70 La retta nel piano cartesiano

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Capitolo 70
La retta nel piano cartesiano

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Ogniqualvolta in un’equazione finale appaiono due quantità incognite, abbiamo un luogo geometrico, e l’estremità di una di esse descrive una linea retta o curva.”

— Pierre de Fermat, Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (c. 1636, pubbl. postumo 1679)

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70.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (69) abbiamo identificato ogni punto del piano con una coppia di numeri reali. Adesso facciamo il passo decisivo della geometria analitica: associare a ogni figura del piano un’equazione nelle variabili $x, y$.

La frase di Fermat in apertura — scritta dieci anni prima della Géométrie di Descartes, ma rimasta inedita fino al 1679 — coglie l’idea in due righe: ogni equazione in due incognite descrive un luogo geometrico (il grafico dell’equazione). Iniziamo dalle equazioni più semplici, quelle lineari: $ax + by + c = 0$.

Vedremo che:

ogni retta del piano si può rappresentare con un’equazione lineare in $x, y$;
ogni equazione lineare in $x, y$ rappresenta una retta.

Questa corrispondenza biunivoca retta $\leftrightarrow $ equazione lineare è la prima “traduzione” della geometria analitica, e da essa discende tutta la teoria delle figure rettilinee (intersezioni, parallelismo, perpendicolarità, distanze) come puro calcolo algebrico con equazioni di primo grado e sistemi lineari (21, 26).

In questo capitolo introduciamo le due forme principali dell’equazione di una retta — esplicita $y=mx+q$ e implicita $ax+by+c=0$ —, impariamo a passare dall’una all’altra, e vediamo le formule per determinare la retta dati: due suoi punti, oppure un punto e una direzione. La trattazione di parallelismo, perpendicolarità e distanza punto-retta sarà nei due capitoli successivi (71, 72).

70.2 Equazione esplicita y=mx+q

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Teorema 70.1 — Equazione esplicita di una retta non verticale

Ogni retta non verticale (cioè non parallela all’asse $y$) del piano cartesiano si può rappresentare con un’equazione della forma

\[ y = m\,x + q, \]

dove $m$ e $q$ sono due numeri reali univocamente determinati dalla retta. Viceversa, ogni equazione di questa forma rappresenta una retta non verticale.

\[ y = m\,x + q. \]

Definizione 70.1 — Coefficiente angolare e intercetta

Nell’equazione $y = m\,x + q$:

$m$ si chiama coefficiente angolare (o pendenza, o slope); misura la “ripidità” della retta;
$q$ si chiama ordinata all’origine (o intercetta sull’asse $y$, o termine noto); è l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse $y$ (cioè per $x=0$ si ha $y=q$).

Dimostrazione (idea della prima parte). Sia $r$ una retta non verticale, e siano $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ due suoi punti distinti (con $x_1 \neq x_2$, garantito dal non-verticalità). Per ogni terzo punto $P(x, y)$ su $r$, i triangoli rettangoli costruiti su $A, B$ e su $A, P$ con cateti paralleli agli assi sono simili (62), perché la retta è la stessa e gli angoli sono determinati. Quindi

\[ \frac {y - y_1}{x - x_1} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Detto $m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$, si ottiene $y - y_1 = m(x - x_1)$, cioè $y = mx + (y_1 - m x_1) = mx + q$, con $q = y_1 - m x_1$.

Nota — Significato grafico di $m$ e $q$

$q$: è l’altezza a cui la retta taglia l’asse $y$. Se $q = 0$ la retta passa per l’origine.
$m$: per ogni passo unitario di $x$ (incremento di $1$), $y$ aumenta di $m$ (se $m>0$) o diminuisce di $|m|$ (se $m<0$). Si esprime come rapporto incrementale:
\[ m = \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

[Picture] — Figura 70.1: Retta di equazione $y = mx + q$. L’intercetta $q$ è l’altezza in cui la retta taglia l’asse $y$. Il coefficiente angolare $m$ è il rapporto $\Delta y/\Delta x$ tra due qualsiasi punti della retta.

Esempio 70.1 — Disegnare $y = 2x - 3$

La retta ha $m=2$, $q=-3$. Per disegnarla:

parto dall’intercetta: $(0, -3)$.
passo unitario in $x$: $+1$ in $y$ moltiplicato per $m=2$, quindi $+2$ in $y$. Secondo punto: $(1, -1)$. (Oppure $x=2 \Rightarrow y=1$, e così via.)

Traccia la retta passante per i due punti.

