71 Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette

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Capitolo 71
Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette

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La geometria di Cartesio ha ridotto al calcolo ciò che prima era pura costruzione.”

— Joseph-Louis Lagrange, Leçons élémentaires sur les mathématiques (1795)

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71.1 Introduzione motivazionale

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In geometria euclidea (34) il parallelismo e la perpendicolarità di due rette si stabiliscono per via puramente sintetica: due rette sono parallele se non si incontrano (o coincidono); due rette sono perpendicolari se formano quattro angoli retti. Verificarlo concretamente, però, richiede costruzioni con riga e compasso, o ragionamenti su angoli alterni interni, criteri di congruenza, e così via.

La geometria analitica trasforma queste relazioni geometriche in test algebrici estremamente semplici. Tutto si riduce a due numeri: i coefficienti angolari delle due rette. Anticipando i risultati di questo capitolo:

due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: $m_1 = m_2$;
due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$: $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Due test, due formule. Tutta la teoria sintetica delle rette parallele e perpendicolari del piano è racchiusa qui.

Per giustificare queste formule scopriamo prima il significato geometrico del coefficiente angolare: $m$ è la tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse $x$. Da questa interpretazione, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità diventano immediate corollari delle formule trigonometriche fondamentali.

Chiudiamo il capitolo con la formula generale dell’angolo tra due rette, che racchiude come casi particolari sia il parallelismo (angolo $0$) sia la perpendicolarità (angolo retto).

71.2 Significato geometrico del coefficiente angolare

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Definizione 71.1 — Angolo di inclinazione

L’angolo di inclinazione $\alpha $ di una retta è l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle $x$, misurato in senso antiorario, con $0 \leq \alpha < \pi $ (cioè $0° \leq \alpha < 180°$).

Teorema 71.1 — Coefficiente angolare e tangente trigonometrica

Per una retta non verticale, il coefficiente angolare $m$ è uguale alla tangente trigonometrica dell’angolo di inclinazione:

\[ m = \tan \alpha . \]

Dimostrazione. Siano $A, B$ due punti della retta, con $B$ a destra di $A$ ($x_B > x_A$). Il triangolo rettangolo costruito con cateto orizzontale $\overline {AC} = x_B - x_A$ e cateto verticale $\overline {CB} = y_B - y_A$ ha per angolo opposto al cateto verticale (in $A$) proprio l’angolo $\alpha $ di inclinazione. Dalla definizione di tangente in un triangolo rettangolo (94):

\[ \tan \alpha = \frac {\text {cateto opposto}}{\text {cateto adiacente}} = \frac {y_B - y_A}{x_B - x_A} = m. \]

[Picture] — Figura 71.1: Significato geometrico di $m$: il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo $\alpha $ che la retta forma con l’asse delle ascisse.

Nota — Segno e valore di $m$

$m = 0 \iff \alpha = 0°$: retta orizzontale.
$0 < m < +\infty \iff 0° < \alpha < 90°$: retta crescente.
$m \to +\infty $ (cioè $m$ “indefinito”): retta verticale, $\alpha = 90°$. In questo caso $\tan \alpha $ non è definita.
$-\infty < m < 0 \iff 90° < \alpha < 180°$: retta decrescente.

Casi numerici tipici:

\[ m = 1 \Rightarrow \alpha = 45°;\quad m = \sqrt {3} \Rightarrow \alpha = 60°;\quad m = -1 \Rightarrow \alpha = 135°. \]

71.3 Condizione di parallelismo

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Teorema 71.2 — Parallelismo tra rette

Due rette $r$ e $s$ del piano sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

\[ r \parallel s \iff m_r = m_s. \]

(Si intendono parallele anche due rette coincidenti.)

In forma implicita: $r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ sono parallele se e solo se

\[ a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0,\qquad \text {cioè}\qquad \frac {a_1}{a_2} = \frac {b_1}{b_2}. \]

\[ r \parallel s \iff m_r = m_s. \]

Dimostrazione. Se entrambe non verticali, hanno coefficienti angolari $m_r = \tan \alpha _r$ e $m_s = \tan \alpha _s$. Sono parallele $\iff $ hanno lo stesso angolo di inclinazione ($\alpha _r = \alpha _s$, modulo $180°$) $\iff $ $\tan \alpha _r = \tan \alpha _s$ (essendo la tangente periodica di periodo $\pi $) $\iff $ $m_r = m_s$.

Per le rette verticali: due rette verticali sono sempre parallele tra loro; sono $x = h_1$ e $x = h_2$, e si dice “hanno entrambe $m$ indefinito”.

