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Capitolo 137
Teoremi del calcolo differenziale: Rolle, Lagrange, Cauchy

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Se \(f(x)\) è una funzione continua di \(x\) fra i limiti \(x = a\) e \(x = b\), e \(f'(x)\) esiste per ogni \(x\) fra questi limiti, allora la differenza \(f(b) - f(a)\) è uguale alla differenza \(b - a\) moltiplicata per un valore di \(f'(x)\) corrispondente a un valore intermedio della variabile.”

— Augustin-Louis Cauchy, Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823), traduzione adattata

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137.1 Introduzione motivazionale

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I tre teoremi di questo capitolo — Rolle, Lagrange, Cauchy — sono il cuore del calcolo differenziale: legano il comportamento globale di una funzione (variazione fra due punti) al suo comportamento locale (la derivata in un punto intermedio).

L’idea fondamentale è quella del valor medio: se in un viaggio da \(a\) a \(b\) la velocità varia continuamente, esiste almeno un istante in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media dell’intero tragitto. Questa intuizione fisica, formalizzata da Lagrange, è ciò che permette di tradurre conclusioni sulla derivata (oggetto locale) in conclusioni sulla funzione (oggetto globale): per esempio, “se \(f' > 0\) ovunque, allora \(f\) è crescente”, risultato che useremo a piene mani nello studio di funzione (141).

L’ordine logico di esposizione è:

Storicamente, l’idea risale a Michel Rolle (1652–1719) per polinomi, fu generalizzata da Lagrange nel Théorie des fonctions analytiques (1797) e formalizzata rigorosamente da Augustin-Louis Cauchy nel Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823).

137.2 Teorema di Rolle

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Premettiamo un lemma fondamentale, dovuto a Pierre de Fermat (1601–1665).

Teorema 137.1 — Lemma di Fermat sui punti stazionari

Sia \(f : I \to \mathbb{R} \) e \(x_0\) un punto interno di \(I\). Se \(f\) ha un estremo locale in \(x_0\) (massimo o minimo) e \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f'(x_0) = 0\).

Dimostrazione. Supponiamo che \(x_0\) sia massimo locale (il caso del minimo è analogo). Per definizione, esiste un intorno \((x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \subseteq I\) in cui \(f(x) \le f(x_0)\). Per ogni \(h \ne 0\) con \(|h| < \delta \):

Passando al limite, \(f'_+(x_0) \le 0\) e \(f'_-(x_0) \ge 0\). Ma \(f\) è derivabile in \(x_0\), dunque \(f'_+(x_0) = f'_-(x_0) = f'(x_0)\); le due disuguaglianze danno simultaneamente \(f'(x_0) \le 0\) e \(f'(x_0) \ge 0\), cioè \(f'(x_0) = 0\).

Attenzione!

Il lemma di Fermat richiede tre ipotesi: \(x_0\) interno, \(f\) derivabile in \(x_0\), \(x_0\) punto di estremo locale. Mancando una sola, la conclusione può fallire:

Il viceversa del lemma è dunque falso: \(f'(x_0) = 0\) è condizione necessaria, non sufficiente, per essere un estremo.

Teorema 137.2 — di Rolle (1691)

Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione tale che:

1.
\(f\) è continua su \([a, b]\);
2.
\(f\) è derivabile su \((a, b)\);
3.
\(f(a) = f(b)\).

Allora esiste almeno un \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass (131), \(f\) ammette massimo \(M\) e minimo \(m\) assoluti su \([a, b]\). Distinguiamo due casi:

Caso 1: \(M = m\). Allora \(f\) è costante su \([a, b]\), dunque \(f'(x) = 0\) per ogni \(x \in (a, b)\). Qualunque \(c \in (a, b)\) va bene.

Caso 2: \(M > m\). Almeno uno tra \(M\) e \(m\) è diverso dal valore comune \(f(a) = f(b)\), dunque non è raggiunto agli estremi e c’è un punto \(c \in (a, b)\) interno in cui è raggiunto. In tale \(c\), per il lemma di Fermat, \(f'(c) = 0\).

