“
Quando una curva si presenta convessa verso un certo asse, le sue ordinate crescono in modo
che il loro incremento secondo sia positivo; quando si presenta concava, l’incremento secondo è
negativo. Nei punti in cui la curva passa dall’una all’altra disposizione, l’incremento secondo si
annulla.”
— Leonhard Euler, Institutiones calculi differentialis (1755), Cap. XII, traduzione adattata
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Nel capitolo precedente (139) abbiamo visto come la derivata prima \(f'\) controlli la crescenza di una funzione e ci permetta di individuare massimi e minimi locali. Ora facciamo un passo in più: la derivata seconda \(f'' = (f')'\) controlla un’altra proprietà geometrica fondamentale del grafico, la concavità (la sua “curvatura”), e ci offre uno strumento alternativo al test del segno di \(f'\) per classificare i punti critici.
Intuitivamente: dove la velocità con cui \(f\) cresce sta a sua volta aumentando (cioè \(f'\) è crescente, ovvero \(f'' > 0\)), il grafico “si curva verso l’alto” come una conca aperta; dove la velocità sta diminuendo (\(f'' < 0\)), il grafico “si curva verso il basso”. I punti in cui il grafico cambia tipo di curvatura si chiamano punti di flesso.
Questa lettura geometrica, già intuita da Newton e formalizzata da Eulero nel Institutiones calculi differentialis (1755), completa il quadro degli strumenti a derivate di cui disponiamo per analizzare il comportamento qualitativo di una funzione. Nel capitolo successivo (141) li metteremo tutti insieme nello studio completo di funzione.
Definizione 140.1 — Funzione convessa, concava (definizione geometrica)
Sia \(f\) definita su un intervallo \(I\). Diciamo che \(f\) è:
convessa su \(I\) se per ogni coppia di punti \(x_1, x_2 \in I\) con \(x_1 < x_2\) il segmento (corda) che unisce \((x_1, f(x_1))\) e \((x_2, f(x_2))\) giace al di sopra (o sul) del grafico di \(f\) nell’intervallo \([x_1, x_2]\). In simboli, per ogni \(t \in [0, 1]\),
Se le disuguaglianze sono strette per \(t \in (0, 1)\), si parla di convessità (o concavità) stretta.
Attenzione!
La terminologia varia da testo a testo. Convessa è anche detta “concava verso l’alto” (perché la curva ricorda una conca aperta verso l’alto, \(\smile \)). Concava è anche detta “concava verso il basso” (\(\frown \)). In questo testo useremo convessa per il primo caso e concava per il secondo, ma manterremo per chiarezza il riferimento visivo.
La definizione geometrica via corde è quella “primaria”, ma per funzioni derivabili due volte il legame con la derivata seconda è semplice e operativo.
Teorema 140.1 — Criterio di concavità con la derivata seconda
Sia \(f\) derivabile due volte su un intervallo \(I\). Allora:
Idea della dimostrazione. \(f'' = (f')'\). Se \(f'' > 0\) allora \(f'\) è strettamente crescente (criterio di monotonia, 137): la pendenza della tangente aumenta da sinistra verso destra. Una funzione la cui pendenza aumenta è proprio una funzione convessa (la tangente in un punto giace sotto il grafico, e equivalentemente la corda fra due punti giace sopra). La dimostrazione formale si fa applicando Lagrange su \([x_1, x]\) e \([x, x_2]\) per ottenere la disuguaglianza della corda.
Esempio 140.1 — Concavità di \(f(x) = x^2\)
\(f''(x) = 2 > 0\) ovunque: la parabola \(y = x^2\) è strettamente convessa su tutto \(\mathbb{R} \) (cosa intuitivamente chiara dal suo grafico a conca aperta verso l’alto).
Esempio 140.2 — Concavità di \(f(x) = \ln x\)
\(f'(x) = 1/x\), \(f''(x) = -1/x^2 < 0\) per ogni \(x > 0\): il logaritmo è strettamente concavo sul suo dominio. Questa proprietà è alla base, ad esempio, della disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica: \(\ln \bigl (\frac {a+b}{2}\bigr ) \ge \frac {\ln a + \ln b}{2}\), da cui \(\frac {a+b}{2} \ge \sqrt {ab}\).
Esempio 140.3 — Concavità mista di \(f(x) = x^3\)
\(f''(x) = 6x\). Quindi \(f\) è concava per \(x < 0\) (\(f'' < 0\)) e convessa per \(x > 0\) (\(f'' > 0\)). Il punto \(x = 0\), in cui la concavità cambia, è un punto di flesso (definito nella prossima sezione).
Definizione 140.2 — Punto di flesso
Nel punto \((x_0, f(x_0))\) il grafico di \(f\) ha la particolarità geometrica di attraversare la propria tangente (quando questa esiste): la tangente sta da una parte del grafico prima di \(x_0\), e dall’altra dopo.
