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Capitolo 131
Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, valori intermedi, zeri

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Se due funzioni di \(x\), fra le quali sussiste la legge che per un valore di \(x\) l’una è minore e per un altro valore è maggiore dell’altra, prendono per ogni valore intermedio di \(x\) valori in generale differenti, allora deve esistere almeno un valore intermedio di \(x\) in cui le due funzioni si rendono uguali.”

— Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes… (1817), traduzione adattata

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131.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (130) abbiamo definito la continuità di una funzione come una proprietà locale: \(f\) è continua in \(x_0\) se il limite per \(x \to x_0\) coincide con \(f(x_0)\). Si tratta di un’informazione che vive in un singolo punto e nei suoi intorni.

In questo capitolo facciamo un salto qualitativo: scopriamo che, se la continuità si verifica in ogni punto di un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), allora si possono dedurre proprietà globali potentissime, valide sull’intero intervallo. I tre teoremi che enunciamo — Weierstrass, valori intermedi (Bolzano-Darboux), zeri — sono i pilastri dell’analisi reale elementare e vengono detti teoremi globali sulle funzioni continue.

Tutti e tre sono teoremi di esistenza: non costruiscono il massimo o lo zero, ma garantiscono che esistono. La loro forza sta proprio qui: bastano poche ipotesi — continuità, dominio chiuso e limitato, eventualmente cambio di segno — per concludere risultati molto forti. Vedremo applicazioni nello studio di funzione (141), nella ricerca di massimi e minimi assoluti (139) e nella risoluzione approssimata di equazioni che non si lasciano risolvere algebricamente.

131.2 Teorema di Weierstrass

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Karl Weierstrass (1815–1897), nelle sue lezioni a Berlino, formulò il teorema che oggi porta il suo nome e che rappresenta la versione rigorosa di un’intuizione antica: una funzione che si traccia “senza staccare la penna dal foglio” su un intervallo chiuso e limitato deve avere un punto più alto e uno più basso.

Teorema 131.1 — di Weierstrass

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Allora \(f\) ammette massimo e minimo assoluti in \([a,b]\): esistono \(x_M, x_m \in [a,b]\) tali che

\[ f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \text {per ogni } x \in [a,b]. \]

Si pone \(M = f(x_M) = \max _{[a,b]} f\) e \(m = f(x_m) = \min _{[a,b]} f\).

Dimostrazione. La dimostrazione completa richiede strumenti di topologia (teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni: ogni successione limitata in \(\mathbb{R} \) ha una sottosuccessione convergente). L’idea è la seguente: si mostra prima che \(f\) è limitata (altrimenti si costruisce una successione \(x_n \in [a,b]\) con \(f(x_n) \to +\infty \); per Bolzano-Weierstrass si estrae \(x_{n_k} \to x^* \in [a,b]\) e la continuità darebbe \(f(x^*) = +\infty \), assurdo). Poi si pone \(M = \sup _{[a,b]} f\) e si costruisce una successione \(x_n\) con \(f(x_n) \to M\); passando a una sottosuccessione convergente a \(x_M \in [a,b]\), per continuità \(f(x_M) = M\). Analogamente per il minimo.

Le tre ipotesi sono tutte indispensabili: rimuovendone una sola, la tesi può venire a mancare.

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Figura 131.1: Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) raggiunge sia il massimo assoluto \(M = f(x_M)\) sia il minimo assoluto \(m = f(x_m)\). I punti di estremo possono cadere ovunque in \([a,b]\), agli estremi inclusi.

Esempio 131.1 — Le tre ipotesi sono necessarie

Mostriamo che togliendo una sola delle ipotesi (continuità, chiusura, limitatezza) la tesi può fallire.

Esempio 131.2 — Polinomio su intervallo chiuso

\(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) su \([0,3]\). È polinomio (continuo su \(\mathbb{R} \)), l’intervallo è chiuso e limitato: il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza di max e min. Studio: \(f'(x) = -2x + 4 = 0\) in \(x = 2\) (interno a \([0,3]\)). Confronto i valori: \(f(0) = -1\), \(f(2) = 3\), \(f(3) = 2\). Quindi \(M = 3\) (in \(x_M = 2\)), \(m = -1\) (in \(x_m = 0\)).

