“
Per trovare il massimo o il minimo di una grandezza, si sostituisca alla variabile \(x\) il valore \(x + e\), si pongano uguali
le due espressioni; dopo aver semplificato, si divida per \(e\) e si ponga \(e = 0\).”
— Pierre de Fermat, Methodus ad disquirendam maximam et minimam (ca. 1637, pubbl. postumo 1679), traduzione adattata
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Nei capitoli precedenti abbiamo costruito tutti gli strumenti necessari: derivata (133), regole di derivazione (134, 135), teorema di Lagrange e le sue conseguenze sul legame fra segno della derivata e monotonia (137). In questo capitolo li mettiamo al lavoro insieme per rispondere a domande concrete sul comportamento di una funzione:
L’idea generale è semplice: il segno di \(f'\) indica la direzione di crescita; gli zeri di \(f'\) (punti critici o stazionari) sono candidati a essere estremi locali. La diagnosi finale — massimo, minimo, né l’uno né l’altro — si fa studiando come il segno di \(f'\) cambia a cavallo del punto.
Una nota storica. Pierre de Fermat (1601–1665) fu il primo a fornire un metodo algoritmico per trovare massimi e minimi, già nel 1637, circa 50 anni prima dell’avvento del calcolo differenziale di Newton e Leibniz. Il suo metodo, descritto nel Methodus ad disquirendam maximam et minimam, consiste nel sostituire \(x\) con \(x + e\) in \(f(x)\), pareggiare le due espressioni come “approssimativamente uguali”, semplificare, dividere per \(e\) e infine porre \(e = 0\): di fatto, calcolare il rapporto incrementale e farne il limite. Fermat è dunque considerato uno dei precursori del calcolo.
Definizione 139.1 — Funzione crescente, decrescente
Sia \(f : I \to \mathbb{R} \) definita su un intervallo. Si dice che \(f\) è:
Teorema 139.1 — Criterio di monotonia con la derivata prima
Sia \(f\) continua su un intervallo \(I\) e derivabile nei suoi punti interni. Allora:
(È la conseguenza del teorema di Lagrange dimostrata in 137.)
Procedura — Ricerca degli intervalli di monotonia
Esempio 139.1 — Studio della monotonia di \(f(x) = x^3 - 3x\)
\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\). Segno:
Quindi \(f\) è strettamente crescente su \((-\infty , -1]\), strettamente decrescente su \([-1, 1]\), strettamente crescente su \([1, +\infty )\). Massimo locale in \(x = -1\), \(f(-1) = 2\); minimo locale in \(x = 1\), \(f(1) = -2\).
Definizione 139.2 — Massimo e minimo relativo (o locale)
Sia \(f : D \to \mathbb{R} \) e \(x_0 \in D\). Diciamo che \(x_0\) è un massimo relativo (o locale) per \(f\) se esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) tale che \(f(x) \le f(x_0)\) per ogni \(x \in U \cap D\). Analogamente, \(x_0\) è un minimo relativo se \(f(x) \ge f(x_0)\) in un intorno.
Se la disuguaglianza è stretta (per \(x \ne x_0\)), si parla di estremo stretto.
I massimi (e minimi) relativi sono diversi dai massimi assoluti: un massimo relativo è il “più alto vicino”; il massimo assoluto è il “più alto in tutto il dominio”.
Punti critici (o stazionari). Per il lemma di Fermat (137): se \(x_0\) è un estremo locale interno a \(D\) e \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f'(x_0) = 0\). Questa condizione è necessaria, non sufficiente.
Attenzione!
\(f'(x_0) = 0\) non implica che \(x_0\) sia un estremo locale. Esempio: \(f(x) = x^3\), \(f'(0) = 0\), ma \(0\) è un flesso a tangente orizzontale (la funzione è strettamente crescente). Stessa cosa per \(x^5\), \(x^7\), …
Attenzione!
Esistono anche estremi locali in cui \(f\) non è derivabile (punti angolosi, cuspidi, vedi 136). Esempio: \(f(x) = |x|\) ha minimo in \(0\), ma \(f'(0)\) non esiste.