70.3 Equazione implicita ax+by+c=0

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L’equazione esplicita $y = mx + q$ non rappresenta le rette verticali (parallele all’asse $y$): per esse non si può “esplicitare” $y$ in funzione di $x$ (a un singolo valore di $x$ corrispondono infiniti valori di $y$). Per uniformare la trattazione si usa una forma più generale:

Teorema 70.2 — Equazione implicita di una retta

Ogni retta del piano cartesiano si può rappresentare con un’equazione della forma

\[ ax + by + c = 0, \]

con $a, b, c$ reali non tutti nulli ($(a, b) \neq (0, 0)$). Viceversa, ogni equazione di questa forma (con $(a, b)\neq (0,0)$) rappresenta una retta.

\[ ax + by + c = 0,\qquad (a, b)\neq (0, 0). \]

Nota — I coefficienti $a, b, c$ non sono unici

Moltiplicando ambo i membri per uno stesso numero $k \neq 0$ si ottiene una nuova terna $(ka, kb, kc)$ che rappresenta la stessa retta. Tipicamente si normalizza in qualche modo (per esempio dividendo per $a$, o richiedendo $\gcd (a,b,c)=1$ con coefficienti interi).

Passaggio implicita $\to $ esplicita

Sia $ax + by + c = 0$ con $b \neq 0$. Allora si può risolvere rispetto a $y$:

\[ y = -\frac {a}{b}\,x - \frac {c}{b},\qquad \text {cioè}\qquad m = -\frac {a}{b},\quad q = -\frac {c}{b}. \]

Se invece $b = 0$ (e $a\neq 0$), l’equazione $ax + c = 0$ dà $x = -c/a$: è una retta verticale, non scrivibile in forma esplicita.

Passaggio esplicita $\to $ implicita

Da $y = mx + q$ basta portare tutto a primo membro:

\[ m\,x - y + q = 0, \]

ovvero $a = m$, $b = -1$, $c = q$.

Esempio 70.2 — Conversione di forma

Implicita $\to $ esplicita: $3x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 3x + 6 \Rightarrow y = \tfrac {3}{2}x + 3$. Quindi $m = 3/2$, $q = 3$.
Esplicita $\to $ implicita: $y = -2x + 5 \Rightarrow 2x + y - 5 = 0$.
Retta verticale: $x = -7$, cioè $1\cdot x + 0\cdot y + 7 = 0$. Non esiste forma esplicita.
Retta orizzontale: $y = 4$, cioè $0\cdot x + 1\cdot y - 4 = 0$. Forma esplicita: $y = 0\cdot x + 4$, ovvero $m=0$, $q=4$.

Verificare se un punto appartiene a una retta

Un punto $P(x_0, y_0)$ appartiene alla retta $r$ di equazione $ax + by + c = 0$ se e solo se sostituendo $x = x_0$ e $y = y_0$ nell’equazione si ottiene un’identità (cioè $0 = 0$).

Esempio 70.3 — Appartenenza

Verificare se $A(2, 3)$ appartiene alla retta $r: 2x - y - 1 = 0$.

Soluzione. Sostituisco: $2\cdot 2 - 3 - 1 = 4 - 3 - 1 = 0$. $\checkmark$ Sì, $A\in r$.

E $B(5, 4)$? $2\cdot 5 - 4 - 1 = 5 \neq 0$. No, $B\notin r$.

70.4 Retta passante per due punti

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Teorema 70.3 — Retta per due punti

Siano $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ due punti distinti. La retta che li congiunge è data dall’equazione

\[ \frac {y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac {x - x_1}{x_2 - x_1}, \]

valida se $x_1 \neq x_2$ e $y_1 \neq y_2$. Equivalentemente (e sempre valida): $(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$.

\[ \frac {y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac {x - x_1}{x_2 - x_1}. \]

Dimostrazione. Già fatta sostanzialmente nella dimostrazione del teorema dell’equazione esplicita: per un punto generico $P(x, y)$ sulla retta $r$, i triangoli formati con i cateti orizzontali e verticali su $A, B$ e su $A, P$ sono simili, quindi i rapporti tra cateti corrispondenti sono uguali, ovvero $(y - y_1)/(x - x_1) = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$.

Nota — Coefficiente angolare dai due punti

La formula ci dà subito il coefficiente angolare:

\[ m = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Una volta noto $m$, l’equazione esplicita si ricava sostituendo le coordinate di uno dei due punti: $q = y_1 - m\,x_1$.

Esempio 70.4 — Retta per due punti

$A(1, 2)$, $B(5, 4)$.

Soluzione.

\[ m = \frac {4 - 2}{5 - 1} = \frac {2}{4} = \frac {1}{2}. \]

Sostituendo $A$ in $y = mx + q$: $2 = \tfrac {1}{2}\cdot 1 + q \Rightarrow q = \tfrac {3}{2}$.

