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Capitolo 131
Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, valori intermedi, zeri

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Se due funzioni di \(x\), fra le quali sussiste la legge che per un valore di \(x\) l’una è minore e per un altro valore è maggiore dell’altra, prendono per ogni valore intermedio di \(x\) valori in generale differenti, allora deve esistere almeno un valore intermedio di \(x\) in cui le due funzioni si rendono uguali.”

— Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes… (1817), traduzione adattata

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131.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (130) abbiamo definito la continuità di una funzione come una proprietà locale: \(f\) è continua in \(x_0\) se il limite per \(x \to x_0\) coincide con \(f(x_0)\). Si tratta di un’informazione che vive in un singolo punto e nei suoi intorni.

In questo capitolo facciamo un salto qualitativo: scopriamo che, se la continuità si verifica in ogni punto di un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), allora si possono dedurre proprietà globali potentissime, valide sull’intero intervallo. I tre teoremi che enunciamo — Weierstrass, valori intermedi (Bolzano-Darboux), zeri — sono i pilastri dell’analisi reale elementare e vengono detti teoremi globali sulle funzioni continue.

Tutti e tre sono teoremi di esistenza: non costruiscono il massimo o lo zero, ma garantiscono che esistono. La loro forza sta proprio qui: bastano poche ipotesi — continuità, dominio chiuso e limitato, eventualmente cambio di segno — per concludere risultati molto forti. Vedremo applicazioni nello studio di funzione (141), nella ricerca di massimi e minimi assoluti (139) e nella risoluzione approssimata di equazioni che non si lasciano risolvere algebricamente.

131.2 Teorema di Weierstrass

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Karl Weierstrass (1815–1897), nelle sue lezioni a Berlino, formulò il teorema che oggi porta il suo nome e che rappresenta la versione rigorosa di un’intuizione antica: una funzione che si traccia “senza staccare la penna dal foglio” su un intervallo chiuso e limitato deve avere un punto più alto e uno più basso.

Teorema 131.1 — di Weierstrass

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Allora \(f\) ammette massimo e minimo assoluti in \([a,b]\): esistono \(x_M, x_m \in [a,b]\) tali che

\[ f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \text {per ogni } x \in [a,b]. \]

Si pone \(M = f(x_M) = \max _{[a,b]} f\) e \(m = f(x_m) = \min _{[a,b]} f\).

Dimostrazione. La dimostrazione completa richiede strumenti di topologia (teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni: ogni successione limitata in \(\mathbb{R} \) ha una sottosuccessione convergente). L’idea è la seguente: si mostra prima che \(f\) è limitata (altrimenti si costruisce una successione \(x_n \in [a,b]\) con \(f(x_n) \to +\infty \); per Bolzano-Weierstrass si estrae \(x_{n_k} \to x^* \in [a,b]\) e la continuità darebbe \(f(x^*) = +\infty \), assurdo). Poi si pone \(M = \sup _{[a,b]} f\) e si costruisce una successione \(x_n\) con \(f(x_n) \to M\); passando a una sottosuccessione convergente a \(x_M \in [a,b]\), per continuità \(f(x_M) = M\). Analogamente per il minimo.

Le tre ipotesi sono tutte indispensabili: rimuovendone una sola, la tesi può venire a mancare.

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Figura 131.1: Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) raggiunge sia il massimo assoluto \(M = f(x_M)\) sia il minimo assoluto \(m = f(x_m)\). I punti di estremo possono cadere ovunque in \([a,b]\), agli estremi inclusi.

Esempio 131.1 — Le tre ipotesi sono necessarie

Mostriamo che togliendo una sola delle ipotesi (continuità, chiusura, limitatezza) la tesi può fallire.

Esempio 131.2 — Polinomio su intervallo chiuso

\(f(x) = -x^2 + 4x - 1\) su \([0,3]\). È polinomio (continuo su \(\mathbb{R} \)), l’intervallo è chiuso e limitato: il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza di max e min. Studio: \(f'(x) = -2x + 4 = 0\) in \(x = 2\) (interno a \([0,3]\)). Confronto i valori: \(f(0) = -1\), \(f(2) = 3\), \(f(3) = 2\). Quindi \(M = 3\) (in \(x_M = 2\)), \(m = -1\) (in \(x_m = 0\)).