Riassumendo: i candidati a essere estremi locali sono:
Una volta individuati i candidati, si classificano studiando il cambio di segno di \(f'\) in un loro intorno.
Teorema 139.2 — Test della derivata prima
Sia \(f\) continua in \(x_0\) e derivabile in un intorno di \(x_0\) eccetto al più in \(x_0\) stesso. Allora:
Dimostrazione (caso massimo). Per il criterio di monotonia, \(f\) è crescente a sinistra di \(x_0\) e decrescente a destra; dunque \(f(x_0)\) è massimo locale.
Procedura — Schema completo per estremi relativi
Esempio 139.2 — Estremi locali di \(f(x) = x^4 - 4x^3\)
\(f'(x) = 4x^3 - 12 x^2 = 4x^2(x - 3)\). Zeri: \(x = 0\) (doppio) e \(x = 3\).
Segno: \(4x^2 \ge 0\) sempre, \(x - 3\) negativo per \(x < 3\), positivo per \(x > 3\). Quindi \(f' < 0\) per \(x < 0\), \(f' < 0\) per \(0 < x < 3\) (anche se \(f'(0) = 0\), è zero solo nel singolo punto), \(f' > 0\) per \(x > 3\).
Tabella:
In \(x = 0\): \(f'\) non cambia segno (resta \(\le 0\)); \(0\) non è un estremo, è un flesso a tangente orizzontale.
In \(x = 3\): cambio \(- \to +\), è un minimo locale, \(f(3) = 81 - 108 = -27\).
Definizione 139.3 — Massimo e minimo assoluti
Teorema 139.3 — Esistenza degli estremi assoluti
Se \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora \(f\) ammette massimo e minimo assoluti (teorema di Weierstrass, 131).
Procedura — Ricerca degli estremi assoluti su un intervallo chiuso
Su un dominio aperto o illimitato la situazione è più delicata: \(f\) può non avere massimo né minimo (es. \(f(x) = x\) su \(\mathbb{R} \)). In tal caso bisogna prima discutere l’esistenza tramite limiti agli estremi del dominio.
Esempio 139.3 — Massimi e minimi assoluti di un polinomio su un intervallo chiuso
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) su \([-1, 3]\). \(f\) è polinomio, continua. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\), zeri in \(x = 0\) e \(x = 2\), entrambi in \((-1, 3)\). Candidati: \(-1, 0, 2, 3\). Valutiamo:
Massimo assoluto: \(1\) (raggiunto in \(x = 0\) e \(x = 3\)). Minimo assoluto: \(-3\) (raggiunto in \(x = -1\) e \(x = 2\)).
I problemi di ottimizzazione (massimo profitto, minimo materiale, percorso più breve, …) si riducono a trovare il massimo o minimo di una funzione opportunamente costruita.
Procedura — Ottimizzazione applicata
Esempio 139.4 — Rettangolo di perimetro fissato, area massima
Tra tutti i rettangoli di perimetro \(20\,{\mathrm{m} }\), qual è quello di area massima?
Sia \(x\) la base (in metri). Dal perimetro \(2x + 2y = 20\) ricaviamo \(y = 10 - x\). Vincolo: \(0 < x < 10\) (entrambi i lati positivi). Funzione da massimizzare:
\(A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5\). Test: \(A''(x) = -2 < 0\), quindi \(x = 5\) è massimo (vedi anche 140 per il test della derivata seconda). \(A(5) = 25\).
Risposta: il rettangolo di area massima è il quadrato di lato \(5\,{\mathrm{m} }\), area \(25\,{\mathrm{m} ^{2} }\).
Esempio 139.5 — Monotonia e estremi di una funzione razionale
\(f(x) = \dfrac {x^2}{x^2 + 1}\). Dominio \(\mathbb{R} \).