Nota — Parallele propriamente dette vs coincidenti

Due rette parallele si dicono coincidenti se sono la stessa retta — cioè se oltre ad avere $m_r = m_s$, hanno anche $q_r = q_s$ (in forma esplicita). Se $m_r = m_s$ ma $q_r \neq q_s$, le rette sono parallele propriamente dette (distinte).

Esempio 71.1 — Verificare il parallelismo

Le rette $r: y = 2x + 3$ e $s: y = 2x - 1$ hanno entrambe $m = 2$: sono parallele. Hanno $q$ diversi: sono propriamente parallele (distinte).

Le rette $r: y = 2x + 3$ e $s: 4x - 2y + 6 = 0$: la seconda diventa $y = 2x + 3$, identica alla prima: coincidenti.

Esempio 71.2 — Retta parallela a una data, per un punto

Trovare la retta parallela a $r: y = -3x + 2$ passante per $P(1, 4)$.

Soluzione. Deve avere $m = -3$ (stesso di $r$). Usando la forma fondamentale (70):

\[ y - 4 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 7. \]

71.4 Condizione di perpendicolarità

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Teorema 71.3 — Perpendicolarità tra rette

Due rette $r$ e $s$ non verticali e non orizzontali sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$:

\[ r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1 \iff m_s = -\frac {1}{m_r}. \]

(Caso speciale: una retta orizzontale e una verticale sono sempre perpendicolari tra loro.)

In forma implicita: $r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ sono perpendicolari se e solo se

\[ a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0. \]

\[ r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1. \]

Dimostrazione. Siano $\alpha _r$ e $\alpha _s$ gli angoli di inclinazione di $r$ e $s$. Le rette sono perpendicolari $\iff $ i loro angoli differiscono di $90°$:

\[ \alpha _s = \alpha _r + 90°\ \text {(modulo $180°$)}. \]

Usando le formule trigonometriche di addizione (94):

\[ \tan (\alpha _r + 90°) = -\cot \alpha _r = -\frac {1}{\tan \alpha _r}. \]

Quindi $m_s = -1/m_r$, da cui $m_r\cdot m_s = -1$.

Nota — Coefficiente angolare “antireciproco”

La perpendicolarità si esprime in modo memorabile dicendo che il coefficiente angolare della retta perpendicolare è l’antireciproco (reciproco col segno cambiato) del coefficiente angolare della retta data. Tabella di valori notevoli:

\[ \begin {array}{c|c} m_r & m_s = -1/m_r \\ \hline 1 & -1 \\ 2 & -1/2 \\ -3 & 1/3 \\ \sqrt {3} & -1/\sqrt {3} = -\sqrt {3}/3 \\ 1/4 & -4 \end {array} \]

Esempio 71.3 — Retta perpendicolare a una data, per un punto

Trovare la retta perpendicolare a $r: y = 2x - 1$ passante per $P(4, 3)$.

Soluzione. Il nuovo coefficiente angolare è $m = -1/2$. Forma fondamentale:

\[ y - 3 = -\tfrac {1}{2}(x - 4) \Rightarrow y = -\tfrac {1}{2}x + 5. \]

Esempio 71.4 — Asse di un segmento

L’asse di un segmento $\overline {AB}$ è la retta perpendicolare ad $\overline {AB}$ passante per il suo punto medio. Trovare l’asse del segmento di estremi $A(1, 2)$ e $B(7, 8)$.

Soluzione.

Punto medio: $M = (4, 5)$ (69).
Coefficiente angolare di $AB$: $m_{AB} = (8-2)/(7-1) = 1$.
Coefficiente angolare dell’asse (perpendicolare): $m = -1/1 = -1$.
Asse: $y - 5 = -1(x - 4) \Rightarrow y = -x + 9$.

71.5 Angolo tra due rette

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Più in generale, due rette incidenti formano due coppie di angoli opposti al vertice (uno acuto, uno ottuso, supplementari tra loro). L’angolo tra le due rette è, per convenzione, quello acuto (o retto, se sono perpendicolari).

Teorema 71.4 — Angolo tra due rette

Siano $r$ e $s$ due rette non verticali, di coefficienti angolari $m_r$ e $m_s$. L’angolo acuto $\varphi $ tra di esse soddisfa

\[ \tan \varphi = \left |\frac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right |. \]

\[ \tan \varphi = \left |\dfrac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right |. \]

Dimostrazione (cenni). Se $\alpha _r, \alpha _s$ sono gli angoli di inclinazione, l’angolo formato tra le rette è $\alpha _r - \alpha _s$ (o il suo supplementare). Per la formula trigonometrica della tangente della differenza (94):

\[ \tan (\alpha _r - \alpha _s) = \frac {\tan \alpha _r - \tan \alpha _s}{1 + \tan \alpha _r \tan \alpha _s} = \frac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}. \]

Il valore assoluto seleziona l’angolo acuto positivo.