Equazione: $y = \tfrac {1}{2}x + \tfrac {3}{2}$. Equivalentemente: $x - 2y + 3 = 0$.

(Verifica con $B$: $\tfrac {1}{2}\cdot 5 + \tfrac {3}{2} = \tfrac {8}{2} = 4$. $\checkmark$)

Esempio 70.5 — Due punti con stessa ascissa

$A(3, 1)$, $B(3, 5)$.

Soluzione. $x_1 = x_2 = 3$: i due punti hanno la stessa ascissa, quindi la retta che li unisce è verticale: $x = 3$. (La formula in forma di rapporto non si applica perché il denominatore $x_2 - x_1$ si annullerebbe; la forma equivalente non frazionaria $(x - 3)(5-1) = (y - 1)(3-3)$ dà $4(x-3) = 0$, cioè $x = 3$.)

Esempio 70.6 — Due punti con stessa ordinata

$A(-2, 4)$, $B(7, 4)$. La retta è orizzontale: $y = 4$ (coefficiente angolare $m = (4-4)/(7-(-2)) = 0$, $q = 4$).

70.5 Retta passante per un punto e parallela a una direzione

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Teorema 70.4 — Retta per un punto con coefficiente angolare dato

La retta passante per il punto $P_0(x_0, y_0)$ con coefficiente angolare $m$ ha equazione

\[ y - y_0 = m\,(x - x_0). \]

Dimostrazione. L’equazione esplicita generica è $y = mx + q$ con $m$ assegnato. La condizione di passaggio per $P_0$ è $y_0 = m\,x_0 + q$, da cui $q = y_0 - m\,x_0$. Sostituendo:

\[ y = m\,x + y_0 - m\,x_0 \implies y - y_0 = m\,(x - x_0). \]

Nota — Forma fondamentale, base per la tangente

La formula $y - y_0 = m(x - x_0)$ è probabilmente la più importante di tutta la geometria analitica della retta. Diventerà la base della retta tangente a una curva in un punto, quando $m$ sarà la derivata della funzione in $x_0$ (133, 134).

Esempio 70.7 — Retta per un punto con $m$ dato

Retta passante per $P(2, -1)$ con $m = 3$:

\[ y - (-1) = 3(x - 2) \implies y + 1 = 3x - 6 \implies y = 3x - 7. \]

Esempio 70.8 — Retta verticale: la formula non si applica

Non esiste un valore di $m$ per la retta verticale. Se si vuole la retta verticale per $P(x_0, y_0)$, è semplicemente $x = x_0$.

70.6 Casi particolari assi cartesiani e rette parallele agli assi

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Vale la pena memorizzare le equazioni di alcune rette speciali.

Nota — Equazioni di rette notevoli

\[ \begin {array}{l|l|l} \text {Retta} & \text {Equazione implicita} & \text {Equazione esplicita} \\ \hline \text {asse $x$} & y = 0 & y = 0\cdot x + 0 \\ \text {asse $y$} & x = 0 & \text {(non esiste, è verticale)} \\ \text {retta orizzontale $y = k$} & y - k = 0 & y = 0\cdot x + k \\ \text {retta verticale $x = h$} & x - h = 0 & \text {(non esiste)} \\ \text {bisettrice I-III quadrante} & x - y = 0 & y = x \\ \text {bisettrice II-IV quadrante} & x + y = 0 & y = -x \\ \text {retta per l'origine generica} & ax + by = 0 & y = m x \\ \end {array} \]

Nota — Test di parallelismo agli assi

Una retta è

parallela all’asse $x$ (orizzontale) $\iff $ $m = 0$ $\iff $ equazione del tipo $y = k$.
parallela all’asse $y$ (verticale) $\iff $ $m$ non definito $\iff $ equazione del tipo $x = h$.
passante per l’origine $\iff $ $q = 0$ $\iff $ equazione del tipo $y = m\,x$ (o $ax + by = 0$).
passante per il I e III quadrante $\iff $ $m > 0$ (e $q$ qualsiasi). Per il II e IV: $m < 0$.

70.7 Esempi svolti

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Esempio 70.9 — Riconoscere coefficiente angolare e intercetta

Identificare $m$ e $q$ per ciascuna retta:

$y = -3x + 5$ $\Rightarrow $ $m = -3$, $q = 5$.
$y = \tfrac {x}{2} - 1$ $\Rightarrow $ $m = 1/2$, $q = -1$.
$y = 4$ $\Rightarrow $ $m = 0$, $q = 4$.
$2x - y + 1 = 0$ $\Rightarrow $ $y = 2x + 1$ $\Rightarrow $ $m = 2$, $q = 1$.