Esempio 131.3 — Funzione trigonometrica

\(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x\) su \([0, 2\pi ]\). Continua su un intervallo chiuso e limitato: max e min esistono. Si può scrivere \(f(x) = \sqrt {2}\,\operatorname{sen} (x + \pi /4)\), quindi \(M = \sqrt {2}\) (in \(x = \pi /4\)), \(m = -\sqrt {2}\) (in \(x = 5\pi /4\)).

131.3 Teorema dei valori intermedi (Bolzano-Darboux)

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Teorema 131.2 — dei valori intermedi

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a,b]\), e supponiamo \(f(a) \ne f(b)\). Allora, per ogni valore \(y\) compreso fra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = y\).

In forma sintetica: una funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra due valori assunti. Geometricamente: tracciando una retta orizzontale \(y = \) costante, fra il livello di \(f(a)\) e quello di \(f(b)\), il grafico la deve attraversare almeno una volta.

Dimostrazione (cenno). La dimostrazione si riconduce al teorema degli zeri (sezione 131.4) applicato alla funzione \(g(x) = f(x) - y\): \(g\) è continua, \(g(a)\) e \(g(b)\) hanno segno opposto (perché \(y\) sta fra \(f(a)\) e \(f(b)\)), dunque \(g\) si annulla in qualche \(c \in (a,b)\), cioè \(f(c) = y\).

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Figura 131.2: Teorema dei valori intermedi: per ogni valore \(y\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = y\). Il grafico di \(f\) deve necessariamente attraversare la retta orizzontale \(y = \) costante.

Corollario 131.1 — Proprietà di Darboux

L’immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo.

In particolare, se \(f : I \to \mathbb{R} \) è continua su \(I\) intervallo, \(f(I)\) non può essere un’unione di due intervalli disgiunti: non ci sono “buchi”. Se inoltre \(I = [a,b]\) è chiuso e limitato, per Weierstrass \(f\) ha massimo \(M\) e minimo \(m\) in \([a,b]\), e per i valori intermedi \(f([a,b]) = [m, M]\): l’immagine è esattamente l’intervallo chiuso tra il minimo e il massimo.

Esempio 131.4 — Applicazione diretta

\(f(x) = x^3 + x - 5\) su \([1,2]\): \(f(1) = -3\), \(f(2) = 5\). La funzione è continua (polinomio); per il teorema dei valori intermedi, \(f\) assume in \((1,2)\) ogni valore compreso fra \(-3\) e \(5\). In particolare, esiste \(c \in (1,2)\) con \(f(c) = 0\) — ma anche con \(f(c) = 1\), con \(f(c) = -2\), e così via.

Esempio 131.5 — L’ipotesi di continuità è essenziale

Sia \(f(x) = \lfloor x \rfloor \) (parte intera) su \([0, 2]\). Si ha \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\), ma \(f\) non assume mai il valore \(y = 0.5\): l’immagine è \(\{0, 1, 2\}\), non un intervallo. Coerente: \(f\) non è continua (salti in \(x = 1\) e \(x = 2\)).

131.4 Teorema degli zeri

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Il teorema degli zeri è il caso particolare del teorema dei valori intermedi per \(y = 0\). Storicamente venne dimostrato per primo da Bernard Bolzano nel 1817, in uno dei primi tentativi di analisi rigorosa: il titolo del lavoro, Dimostrazione puramente analitica del teorema che fra due valori che danno risultati di segno opposto giace almeno una radice reale dell’equazione, ne è quasi una parafrasi.

Teorema 131.3 — degli zeri (Bolzano, 1817)

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a,b]\) e supponiamo

\[ f(a) \cdot f(b) < 0 \]

(cioè \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto). Allora esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = 0\).

Dimostrazione (metodo di bisezione). Senza perdere generalità \(f(a) < 0 < f(b)\). Poniamo \(a_0 = a\), \(b_0 = b\). Per ogni \(n \ge 0\) consideriamo il punto medio \(m_n = (a_n + b_n)/2\) e definiamo:

Costruiamo così intervalli annidati \([a_n, b_n]\) di lunghezza \((b-a)/2^n\), con \(f(a_n) \le 0 \le f(b_n)\). Le successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) sono monotone e limitate, dunque convergenti a un comune limite \(c\) (l’unico punto comune a tutti gli intervalli). Per continuità di \(f\):

\[ f(c) = \lim _{n\to \infty } f(a_n) \le 0, \qquad f(c) = \lim _{n\to \infty } f(b_n) \ge 0, \]

quindi \(f(c) = 0\).

