Il valore di \(\left (1 + \tfrac {1}{n}\right )^n\), al crescere di \(n\), converge a un numero misterioso, compreso tra \(2\) e \(3\), che esprime la legge della
crescita continua.”
— Jacob Bernoulli, studiando l’interesse composto (1683)
Nel capitolo precedente (80) abbiamo esteso le potenze \(a^x\) a esponente reale qualsiasi. Adesso
facciamo un cambio di prospettiva: invece di considerare \(a^x\) come “un numero” (per \(x\) fissato), lo
consideriamo come una funzione di \(x\) — la funzione esponenziale. Studieremo il suo grafico, le sue
proprietà di crescita o decrescita, gli asintoti.
La funzione esponenziale è probabilmente la funzione più importante delle scienze applicate
dopo le funzioni polinomiali, perché descrive tutte le crescite e decrescite proporzionali al valore
corrente:
Interesse composto in finanza: il capitale cresce in modo proporzionale al capitale stesso.
Decadimento radioattivo in fisica: la quantità di sostanza che decade è proporzionale alla
quantità presente.
Crescita di una popolazione in biologia (modello malthusiano, valido nei primi stadi senza
limiti di risorse).
Carica e scarica di un condensatore in elettronica.
Diffusione di un’epidemia nei primi stadi (modello SIR).
In matematica pura, una delle scoperte più sorprendenti — dovuta a Jacob Bernoulli (1683) ed
Eulero (1748) — è che esiste una base privilegiata per la quale le formule esponenziali assumono
una forma particolarmente elegante: il numero \(e \approx 2.71828\), detto numero di Nepero. È la base “naturale” della
crescita.
In questo capitolo:
definiamo formalmente la funzione esponenziale e individuiamone dominio e codominio;
descriviamone il grafico nei due casi \(a > 1\) (crescente) e \(0 < a < 1\) (decrescente);
enunciamo le proprietà chiave (continuità, monotonia, iniettività, convessità, asintoto
orizzontale);
introduciamo il numero \(e\) di Nepero e le sue proprietà fondamentali.
\(a = 1\): si ottiene la funzione costante \(f(x) = 1^x = 1\) per ogni \(x\), che non presenta nessuna delle
caratteristiche tipiche di una funzione esponenziale.
\(a \leq 0\): come visto in 80, \(a^x\) non si estende a esponente reale per basi non positive.
Quindi imponiamo sempre \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Nota — Dominio e codominio
Dominio: \(\mathrm {Dom}(f) = \mathbb{R} \) — la funzione è definita per ogni \(x\) reale.
Codominio (immagine): \(\mathrm {Im}(f) = \mathbb{R} ^{+} = (0, +\infty )\) — l’esponenziale assume sempre valori strettamente positivi,
mai zero o negativi.
Cominciamo con il caso più frequente: \(a > 1\). Tipici esempi: \(a = 2, 3, e, 10\).
Teorema 81.1 — Caratteristiche del grafico per
\(a > 1\)
La funzione \(f(x) = a^x\) con \(a > 1\) ha le seguenti proprietà:
Strettamente crescente su \(\mathbb{R} \).
Passa per \((0, 1)\) e \((1, a)\).
Convessa: il grafico “si curva verso l’alto”.
Asintoto orizzontale a sinistra: \(a^x \to 0^+\) per \(x \to -\infty \). La retta \(y = 0\) è asintoto orizzontale.
Cresce illimitatamente a destra: \(a^x \to +\infty \) per \(x \to +\infty \). La crescita è più veloce di ogni polinomio.
Figura 81.1: Grafici di tre funzioni esponenziali con base \(> 1\): \(y = 2^x\), \(y = e^x\) (con \(e \approx 2.718\)), \(y = 3^x\). Tutte passano per \((0, 1)\).
Tutte sono strettamente crescenti e convesse, con asintoto orizzontale \(y = 0\) a sinistra. A parità di
\(x > 0\), base maggiore \(\Rightarrow \) valore maggiore.
Caso opposto: \(0 < a < 1\). Esempi: \(a = 1/2, 1/3, 1/e\).
Teorema 81.2 — Caratteristiche del grafico per
\(0 < a < 1\)
La funzione \(f(x) = a^x\) con \(0 < a < 1\) ha le seguenti proprietà:
Strettamente decrescente su \(\mathbb{R} \).
Passa per \((0, 1)\) e \((1, a)\) con \(a < 1\).
Convessa (anche in questo caso!).
Cresce illimitatamente a sinistra: \(a^x \to +\infty \) per \(x \to -\infty \).
Asintoto orizzontale a destra: \(a^x \to 0^+\) per \(x \to +\infty \). La retta \(y = 0\) è asintoto orizzontale.
Nota — Simmetria \(a\) vs \(1/a\)
Vale la fondamentale identità \((1/a)^x = a^{-x}\). Questo significa che il grafico di \((1/a)^x\) è il riflesso rispetto
all’asse \(y\) del grafico di \(a^x\).
Esempi: \((1/2)^x\) è il riflesso di \(2^x\); \((1/e)^x = e^{-x}\) è il riflesso di \(e^x\).
Figura 81.2: Grafici di funzioni esponenziali con base \(< 1\): \(y = (1/2)^x\), \(y = (1/3)^x\). Tutte passano per \((0, 1)\). Sono
strettamente decrescenti, convesse, con asintoto orizzontale \(y = 0\) a destra. Sono i riflessi rispetto
all’asse \(y\) delle corrispondenti \(y = 2^x\), \(y = 3^x\).
Strettamente monotona: crescente se \(a > 1\), decrescente se \(0 < a < 1\).
