138 Teorema di De L’Hopital

“

Quando due quantità che dipendono da una variabile \(x\) si annullano simultaneamente per \(x = a\), il rapporto di queste quantità si avvicina, al tendere di \(x\) ad \(a\), al rapporto dei loro differenziali.”

— Guillaume de L’Hôpital, Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes (1696), traduzione adattata

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138.1 Introduzione motivazionale

Nei capitoli 128 e 129 abbiamo affrontato le forme indeterminate (\(0/0\), \(\infty /\infty \), \(\infty - \infty \), \(0 \cdot \infty \), \(0^0\), \(\infty ^0\), \(1^\infty \)) con strumenti algebrici (scomposizione, razionalizzazione, raccoglimento) e con i limiti notevoli. Quei metodi coprono molti casi, ma non tutti: ad esempio, \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x^x\), oppure \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x^{100}}{e^x}\), sono inaccessibili con le sole tecniche algebriche.

Il teorema di De L’Hôpital fornisce uno strumento generale, particolarmente potente: per le forme \(0/0\) e \(\infty /\infty \), il limite del rapporto \(f(x)/g(x)\) coincide con il limite del rapporto delle derivate \(f'(x)/g'(x)\), quando quest’ultimo esiste. Iterando o trasformando, si gestiscono anche le altre forme indeterminate.

Un aneddoto storico curioso. Il teorema è dovuto al matematico svizzero Johann Bernoulli (1667–1748). Fu però pubblicato per la prima volta dal marchese francese Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661–1704) nel libro Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes (1696), il primo manuale di calcolo differenziale della storia. Un contratto privato del 1694, conservato e poi reso noto a fine ’800, rivela che de L’Hôpital pagava un compenso mensile fisso a Bernoulli per ricevere lezioni di matematica e per il diritto di firmare i risultati. Il nome “teorema di De L’Hôpital” è dunque storicamente improprio: sarebbe più corretto chiamarlo “teorema di Bernoulli”, come oggi si tende a fare nei testi più rigorosi. La tradizione e la pubblicazione del 1696 hanno però fatto entrare nel linguaggio comune il primo nome.

Strutturalmente, il teorema è una conseguenza diretta del teorema di Cauchy degli incrementi finiti (137). Lo dimostreremo nella sezione 138.2 e poi applicheremo:

138.2 Enunciato del teorema di De L’Hôpital

Teorema 138.1 — De L’Hôpital, forma \(0/0\)

Siano \(f, g\) funzioni derivabili in un intorno di \(x_0\), eccetto al più in \(x_0\) stesso, con \(g'(x) \ne 0\) in tale intorno. Supponiamo:

1.: \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} f(x) = 0\) e \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} g(x) = 0\);
2.: esiste (finito o infinito) \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} \dfrac {f'(x)}{g'(x)} = L\).

Allora

\[ \lim _{x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = L. \]

Il teorema vale anche per limiti laterali (\(x \to x_0^\pm \)) e per \(x_0 = \pm \infty \).

Dimostrazione (caso \(x \to x_0^+\), \(L \in \mathbb{R} \), \(x_0 \in \mathbb{R} \)). Estendiamo \(f\) e \(g\) ponendo \(f(x_0) := 0\) e \(g(x_0) := 0\): in questo modo \(f, g\) diventano continue in \(x_0\) (perché i limiti valgono \(0\)). Per ogni \(x\) in un intorno destro di \(x_0\) applichiamo il teorema di Cauchy a \([x_0, x]\) (137): esiste \(c_x \in (x_0, x)\) con

Quando \(x \to x_0^+\), anche \(c_x \to x_0^+\) (perché \(x_0 < c_x < x\)); per ipotesi \(f'(c_x)/g'(c_x) \to L\). Quindi \(f(x)/g(x) \to L\).