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Figura 131.3: Teorema degli zeri: se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, \(f\) deve annullarsi almeno una volta in \((a,b)\). Il teorema afferma l’esistenza di almeno uno zero, non l’unicità: nell’esempio gli zeri sono tre.

Attenzione!

Il teorema garantisce esistenza, non unicità. Per ottenere l’unicità si aggiunge tipicamente la monotonia di \(f\) in \([a,b]\) (vedi sezione 131.5).

Esempio 131.6 — Esistenza di una soluzione

Mostrare che l’equazione \(e^x = 3 - x\) ha almeno una soluzione in \((0, 1)\).

Poniamo \(f(x) = e^x - 3 + x\), continua su \(\mathbb{R} \). Valutiamo agli estremi:

\[ f(0) = 1 - 3 + 0 = -2 < 0, \qquad f(1) = e - 2 \approx 0.718 > 0. \]

Per il teorema degli zeri esiste \(c \in (0,1)\) con \(f(c) = 0\), cioè \(e^c = 3 - c\).

Esempio 131.7 — Metodo di bisezione

Approssimiamo lo zero di \(f(x) = x^3 + x - 1\) in \([0,1]\) con tre iterazioni di bisezione. Si ha \(f(0) = -1 < 0\) e \(f(1) = 1 > 0\): il teorema garantisce uno zero.

Dopo tre iterazioni lo zero \(c\) è confinato in \([0.625, 0.75]\), ampiezza \(0.125\). Il valore esatto è \(c \approx 0.6823\).

131.5 Applicazioni

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Unicità della soluzione: continuità + monotonia

Il teorema degli zeri da solo non garantisce unicità: una funzione continua può cambiare segno e attraversare l’asse \(x\) molte volte. Se però \(f\) è anche strettamente monotona in \([a,b]\), allora lo zero, se esiste, è unico.

Procedura  — Unicità della soluzione di \(f(x) = 0\)

Per dimostrare che l’equazione \(f(x) = 0\) ha esattamente una soluzione in \([a,b]\):

1.
verificare che \(f\) è continua in \([a,b]\);
2.
verificare che \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto (teorema degli zeri \(\Rightarrow \) esistenza);
3.
verificare che \(f\) è strettamente monotona in \([a,b]\) (es. \(f'(x) > 0\) ovunque \(\Rightarrow \) unicità).

Polinomi di grado dispari

Teorema 131.4 — Radici reali dei polinomi di grado dispari

Ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice reale.

Dimostrazione. Sia \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0\) con \(n\) dispari e \(a_n \ne 0\). Senza perdere generalità \(a_n > 0\). Allora

\[ \lim _{x \to +\infty } P(x) = +\infty , \qquad \lim _{x \to -\infty } P(x) = -\infty \]

(perché \(n\) è dispari). Esistono dunque \(a\) molto negativo con \(P(a) < 0\) e \(b\) molto positivo con \(P(b) > 0\). \(P\) è continuo su \([a,b]\) (è polinomio): il teorema degli zeri dà \(c \in (a,b)\) con \(P(c) = 0\).

Punti fissi

Teorema 131.5 — Punto fisso per funzioni continue di un intervallo in sé

Sia \(f : [a,b] \to [a,b]\) continua. Allora \(f\) ha almeno un punto fisso: esiste \(c \in [a,b]\) con \(f(c) = c\).

Dimostrazione. Poniamo \(g(x) = f(x) - x\). \(g\) è continua. Agli estremi:

\[ g(a) = f(a) - a \ge 0 \quad (\text {perché } f(a) \in [a,b] \subseteq [a, +\infty )), \]
\[ g(b) = f(b) - b \le 0 \quad (\text {perché } f(b) \in [a,b] \subseteq (-\infty , b]). \]

Se \(g(a) = 0\) allora \(c = a\) è punto fisso; se \(g(b) = 0\) allora \(c = b\) lo è; altrimenti \(g(a) > 0\) e \(g(b) < 0\) hanno segno opposto, e per il teorema degli zeri esiste \(c \in (a,b)\) con \(g(c) = 0\), cioè \(f(c) = c\).