Teorema 140.2 — Condizione necessaria per un flesso (con \(f''\))
Dimostrazione. Se \(x_0\) è un flesso, \(f''\) cambia segno in \(x_0\). Ma \(f''\) è continua (lo stiamo assumendo derivabile due volte e in pratica con \(f''\) continua); una funzione continua che cambia segno deve annullarsi.
Attenzione!
Anche qui, come per il lemma di Fermat sui punti critici (137), la condizione \(f''(x_0) = 0\) è necessaria ma non sufficiente. Esempio: \(f(x) = x^4\). \(f''(0) = 0\), ma \(f''(x) = 12 x^2 \ge 0\) ovunque, dunque \(f\) è convessa su tutto \(\mathbb{R} \) e \(x = 0\) non è un flesso.
Attenzione!
Esempio 140.4 — Flesso del cubico
\(f(x) = x^3\). \(f''(x) = 6x\), che si annulla in \(x = 0\) e cambia segno (negativa per \(x < 0\), positiva per \(x > 0\)). Quindi \(x = 0\) è punto di flesso. Poiché \(f'(0) = 0\), il flesso è “a tangente orizzontale” (l’asse \(x\) è tangente al grafico nel flesso).
Esempio 140.5 — Flessi di \(f(x) = \operatorname{sen} x\)
\(f''(x) = -\operatorname{sen} x\). Si annulla per \(x = k \pi \), \(k \in \mathbb{Z} \), e cambia segno in ciascuno di essi: tutti i multipli interi di \(\pi \) sono punti di flesso. In ciascuno la pendenza è \(f'(k\pi ) = \cos (k\pi ) = \pm 1 \ne 0\): i flessi sono a tangente obliqua.
La derivata seconda permette, oltre a determinare la concavità, anche di classificare un punto critico (zero di \(f'\)) come massimo o minimo locale, alternativa al test del segno di \(f'\) visto in 139.
Teorema 140.3 — Test della derivata seconda per estremi locali
Sia \(f\) derivabile due volte in un intorno di \(x_0\), con \(f'(x_0) = 0\). Allora:
Idea della dimostrazione. Se \(f'(x_0) = 0\) e \(f''(x_0) > 0\), allora \(f\) è (localmente) convessa intorno a \(x_0\); in un intorno di un punto a tangente orizzontale di una funzione convessa il grafico sta sopra la tangente orizzontale stessa, cioè \(f(x) \ge f(x_0)\), dunque \(x_0\) è minimo. Analogamente per il massimo.
Attenzione!
Il caso \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) non dice nulla: serve un’analisi caso per caso. Esempi:
Regola generale (derivate superiori). Se la prima derivata non nulla in \(x_0\) è \(f^{(n)}(x_0)\) con \(f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0\), allora: se \(n\) è pari, \(x_0\) è estremo locale (max se \(f^{(n)} < 0\), min se \(f^{(n)} > 0\)); se \(n\) è dispari, \(x_0\) è un flesso a tangente orizzontale.
Procedura — Studio di concavità e flessi con la derivata seconda
Esempio 140.6 — Concavità e flessi di \(f(x) = x^3 - 3x\)
\(f'(x) = 3x^2 - 3\), \(f''(x) = 6x\). \(f''(x) = 0 \iff x = 0\). Segno: \(f'' < 0\) per \(x < 0\) (concava), \(f'' > 0\) per \(x > 0\) (convessa). \(x = 0\) è un flesso, \(f(0) = 0\), \(f'(0) = -3\): flesso a tangente obliqua di equazione \(y = -3 x\). Confrontato con l’Esempio di AN-014: estremi locali in \(x = \pm 1\) (massimo a \(-1\), minimo a \(1\)), il flesso \(0\) sta esattamente tra i due estremi.
Esempio 140.7 — Test della derivata seconda applicato
\(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\). \(f'(x) = 3x^2 - 12 x + 9 = 3(x-1)(x-3)\), zeri in \(x = 1\) e \(x = 3\). \(f''(x) = 6x - 12\).
Inoltre \(f''(x) = 0 \iff x = 2\), con cambio di segno: flesso in \(x = 2\), \(f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3\), \(f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3\): flesso a tangente obliqua \(y - 3 = -3(x - 2)\), ovvero \(y = -3x + 9\).
I punti di flesso si distinguono a seconda di come si presenta la tangente al grafico in quel punto:
Procedura — Distinguere i tipi di flesso
Una volta accertato che \(x_0\) è un punto di flesso (cambio di concavità):
Nota: i flessi a tangente verticale sono casi particolari di punti di non derivabilità (136), ma è importante distinguerli dalle cuspidi, in cui le derivate laterali divergono a infiniti di segno opposto e la concavità da entrambi i lati è la stessa (la cuspide non è un flesso).
Esempio 140.8 — Studio completo concavità e flessi di un polinomio
\(f(x) = x^4 - 4 x^3 + 4 x^2\). \(f'(x) = 4x^3 - 12 x^2 + 8 x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)\). \(f''(x) = 12 x^2 - 24 x + 8 = 4(3 x^2 - 6 x + 2)\). \(f''(x) = 0 \iff x = \dfrac {6 \pm \sqrt {36 - 24}}{6} = \dfrac {6 \pm 2\sqrt {3}}{6} = 1 \pm \dfrac {\sqrt {3}}{3} \approx 0.42; 1.58\). Segno: \(f'' > 0\) all’esterno delle radici (concava in alto \(\smile \)), \(f'' < 0\) all’interno (\(\frown \)).