Esempio 131.3 — Funzione trigonometrica

\(f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x\) su \([0, 2\pi ]\). Continua su un intervallo chiuso e limitato: max e min esistono. Si può scrivere \(f(x) = \sqrt {2}\,\operatorname{sen} (x + \pi /4)\), quindi \(M = \sqrt {2}\) (in \(x = \pi /4\)), \(m = -\sqrt {2}\) (in \(x = 5\pi /4\)).

131.3 Teorema dei valori intermedi (Bolzano-Darboux)

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Teorema 131.2 — dei valori intermedi

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a,b]\), e supponiamo \(f(a) \ne f(b)\). Allora, per ogni valore \(y\) compreso fra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = y\).

In forma sintetica: una funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra due valori assunti. Geometricamente: tracciando una retta orizzontale \(y = \) costante, fra il livello di \(f(a)\) e quello di \(f(b)\), il grafico la deve attraversare almeno una volta.

Dimostrazione (cenno). La dimostrazione si riconduce al teorema degli zeri (sezione 131.4) applicato alla funzione \(g(x) = f(x) - y\): \(g\) è continua, \(g(a)\) e \(g(b)\) hanno segno opposto (perché \(y\) sta fra \(f(a)\) e \(f(b)\)), dunque \(g\) si annulla in qualche \(c \in (a,b)\), cioè \(f(c) = y\).

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Figura 131.2: Teorema dei valori intermedi: per ogni valore \(y\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = y\). Il grafico di \(f\) deve necessariamente attraversare la retta orizzontale \(y = \) costante.

Corollario 131.1 — Proprietà di Darboux

L’immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo.

In particolare, se \(f : I \to \mathbb{R} \) è continua su \(I\) intervallo, \(f(I)\) non può essere un’unione di due intervalli disgiunti: non ci sono “buchi”. Se inoltre \(I = [a,b]\) è chiuso e limitato, per Weierstrass \(f\) ha massimo \(M\) e minimo \(m\) in \([a,b]\), e per i valori intermedi \(f([a,b]) = [m, M]\): l’immagine è esattamente l’intervallo chiuso tra il minimo e il massimo.

Esempio 131.4 — Applicazione diretta

\(f(x) = x^3 + x - 5\) su \([1,2]\): \(f(1) = -3\), \(f(2) = 5\). La funzione è continua (polinomio); per il teorema dei valori intermedi, \(f\) assume in \((1,2)\) ogni valore compreso fra \(-3\) e \(5\). In particolare, esiste \(c \in (1,2)\) con \(f(c) = 0\) — ma anche con \(f(c) = 1\), con \(f(c) = -2\), e così via.

Esempio 131.5 — L’ipotesi di continuità è essenziale

Sia \(f(x) = \lfloor x \rfloor \) (parte intera) su \([0, 2]\). Si ha \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\), ma \(f\) non assume mai il valore \(y = 0.5\): l’immagine è \(\{0, 1, 2\}\), non un intervallo. Coerente: \(f\) non è continua (salti in \(x = 1\) e \(x = 2\)).

131.4 Teorema degli zeri

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Il teorema degli zeri è il caso particolare del teorema dei valori intermedi per \(y = 0\). Storicamente venne dimostrato per primo da Bernard Bolzano nel 1817, in uno dei primi tentativi di analisi rigorosa: il titolo del lavoro, Dimostrazione puramente analitica del teorema che fra due valori che danno risultati di segno opposto giace almeno una radice reale dell’equazione, ne è quasi una parafrasi.

Teorema 131.3 — degli zeri (Bolzano, 1817)

Sia \(f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua su \([a,b]\) e supponiamo

\[ f(a) \cdot f(b) < 0 \]

(cioè \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto). Allora esiste almeno un \(c \in (a,b)\) tale che \(f(c) = 0\).

Dimostrazione (metodo di bisezione). Senza perdere generalità \(f(a) < 0 < f(b)\). Poniamo \(a_0 = a\), \(b_0 = b\). Per ogni \(n \ge 0\) consideriamo il punto medio \(m_n = (a_n + b_n)/2\) e definiamo:

Costruiamo così intervalli annidati \([a_n, b_n]\) di lunghezza \((b-a)/2^n\), con \(f(a_n) \le 0 \le f(b_n)\). Le successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) sono monotone e limitate, dunque convergenti a un comune limite \(c\) (l’unico punto comune a tutti gli intervalli). Per continuità di \(f\):

\[ f(c) = \lim _{n\to \infty } f(a_n) \le 0, \qquad f(c) = \lim _{n\to \infty } f(b_n) \ge 0, \]

quindi \(f(c) = 0\).