Teorema 138.2 — De L’Hôpital, forma \(\infty /\infty \)

Sotto le stesse ipotesi del teorema precedente, ma sostituendo l’ipotesi (1) con

\[ \lim _{x \to x_0} |g(x)| = +\infty \]

(senza richiedere nulla su \(\lim f\)), la conclusione resta valida:

\[ \lim _{x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = L. \]

La dimostrazione del caso \(\infty /\infty \) è più tecnica e la omettiamo. Il caso \(0/0\) è quello dove la connessione con Cauchy è più trasparente.

Attenzione!

De L’Hôpital non sempre funziona, e non sempre è applicabile.

Forme che non sono \(0/0\) né \(\infty /\infty \). Il teorema non dice nulla: il limite di \(f(x)/g(x)\) può esistere senza coincidere con \(\lim f'/g'\). Esempio: \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {x + 1}{x + 2} = 1/2\) (limite ordinario, non indeterminato), ma \(f'/g' = 1/1 = 1 \ne 1/2\).
Limite di \(f'/g'\) non esiste. In tal caso il teorema non dice nulla: non si conclude che il limite originale non esista. Esempio: \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x + \operatorname{sen} x}{x} = 1\) (esiste, vale \(1\) per teorema del confronto), ma \(f'/g' = 1 + \cos x\) non ha limite per \(x \to +\infty \).

Regola pratica: prima di applicare De L’Hôpital, verificare che la forma sia effettivamente indeterminata di tipo \(0/0\) o \(\infty /\infty \).

Procedura — Schema di applicazione di De L’Hôpital

1.: Verificare che il limite di \(f(x)/g(x)\) produca la forma \(0/0\) o \(\infty /\infty \).
2.: Verificare le condizioni di regolarità (\(f, g\) derivabili in un intorno, \(g'(x) \ne 0\)).
3.: Calcolare \(\lim f'(x)/g'(x)\). Se esiste (finito o infinito), è il valore cercato.
4.: Se il nuovo limite è ancora \(0/0\) o \(\infty /\infty \), si può iterare De L’Hôpital (più volte se necessario).
5.: Se il calcolo si complica anziché semplificare, abbandonare il metodo e tornare alle tecniche algebriche o ai limiti notevoli.

138.3 Applicazione a forme 0/0

Esempio 138.1 — \(\displaystyle \lim _{x \to 1} \dfrac {\ln x}{x - 1}\)

Forma \(0/0\). Derivate: numeratore \(1/x\), denominatore \(1\). Quindi

\[ \lim _{x \to 1} \frac {\ln x}{x - 1} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 1} \frac {1/x}{1} = 1. \]

(“H” segnala l’applicazione di De L’Hôpital.)

Esempio 138.2 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {1 - \cos x}{x^2}\)

Forma \(0/0\). Una prima applicazione di H:

\[ \lim _{x \to 0} \frac {1 - \cos x}{x^2} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{sen} x}{2x}. \]

Ancora forma \(0/0\); seconda applicazione:

\[ \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{sen} x}{2x} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {\cos x}{2} = \frac {1}{2}. \]

Conferma del limite notevole già visto in 129.

Esempio 138.3 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {e^x - 1 - x}{x^2}\)

Forma \(0/0\). Applichiamo H due volte:

\[ \lim _{x \to 0} \frac {e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {e^x - 1}{2x} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {e^x}{2} = \frac {1}{2}. \]

Esempio 138.4 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{tg} x - x}{x^3}\)

Forma \(0/0\). Iteriamo H finché possibile:

\[ \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{tg} x - x}{x^3} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {1/\cos ^2 x - 1}{3x^2} = \lim _{x \to 0} \frac {1 - \cos ^2 x}{3 x^2 \cos ^2 x} = \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{sen} ^2 x}{3 x^2 \cos ^2 x}. \]

Usando \(\operatorname{sen} x / x \to 1\) e \(\cos x \to 1\):

\[ = \frac {1^2}{3 \cdot 1^2} = \frac {1}{3}. \]

Notare la convivenza armonica tra De L’Hôpital e limiti notevoli: il primo riduce, i secondi finiscono.