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Figura 137.1: Teorema di Rolle: se \(f\) è continua su \([a,b]\), derivabile in \((a,b)\) e \(f(a) = f(b)\), allora esiste un punto \(c \in (a,b)\) in cui la tangente è orizzontale (\(f'(c) = 0\)). Geometricamente: una funzione che “parte e arriva alla stessa altezza” deve avere almeno un punto in cui la pendenza è zero.

Attenzione!

Tutte e tre le ipotesi sono indispensabili:

137.3 Teorema di Lagrange (valor medio)

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Teorema 137.3 — di Lagrange, o del valor medio

Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\). Allora esiste \(c \in (a, b)\) tale che

\[ f'(c) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Interpretazione geometrica. Il rapporto \([f(b)-f(a)]/(b-a)\) è la pendenza della retta secante (corda) che congiunge i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) del grafico. Il teorema afferma che esiste un punto \(c \in (a,b)\) in cui la tangente al grafico è parallela alla corda.

Interpretazione fisica. Se \(s(t)\) è la posizione di un punto in moto rettilineo, allora \([s(b)-s(a)]/(b-a)\) è la velocità media nell’intervallo \([a,b]\), mentre \(s'(c)\) è la velocità istantanea in \(c\). Il teorema dice: esiste almeno un istante \(c\) in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media dell’intervallo.

Dimostrazione. Riduzione al teorema di Rolle. Consideriamo la funzione ausiliaria

\[ g(x) = f(x) - \left [ f(a) + \frac {f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) \right ] \]

(differenza fra \(f\) e la sua corda). \(g\) è continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\), perché \(f\) lo è e il termine sottratto è polinomio. Inoltre \(g(a) = f(a) - f(a) = 0\) e \(g(b) = f(b) - [f(a) + (f(b) - f(a))] = 0\). Per Rolle, esiste \(c \in (a,b)\) con \(g'(c) = 0\). Calcolando:

\[ g'(x) = f'(x) - \frac {f(b) - f(a)}{b - a}, \]

da cui \(f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)\).

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Figura 137.2: Teorema di Lagrange: la corda da \((a, f(a))\) a \((b, f(b))\) ha pendenza \([f(b)-f(a)]/(b-a)\). Esiste almeno un punto \(c \in (a,b)\) in cui la tangente al grafico è parallela alla corda, cioè \(f'(c) = \) pendenza della corda.

Esempio 137.1 — Verifica diretta

Sia \(f(x) = x^2\) su \([0, 3]\). Verifichiamo Lagrange e troviamo esplicitamente \(c\).

Ipotesi: \(f\) è continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R} \), dunque a maggior ragione su \([0, 3]\) e \((0, 3)\). Tesi: esiste \(c \in (0, 3)\) con \(f'(c) = (f(3) - f(0))/(3 - 0) = (9 - 0)/3 = 3\). Poiché \(f'(x) = 2x\), \(2c = 3 \Rightarrow c = 3/2\). Verifica: \(c = 1.5 \in (0, 3)\).

137.4 Conseguenze del teorema di Lagrange

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Le conseguenze del teorema di Lagrange sono lo strumento principale per leggere il segno della derivata come informazione sulla monotonia di \(f\).

Teorema 137.4 — Criterio di costanza

Se \(f\) è continua su \([a, b]\), derivabile su \((a, b)\) e \(f'(x) = 0\) per ogni \(x \in (a, b)\), allora \(f\) è costante su \([a, b]\).

Dimostrazione. Per ogni \(x \in (a, b]\), applichiamo Lagrange su \([a, x]\): esiste \(\xi \in (a, x)\) con \(f(x) - f(a) = f'(\xi ) (x - a) = 0\). Quindi \(f(x) = f(a)\) per ogni \(x\).

Teorema 137.5 — Funzioni con stessa derivata

Se \(f, g\) sono continue su \([a, b]\), derivabili su \((a, b)\) e \(f'(x) = g'(x)\) per ogni \(x \in (a, b)\), allora esiste una costante \(C \in \mathbb{R} \) tale che \(f(x) = g(x) + C\) per ogni \(x \in [a, b]\).

