tabella delle derivate elementari e una manciata di regole: bastano per derivare qualsiasi espressione del tipo polinomi, funzioni razionali, somme/prodotti/quozienti di funzioni elementari — copertura di tutti gli studi di funzione standard.
Il termine “derivata” e la notazione \(f'\) sono di Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), che nella Théorie des fonctions analytiques (1797) cercò di rifondare il calcolo senza usare il concetto di infinitesimo né di limite, sviluppando le funzioni in serie. Il programma non riuscì, ma la notazione \(f'\) è rimasta.
Riprendiamo i due casi più semplici, già visti come esempi via definizione nel 133.
Teorema 134.1 — Derivata di una funzione costante
Se \(f(x) = c\) con \(c \in \mathbb{R} \), allora \(f'(x) = 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).
Dimostrazione. Il rapporto incrementale vale \((c - c)/h = 0\) per ogni \(h \ne 0\); il limite per \(h \to 0\) è \(0\).
Interpretazione geometrica: la retta orizzontale \(y = c\) ha pendenza nulla in ogni punto.
Teorema 134.2 — Derivata dell’identità
Se \(f(x) = x\), allora \(f'(x) = 1\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).
Dimostrazione. Rapporto incrementale: \([(x+h) - x]/h = 1\), limite \(1\).
Teorema 134.3 — Derivata della potenza intera
Per ogni \(n \in \mathbb{N} \), \(n \ge 1\):
Dimostrazione. Sviluppiamo \((x+h)^n\) con la formula del binomio di Newton (76):
Il rapporto incrementale:
Passando al limite per \(h \to 0\) rimane solo il primo termine: \(n x^{n-1}\).
Teorema 134.4 — Derivata della potenza reale
Per ogni \(\alpha \in \mathbb{R} \) e per ogni \(x > 0\):
La stessa formula vale su tutto il dominio naturale di \(x^\alpha \) quando ha senso (per esempio per \(\alpha \) intero su \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), per \(\alpha = 1/n\) con \(n\) dispari su \(\mathbb{R} \)).
La dimostrazione generale richiede la derivata logaritmica (135): \(x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\), e si deriva con la chain rule. Qui ci limitiamo a osservare che la formula è uniforme: vale identica per esponenti naturali, interi, razionali e irrazionali, su ogni intervallo in cui \(x^\alpha \) è definita e derivabile.
Casi notevoli.
Esempio 134.1 — Calcoli diretti
Teorema 134.5 — Derivate di seno e coseno
Per ogni \(x \in \mathbb{R} \):
Dimostrazione del seno. Era già nel 133: per la formula di addizione \(\operatorname{sen} (x+h) = \operatorname{sen} x \cos h + \cos x \operatorname{sen} h\),
usando i limiti notevoli \(\lim _{h \to 0} (\cos h - 1)/h = 0\) e \(\lim _{h \to 0} \operatorname{sen} h / h = 1\) (129).
Dimostrazione del coseno. Analogamente, da \(\cos (x+h) = \cos x \cos h - \operatorname{sen} x \operatorname{sen} h\):
Teorema 134.6 — Derivate di tangente e cotangente
Per ogni \(x\) del dominio:
Le due derivate si ottengono dalle regole del quoziente (134.8) applicate a \(\operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x / \cos x\) e \(\cot x = \cos x / \operatorname{sen} x\), una volta noti \(D(\operatorname{sen} )\) e \(D(\cos )\).
Teorema 134.7 — Derivata dell’esponenziale naturale
Per ogni \(x \in \mathbb{R} \):
Dimostrazione. Per le proprietà della potenza, \(e^{x+h} = e^x e^h\), dunque
usando il limite notevole \(\lim _{h \to 0} (e^h - 1)/h = 1\) (129).
Una proprietà unica: \(e^x\) è la sola (a meno di moltiplicazione per costante) funzione che coincide con la propria derivata. È esattamente questa la caratteristica che rende \(e^x\) così naturale (di qui anche il nome “esponenziale naturale”).
Teorema 134.8 — Derivata dell’esponenziale generale
Per ogni \(a > 0\), \(a \ne 1\), e ogni \(x \in \mathbb{R} \):
Dimostrazione. Si scrive \(a^x = e^{x \ln a}\) e si applica la chain rule (anticipata, vedi 135): \(D(a^x) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a\). Alternativamente, ripetendo la dimostrazione precedente, si usa \(\lim _{h \to 0} (a^h - 1)/h = \ln a\).
Teorema 134.9 — Derivata del logaritmo naturale
Per ogni \(x > 0\):
Dimostrazione. Scriviamo
Ponendo \(t = h/x\), \(t \to 0\) quando \(h \to 0\), e usando \(\lim _{t \to 0} \ln (1+t)/t = 1\) (129):
Teorema 134.10 — Derivata del logaritmo generale
Per ogni \(a > 0\), \(a \ne 1\), e ogni \(x > 0\):
Segue dal cambio di base \(\log _a x = \ln x / \ln a\) e dalla linearità.
Teorema 134.11 — Linearità della derivazione
Siano \(f, g : I \to \mathbb{R} \) derivabili in \(x_0\) interno a \(I\), e sia \(\lambda \in \mathbb{R} \). Allora \(f + g\) e \(\lambda f\) sono derivabili in \(x_0\), e
Dimostrazione (somma). Il rapporto incrementale di \(f+g\) è la somma dei rapporti incrementali:
Per linearità del limite (128), il limite della somma è la somma dei limiti: \(f'(x_0) + g'(x_0)\).
Dimostrazione (moltiplicazione per costante). Analoga: \([\lambda f(x_0+h) - \lambda f(x_0)]/h = \lambda \cdot [f(x_0+h) - f(x_0)]/h \to \lambda f'(x_0)\).