138.4 Applicazione a forme \(\infty /\infty \)

Esempio 138.5 — \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {\ln x}{x}\)

Forma \(\infty /\infty \). Applichiamo H:

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac {\ln x}{x} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to +\infty } \frac {1/x}{1} = \lim _{x \to +\infty } \frac {1}{x} = 0. \]

Risultato fondamentale: il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza positiva di \(x\).

Esempio 138.6 — \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x^n}{e^x}\), \(n \in \mathbb{N} \)

Forma \(\infty /\infty \). Applichiamo H ripetutamente (\(n\) volte). Dopo una applicazione:

\[ \frac {x^n}{e^x} \stackrel {\text {H}}{=} \frac {n x^{n-1}}{e^x}. \]

Ancora \(\infty /\infty \). Iteriamo \(n\) volte:

\[ \frac {x^n}{e^x} \stackrel {\text {H}^{(n)}}{=} \frac {n!}{e^x} \;\to \; 0. \]

Risultato cardine: l’esponenziale cresce più velocemente di qualunque polinomio.

Teorema 138.3 — Gerarchia degli infiniti

Per \(x \to +\infty \), le funzioni elementari crescenti si ordinano (in ordine crescente di velocità) come segue:

\[ \ln x \;\ll \; x^a \;\ll \; e^x \;\ll \; x^x, \qquad a > 0, \]

nel senso che il limite del rapporto della funzione “più lenta” su quella “più veloce” tende a \(0\):

\[ \lim _{x \to +\infty } \frac {\ln x}{x^a} = 0, \qquad \lim _{x \to +\infty } \frac {x^a}{e^x} = 0, \qquad \lim _{x \to +\infty } \frac {e^x}{x^x} = 0. \]

Schema di dimostrazione. Tutti e tre i limiti si dimostrano con De L’Hôpital o con sostituzioni che riconducono ai due casi base dimostrati sopra. Ad esempio, \(\ln x / x^a\): ponendo \(y = x^a\), \(\ln x = (1/a) \ln y\), quindi \(\ln x / x^a = (1/a) \ln y / y \to 0\).

Conseguenza operativa: nelle gerarchie miste (rapporti di funzioni di tipi diversi), il termine “più veloce” al denominatore manda a zero il rapporto, indipendentemente dai coefficienti e dalla complessità degli altri termini.

Esempio 138.7 — \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x^{100} + \ln x}{e^x + x}\)

La gerarchia ci dice: al numeratore dominante è \(x^{100}\), al denominatore dominante è \(e^x\). Il rapporto si comporta come \(x^{100}/e^x \to 0\).

Esempio 138.8 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} \dfrac {\ln x}{1/x}\)

Forma \(-\infty / +\infty \). Applichiamo H:

\[ \lim _{x \to 0^+} \frac {\ln x}{1/x} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0^+} \frac {1/x}{-1/x^2} = \lim _{x \to 0^+} (-x) = 0. \]

138.5 Estensione ad altre forme indeterminate

De L’Hôpital si applica direttamente solo a \(0/0\) e \(\infty /\infty \). Le altre forme indeterminate si trasformano in una di queste due con manipolazioni algebriche o passaggio al logaritmo.

Forma \(0 \cdot \infty \)

Se \(f(x) \to 0\) e \(g(x) \to \infty \), scrivere \(f \cdot g\) come \(f / (1/g)\) (forma \(0/0\)) o \(g / (1/f)\) (forma \(\infty /\infty \)).

Esempio 138.9 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x \ln x\)

Forma \(0 \cdot (-\infty )\). Riscriviamo:

\[ x \ln x = \frac {\ln x}{1/x}. \]

Ora è \(-\infty / +\infty \), e per l’esempio precedente \(\to 0\). Quindi \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x \ln x = 0\).

