“
Se \(f(x)\) è una funzione continua di \(x\) fra i limiti \(x = a\) e \(x = b\), e \(f'(x)\) esiste per ogni \(x\) fra questi limiti, allora la differenza \(f(b) - f(a)\) è
uguale alla differenza \(b - a\) moltiplicata per un valore di \(f'(x)\) corrispondente a un valore intermedio della
variabile.”
— Augustin-Louis Cauchy, Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823), traduzione adattata
____________________________________________________________________________________
I tre teoremi di questo capitolo — Rolle, Lagrange, Cauchy — sono il cuore del calcolo differenziale: legano il comportamento globale di una funzione (variazione fra due punti) al suo comportamento locale (la derivata in un punto intermedio).
L’idea fondamentale è quella del valor medio: se in un viaggio da \(a\) a \(b\) la velocità varia continuamente, esiste almeno un istante in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media dell’intero tragitto. Questa intuizione fisica, formalizzata da Lagrange, è ciò che permette di tradurre conclusioni sulla derivata (oggetto locale) in conclusioni sulla funzione (oggetto globale): per esempio, “se \(f' > 0\) ovunque, allora \(f\) è crescente”, risultato che useremo a piene mani nello studio di funzione (141).
L’ordine logico di esposizione è:
Storicamente, l’idea risale a Michel Rolle (1652–1719) per polinomi, fu generalizzata da Lagrange nel Théorie des fonctions analytiques (1797) e formalizzata rigorosamente da Augustin-Louis Cauchy nel Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823).
Premettiamo un lemma fondamentale, dovuto a Pierre de Fermat (1601–1665).
Teorema 137.1 — Lemma di Fermat sui punti stazionari
Sia \(f : I \to \mathbb{R} \) e \(x_0\) un punto interno di \(I\). Se \(f\) ha un estremo locale in \(x_0\) (massimo o minimo) e \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f'(x_0) = 0\).
Dimostrazione. Supponiamo che \(x_0\) sia massimo locale (il caso del minimo è analogo). Per definizione, esiste un intorno \((x_0 - \delta , x_0 + \delta ) \subseteq I\) in cui \(f(x) \le f(x_0)\). Per ogni \(h \ne 0\) con \(|h| < \delta \):
Passando al limite, \(f'_+(x_0) \le 0\) e \(f'_-(x_0) \ge 0\). Ma \(f\) è derivabile in \(x_0\), dunque \(f'_+(x_0) = f'_-(x_0) = f'(x_0)\); le due disuguaglianze danno simultaneamente \(f'(x_0) \le 0\) e \(f'(x_0) \ge 0\), cioè \(f'(x_0) = 0\).
Attenzione!
Il lemma di Fermat richiede tre ipotesi: \(x_0\) interno, \(f\) derivabile in \(x_0\), \(x_0\) punto di estremo locale. Mancando una sola, la conclusione può fallire:
Il viceversa del lemma è dunque falso: \(f'(x_0) = 0\) è condizione necessaria, non sufficiente, per essere un estremo.
Teorema 137.2 — di Rolle (1691)
Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione tale che:
Allora esiste almeno un \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\).
Dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass (131), \(f\) ammette massimo \(M\) e minimo \(m\) assoluti su \([a, b]\). Distinguiamo due casi:
Caso 1: \(M = m\). Allora \(f\) è costante su \([a, b]\), dunque \(f'(x) = 0\) per ogni \(x \in (a, b)\). Qualunque \(c \in (a, b)\) va bene.
Caso 2: \(M > m\). Almeno uno tra \(M\) e \(m\) è diverso dal valore comune \(f(a) = f(b)\), dunque non è raggiunto agli estremi e c’è un punto \(c \in (a, b)\) interno in cui è raggiunto. In tale \(c\), per il lemma di Fermat, \(f'(c) = 0\).
Attenzione!
Tutte e tre le ipotesi sono indispensabili:
Teorema 137.3 — di Lagrange, o del valor medio
Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\). Allora esiste \(c \in (a, b)\) tale che
Interpretazione geometrica. Il rapporto \([f(b)-f(a)]/(b-a)\) è la pendenza della retta secante (corda) che congiunge i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) del grafico. Il teorema afferma che esiste un punto \(c \in (a,b)\) in cui la tangente al grafico è parallela alla corda.
Interpretazione fisica. Se \(s(t)\) è la posizione di un punto in moto rettilineo, allora \([s(b)-s(a)]/(b-a)\) è la velocità media nell’intervallo \([a,b]\), mentre \(s'(c)\) è la velocità istantanea in \(c\). Il teorema dice: esiste almeno un istante \(c\) in cui la velocità istantanea coincide con la velocità media dell’intervallo.
Dimostrazione. Riduzione al teorema di Rolle. Consideriamo la funzione ausiliaria
(differenza fra \(f\) e la sua corda). \(g\) è continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\), perché \(f\) lo è e il termine sottratto è polinomio. Inoltre \(g(a) = f(a) - f(a) = 0\) e \(g(b) = f(b) - [f(a) + (f(b) - f(a))] = 0\). Per Rolle, esiste \(c \in (a,b)\) con \(g'(c) = 0\). Calcolando:
da cui \(f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)\).