Dimostrazione. Applicare il criterio di costanza a \(h = f - g\): \(h' = f' - g' = 0\), quindi \(h\) è costante.

Teorema 137.6 — Monotonia tramite il segno della derivata

Sia \(f\) continua su un intervallo \(I\) e derivabile nei punti interni. Allora:

Dimostrazione (caso \(f' > 0\)). Siano \(x_1 < x_2\) in \(I\). Applichiamo Lagrange su \([x_1, x_2]\): esiste \(c \in (x_1, x_2)\) con \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1)\). Poiché \(f'(c) > 0\) e \(x_2 - x_1 > 0\), il prodotto è positivo: \(f(x_2) > f(x_1)\). Gli altri casi sono analoghi.

Attenzione!

Crescente \(\Rightarrow \) \(f' \ge 0\), ma non \(f' > 0\). Esempio: \(f(x) = x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R} \), eppure \(f'(0) = 0\). Quindi la condizione \(f' > 0\) ovunque è sufficiente ma non necessaria per la stretta crescenza. Il criterio in forma migliore, che vale anche con qualche zero isolato di \(f'\): se \(f' \ge 0\) ovunque e \(f' > 0\) tranne in un insieme di punti isolati, allora \(f\) è strettamente crescente.

137.5 Teorema di Cauchy

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Il teorema di Cauchy generalizza Lagrange a due funzioni simultaneamente. Servirà direttamente per dimostrare la regola di De L’Hôpital nel prossimo capitolo.

Teorema 137.7 — di Cauchy, o degli incrementi finiti

Siano \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R} \) continue su \([a, b]\) e derivabili su \((a, b)\), con \(g'(x) \ne 0\) per ogni \(x \in (a, b)\). Allora \(g(b) \ne g(a)\) ed esiste \(c \in (a, b)\) tale che

\[ \frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}. \]

Dimostrazione. Primo, \(g(b) \ne g(a)\): altrimenti, per Rolle applicato a \(g\), esisterebbe un \(\xi \in (a, b)\) con \(g'(\xi ) = 0\), contro l’ipotesi \(g'(x) \ne 0\) in \((a, b)\).

Per la tesi, consideriamo la funzione ausiliaria

\[ h(x) = [f(b) - f(a)] g(x) - [g(b) - g(a)] f(x). \]

\(h\) è continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\). Calcoliamo agli estremi:

\[ h(a) = [f(b) - f(a)] g(a) - [g(b) - g(a)] f(a) = f(b) g(a) - g(b) f(a), \]
\[ h(b) = [f(b) - f(a)] g(b) - [g(b) - g(a)] f(b) = f(b) g(a) - g(b) f(a), \]

quindi \(h(a) = h(b)\). Per Rolle, esiste \(c \in (a, b)\) con \(h'(c) = 0\), ovvero

\[ [f(b) - f(a)] g'(c) - [g(b) - g(a)] f'(c) = 0. \]

Dividendo per \(g'(c) [g(b) - g(a)]\) (entrambi non nulli), si ottiene la tesi.

Caso particolare \(g(x) = x\): \(g'(x) = 1\) e \(g(b) - g(a) = b - a\). La formula di Cauchy si riduce a \([f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c)\), cioè al teorema di Lagrange.

137.6 Esempi svolti

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Esempio 137.2 — Verifica del teorema di Rolle

Sia \(f(x) = x^3 - x\) su \([-1, 1]\). Ipotesi: polinomio, continuo e derivabile ovunque. \(f(-1) = -1 + 1 = 0\), \(f(1) = 1 - 1 = 0\): \(f(a) = f(b)\). Esiste \(c \in (-1, 1)\) con \(f'(c) = 0\). \(f'(x) = 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt {3} \approx \pm 0.577\). Entrambi i valori cadono in \((-1, 1)\): Rolle è verificato con due candidati.