Due punti di flesso, entrambi a tangente obliqua. Numericamente: in \(x \approx 0.42\), \(f(x) \approx 0.49\); in \(x \approx 1.58\), \(f(x) \approx 0.49\).
Esempio 140.9 — Test della derivata seconda inconclusivo: \(f(x) = x^4\)
\(f'(x) = 4 x^3\), \(f''(x) = 12 x^2\). \(f'(0) = 0\), \(f''(0) = 0\). Il test fallisce. Usiamo il test della derivata prima (139): \(f' < 0\) per \(x < 0\), \(f' > 0\) per \(x > 0\); cambio \(- \to +\): \(x = 0\) è minimo locale (anzi, è anche assoluto). Inoltre \(f''(x) \ge 0\) ovunque, quindi \(f\) è convessa su \(\mathbb{R} \) senza flessi.
Esempio 140.10 — Esponenziale gaussiana
\(f(x) = e^{-x^2}\) (la famosa “campana”). \(f'(x) = -2 x e^{-x^2}\), \(f''(x) = (-2)e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4 x^2 - 2) e^{-x^2} = 2(2 x^2 - 1) e^{-x^2}\). \(f''(x) = 0 \iff x = \pm 1/\sqrt {2}\). Segno: \(f'' < 0\) per \(|x| < 1/\sqrt {2}\) (\(\frown \)), \(f'' > 0\) per \(|x| > 1/\sqrt {2}\) (\(\smile \)). Due flessi simmetrici in \(x = \pm 1/\sqrt {2}\), \(f(\pm 1/\sqrt {2}) = e^{-1/2} \approx 0.607\), \(f'(\pm 1/\sqrt {2}) = \mp \sqrt {2} \, e^{-1/2} \approx \mp 0.858\). La famosa larghezza “a metà altezza” della gaussiana è legata proprio alla posizione di questi flessi (in statistica corrispondono ai punti a \(\pm 1\) deviazione standard quando \(f\) è la densità normale standard).
Esempio 140.11 — Logistica
\(f(x) = \dfrac {1}{1 + e^{-x}}\) (sigmoide). \(f'(x) = \dfrac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = f(x)(1 - f(x))\). Per calcolare \(f''\) scriviamo \(f' = f - f^2\) e deriviamo: \(f'' = f' - 2 f f' = f'(1 - 2f) = f(1-f)(1 - 2f)\). \(f''(x) = 0 \iff f(x) = 1/2 \iff x = 0\). Per \(x < 0\), \(f < 1/2\) quindi \(1 - 2f > 0\), \(f'' > 0\): convessa. Per \(x > 0\), concava. Flesso in \(x = 0\), \(f(0) = 1/2\), \(f'(0) = 1/4\): tangente \(y = \frac {x}{4} + \frac {1}{2}\) (è la migliore approssimazione lineare della sigmoide vicino allo zero).
Esempio 140.12 — Flesso a tangente verticale
\(f(x) = \sqrt [3]{x - 1} = (x-1)^{1/3}\). \(f'(x) = \frac {1}{3}(x-1)^{-2/3}\), definita per \(x \ne 1\), e \(\lim _{x \to 1} f'(x) = +\infty \). \(f''(x) = -\frac {2}{9}(x-1)^{-5/3}\). Per \(x < 1\): \((x-1)^{-5/3} < 0\) quindi \(f''(x) > 0\) (\(\smile \)). Per \(x > 1\): \((x-1)^{-5/3} > 0\) quindi \(f''(x) < 0\) (\(\frown \)). La concavità cambia in \(x = 1\): flesso a tangente verticale (la funzione è continua in \(1\), \(f(1) = 0\), e \(f'\) diverge a \(+\infty \) con stesso segno da entrambi i lati).
Esempio 140.13 — Verifica del test della derivata seconda con un quartico “flesso”-trabocchetto
\(f(x) = x^4 - 4 x\). \(f'(x) = 4 x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)\), zero in \(x = 1\). \(f''(x) = 12 x^2\), \(f''(1) = 12 > 0\): minimo locale (anzi, assoluto) in \(x = 1\), \(f(1) = -3\). Verifichiamo che \(f''(x) = 0 \iff x = 0\), ma \(f''\) non cambia segno in \(0\) (\(f''(x) \ge 0\) ovunque): \(x = 0\) è uno zero di \(f''\), ma non è un flesso. La funzione è convessa su tutto \(\mathbb{R} \).
Esercizio 140.1
Dedurre, applicando \(f = -\ln \) su \(\mathbb{R} ^+\), che la media geometrica di numeri positivi è \(\le \) della media aritmetica.
Riepilogo
Test della derivata seconda per estremi locali. Se \(f'(x_0) = 0\):
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