Nota — Casi limite della formula

Se $m_r = m_s$: $\tan \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0°$ — rette parallele.
Se $1 + m_r m_s = 0$ (cioè $m_r m_s = -1$): $\tan \varphi $ “tende a infinito” $\Rightarrow \varphi = 90°$ — rette perpendicolari.

Quindi la formula generale racchiude come casi particolari sia il parallelismo che la perpendicolarità.

Esempio 71.5 — Angolo tra due rette

Calcolare l’angolo tra $r: y = x$ e $s: y = -2x + 3$.

Soluzione. $m_r = 1$, $m_s = -2$:

\[ \tan \varphi = \left |\frac {1 - (-2)}{1 + 1\cdot (-2)}\right | = \left |\frac {3}{-1}\right | = 3 \implies \varphi = \arctan (3) \approx 71{,}57°. \]

71.6 Esempi svolti

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Esempio 71.6 — Test rapido di // o $\perp $

Stabilire se le seguenti coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l’uno né l’altro:

(a) $r: y = 3x - 1$, $s: y = 3x + 5$.
$m_r = m_s = 3$: parallele (non coincidenti, $q$ diversi).
(b) $r: y = 2x - 4$, $s: y = -\tfrac {1}{2}x + 1$.
$m_r m_s = 2\cdot (-\tfrac {1}{2}) = -1$: perpendicolari.
(c) $r: y = x$, $s: y = 2x$.
Né $m_r = m_s$ né $m_r m_s = -1$: incidenti generiche (formano un angolo non retto).

Esempio 71.7 — Retta parallela in forma implicita

Trovare l’equazione della retta passante per $P(-1, 2)$ e parallela a $r: 3x - 2y + 7 = 0$.

Soluzione. La retta richiesta ha la stessa parte “$3x - 2y$” del primo membro (in modo da avere stessi coefficienti $a, b$, quindi stesso $m$); cambia solo il termine noto:

\[ 3x - 2y + k = 0. \]

Imponendo il passaggio per $P(-1, 2)$: $3(-1) - 2(2) + k = 0 \Rightarrow k = 7$.

(Curioso: $k = 7$ uguale a quello di $r$; ma sostituendo nelle coordinate si verifica che $P\notin r$: $3(-1) - 2(2) + 7 = 0$, falso? Calcolo: $-3 - 4 + 7 = 0$. Vero! Quindi $P$ appartiene alla retta $r$ data. Sì, la retta parallela passante per $P$ è $r$ stessa.)

Esempio modificato: per $P(0, 0)$, $3(0) - 2(0) + k = 0 \Rightarrow k = 0$. Retta: $3x - 2y = 0$, ovvero $y = \tfrac {3}{2}x$.

Esempio 71.8 — Triangolo rettangolo: verifica con i coefficienti angolari

Verificare che il triangolo di vertici $A(0, 0), B(4, 2), C(1, 5)$ è rettangolo.

Soluzione.

\[ m_{AB} = \frac {2-0}{4-0} = \frac {1}{2},\qquad m_{AC} = \frac {5-0}{1-0} = 5,\qquad m_{BC} = \frac {5-2}{1-4} = -1. \]

Cerchiamo coppie con prodotto $-1$:

\[ m_{AB} \cdot m_{BC} = \tfrac {1}{2}\cdot (-1) = -\tfrac {1}{2}: \text {no}. \]

\[ m_{AB} \cdot m_{AC} = \tfrac {1}{2}\cdot 5 = \tfrac {5}{2}: \text {no}. \]

\[ m_{AC} \cdot m_{BC} = 5\cdot (-1) = -5: \text {no}. \]

Nessuna coppia perpendicolare: il triangolo non è rettangolo. (Confronto con il test di Pitagora: $\overline {AB}^2 = 20$, $\overline {AC}^2 = 26$, $\overline {BC}^2 = 18$. Nessuna relazione $a^2 + b^2 = c^2$.)

Esempio 71.9 — Costruzione di una perpendicolare per un punto a una retta data

Sia $r: 2x - y + 3 = 0$ e $P(5, 1)$ punto esterno. Trovare il piede della perpendicolare da $P$ a $r$ (cioè il punto $H$ di intersezione tra $r$ e la perpendicolare a $r$ per $P$).