Esempio 137.3 — Verifica del teorema di Lagrange

Sia \(f(x) = \ln x\) su \([1, e]\). \(f\) è continua e derivabile su \((0, +\infty )\), dunque a maggior ragione su \([1, e]\) e \((1, e)\). La pendenza della corda:

\[ \frac {f(e) - f(1)}{e - 1} = \frac {1 - 0}{e - 1} = \frac {1}{e - 1}. \]

Equazione \(f'(c) = 1/(e-1)\): \(1/c = 1/(e-1) \Rightarrow c = e - 1 \approx 1.718 \in (1, e)\). \(\checkmark\)

Esempio 137.4 — Disuguaglianza di Lipschitz per il seno

Mostrare che \(|\operatorname{sen} a - \operatorname{sen} b| \le |a - b|\) per ogni \(a, b \in \mathbb{R} \).

Senza perdere generalità \(a < b\). Applichiamo Lagrange a \(f(x) = \operatorname{sen} x\) su \([a, b]\): esiste \(c \in (a, b)\) con \(\operatorname{sen} b - \operatorname{sen} a = \cos c \cdot (b - a)\). Prendendo il modulo: \(|\operatorname{sen} b - \operatorname{sen} a| = |\cos c| \cdot |b - a| \le 1 \cdot |b - a|\).

Esempio 137.5 — Disuguaglianza per l’arctangente

Mostrare che \(\operatorname{arctg} x \le x\) per ogni \(x \ge 0\).

Poniamo \(f(x) = x - \operatorname{arctg} x\), con \(f(0) = 0\). Calcoliamo \(f'(x) = 1 - 1/(1+x^2) = x^2/(1+x^2) \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \), con uguaglianza solo in \(x = 0\). Per la conseguenza di Lagrange (monotonia), \(f\) è strettamente crescente su \([0, +\infty )\), quindi per \(x > 0\) si ha \(f(x) > f(0) = 0\), cioè \(x > \operatorname{arctg} x\). Combinato con \(f(0) = 0\): \(\operatorname{arctg} x \le x\) per \(x \ge 0\).

Esempio 137.6 — Disuguaglianza esponenziale

Mostrare che \(e^x \ge 1 + x\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).

Sia \(f(x) = e^x - 1 - x\). \(f(0) = 0\), \(f'(x) = e^x - 1\): positiva per \(x > 0\), negativa per \(x < 0\). Quindi \(f\) è decrescente su \((-\infty , 0]\) e crescente su \([0, +\infty )\), dunque \(f\) ha minimo assoluto in \(0\), con \(f(0) = 0\). Quindi \(f(x) \ge 0\) ovunque, cioè \(e^x \ge 1 + x\).

Esempio 137.7 — Velocità media e istantanea

Un’automobile percorre \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) di autostrada in \(1\,{\mathrm{h} }\, 30\,{\mathrm{min} }\). Mostrare che in almeno un istante la velocità istantanea era esattamente \(80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).

Sia \(s(t)\) la posizione (in km) all’istante \(t\) (in ore). \(s\) è continua e derivabile (movimento ragionevolmente regolare). \(s(0) = 0\) e \(s(1.5) = 120\). La velocità media è

\[ v_{\text {media}} = \frac {s(1.5) - s(0)}{1.5 - 0} = \frac {120}{1.5} = 80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }. \]

Per Lagrange, esiste \(c \in (0, 1.5)\) con \(s'(c) = 80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).

Esempio 137.8 — Applicazione del teorema di Cauchy

Mostrare che, per ogni \(x > 0\),

\[ \frac {\operatorname{sen} x}{x} < 1. \]

Applichiamo Cauchy a \(f(t) = \operatorname{sen} t\) e \(g(t) = t\) su \([0, x]\). Le ipotesi sono soddisfatte (\(g'(t) = 1 \ne 0\)). Esiste \(c \in (0, x)\) con

\[ \frac {\operatorname{sen} x - 0}{x - 0} = \frac {\cos c}{1} = \cos c. \]

Poiché \(c \in (0, x)\) e in particolare \(c > 0\), si ha \(\cos c < 1\) (perché \(\cos \) è strettamente \(< 1\) per \(0 < c < 2\pi \); per \(x \ge 2\pi \) basta osservare che \(|\operatorname{sen} x|/x \le 1/x < 1\)). In ogni caso \(\operatorname{sen} x / x < 1\).