Esempio 134.2 — Polinomio
\(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 9\). Per linearità e per \(D(x^n) = n x^{n-1}\):
Esempio 134.3 — Funzione mista
\(f(x) = 3 \operatorname{sen} x - 2 e^x + 5 \ln x\) per \(x > 0\). Per linearità:
Esempio 134.4 — Derivata della retta tangente come polinomio
La retta tangente \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\) è un polinomio di primo grado in \(x\). La sua derivata è la costante \(f'(x_0)\), in accordo col fatto che la pendenza della retta è la stessa in ogni punto.
Teorema 134.12 — Regola del prodotto (Leibniz)
Siano \(f, g\) derivabili in \(x_0\). Allora \(fg\) è derivabile in \(x_0\) e
Dimostrazione. La mossa chiave è “aggiungere e sottrarre” \(f(x_0 + h) \, g(x_0)\) al numeratore del rapporto incrementale:
Passando al limite per \(h \to 0\): \(f(x_0 + h) \to f(x_0)\) (continuità, conseguenza di derivabilità), il primo rapporto incrementale tende a \(g'(x_0)\), il secondo a \(f'(x_0)\). Si ottiene \(f(x_0) g'(x_0) + g(x_0) f'(x_0)\).
Attenzione!
La derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate. È un errore frequentissimo all’inizio. La regola corretta è “derivata del primo per il secondo, più il primo per la derivata del secondo”.
Esempio 134.5 — Prodotto polinomio per esponenziale
\(f(x) = x^2 \, e^x\). Posti \(u(x) = x^2\) e \(v(x) = e^x\):
Esempio 134.6 — Prodotto seno per coseno
\(f(x) = \operatorname{sen} x \cdot \cos x\). Per la regola del prodotto:
Coerente con \(f(x) = \frac {1}{2} \operatorname{sen} (2x)\), la cui derivata — via chain rule — vale \(\cos (2x)\).
Estensione a tre fattori. Iterando la regola del prodotto:
Teorema 134.13 — Regola del quoziente
Siano \(f, g\) derivabili in \(x_0\) e \(g(x_0) \ne 0\). Allora \(f/g\) è derivabile in \(x_0\) e
Dimostrazione (caso particolare \(f = 1\)). Calcoliamo prima \(D(1/g)\). Per definizione,
Passando al limite (e usando \(g\) continua in \(x_0\), conseguenza di derivabilità): \(-g'(x_0) / [g(x_0)]^2\).
Dimostrazione (caso generale). Scriviamo \(f/g = f \cdot (1/g)\) e applichiamo la regola del prodotto:
Esempio 134.7 — Derivata di \(\operatorname{tg} x\)
\(\operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x / \cos x\). Posti \(f = \operatorname{sen} x\) e \(g = \cos x\):
Equivalentemente, dividendo numeratore e denominatore per \(\cos ^2 x\): \(D(\operatorname{tg} x) = 1 + \operatorname{tg} ^2 x\).
Esempio 134.8 — Funzione razionale
\(f(x) = \dfrac {x^2 + 1}{x - 1}\). Posti \(u = x^2 + 1\), \(v = x - 1\), \(u' = 2x\), \(v' = 1\):
Nei prossimi esempi combiniamo più regole.
Esempio 134.9 — Polinomio di grado alto
\(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 7x^2 - x + 11\). Per linearità e \(D(x^n) = n x^{n-1}\):
Esempio 134.10 — Prodotto seno per polinomio
\(f(x) = x^3 \operatorname{sen} x\). Per la regola del prodotto:
Esempio 134.11 — Quoziente con esponenziale
\(f(x) = \dfrac {e^x}{x}\), per \(x \ne 0\). Posti \(u = e^x\), \(v = x\):
Esempio 134.12 — Funzione mista con \(\ln \)
\(f(x) = (2x + 1) \ln x\), per \(x > 0\). Per la regola del prodotto:
Esempio 134.13 — Retta tangente con regole
Determinare la retta tangente al grafico di \(f(x) = x^2 e^x\) nel punto di ascissa \(x_0 = 1\).
Per la regola del prodotto: \(f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2 + 2x)\). In \(x_0 = 1\): \(f(1) = 1 \cdot e = e\), \(f'(1) = e \cdot (1 + 2) = 3e\). Tangente: \(y = e + 3e(x - 1) = 3e \cdot x - 2e\).
Esempio 134.14 — Combinazione completa
\(f(x) = \dfrac {x \operatorname{sen} x}{1 + x^2}\). Posti \(u = x \operatorname{sen} x\), \(v = 1 + x^2\):
Derivata del numeratore (regola del prodotto): \(u' = \operatorname{sen} x + x \cos x\).
Derivata del denominatore: \(v' = 2x\).
Regola del quoziente:
Esercizio 134.1
Suggerimento: applicare due volte la regola del prodotto. Si nota la struttura dei coefficienti binomiali \(\binom {2}{0}, \binom {2}{1}, \binom {2}{2}\), che generalizza alla formula di Leibniz \((fg)^{(n)} = \sum _{k=0}^{n} \binom {n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\).
Riepilogo
Tabella delle derivate elementari.
Regole di combinazione.
Errori da evitare: la derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate; la derivata di un quoziente non è il quoziente delle derivate.
Cosa manca a questa tabella: la derivata di funzioni composte (es. \(\operatorname{sen} (x^2)\), \(e^{-x^2}\), \(\ln (\cos x)\)) e di funzioni inverse (es. \(\operatorname{arcsen} x\), \(\arctan x\)). Le otteniamo nel 135 con la chain rule e la formula della derivata della funzione inversa.