Iniettiva: \(a^x = a^y \iff x = y\). Quindi biettiva da \(\mathbb{R} \) a \(\mathbb{R} ^+\), e ha un’inversa (il logaritmo, 82).
Convessa su \(\mathbb{R} \).
Asintoto orizzontale \(y = 0\) (a \(-\infty \) se \(a > 1\); a \(+\infty \) se \(0 < a < 1\)).
Tutti i grafici passano per \((0, 1)\).
Proprietà funzionale fondamentale: \(f(x + y) = f(x)\cdot f(y)\).
Nota — Velocità di crescita
La funzione esponenziale a base \(a > 1\) cresce “più velocemente” di qualsiasi polinomio: per
ogni \(n \in \mathbb{N} \) fissato,
\[ \lim _{x\to +\infty } \frac {x^n}{a^x} = 0. \]
(Vedremo questa proprietà in 138 con il teorema di De L’Hôpital.) Intuitivamente: per \(x\)
molto grande, \(2^x\) supera \(x^{100}\), supera \(x^{1000}\), supera qualsiasi potenza fissa di \(x\).
Nota — Confronto tra basi diverse
Per \(a > 1\) fissato:
nei punti \(x > 0\), basi più grandi danno valori più grandi;
nei punti \(x < 0\), basi più grandi danno valori più piccoli;
tutti i grafici si incrociano in \((0, 1)\).
È quanto si vede nella figura 81.1: \(3^x > e^x > 2^x\) per \(x > 0\), e l’ordine si inverte per \(x < 0\).
Tra tutte le possibili basi \(a > 0, a \neq 1\), ne esiste una in particolare che rende la funzione esponenziale
“naturale” — nel senso che le sue formule diventano le più semplici possibili. È il numero di
Nepero, denotato \(e\).
John Napier (Nepero) (1614): introduce i logaritmi per semplificare i calcoli
astronomici, anche se non isola esplicitamente il numero \(e\) (usa basi diverse).
Jacob Bernoulli (1683): studiando l’interesse composto continuo, scopre che \((1 + 1/n)^n\) converge
per \(n \to \infty \) a un numero compreso tra \(2\) e \(3\).
Leonhard Euler (1727–1748): isola il numero, gli dà il simbolo \(e\) (probabilmente
per “esponenziale”), dimostra che è irrazionale (1737) e ne calcola decine di cifre.
Stabilisce la formula
Charles Hermite (1873): dimostra che \(e\) è trascendente (non è radice di nessun
polinomio a coefficienti razionali). Questo implica, per esempio, che \(e^\pi \) è ben definito
ma di natura molto più complessa di un numero algebrico.
Nota — Perché “\(e\)” è la base naturale
La proprietà unica del numero \(e\) è la seguente (la dimostreremo in 134):
La funzione \(f(x) = e^x\) è uguale alla propria derivata.
In simboli: \(\dfrac {d}{dx}e^x = e^x\). È l’unica base \(a > 0\) per cui \(\dfrac {d}{dx}a^x = a^x\) in ogni punto. Per altre basi compare un fattore
moltiplicativo:
\[ \frac {d}{dx}a^x = a^x\,\ln a, \]
dove \(\ln \) è il logaritmo naturale di base \(e\) (82). La presenza del fattore \(\ln a\) rende meno eleganti
tutte le formule, e per questo motivo \(e\) è la base privilegiata in matematica avanzata.
Esempio 81.1 — Interesse composto continuo
Capitalizzo \(100~\text {euro}\) al tasso del \(5\,{\% }\) annuo. Se l’interesse è composto \(n\) volte all’anno (cioè ogni \(1/n\)
anno il capitale aumenta del \(5\%/n\)), dopo un anno avrò
Da \(y = 2^x\) a \(y = 2^{x-1}\): traslazione orizzontale di \(+1\).
2.
Da \(y = 2^{x-1}\) a \(y = 2^{x-1} + 3\): traslazione verticale di \(+3\).
Il grafico finale è una curva esponenziale crescente che parte (asintoticamente) dalla retta \(y = 3\) a
sinistra (anziché \(y = 0\)) e passa per \((1, 4)\).
Esempio 81.4 — Riconoscere il tipo di grafico
La funzione \(f(x) = \left (\dfrac {3}{2}\right )^x\) è crescente o decrescente?
Soluzione. La base \(3/2 = 1.5 > 1\): la funzione è strettamente crescente.
Esempio 81.5 — Equazione che richiede la funzione
esponenziale
Per quale valore di \(x\) si ha \(3^x = 1/9\)?
Soluzione. \(1/9 = 3^{-2}\), quindi \(3^x = 3^{-2}\). Per iniettività: \(x = -2\).
(Decadimento radioattivo.) Il tempo di dimezzamento del Carbonio-14 è \(5730\,{\text {anni}}\). La quantità
rimasta dopo \(t\) anni è \(N(t) = N_0\cdot (1/2)^{t/5730}\). Calcola quanto resta di un campione iniziale di \(1\,{\text {kg}}\) dopo \(10000\)
anni.
13.
(Discussione.) Spiega perché il grafico di \(y = a^x\) è sempre convesso, qualunque sia \(a > 0\) (con
\(a \neq 1\)). (Suggerimento: pensare alla derivata seconda, che è positiva — vedremo in
140.)
14.
(Sfida.) Mostra che la funzione \(f(x) = e^x\) ha la proprietà: per ogni \(x\), la retta tangente al grafico in \((x, e^x)\) ha
coefficiente angolare \(e^x\) (cioè uguale al valore della funzione). (Suggerimento: anticipo della
derivata di \(e^x\), 134.)
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