137.7 Esercizi proposti

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Esercizio 137.1

1.
Verificare le ipotesi del teorema di Rolle per \(f(x) = x^2 - 5x + 6\) su \([2, 3]\) e trovare il punto \(c\) in cui \(f'(c) = 0\).
2.
Verificare le ipotesi del teorema di Rolle per \(f(x) = \operatorname{sen} x\) su \([0, \pi ]\) e trovare \(c\).
3.
Per quale dei seguenti casi non è applicabile il teorema di Rolle? Motivare.
(a)
\(f(x) = |x|\) su \([-1, 1]\);
(b)
\(f(x) = 1/x\) su \([-1, 1]\);
(c)
\(f(x) = x^{2/3}\) su \([-1, 1]\);
(d)
\(f(x) = \begin {cases} x & x \in [0, 1) \\ 0 & x = 1\end {cases}\) su \([0, 1]\).
4.
Verificare Lagrange per \(f(x) = x^2 + 3x\) su \([0, 2]\) e trovare \(c\).
5.
Verificare Lagrange per \(f(x) = \sqrt {x}\) su \([1, 4]\) e trovare \(c\).
6.
Verificare Lagrange per \(f(x) = e^x\) su \([0, 1]\) e trovare \(c\) esprimendolo tramite \(\ln \).
7.
Mostrare, usando Lagrange, che \(|\cos a - \cos b| \le |a - b|\) per ogni \(a, b \in \mathbb{R} \).
8.
Mostrare, usando Lagrange, che \(\ln (1 + x) \le x\) per ogni \(x > -1\). Suggerimento: studiare \(f(x) = x - \ln (1 + x)\) e usare la monotonia.
9.
Mostrare che \(e^x > 1 + x + x^2/2\) per ogni \(x > 0\). Suggerimento: studiare due volte la derivata, applicando il criterio di monotonia.
10.
Mostrare, usando le conseguenze del teorema di Lagrange, che \(\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} (1/x) = \pi /2\) per ogni \(x > 0\). Suggerimento: la derivata della somma è zero, quindi la somma è costante; valutarla in \(x = 1\).
11.
Sia \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) derivabile, con \(f'(x) \ne 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \). Mostrare che \(f\) è iniettiva.
12.
Sia \(f : [0, 1] \to \mathbb{R} \) continua, derivabile in \((0, 1)\), con \(f(0) = 0\) e \(|f'(x)| \le 1\) per ogni \(x \in (0, 1)\). Mostrare che \(|f(x)| \le x\) per ogni \(x \in [0, 1]\).
13.
Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua, derivabile in \((a, b)\), con \(f(a) = a\) e \(f(b) = b\). Mostrare che esiste \(c \in (a, b)\) con \(f'(c) = 1\). Suggerimento: è Lagrange applicato direttamente.
14.
Applicare il teorema di Cauchy a \(f(t) = e^t\) e \(g(t) = t\) su \([0, x]\) per ottenere la disuguaglianza \(e^x > 1 + x\) per \(x > 0\).
15.
Sfida. Identità classica. Mostrare che, per ogni \(x \in (-1, 1)\):
\[ 2 \operatorname{arctg} x + \operatorname{arcsen} \!\left (\frac {2x}{1 + x^2}\right ) = \pi \cdot \mathop {\rm sgn}(x) \cdot [\,|x| > \text {(qualcosa)}\,]. \]

Una versione più gestibile della stessa idea: mostrare che \(\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg} (1/x) = \pi /2\) per \(x > 0\), derivando la somma e usando il criterio di costanza.

137.8 Riepilogo del capitolo

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