Forma \(\infty - \infty \)

Esempio 138.10 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \left ( \frac {1}{x} - \frac {1}{\operatorname{sen} x} \right )\)

Forma \(\infty - \infty \). Denominatore comune:

\[ \frac {1}{x} - \frac {1}{\operatorname{sen} x} = \frac {\operatorname{sen} x - x}{x \operatorname{sen} x}. \]

Ora \(0/0\). Applichiamo H:

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {\cos x - 1}{\operatorname{sen} x + x \cos x} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {-\operatorname{sen} x}{2 \cos x - x \operatorname{sen} x} = \frac {0}{2} = 0. \]

Forme \(0^0\), \(\infty ^0\), \(1^\infty \)

Procedura — Forme esponenziali indeterminate

Per calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to x_0} f(x)^{g(x)}\) in una forma indeterminata \(0^0\), \(\infty ^0\), o \(1^\infty \):

1.: Scrivere \(f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}\).
2.: Calcolare il limite dell’esponente \(g(x) \ln f(x)\), che è una forma \(0 \cdot \infty \) (riducibile a \(0/0\) o \(\infty /\infty \)).
3.: Se \(\lim g(x) \ln f(x) = L\), allora \(\lim f(x)^{g(x)} = e^L\).

Esempio 138.11 — \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x^x\) (forma \(0^0\))

Scriviamo \(x^x = e^{x \ln x}\). Calcoliamo \(\lim _{x \to 0^+} x \ln x\): già fatto, vale \(0\). Quindi

\[ \lim _{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1. \]

Esempio 138.12 — \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \!\left (1 + \frac {1}{x}\right )^x\) (forma \(1^\infty \))

Scriviamo \((1 + 1/x)^x = e^{x \ln (1 + 1/x)}\). Calcolo dell’esponente: \(x \ln (1 + 1/x) = \ln (1 + 1/x) / (1/x)\), forma \(0/0\). Per De L’Hôpital o per il limite notevole \(\ln (1+t)/t \to 1\) per \(t \to 0\) (129), il limite vale \(1\). Quindi

\[ \lim _{x \to +\infty } \left (1 + \frac {1}{x}\right )^x = e^1 = e. \]

(Ricaviamo così di nuovo la definizione di \(e\).)

Esempio 138.13 — \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } x^{1/x}\) (forma \(\infty ^0\))

Scriviamo \(x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}\). L’esponente \(\ln x / x \to 0\) per la gerarchia. Quindi \(\lim x^{1/x} = e^0 = 1\).

138.6 Esempi svolti

Esempio 138.14 — Forma \(0/0\) con doppia applicazione

\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {x - \operatorname{sen} x}{x^3}\). Forma \(0/0\).

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {1 - \cos x}{3x^2} \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{sen} x}{6x} = \frac {1}{6}. \]

Esempio 138.15 — Quando De L’Hôpital è inutile

\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \dfrac {x + \cos x}{x}\). Forma \(\infty /\infty \). Tentativo H: \(f'/g' = (1 - \operatorname{sen} x)/1 = 1 - \operatorname{sen} x\), oscilla, non ha limite. De L’Hôpital fallisce. Ma il limite esiste: dividiamo per \(x\) e usiamo il teorema del confronto: \(|\cos x/x| \le 1/x \to 0\), quindi \(\lim = 1 + 0 = 1\). Morale: non confondere “il teorema non dà risposta” con “il limite non esiste”.