\(f' > 0\) per \(x > 0\), \(f' < 0\) per \(x < 0\), \(f'(0) = 0\). Cambio \(- \to +\): \(x = 0\) è minimo assoluto, \(f(0) = 0\). La funzione cresce a \(1\) per \(x \to \pm \infty \) ma non raggiunge mai il valore \(1\): nessun massimo, \(\sup f = 1\).
Esempio 139.6 — Estremi locali e assoluti su intervallo chiuso
\(f(x) = e^{-x^2}\) su \([-2, 2]\). \(f\) è continua. \(f'(x) = -2x e^{-x^2}\), zero in \(x = 0\). Candidati: \(-2, 0, 2\). Valori:
Massimo assoluto: \(1\) in \(x = 0\). Minimo assoluto: \(e^{-4}\) in \(x = \pm 2\).
Esempio 139.7 — Funzione con punti di non derivabilità
\(f(x) = |x - 1| + |x - 3|\). È continua su \(\mathbb{R} \). Punti di non derivabilità: \(x = 1\) e \(x = 3\). Distinguiamo i casi:
La funzione è costante uguale a \(2\) sull’intervallo \([1, 3]\): l’intero intervallo è di minimo assoluto, \(\min f = 2\). Nessun massimo (la funzione tende a \(+\infty \)).
Esempio 139.8 — Problema geometrico: scatola di volume massimo
Da un cartoncino quadrato di lato \(12\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) si ritagliano quattro quadrati di lato \(x\) agli angoli, e si piega per formare una scatola aperta. Per quale \(x\) il volume è massimo?
La base della scatola è un quadrato di lato \(12 - 2x\), l’altezza \(x\):
\(V'(x) = 4 (6-x)^2 + 4x \cdot 2(6-x) \cdot (-1) = 4(6-x)[(6-x) - 2x] = 4(6-x)(6 - 3x)\). Zeri in \(x = 6\) (escluso dal dominio) e \(x = 2\). Per \(0 < x < 2\): \(V' > 0\); per \(2 < x < 6\): \(V' < 0\). Quindi \(x = 2\) è massimo. \(V(2) = 4 \cdot 2 \cdot 16 = 128\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\).
Esempio 139.9 — Problema misto: scatola cilindrica di volume fissato, superficie minima
Un cilindro chiuso ha volume \(V = 1\,{\mathrm{L} } = 1000\,{\mathrm{c} \mathrm{m} ^{3} }\). Determinare le dimensioni che minimizzano la superficie totale.
Sia \(r\) il raggio della base, \(h\) l’altezza. Vincolo: \(\pi r^2 h = 1000\), da cui \(h = 1000/(\pi r^2)\). Superficie totale:
\(S'(r) = 4 \pi r - 2000/r^2 = 0 \Rightarrow 4 \pi r^3 = 2000 \Rightarrow r^3 = 500/\pi \), quindi \(r = \sqrt [3]{500/\pi } \approx 5.42\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Test: \(S''(r) = 4 \pi + 4000/r^3 > 0\), minimo. Calcolando \(h\): \(h = 1000/(\pi r^2)\), e si vede che \(h = 2r\) (lattina “ottimale”): l’altezza è il doppio del raggio.
Esempio 139.10 — Funzione su dominio illimitato
\(f(x) = \dfrac {x}{x^2 + 1}\) su \(\mathbb{R} \). \(f'(x) = \dfrac {(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac {1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\). Zeri in \(x = \pm 1\). Segno: \(f' > 0\) per \(|x| < 1\), \(f' < 0\) per \(|x| > 1\).
Estremi: \(x = 1\) massimo locale, \(f(1) = 1/2\); \(x = -1\) minimo locale, \(f(-1) = -1/2\). Sono anche assoluti? Sì: \(\lim _{x \to \pm \infty } f = 0 \ne \pm 1/2\), e la funzione è continua su \(\mathbb{R} \) con un solo massimo e un solo minimo locale. Max assol = \(1/2\), min assol = \(-1/2\).
Esercizio 139.1
Riepilogo
Test della derivata prima. In \(x_0\) candidato, studio del segno di \(f'\) a cavallo:
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