131.6 Esempi svolti

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Esempio 131.8 — Massimo e minimo assoluti di una funzione su intervallo chiuso

Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = x^3 - 3x\) su \([-2, 2]\).

Algebra prima dei numeri. \(f\) è polinomio, dunque continua su \(\mathbb{R} \); \([-2,2]\) è chiuso e limitato: per Weierstrass max e min esistono. I candidati sono gli estremi dell’intervallo e i punti interni in cui \(f'(x) = 0\):

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \;\Longleftrightarrow \; x = \pm 1. \]

Entrambi \(\pm 1\) sono interni a \([-2,2]\). Valutiamo \(f\) nei quattro candidati:

\[ f(-2) = -8 + 6 = -2, \quad f(-1) = -1 + 3 = 2, \quad f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(2) = 8 - 6 = 2. \]

Quindi \(M = 2\), raggiunto in \(x = -1\) e in \(x = 2\); \(m = -2\), raggiunto in \(x = -2\) e in \(x = 1\).

Esempio 131.9 — Esistenza e unicità della soluzione

Mostrare che l’equazione \(x^3 + x = 10\) ha esattamente una soluzione reale.

Sia \(f(x) = x^3 + x - 10\). \(f\) è polinomio (continua su \(\mathbb{R} \)). Esistenza: \(f(0) = -10 < 0\), \(f(3) = 27 + 3 - 10 = 20 > 0\). Per il teorema degli zeri esiste \(c \in (0,3)\) con \(f(c) = 0\). Unicità: \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \), quindi \(f\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R} \) — in particolare iniettiva: la soluzione è unica.

Esempio 131.10 — Equazione trascendente

Provare che l’equazione \(\cos x = x\) ha esattamente una soluzione in \([0, \pi /2]\).

Sia \(f(x) = \cos x - x\), continua su \(\mathbb{R} \). Agli estremi:

\[ f(0) = 1 - 0 = 1 > 0, \qquad f(\pi /2) = 0 - \pi /2 \approx -1.57 < 0. \]

Segni opposti: esiste \(c \in (0, \pi /2)\) con \(f(c) = 0\), cioè \(\cos c = c\). Inoltre \(f'(x) = -\operatorname{sen} x - 1 < 0\) per \(x \in (0, \pi /2]\) (perché \(\operatorname{sen} x > -1\) lì), quindi \(f\) è strettamente decrescente: la soluzione è unica. Il valore numerico approssimato è \(c \approx 0.7391\) (la cosiddetta costante di Dottie).

Esempio 131.11 — Polinomio di grado dispari

Mostrare che \(P(x) = x^5 - 4x^3 + 2x - 7\) ha almeno una radice reale.

\(P\) è polinomio di grado dispari \(5\): per il teorema sui polinomi di grado dispari, esiste almeno una radice reale. Localizziamola: \(P(0) = -7\), \(P(2) = 32 - 32 + 4 - 7 = -3\), \(P(3) = 243 - 108 + 6 - 7 = 134\). Tra \(2\) e \(3\) il segno cambia: la radice cercata sta in \((2,3)\).

Esempio 131.12 — Punto fisso esplicito

Sia \(f : [0,1] \to [0,1]\) definita da \(f(x) = (x + 1)/3\). Verificare che \(f\) è una mappa di \([0,1]\) in sé, dedurre l’esistenza di un punto fisso e trovarlo.

Mappa in sé: \(x \in [0,1] \Rightarrow x + 1 \in [1,2] \Rightarrow (x+1)/3 \in [1/3, 2/3] \subseteq [0,1]\). Continua: sì (è affine). Per il teorema del punto fisso esiste \(c \in [0,1]\) con \(f(c) = c\). Risolvendo: \(c = (c+1)/3 \Rightarrow 3c = c + 1 \Rightarrow c = 1/2\). Notiamo che \(1/2 \in [1/3, 2/3]\), coerente.

Esempio 131.13 — Bisezione con tolleranza assegnata

Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare lo zero di \(f(x) = x^2 - 2\) in \([1,2]\) con errore minore di \(10^{-3}\)?