Esempio 70.10 — Retta per due punti con coordinate negative

Trovare l’equazione della retta per $A(-2, 3)$ e $B(4, -1)$.

Soluzione.

\[ m = \frac {-1 - 3}{4 - (-2)} = \frac {-4}{6} = -\frac {2}{3}. \]

Per $A$: $3 = -\tfrac {2}{3}(-2) + q \Rightarrow 3 = \tfrac {4}{3} + q \Rightarrow q = \tfrac {5}{3}$.

Equazione esplicita: $y = -\tfrac {2}{3}x + \tfrac {5}{3}$. Implicita: $2x + 3y - 5 = 0$.

Esempio 70.11 — Intersezione con gli assi

Data la retta $r: 2x - 3y + 12 = 0$, trovare le sue intersezioni con gli assi cartesiani.

Soluzione.

Intersezione con asse $x$ ($y = 0$): $2x + 12 = 0 \Rightarrow x = -6$. Punto $(-6, 0)$.
Intersezione con asse $y$ ($x = 0$): $-3y + 12 = 0 \Rightarrow y = 4$. Punto $(0, 4)$.

Esempio 70.12 — Retta da due intercette

Trovare la retta che taglia l’asse $x$ in $(3, 0)$ e l’asse $y$ in $(0, -2)$.

Soluzione. Due punti dati: $A(3, 0)$, $B(0, -2)$.

\[ m = \frac {-2 - 0}{0 - 3} = \frac {2}{3}. \]

Intercetta $q = -2$ (è già data dal secondo punto). Equazione: $y = \tfrac {2}{3}x - 2$, cioè $2x - 3y - 6 = 0$.

Esempio 70.13 — Verifica che tre punti sono allineati

Verificare che $A(1, 2)$, $B(3, 6)$, $C(5, 10)$ sono allineati.

Soluzione 1 (con i coefficienti angolari). $m_{AB} = (6-2)/(3-1) = 2$. $m_{BC} = (10-6)/(5-3) = 2$. Uguali $\Rightarrow $ allineati.

Soluzione 2 (test di allineamento via area, 69). Area $ABC = \tfrac {1}{2}|1(6-10) + 3(10-2) + 5(2-6)| = \tfrac {1}{2}|-4 + 24 - 20| = 0$. $\checkmark$

Esempio 70.14 — Retta soggetta a vincoli

Trovare la retta passante per $A(2, 5)$ e tale che la sua intercetta sull’asse $y$ sia $q = 3$.

Soluzione. Equazione $y = mx + 3$. Imponendo il passaggio per $A$: $5 = 2m + 3 \Rightarrow m = 1$.

Equazione: $y = x + 3$.

Esempio 70.15 — Disegno di una retta in forma implicita

Disegnare la retta $r: 3x + 4y - 12 = 0$.

Soluzione. Conviene trovare due punti facili — ad esempio le intersezioni con gli assi:

$y = 0$: $3x = 12 \Rightarrow x = 4$. Punto $(4, 0)$.
$x = 0$: $4y = 12 \Rightarrow y = 3$. Punto $(0, 3)$.

Si traccia la retta passante per $(4, 0)$ e $(0, 3)$.

(Forma esplicita: $y = -\tfrac {3}{4}x + 3$ — pendenza negativa, intercetta $3$.)

70.8 Esercizi proposti

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Esercizio 70.1

1.

Identifica $m$ e $q$, e disegna le rette:

(a) $y = 3x - 2$;
(b) $y = -\tfrac {1}{2}x + 4$;
(c) $y = 5$;
(d) $y = -x$.

2.

Scrivi in forma esplicita e identifica $m, q$:

(a) $2x - y + 3 = 0$;
(b) $x + 3y - 6 = 0$;
(c) $5x + 2y = 0$;
(d) $4x - 8y + 16 = 0$.

3.

Scrivi in forma implicita (intera, con coefficienti interi e $\gcd = 1$):

(a) $y = \tfrac {2}{3}x - 1$;
(b) $y = -\tfrac {5}{4}x + 2$;
(c) $y = -3$;
(d) $x = 2$.

4.

Trova l’equazione della retta passante per i punti:

(a) $A(0, 0)$ e $B(2, 5)$;
(b) $A(1, 3)$ e $B(4, -3)$;
(c) $A(-2, 1)$ e $B(2, 5)$;
(d) $A(3, 4)$ e $B(3, -1)$;
(e) $A(1, 5)$ e $B(6, 5)$.

5.