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Figura 131.3: Teorema degli zeri: se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto (qui sono entrambi positivi nei picchi, ma il grafico scende sotto zero), \(f\) deve annullarsi almeno una volta in \((a,b)\). Il teorema afferma l’esistenza di almeno uno zero, non l’unicità: nell’esempio gli zeri sono tre.

Attenzione!

Il teorema garantisce esistenza, non unicità. Per ottenere l’unicità si aggiunge tipicamente la monotonia di \(f\) in \([a,b]\) (vedi sezione 131.5).

Esempio 131.6 — Esistenza di una soluzione

Mostrare che l’equazione \(e^x = 3 - x\) ha almeno una soluzione in \((0, 1)\).

Poniamo \(f(x) = e^x - 3 + x\), continua su \(\mathbb{R} \). Valutiamo agli estremi:

\[ f(0) = 1 - 3 + 0 = -2 < 0, \qquad f(1) = e - 2 \approx 0.718 > 0. \]

Per il teorema degli zeri esiste \(c \in (0,1)\) con \(f(c) = 0\), cioè \(e^c = 3 - c\).

Esempio 131.7 — Metodo di bisezione

Approssimiamo lo zero di \(f(x) = x^3 + x - 1\) in \([0,1]\) con tre iterazioni di bisezione. Si ha \(f(0) = -1 < 0\) e \(f(1) = 1 > 0\): il teorema garantisce uno zero.

Dopo tre iterazioni lo zero \(c\) è confinato in \([0.625, 0.75]\), ampiezza \(0.125\). Il valore esatto è \(c \approx 0.6823\).

131.5 Applicazioni

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Unicità della soluzione: continuità + monotonia

Il teorema degli zeri da solo non garantisce unicità: una funzione continua può cambiare segno e attraversare l’asse \(x\) molte volte. Se però \(f\) è anche strettamente monotona in \([a,b]\), allora lo zero, se esiste, è unico.

Procedura  — Unicità della soluzione di \(f(x) = 0\)

Per dimostrare che l’equazione \(f(x) = 0\) ha esattamente una soluzione in \([a,b]\):

1.
verificare che \(f\) è continua in \([a,b]\);
2.
verificare che \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto (teorema degli zeri \(\Rightarrow \) esistenza);
3.
verificare che \(f\) è strettamente monotona in \([a,b]\) (es. \(f'(x) > 0\) ovunque \(\Rightarrow \) unicità).

Polinomi di grado dispari

Teorema 131.4 — Radici reali dei polinomi di grado dispari

Ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice reale.

Dimostrazione. Sia \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0\) con \(n\) dispari e \(a_n \ne 0\). Senza perdere generalità \(a_n > 0\). Allora

\[ \lim _{x \to +\infty } P(x) = +\infty , \qquad \lim _{x \to -\infty } P(x) = -\infty \]

(perché \(n\) è dispari). Esistono dunque \(a\) molto negativo con \(P(a) < 0\) e \(b\) molto positivo con \(P(b) > 0\). \(P\) è continuo su \([a,b]\) (è polinomio): il teorema degli zeri dà \(c \in (a,b)\) con \(P(c) = 0\).

Punti fissi

Teorema 131.5 — Punto fisso per funzioni continue di un intervallo in sé

Sia \(f : [a,b] \to [a,b]\) continua. Allora \(f\) ha almeno un punto fisso: esiste \(c \in [a,b]\) con \(f(c) = c\).

Dimostrazione. Poniamo \(g(x) = f(x) - x\). \(g\) è continua. Agli estremi:

\[ g(a) = f(a) - a \ge 0 \quad (\text {perché } f(a) \in [a,b] \subseteq [a, +\infty )), \]
\[ g(b) = f(b) - b \le 0 \quad (\text {perché } f(b) \in [a,b] \subseteq (-\infty , b]). \]

Se \(g(a) = 0\) allora \(c = a\) è punto fisso; se \(g(b) = 0\) allora \(c = b\) lo è; altrimenti \(g(a) > 0\) e \(g(b) < 0\) hanno segno opposto, e per il teorema degli zeri esiste \(c \in (a,b)\) con \(g(c) = 0\), cioè \(f(c) = c\).