Lo zero cercato è \(c = \sqrt {2}\). Dopo \(n\) iterazioni l’intervallo ha ampiezza \((b-a)/2^n = 1/2^n\); il punto medio ne dista al massimo \(1/2^{n+1}\). Imponiamo

\[ \frac {1}{2^{n+1}} < 10^{-3} \;\Longleftrightarrow \; 2^{n+1} > 1000 \;\Longleftrightarrow \; n + 1 \ge 10 \;\Longleftrightarrow \; n \ge 9. \]

Bastano 9 iterazioni. (In effetti \(2^{10} = 1024\).)

131.7 Esercizi proposti

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Esercizio 131.1

1.
Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x\) su \([0, 3]\).
2.
Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = x + \dfrac {1}{x}\) su \([1/2, 3]\).
3.
Per ciascuna funzione, dire se è applicabile il teorema di Weierstrass e motivare la risposta:
(a)
\(f(x) = \dfrac {1}{x}\) su \((0, 1]\);
(b)
\(f(x) = \operatorname{tg} x\) su \([0, \pi /2)\);
(c)
\(f(x) = \begin {cases} x & x \in [0,1) \\ 0 & x = 1\end {cases}\) su \([0,1]\);
(d)
\(f(x) = e^{-x^2}\) su \([-3, 3]\).
4.
Dimostrare che l’equazione \(x^3 - 3x + 1 = 0\) ha tre soluzioni reali distinte e localizzarle in tre intervalli disgiunti di ampiezza \(1\).
5.
Mostrare che \(f(x) = \ln x + x = 0\) ha esattamente una soluzione in \((0, +\infty )\) e localizzarla in un intervallo di ampiezza \(0.5\).
6.
Provare che l’equazione \(2^x = 3x\) ha almeno due soluzioni reali e localizzarle.
7.
Applicare il metodo di bisezione per approssimare lo zero di \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) in \([2, 3]\) con quattro iterazioni; indicare l’intervallo finale e il punto medio come approssimazione.
8.
Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare uno zero in \([0, 4]\) con errore minore di \(10^{-4}\)?
9.
Dimostrare che il polinomio \(P(x) = x^7 + 3x^5 - x^2 + 5\) ha almeno una radice reale, e dire in quale intervallo del tipo \([-n, 0]\) (con \(n\) intero piccolo) è localizzata.
10.
Sia \(f : [0,1] \to [0,1]\) continua. Dimostrare che esiste \(c \in [0,1]\) con \(f(c) = c^2\). Suggerimento: applicare il teorema degli zeri a \(g(x) = f(x) - x^2\).
11.
Mostrare che esiste \(x_0 \in (0, \pi )\) tale che \(\operatorname{sen} x_0 = x_0 / 2\), e dimostrare che è unico in tale intervallo.
12.
Sia \(f : [-1, 1] \to \mathbb{R} \) continua con \(f(-1) = f(1)\). Dimostrare che esiste \(c \in [-1, 0]\) con \(f(c) = f(c + 1)\). Suggerimento: studiare \(g(x) = f(x+1) - f(x)\) su \([-1, 0]\).
13.
Discutere l’applicabilità del teorema degli zeri a \(f(x) = 1/x\) su \([-1, 1]\). La funzione cambia segno: perché non si può concludere l’esistenza di uno zero?
14.
Sia \(P(x)\) un polinomio di grado pari con coefficiente direttivo positivo. Mostrare che \(P\) ha minimo assoluto su \(\mathbb{R} \). Suggerimento: \(\lim _{|x|\to \infty } P(x) = +\infty \) implica che, fuori da un opportuno \([-R, R]\), \(P(x) > P(0)\); poi applicare Weierstrass su \([-R, R]\).
15.
Sfida. Due alpinisti scalano la stessa via di montagna, partendo alle \(8{:}00\) dal rifugio (quota \(1500\) m) e arrivando alle \(14{:}00\) in vetta (quota \(3000\) m). Il primo procede a velocità variabile ma sempre crescendo in quota; il secondo si concede pause più lunghe ma percorre lo stesso sentiero. Dimostrare, usando il teorema dei valori intermedi, che esiste un istante della giornata in cui i due si trovavano alla stessa quota nello stesso minuto, anche se hanno camminato in giorni diversi. Suggerimento: indicate \(h_1(t)\) e \(h_2(t)\) le quote dei due in funzione del tempo, e studiate \(g(t) = h_1(t) - h_2(t)\).

131.8 Riepilogo del capitolo

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