Esempio 137.1 — Verifica diretta
Sia \(f(x) = x^2\) su \([0, 3]\). Verifichiamo Lagrange e troviamo esplicitamente \(c\).
Ipotesi: \(f\) è continua e derivabile su tutto \(\mathbb{R} \), dunque a maggior ragione su \([0, 3]\) e \((0, 3)\). Tesi: esiste \(c \in (0, 3)\) con \(f'(c) = (f(3) - f(0))/(3 - 0) = (9 - 0)/3 = 3\). Poiché \(f'(x) = 2x\), \(2c = 3 \Rightarrow c = 3/2\). Verifica: \(c = 1.5 \in (0, 3)\).
Le conseguenze del teorema di Lagrange sono lo strumento principale per leggere il segno della derivata come informazione sulla monotonia di \(f\).
Teorema 137.4 — Criterio di costanza
Se \(f\) è continua su \([a, b]\), derivabile su \((a, b)\) e \(f'(x) = 0\) per ogni \(x \in (a, b)\), allora \(f\) è costante su \([a, b]\).
Dimostrazione. Per ogni \(x \in (a, b]\), applichiamo Lagrange su \([a, x]\): esiste \(\xi \in (a, x)\) con \(f(x) - f(a) = f'(\xi ) (x - a) = 0\). Quindi \(f(x) = f(a)\) per ogni \(x\).
Teorema 137.5 — Funzioni con stessa derivata
Se \(f, g\) sono continue su \([a, b]\), derivabili su \((a, b)\) e \(f'(x) = g'(x)\) per ogni \(x \in (a, b)\), allora esiste una costante \(C \in \mathbb{R} \) tale che \(f(x) = g(x) + C\) per ogni \(x \in [a, b]\).
Dimostrazione. Applicare il criterio di costanza a \(h = f - g\): \(h' = f' - g' = 0\), quindi \(h\) è costante.
Teorema 137.6 — Monotonia tramite il segno della derivata
Sia \(f\) continua su un intervallo \(I\) e derivabile nei punti interni. Allora:
Dimostrazione (caso \(f' > 0\)). Siano \(x_1 < x_2\) in \(I\). Applichiamo Lagrange su \([x_1, x_2]\): esiste \(c \in (x_1, x_2)\) con \(f(x_2) - f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1)\). Poiché \(f'(c) > 0\) e \(x_2 - x_1 > 0\), il prodotto è positivo: \(f(x_2) > f(x_1)\). Gli altri casi sono analoghi.
Attenzione!
Crescente \(\Rightarrow \) \(f' \ge 0\), ma non \(f' > 0\). Esempio: \(f(x) = x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R} \), eppure \(f'(0) = 0\). Quindi la condizione \(f' > 0\) ovunque è sufficiente ma non necessaria per la stretta crescenza. Il criterio in forma migliore, che vale anche con qualche zero isolato di \(f'\): se \(f' \ge 0\) ovunque e \(f' > 0\) tranne in un insieme di punti isolati, allora \(f\) è strettamente crescente.
Il teorema di Cauchy generalizza Lagrange a due funzioni simultaneamente. Servirà direttamente per dimostrare la regola di De L’Hôpital nel prossimo capitolo.
Teorema 137.7 — di Cauchy, o degli incrementi finiti
Siano \(f, g : [a, b] \to \mathbb{R} \) continue su \([a, b]\) e derivabili su \((a, b)\), con \(g'(x) \ne 0\) per ogni \(x \in (a, b)\). Allora \(g(b) \ne g(a)\) ed esiste \(c \in (a, b)\) tale che
Dimostrazione. Primo, \(g(b) \ne g(a)\): altrimenti, per Rolle applicato a \(g\), esisterebbe un \(\xi \in (a, b)\) con \(g'(\xi ) = 0\), contro l’ipotesi \(g'(x) \ne 0\) in \((a, b)\).
Per la tesi, consideriamo la funzione ausiliaria
\(h\) è continua su \([a, b]\) e derivabile su \((a, b)\). Calcoliamo agli estremi:
quindi \(h(a) = h(b)\). Per Rolle, esiste \(c \in (a, b)\) con \(h'(c) = 0\), ovvero
Dividendo per \(g'(c) [g(b) - g(a)]\) (entrambi non nulli), si ottiene la tesi.
Caso particolare \(g(x) = x\): \(g'(x) = 1\) e \(g(b) - g(a) = b - a\). La formula di Cauchy si riduce a \([f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c)\), cioè al teorema di Lagrange.
Esempio 137.2 — Verifica del teorema di Rolle
Sia \(f(x) = x^3 - x\) su \([-1, 1]\). Ipotesi: polinomio, continuo e derivabile ovunque. \(f(-1) = -1 + 1 = 0\), \(f(1) = 1 - 1 = 0\): \(f(a) = f(b)\). Esiste \(c \in (-1, 1)\) con \(f'(c) = 0\). \(f'(x) = 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1/\sqrt {3} \approx \pm 0.577\). Entrambi i valori cadono in \((-1, 1)\): Rolle è verificato con due candidati.
