“
Le rette che, prolungate insieme alle sezioni opposte dell’iperbole, in nessun luogo si incontrano con esse,
sono dette asintote.”
— Apollonio di Perga, Le coniche, libro II (III sec. a.C.), traduzione adattata
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Studiare il comportamento all’infinito di una funzione — cioè quello che accade quando \(x \to \pm \infty \) o quando \(x\) si avvicina a un punto in cui \(f\) non è definita e “esplode” — è uno dei passi più informativi per capire il grafico. Spesso, in queste situazioni, il grafico si avvicina indefinitamente a una retta: la chiamiamo asintoto.
Il termine fu introdotto da Apollonio di Perga (III sec. a.C.) per le rette che le iperboli “sfiorano ma non raggiungono mai” all’infinito: dal greco \(\dot \alpha \sigma \dot \upsilon \mu \pi \tau \omega \tau o\varsigma \) (asýmptōtos, “che non cade insieme”). Nel linguaggio moderno dell’analisi, l’idea si traduce nella nozione di limite: il grafico di \(f\) si avvicina alla retta \(r\) se la distanza verticale fra il punto sul grafico e la retta tende a zero.
In questo capitolo distinguiamo tre tipi di asintoto, a seconda di dove la funzione si avvicina alla retta e di come è inclinata la retta:
Gli asintoti orizzontali e quelli verticali corrispondono esattamente a limiti notevoli per la funzione: gli orizzontali agli infiniti, i verticali nei punti di discontinuità di seconda specie a limite infinito (130). Gli asintoti obliqui richiedono invece un piccolo calcolo a due limiti che ricaveremo nella sezione 132.4.
Trovare gli asintoti è un passaggio obbligato nello studio completo di funzione (141): ci dice come “si chiude” il grafico ai bordi del dominio e all’infinito.
Definizione 132.1 — Asintoto orizzontale
La retta \(y = \ell \) è asintoto orizzontale per \(f\) a \(+\infty \) se
Analogamente è asintoto orizzontale a \(-\infty \) se \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty } f(x) = \ell \).
Una funzione può avere:
Esempio 132.1 — Funzione razionale: gradi del numeratore e del denominatore
Sia \(f(x) = \dfrac {2x^2 + 3}{x^2 - 4}\). Per \(x \to \pm \infty \) raccogliamo \(x^2\):
La retta \(y = 2\) è asintoto orizzontale a entrambi gli infiniti.
Regola generale. Per \(f(x) = P(x)/Q(x)\) con \(\deg P = \deg Q\), l’asintoto orizzontale è \(y = \) rapporto dei coefficienti direttori. Se \(\deg P < \deg Q\), l’asintoto orizzontale è \(y = 0\). Se \(\deg P > \deg Q\), non c’è asintoto orizzontale (e a \(\pm \infty \) il limite è \(\pm \infty \)).
Esempio 132.2 — Esponenziale: asintoto solo da un lato
\(f(x) = e^x\) ha asintoto orizzontale \(y = 0\) solo a \(-\infty \), perché \(\displaystyle \lim _{x \to -\infty } e^x = 0\) e \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } e^x = +\infty \).
Definizione 132.2 — Asintoto verticale
La retta \(x = x_0\) è asintoto verticale per \(f\) se almeno uno dei due limiti laterali in \(x_0\) è infinito:
Si parla di asintoto verticale sinistro, destro o bilatero a seconda di quale dei limiti laterali è infinito.
L’asintoto verticale corrisponde tipicamente a una discontinuità di seconda specie (130) in cui almeno un limite laterale è \(\pm \infty \). I candidati naturali sono i punti esclusi dal dominio:
Strategia. Per ogni \(x_0\) escluso dal dominio: calcolare i due limiti laterali. Se almeno uno è \(\pm \infty \), la retta \(x = x_0\) è asintoto verticale. Nei casi in cui il limite è finito (es. discontinuità eliminabile) non c’è asintoto verticale.
Esempio 132.3 — Funzione razionale: cercare gli zeri del denominatore
\(f(x) = \dfrac {1}{x^2 - 1} = \dfrac {1}{(x-1)(x+1)}\). Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).
In \(x_0 = 1\): numeratore \(\to 1\), denominatore \(\to 0\). Studio segno del denominatore: \((x-1)(x+1)\) per \(x\) vicino a \(1\), \(x+1 > 0\), mentre \(x-1\) cambia segno. Quindi \(\ell ^- = 1 / 0^- = -\infty \) e \(\ell ^+ = 1 / 0^+ = +\infty \). Asintoto verticale \(x = 1\) bilatero.
In \(x_0 = -1\): analogamente, \(x - 1 \to -2 < 0\), \(x + 1\) cambia segno; \(\ell ^- = 1/(0^+ \cdot 0^-)\) ... calcoliamo: per \(x \to -1^-\), \(x+1 \to 0^-\) e \(x-1 \to -2\), prodotto \(\to 0^+\), quindi \(\ell ^- = 1/0^+ = +\infty \). Per \(x \to -1^+\), \(x+1 \to 0^+\) e \(x-1 \to -2\), prodotto \(\to 0^-\), quindi \(\ell ^+ = -\infty \). Asintoto verticale \(x = -1\) bilatero.