131.6 Esempi svolti

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Esempio 131.8 — Massimo e minimo assoluti di una funzione su intervallo chiuso

Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = x^3 - 3x\) su \([-2, 2]\).

Algebra prima dei numeri. \(f\) è polinomio, dunque continua su \(\mathbb{R} \); \([-2,2]\) è chiuso e limitato: per Weierstrass max e min esistono. I candidati sono gli estremi dell’intervallo e i punti interni in cui \(f'(x) = 0\):

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \;\Longleftrightarrow \; x = \pm 1. \]

Entrambi \(\pm 1\) sono interni a \([-2,2]\). Valutiamo \(f\) nei quattro candidati:

\[ f(-2) = -8 + 6 = -2, \quad f(-1) = -1 + 3 = 2, \quad f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(2) = 8 - 6 = 2. \]

Quindi \(M = 2\), raggiunto in \(x = -1\) e in \(x = 2\); \(m = -2\), raggiunto in \(x = -2\) e in \(x = 1\).

Esempio 131.9 — Esistenza e unicità della soluzione

Mostrare che l’equazione \(x^3 + x = 10\) ha esattamente una soluzione reale.

Sia \(f(x) = x^3 + x - 10\). \(f\) è polinomio (continua su \(\mathbb{R} \)). Esistenza: \(f(0) = -10 < 0\), \(f(3) = 27 + 3 - 10 = 20 > 0\). Per il teorema degli zeri esiste \(c \in (0,3)\) con \(f(c) = 0\). Unicità: \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R} \), quindi \(f\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R} \) — in particolare iniettiva: la soluzione è unica.

Esempio 131.10 — Equazione trascendente

Provare che l’equazione \(\cos x = x\) ha esattamente una soluzione in \([0, \pi /2]\).

Sia \(f(x) = \cos x - x\), continua su \(\mathbb{R} \). Agli estremi:

\[ f(0) = 1 - 0 = 1 > 0, \qquad f(\pi /2) = 0 - \pi /2 \approx -1.57 < 0. \]

Segni opposti: esiste \(c \in (0, \pi /2)\) con \(f(c) = 0\), cioè \(\cos c = c\). Inoltre \(f'(x) = -\operatorname{sen} x - 1 < 0\) per \(x \in (0, \pi /2]\) (perché \(\operatorname{sen} x > -1\) lì), quindi \(f\) è strettamente decrescente: la soluzione è unica. Il valore numerico approssimato è \(c \approx 0.7391\) (la cosiddetta costante di Dottie).

Esempio 131.11 — Polinomio di grado dispari

Mostrare che \(P(x) = x^5 - 4x^3 + 2x - 7\) ha almeno una radice reale.

\(P\) è polinomio di grado dispari \(5\): per il teorema sui polinomi di grado dispari, esiste almeno una radice reale. Localizziamola: \(P(0) = -7\), \(P(2) = 32 - 32 + 4 - 7 = -3\), \(P(3) = 243 - 108 + 6 - 7 = 134\). Tra \(2\) e \(3\) il segno cambia: la radice cercata sta in \((2,3)\).

Esempio 131.12 — Punto fisso esplicito

Sia \(f : [0,1] \to [0,1]\) definita da \(f(x) = (x + 1)/3\). Verificare che \(f\) è una mappa di \([0,1]\) in sé, dedurre l’esistenza di un punto fisso e trovarlo.

Mappa in sé: \(x \in [0,1] \Rightarrow x + 1 \in [1,2] \Rightarrow (x+1)/3 \in [1/3, 2/3] \subseteq [0,1]\). Continua: sì (è affine). Per il teorema del punto fisso esiste \(c \in [0,1]\) con \(f(c) = c\). Risolvendo: \(c = (c+1)/3 \Rightarrow 3c = c + 1 \Rightarrow c = 1/2\). Notiamo che \(1/2 \in [1/3, 2/3]\), coerente.

Esempio 131.13 — Bisezione con tolleranza assegnata

Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare lo zero di \(f(x) = x^2 - 2\) in \([1,2]\) con errore minore di \(10^{-3}\)?