Esempio 137.3 — Verifica del teorema di Lagrange
Sia \(f(x) = \ln x\) su \([1, e]\). \(f\) è continua e derivabile su \((0, +\infty )\), dunque a maggior ragione su \([1, e]\) e \((1, e)\). La pendenza della corda:
Equazione \(f'(c) = 1/(e-1)\): \(1/c = 1/(e-1) \Rightarrow c = e - 1 \approx 1.718 \in (1, e)\). \(\checkmark\)
Esempio 137.4 — Disuguaglianza di Lipschitz per il seno
Mostrare che \(|\operatorname{sen} a - \operatorname{sen} b| \le |a - b|\) per ogni \(a, b \in \mathbb{R} \).
Senza perdere generalità \(a < b\). Applichiamo Lagrange a \(f(x) = \operatorname{sen} x\) su \([a, b]\): esiste \(c \in (a, b)\) con \(\operatorname{sen} b - \operatorname{sen} a = \cos c \cdot (b - a)\). Prendendo il modulo: \(|\operatorname{sen} b - \operatorname{sen} a| = |\cos c| \cdot |b - a| \le 1 \cdot |b - a|\).
Esempio 137.5 — Disuguaglianza per l’arctangente
Mostrare che \(\arctan x \le x\) per ogni \(x \ge 0\).
Poniamo \(f(x) = x - \arctan x\), con \(f(0) = 0\). Calcoliamo \(f'(x) = 1 - 1/(1+x^2) = x^2/(1+x^2) \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \), con uguaglianza solo in \(x = 0\). Per la conseguenza di Lagrange (monotonia), \(f\) è strettamente crescente su \([0, +\infty )\), quindi per \(x > 0\) si ha \(f(x) > f(0) = 0\), cioè \(x > \arctan x\). Combinato con \(f(0) = 0\): \(\arctan x \le x\) per \(x \ge 0\).
Esempio 137.6 — Disuguaglianza esponenziale
Mostrare che \(e^x \ge 1 + x\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \).
Sia \(f(x) = e^x - 1 - x\). \(f(0) = 0\), \(f'(x) = e^x - 1\): positiva per \(x > 0\), negativa per \(x < 0\). Quindi \(f\) è decrescente su \((-\infty , 0]\) e crescente su \([0, +\infty )\), dunque \(f\) ha minimo assoluto in \(0\), con \(f(0) = 0\). Quindi \(f(x) \ge 0\) ovunque, cioè \(e^x \ge 1 + x\).
Esempio 137.7 — Velocità media e istantanea
Un’automobile percorre \(120\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) di autostrada in \(1\,{\mathrm{h} }\, 30\,{\mathrm{min} }\). Mostrare che in almeno un istante la velocità istantanea era esattamente \(80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).
Sia \(s(t)\) la posizione (in km) all’istante \(t\) (in ore). \(s\) è continua e derivabile (movimento ragionevolmente regolare). \(s(0) = 0\) e \(s(1.5) = 120\). La velocità media è
Per Lagrange, esiste \(c \in (0, 1.5)\) con \(s'(c) = 80\,{\mathrm{k} \mathrm{m} / \mathrm{h} }\).
Esempio 137.8 — Applicazione del teorema di Cauchy
Mostrare che, per ogni \(x > 0\),
Applichiamo Cauchy a \(f(t) = \operatorname{sen} t\) e \(g(t) = t\) su \([0, x]\). Le ipotesi sono soddisfatte (\(g'(t) = 1 \ne 0\)). Esiste \(c \in (0, x)\) con
Poiché \(c \in (0, x)\) e in particolare \(c > 0\), si ha \(\cos c < 1\) (perché \(\cos \) è strettamente \(< 1\) per \(0 < c < 2\pi \); per \(x \ge 2\pi \) basta osservare che \(|\operatorname{sen} x|/x \le 1/x < 1\)). In ogni caso \(\operatorname{sen} x / x < 1\).
Esercizio 137.1
Una versione più gestibile della stessa idea: mostrare che \(\arctan x + \arctan (1/x) = \pi /2\) per \(x > 0\), derivando la somma e usando il criterio di costanza.
Riepilogo
Teorema di Lagrange (valor medio). Se \(f\) è continua su \([a,b]\) e derivabile su \((a,b)\), allora esiste \(c \in (a,b)\) con
Interpretazione: tangente in \(c\) parallela alla corda; velocità istantanea in \(c\) uguale alla velocità media.
Conseguenze di Lagrange:
Queste tre conseguenze sono il motore dello studio di monotonia e crescenza nei capitoli successivi.
Teorema di Cauchy (incrementi finiti). Se \(f, g\) sono continue su \([a,b]\), derivabili su \((a,b)\) e \(g'(x) \ne 0\) in \((a,b)\), esiste \(c \in (a,b)\) con
Per \(g(x) = x\) si ritrova Lagrange. Sarà la base per la regola di De L’Hôpital (138).
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli3058x.svg)
![[Picture]](immagini_matematica/libro_matematica_a_capitoli3061x.svg)