Esempio 132.4 — Punto escluso dal dominio senza asintoto verticale
\(f(x) = \dfrac {\operatorname{sen} x}{x}\) non è definita in \(x = 0\), ma \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} x}{x} = 1\) (129): limite finito. Non c’è asintoto verticale: \(x = 0\) è una discontinuità eliminabile.
Definizione 132.3 — Asintoto obliquo
La retta \(y = mx + q\), con \(m \ne 0\), è asintoto obliquo per \(f\) a \(+\infty \) se
Analogamente a \(-\infty \).
In altre parole, la distanza verticale fra il grafico di \(f\) e la retta \(y = mx + q\) tende a zero all’infinito.
Teorema 132.1 — Coefficienti di un asintoto obliquo
La retta \(y = mx + q\) è asintoto obliquo per \(f\) a \(+\infty \) se e solo se i seguenti due limiti esistono finiti, e \(m \ne 0\):
Dimostrazione (idea). Se \(f(x) - (mx + q) \to 0\), allora dividendo per \(x\):
Una volta noto \(m\), \(q\) si ottiene riarrangiando: \(f(x) - mx \to q\). Viceversa, se i due limiti esistono finiti come indicato, \(f(x) - (mx + q) \to 0\) per costruzione.
Procedura — Ricerca di un asintoto obliquo a \(+\infty \)
Procedura analoga per \(-\infty \).
Attenzione!
Asintoto orizzontale e asintoto obliquo a \(+\infty \) sono mutuamente esclusivi. Se \(f\) ha asintoto orizzontale a \(+\infty \) (limite finito), il calcolo di \(m\) dà \(0\) e non c’è obliquo. Viceversa, se c’è obliquo, \(f\) esplode a \(\pm \infty \) e non c’è orizzontale. Dunque conviene controllare prima il limite a \(+\infty \): se è finito \(\Rightarrow \) AO; se è \(\pm \infty \Rightarrow \) candidato AOBL.
Esempio 132.5 — Asintoto obliquo “classico”
\(f(x) = \dfrac {x^2 + 1}{x}\) su \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). A \(+\infty \):
Asintoto obliquo \(y = x\) a \(+\infty \). (Alternativa veloce: \(f(x) = x + 1/x\), il termine \(1/x \to 0\) è il resto rispetto alla retta \(y = x\).) Per simmetria, \(y = x\) è asintoto obliquo anche a \(-\infty \).
Esempio 132.6 — Quando \(m\) esiste ma \(q\) no: niente asintoto obliquo
\(f(x) = \sqrt {x^2 + x}\), definita per \(x \le -1\) o \(x \ge 0\). A \(+\infty \): \(f(x)/x = \sqrt {1 + 1/x} \to 1\), quindi \(m = 1\). \(q = \lim _{x \to +\infty } (\sqrt {x^2 + x} - x)\): razionalizziamo,
\(q = 1/2\) finito, dunque asintoto obliquo a \(+\infty \): \(y = x + 1/2\).
A \(-\infty \): si fa analogamente, attenzione che \(\sqrt {x^2} = |x| = -x\) per \(x < 0\), quindi \(m = -1\) e si ricalcola \(q\); si trova \(y = -x - 1/2\).
Riassumiamo in uno schema unitario il processo completo.
Procedura — Ricerca di tutti gli asintoti
Attenzione!
Asintoti orizzontali e obliqui non possono coesistere dallo stesso lato. Se a \(+\infty \) il limite è finito, c’è AO e non c’è AOBL; se è infinito, c’è eventualmente AOBL e non c’è AO. Lo stesso vale a \(-\infty \). Invece i due lati (\(+\infty \) e \(-\infty \)) sono indipendenti: per esempio \(f(x) = x + e^{-x}\) ha asintoto obliquo \(y = x\) a \(+\infty \), ma a \(-\infty \) il termine \(e^{-x}\) esplode e non c’è alcun asintoto.
Esempio 132.7 — Tutti gli asintoti di una funzione razionale
Determinare gli asintoti di \(f(x) = \dfrac {2x^2 + 1}{x^2 - 4}\).
Dominio: \(x^2 - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).
Asintoti verticali. Candidati: \(x_0 = \pm 2\). In \(x_0 = 2\): numeratore \(\to 2 \cdot 4 + 1 = 9 \ne 0\), denominatore \(\to 0\). Segno: \((x-2)(x+2)\), vicino a \(x = 2\) il fattore \(x+2 \to 4 > 0\), \(x - 2\) cambia segno. Limiti laterali: \(\ell ^- = 9 / 0^- = -\infty \), \(\ell ^+ = 9 / 0^+ = +\infty \). Asintoto verticale \(x = 2\) bilatero. Analogamente \(x = -2\): si trova \(\ell ^- = +\infty \), \(\ell ^+ = -\infty \), asintoto verticale bilatero.