Lo zero cercato è \(c = \sqrt {2}\). Dopo \(n\) iterazioni l’intervallo ha ampiezza \((b-a)/2^n = 1/2^n\); il punto medio ne dista al massimo \(1/2^{n+1}\). Imponiamo

\[ \frac {1}{2^{n+1}} < 10^{-3} \;\Longleftrightarrow \; 2^{n+1} > 1000 \;\Longleftrightarrow \; n + 1 \ge 10 \;\Longleftrightarrow \; n \ge 9. \]

Bastano 9 iterazioni. (In effetti \(2^{10} = 1024\).)

131.7 Esercizi proposti

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Esercizio 131.1

1.
Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x\) su \([0, 3]\).
2.
Determinare massimo e minimo assoluti di \(f(x) = x + \dfrac {1}{x}\) su \([1/2, 3]\).
3.
Per ciascuna funzione, dire se è applicabile il teorema di Weierstrass e motivare la risposta:
(a)
\(f(x) = \dfrac {1}{x}\) su \((0, 1]\);
(b)
\(f(x) = \operatorname{tg} x\) su \([0, \pi /2)\);
(c)
\(f(x) = \begin {cases} x & x \in [0,1) \\ 0 & x = 1\end {cases}\) su \([0,1]\);
(d)
\(f(x) = e^{-x^2}\) su \([-3, 3]\).
4.
Dimostrare che l’equazione \(x^3 - 3x + 1 = 0\) ha tre soluzioni reali distinte e localizzarle in tre intervalli disgiunti di ampiezza \(1\).
5.
Mostrare che \(f(x) = \ln x + x = 0\) ha esattamente una soluzione in \((0, +\infty )\) e localizzarla in un intervallo di ampiezza \(0.5\).
6.
Provare che l’equazione \(2^x = 3x\) ha almeno due soluzioni reali e localizzarle.
7.
Applicare il metodo di bisezione per approssimare lo zero di \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) in \([2, 3]\) con quattro iterazioni; indicare l’intervallo finale e il punto medio come approssimazione.
8.
Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare uno zero in \([0, 4]\) con errore minore di \(10^{-4}\)?
9.
Dimostrare che il polinomio \(P(x) = x^7 + 3x^5 - x^2 + 5\) ha almeno una radice reale, e dire in quale intervallo del tipo \([-n, 0]\) (con \(n\) intero piccolo) è localizzata.
10.
Sia \(f : [0,1] \to [0,1]\) continua. Dimostrare che esiste \(c \in [0,1]\) con \(f(c) = c^2\). Suggerimento: applicare il teorema degli zeri a \(g(x) = f(x) - x^2\).
11.
Mostrare che esiste \(x_0 \in (0, \pi )\) tale che \(\operatorname{sen} x_0 = x_0 / 2\), e dimostrare che è unico in tale intervallo.
12.
Sia \(f : [-1, 1] \to \mathbb{R} \) continua con \(f(-1) = f(1)\). Dimostrare che esiste \(c \in [-1, 0]\) con \(f(c) = f(c + 1)\). Suggerimento: studiare \(g(x) = f(x+1) - f(x)\) su \([-1, 0]\).
13.
Discutere l’applicabilità del teorema degli zeri a \(f(x) = 1/x\) su \([-1, 1]\). La funzione cambia segno: perché non si può concludere l’esistenza di uno zero?
14.
Sia \(P(x)\) un polinomio di grado pari con coefficiente direttore positivo. Mostrare che \(P\) ha minimo assoluto su \(\mathbb{R} \). Suggerimento: \(\lim _{|x|\to \infty } P(x) = +\infty \) implica che, fuori da un opportuno \([-R, R]\), \(P(x) > P(0)\); poi applicare Weierstrass su \([-R, R]\).
15.
Sfida. Due alpinisti scalano la stessa via di montagna, partendo alle \(8{:}00\) dal rifugio (quota \(1500\) m) e arrivando alle \(14{:}00\) in vetta (quota \(3000\) m). Il primo procede a velocità variabile ma sempre crescendo in quota; il secondo si concede pause più lunghe ma percorre lo stesso sentiero. Dimostrare, usando il teorema dei valori intermedi, che esiste un istante della giornata in cui i due si trovavano alla stessa quota nello stesso minuto, anche se hanno camminato in giorni diversi. Suggerimento: indicate \(h_1(t)\) e \(h_2(t)\) le quote dei due in funzione del tempo, e studiate \(g(t) = h_1(t) - h_2(t)\).

131.8 Riepilogo del capitolo

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