Trova l’equazione della retta passante per il punto dato con coefficiente angolare dato:

(a) $P(1, 4)$, $m = 2$;
(b) $P(-3, 2)$, $m = -1$;
(c) $P(0, -5)$, $m = \tfrac {3}{2}$;
(d) $P(4, 0)$, $m = 0$.

6.

Trova le intersezioni con gli assi cartesiani delle rette:

(a) $y = 2x - 8$;
(b) $3x + 5y - 15 = 0$;
(c) $y = -x + 1$.

7.

Stabilisci se i seguenti punti appartengono alla retta $r: 2x - 3y + 6 = 0$: $A(0, 2),\ B(3, 4),\ C(-3, 0),\ D(6, 6),\ E(\tfrac {3}{2}, 3)$.

8.

Trova le coordinate del punto di intersezione tra le rette $r: y = 2x - 1$ e $s: y = -x + 5$ (risolvendo il sistema).

9.

Trova il valore del parametro $k$ in modo che la retta $y = kx + 3$ passi per il punto $A(2, -1)$.

10.

Trova il valore del parametro $h$ in modo che la retta $r: 2x + hy - 4 = 0$ passi per il punto $A(1, 1)$.

11.

Trova l’equazione della retta passante per $A(2, 3)$ e l’origine $O$.

12.

Determina l’equazione della retta che taglia l’asse $x$ in $-4$ e l’asse $y$ in $6$.

13.

(Discussione.) Sotto quali condizioni la retta $ax + by + c = 0$ è: (a) parallela all’asse $x$? (b) parallela all’asse $y$? (c) passante per l’origine? (d) coincidente con l’asse $x$? (e) coincidente con l’asse $y$?

14.

(Sfida.) Trova l’equazione della retta passante per $P(4, 5)$ e tale che il triangolo formato con gli assi cartesiani abbia area $25$.

70.9 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Corrispondenza biunivoca (luogo geometrico): retta $\leftrightarrow $ equazione lineare in $x, y$.
Equazione esplicita (rette non verticali): $y = m\,x + q$, dove
- $m$ = coefficiente angolare (pendenza), rapporto $\Delta y/\Delta x$;
- $q$ = ordinata all’origine (intercetta sull’asse $y$).
Equazione implicita (tutte le rette): $ax + by + c = 0$ con $(a, b)\neq (0, 0)$. Coefficienti definiti a meno di un fattore non nullo.
Passaggio implicita $\to $ esplicita: $m = -a/b$, $q = -c/b$ (se $b\neq 0$). Se $b = 0$: retta verticale $x = -c/a$.
Passaggio esplicita $\to $ implicita: $mx - y + q = 0$.
Retta per due punti $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$:
\[ \frac {y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac {x - x_1}{x_2 - x_1},\qquad m = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]
Retta per un punto con $m$ dato (forma fondamentale):
\[ y - y_0 = m\,(x - x_0). \]

Sarà la base della retta tangente in analisi (133).
Casi particolari: asse $x$ è $y=0$; asse $y$ è $x = 0$; orizzontale $y=k$ ha $m=0$; verticale $x=h$ ha $m$ indefinito; bisettrici $y=\pm x$; retta per origine $y = mx$ (ha $q = 0$).
Test di appartenenza: $P(x_0, y_0) \in r$ $\iff $ le sue coordinate verificano l’equazione.
Intersezione di due rette: si risolve il sistema delle due equazioni (26).
Prossimi passi: parallelismo e perpendicolarità (71), distanza punto-retta (72), e le coniche (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole — 74 e seguenti).

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Capitolo 70
La retta nel piano cartesiano

70.1 Introduzione motivazionale

70.2 Equazione esplicita y=mx+q

70.3 Equazione implicita ax+by+c=0

Passaggio implicita \(\to \) esplicita

Passaggio esplicita \(\to \) implicita

Verificare se un punto appartiene a una retta

70.4 Retta passante per due punti

70.5 Retta passante per un punto e parallela a una direzione

70.6 Casi particolari assi cartesiani e rette parallele agli assi

70.7 Esempi svolti

70.8 Esercizi proposti

70.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 70 La retta nel piano cartesiano

70.1 Introduzione motivazionale

70.2 Equazione esplicita y=mx+q

70.3 Equazione implicita ax+by+c=0

Passaggio implicita \(\to \) esplicita

Passaggio esplicita \(\to \) implicita

Verificare se un punto appartiene a una retta

70.4 Retta passante per due punti

70.5 Retta passante per un punto e parallela a una direzione

70.6 Casi particolari assi cartesiani e rette parallele agli assi

70.7 Esempi svolti

70.8 Esercizi proposti

70.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 70
La retta nel piano cartesiano