Asintoti orizzontali. A \(\pm \infty \): rapporto di polinomi di pari grado, \(m = 2/1 = 2\). Asintoto orizzontale \(y = 2\) a entrambi i lati. (Niente asintoti obliqui dal momento che c’è quello orizzontale.)
Esempio 132.8 — Asintoto obliquo: polinomio di grado \(n+1\) su polinomio di grado \(n\)
Determinare gli asintoti di \(f(x) = \dfrac {x^3 + 1}{x^2 + 1}\).
Dominio: \(x^2 + 1 > 0\) sempre, dunque \(D = \mathbb{R} \). Niente asintoti verticali.
Asintoti a \(\pm \infty \). \(\displaystyle \lim _{x \to \pm \infty } f(x) = \pm \infty \), niente AO.
Asintoto obliquo a \(+\infty \): \(y = x\). Per parità della procedura (i calcoli sono identici sostituendo \(+\infty \) con \(-\infty \) e mantenendo i segni) anche a \(-\infty \): \(y = x\).
Trucco di divisione polinomiale. La divisione \(\dfrac {x^3 + 1}{x^2 + 1} = x + \dfrac {1 - x}{x^2 + 1}\) rende l’asintoto obliquo \(y = x\) immediato: il quoziente della divisione è la retta cercata, il resto \(\to 0\).
Esempio 132.9 — Asintoti diversi nei due lati
Determinare gli asintoti di \(f(x) = x + \arctan x\).
Dominio: \(D = \mathbb{R} \), niente AV.
A \(+\infty \): \(f(x) \to +\infty + \pi /2 = +\infty \), no AO. \(m = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x + \arctan x}{x} = 1 + 0 = 1\). \(q = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } [x + \arctan x - x] = \pi /2\). Asintoto obliquo a \(+\infty \): \(y = x + \pi /2\).
A \(-\infty \): \(m = 1\) con calcolo identico; \(q = \displaystyle \lim _{x \to -\infty } \arctan x = -\pi /2\). Asintoto obliquo a \(-\infty \): \(y = x - \pi /2\).
Quindi \(f\) ha due asintoti obliqui distinti.
Esempio 132.10 — Funzione con radice
Determinare gli asintoti di \(f(x) = \sqrt {x^2 + 4}\).
Dominio: \(x^2 + 4 > 0\) sempre, \(D = \mathbb{R} \). Niente AV.
A \(+\infty \): \(f(x) \to +\infty \), no AO. \(m = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {\sqrt {x^2 + 4}}{x} = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } \sqrt {1 + 4/x^2} = 1\). \(q = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } (\sqrt {x^2 + 4} - x)\). Razionalizzo:
Asintoto obliquo a \(+\infty \): \(y = x\).
A \(-\infty \): attenzione, \(\sqrt {x^2} = |x| = -x\) per \(x < 0\). \(m = \displaystyle \lim _{x \to -\infty } \dfrac {\sqrt {x^2 + 4}}{x} = \displaystyle \lim _{x \to -\infty } \dfrac {|x|\sqrt {1 + 4/x^2}}{x} = \displaystyle \lim _{x \to -\infty } \dfrac {-x \cdot 1}{x} = -1\). \(q = \displaystyle \lim _{x \to -\infty } (\sqrt {x^2 + 4} + x)\): razionalizzando con segno opposto si trova \(q = 0\). Asintoto obliquo a \(-\infty \): \(y = -x\).
Esempio 132.11 — Asintoto verticale “a un solo lato”
Determinare gli asintoti di \(f(x) = e^{1/x}\).
Dominio: \(x \ne 0\), \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Asintoti verticali. Candidato \(x_0 = 0\). Per \(x \to 0^+\), \(1/x \to +\infty \), quindi \(e^{1/x} \to +\infty \). Per \(x \to 0^-\), \(1/x \to -\infty \), quindi \(e^{1/x} \to 0\). Asintoto verticale \(x = 0\) solo a destra (a sinistra il limite è finito, \(0\), e infatti \(x=0\) è una discontinuità di terza specie dal lato sinistro).
Asintoti a \(\pm \infty \). Per \(x \to \pm \infty \), \(1/x \to 0\), dunque \(e^{1/x} \to e^0 = 1\). Asintoto orizzontale \(y = 1\) a entrambi i lati.
Esempio 132.12 — Logaritmo: niente asintoto obliquo
Mostrare che \(f(x) = \ln x\) non ha asintoto obliquo a \(+\infty \).
\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \ln x = +\infty \), no AO. \(m = \displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {\ln x}{x} = 0\) (gerarchia degli infiniti: \(\ln x\) cresce più lentamente di \(x\), 129). Poiché \(m = 0\), non c’è asintoto obliquo (la condizione richiede \(m \ne 0\)). C’è invece l’asintoto verticale \(x = 0\) destro, perché \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} \ln x = -\infty \).
Esercizio 132.1
Riepilogo
Asintoto obliquo. La retta \(y = mx + q\) con \(m \ne 0\) è asintoto obliquo a \(+\infty \) se \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } [f(x) - (mx + q)] = 0\). Si ricava in due passi:
Entrambi devono esistere finiti, e \(m \ne 0\).
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