Esempio 138.16 — Combinazione H + limiti notevoli

\(\displaystyle \lim _{x \to 0} \dfrac {\operatorname{sen} (3x) - 3x}{x^3}\). Forma \(0/0\). Una H:

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0} \frac {3 \cos (3x) - 3}{3 x^2} = \lim _{x \to 0} \frac {\cos (3x) - 1}{x^2}. \]

Usando il limite notevole \((\cos t - 1)/t^2 \to -1/2\) con \(t = 3x\):

\[ = \lim _{x \to 0} \frac {\cos (3x) - 1}{(3x)^2} \cdot 9 = -\frac {1}{2} \cdot 9 = -\frac {9}{2}. \]

Esempio 138.17 — Forma \(\infty - \infty \) logaritmica

\(\displaystyle \lim _{x \to 1} \!\left ( \frac {1}{\ln x} - \frac {1}{x - 1} \right )\). Forma \(\infty - \infty \). Denominatore comune:

\[ \frac {1}{\ln x} - \frac {1}{x - 1} = \frac {(x - 1) - \ln x}{\ln x \cdot (x - 1)}. \]

Forma \(0/0\) per \(x \to 1\). Applichiamo H:

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 1} \frac {1 - 1/x}{(1/x)(x - 1) + \ln x} = \lim _{x \to 1} \frac {(x - 1)/x}{(x - 1)/x + \ln x} = \lim _{x \to 1} \frac {x - 1}{(x - 1) + x \ln x}. \]

Ancora \(0/0\):

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 1} \frac {1}{1 + \ln x + 1} = \frac {1}{2}. \]

Esempio 138.18 — Forma \(0^0\)

\(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} (\operatorname{sen} x)^x\). Forma \(0^0\). Scriviamo \((\operatorname{sen} x)^x = e^{x \ln \operatorname{sen} x}\). Calcolo dell’esponente \(x \ln \operatorname{sen} x\): forma \(0 \cdot (-\infty )\). Riscriviamo come \(\ln (\operatorname{sen} x)/(1/x)\), forma \(-\infty /+\infty \):

\[ \stackrel {\text {H}}{=} \lim _{x \to 0^+} \frac {\cos x / \operatorname{sen} x}{-1/x^2} = \lim _{x \to 0^+} -\frac {x^2 \cos x}{\operatorname{sen} x} = \lim _{x \to 0^+} -x \cdot \frac {x}{\operatorname{sen} x} \cdot \cos x = 0 \cdot 1 \cdot 1 = 0. \]

Quindi \((\operatorname{sen} x)^x \to e^0 = 1\).

Esempio 138.19 — Forma \(1^\infty \) con base che tende a \(1\) in modo non standard

\(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \!\left ( \frac {x + 2}{x - 1} \right )^x\). Forma \(1^\infty \). \(\ln \): \(x \ln [(x+2)/(x-1)] = x \ln (1 + 3/(x-1))\). Per \(x \to +\infty \), \(3/(x-1) \to 0\), e \(\ln (1+t)/t \to 1\), quindi

\[ x \ln \!\left (1 + \frac {3}{x-1}\right ) = \frac {x}{x - 1} \cdot \frac {(x-1) \ln (1 + 3/(x-1))}{1} \to 1 \cdot 3 = 3. \]

(Abbiamo usato che \((x-1)\ln (1+3/(x-1)) \to 3\) posto \(t = 3/(x-1) \to 0\).) Quindi il limite vale \(e^3\).

138.7 Esercizi proposti

Esercizio 138.1

1.

Calcolare i seguenti limiti applicando De L’Hôpital:

(a): \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\operatorname{sen} (2x)}{x}\);
(b): \(\displaystyle \lim _{x \to 1} \frac {x^3 - 1}{x - 1}\);
(c): \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {e^{2x} - 1}{x}\);
(d): \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\ln (1 + 3x)}{x}\).

2.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {1 - \cos (2x)}{x^2}\) in due modi: con De L’Hôpital e usando il limite notevole.

3.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {e^x - 1 - x - x^2/2}{x^3}\) applicando H ripetutamente.

4.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \frac {x^3 + 2x^2 + 5}{e^x}\) usando la gerarchia degli infiniti.

5.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \frac {\ln ^2 x}{\sqrt {x}}\). Suggerimento: due applicazioni di H, o gerarchia.

6.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x \cdot \ln (\operatorname{sen} x)\) (forma \(0 \cdot (-\infty )\)).

7.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to (\pi /2)^-} \left ( \frac {\pi }{2} - x \right ) \operatorname{tg} x\) (forma \(0 \cdot \infty \)).

8.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x^{\operatorname{sen} x}\) (forma \(0^0\)).

9.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \!\left ( \frac {x - 1}{x + 1} \right )^x\) (forma \(1^\infty \)).

10.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \!\left ( 1 + \frac {a}{x} \right )^{bx}\) per \(a, b \in \mathbb{R} \), \(a \ne 0\). Risultato atteso: \(e^{ab}\).

11.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {\arctan x - x}{x^3}\). Suggerimento: due applicazioni di H.

12.

Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \!\left ( \frac {1}{x} - \frac {1}{e^x - 1} \right )\) (forma \(\infty - \infty \)).

13.

Mostrare che \(\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x^{1/\ln x}\) esiste e calcolarlo.

14.

Stabilire se De L’Hôpital è applicabile al limite \(\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac {x^2 \operatorname{sen} (1/x)}{\operatorname{sen} x}\). In caso negativo, calcolare il limite con altri metodi.

15.

Sfida. Calcolare \(\displaystyle \lim _{x \to +\infty } \!\left ( \sqrt {x^2 + x} - x \right )\). Suggerimento: questa è una forma \(\infty - \infty \) che si trasforma in \(0/0\) o \(\infty /\infty \) via razionalizzazione; alternativamente, si applica De L’Hôpital dopo opportuna manipolazione.

138.8 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Teorema di De L’Hôpital (forma \(0/0\)). Se \(f, g\) sono derivabili in un intorno di \(x_0\) (escluso al più \(x_0\)), \(g' \ne 0\), \(\lim _{x \to x_0} f = \lim _{x \to x_0} g = 0\), ed esiste \(\lim f'/g' = L\), allora \(\lim f/g = L\). La dimostrazione passa per il teorema di Cauchy (137).
Teorema di De L’Hôpital (forma \(\infty /\infty \)). Sotto le stesse ipotesi di regolarità, sostituendo \(\lim g = 0\) con \(\lim |g| = +\infty \), la conclusione resta valida.
Il teorema vale anche per limiti laterali e per \(x_0 = \pm \infty \).
Avvertenze:
- applicabile solo a forme realmente \(0/0\) o \(\infty /\infty \);
- se \(\lim f'/g'\) non esiste, il teorema non si applica, ma il limite originale può comunque esistere (es. \((x + \operatorname{sen} x)/x \to 1\)).
Estensione ad altre forme indeterminate:
- \(0 \cdot \infty \): scrivere \(f \cdot g = f / (1/g)\) oppure \(g / (1/f)\);
- \(\infty - \infty \): denominatore comune;
- \(0^0\), \(\infty ^0\), \(1^\infty \): passare al logaritmo, \(f^g = e^{g \ln f}\).
Gerarchia degli infiniti per \(x \to +\infty \):
\[ \ln x \;\ll \; x^a \;\ll \; e^x \;\ll \; x^x \quad (a > 0). \]

Conseguenza: in un quoziente di funzioni miste, “vince” sempre il termine più veloce.
Limiti notevoli ricostruiti via De L’Hôpital: \(\operatorname{sen} x / x \to 1\) (con cautela sulla circolarità), \((1 - \cos x)/x^2 \to 1/2\), \((e^x - 1)/x \to 1\), \(\ln (1+x)/x \to 1\).
De L’Hôpital è un coltellino svizzero: potente e versatile, ma non sostituisce le tecniche algebriche e i limiti notevoli, con cui spesso conviene combinarlo.

Capitolo 138 Teorema di De L’Hôpital