Soluzione.

Coeff. angolare di $r$: da $y = 2x + 3$ si legge $m_r = 2$.
Coeff. angolare della perpendicolare: $m = -1/2$.
Perpendicolare per $P$: $y - 1 = -\tfrac {1}{2}(x - 5) \Rightarrow y = -\tfrac {1}{2}x + \tfrac {7}{2}$.
Intersezione con $r$ (sistema): $2x - (-\tfrac {1}{2}x + \tfrac {7}{2}) + 3 = 0 \Rightarrow \tfrac {5}{2}x - \tfrac {1}{2} = 0 \Rightarrow x = \tfrac {1}{5}$.
Quindi $y = -\tfrac {1}{2}\cdot \tfrac {1}{5} + \tfrac {7}{2} = -\tfrac {1}{10} + \tfrac {35}{10} = \tfrac {34}{10} = \tfrac {17}{5}$.
$H = (\tfrac {1}{5}, \tfrac {17}{5})$.

Esempio 71.10 — Asse di un segmento (riassuntivo)

Trovare l’asse del segmento $A(-1, 2)$, $B(5, -4)$.

Soluzione.

Punto medio: $M = (2, -1)$.
$m_{AB} = (-4-2)/(5-(-1)) = -1$.
Coeff. angolare dell’asse: $-1/(-1) = 1$.
Asse: $y - (-1) = 1\cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 3$.

Esempio 71.11 — Quadrato dati due vertici opposti

Trovare i due vertici mancanti del quadrato sapendo che $A(1, 1)$ e $C(5, 5)$ sono due vertici opposti.

Soluzione.

Diagonale $AC$ ha $m_{AC} = 1$, lunghezza $\sqrt {32}$, punto medio $M(3, 3)$.
L’altra diagonale $BD$ passa per $M$, è perpendicolare ad $AC$ (le diagonali del quadrato sono perpendicolari) e ha la stessa lunghezza.
$m_{BD} = -1$, equazione: $y - 3 = -(x - 3) \Rightarrow y = -x + 6$.
$B$ e $D$ distano da $M$ esattamente la metà della diagonale: $\sqrt {32}/2 = \sqrt {8} = 2\sqrt {2}$ ciascuno.
Sulla retta $y = -x + 6$, un punto generico è $(t, -t+6)$. Distanza da $M(3,3)$: $\sqrt {(t-3)^2 + (-t+6-3)^2} = \sqrt {2(t-3)^2} = \sqrt {2}|t-3|$.
Imposizione: $\sqrt {2}|t-3| = 2\sqrt {2} \Rightarrow |t-3| = 2 \Rightarrow t = 5\text { o }t = 1$.
Quindi $B = (5, 1)$ e $D = (1, 5)$.

71.7 Esercizi proposti

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Esercizio 71.1

1.

Stabilisci se le coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l’uno né l’altro:

(a) $y = 2x + 1$ e $y = 2x - 5$;
(b) $y = 3x$ e $y = -\tfrac {1}{3}x + 4$;
(c) $y = -x + 7$ e $y = x - 2$;
(d) $2x + 3y - 6 = 0$ e $4x + 6y + 1 = 0$;
(e) $x = 5$ e $y = 3$;
(f) $y = 3$ e $y = -7$.

2.

Trova la retta passante per il punto dato e parallela alla retta data:

(a) $P(2, 3)$, $r: y = 4x - 1$;
(b) $P(0, -1)$, $r: 3x - 2y + 5 = 0$;
(c) $P(-1, 4)$, $r: y = -2$;
(d) $P(3, 7)$, $r: x = 2$.

3.

Trova la retta passante per il punto dato e perpendicolare alla retta data:

(a) $P(1, 2)$, $r: y = -3x + 1$;
(b) $P(4, 0)$, $r: y = \tfrac {1}{2}x$;
(c) $P(-2, 5)$, $r: 2x + 3y - 6 = 0$;
(d) $P(0, 0)$, $r: y = x$.

4.

Trova il piede della perpendicolare condotta dal punto $P(0, 4)$ alla retta $r: y = 2x - 1$.

5.

Trova l’asse del segmento di estremi:

(a) $A(0, 0)$ e $B(4, 6)$;
(b) $A(-2, 3)$ e $B(4, -1)$;
(c) $A(1, 5)$ e $B(7, 5)$ (orizzontale!).

6.

Verifica con i coefficienti angolari se i seguenti triangoli sono rettangoli e in caso indica l’ipotenusa:

(a) $A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)$;
(b) $A(1, 1), B(5, 1), C(1, 4)$;
(c) $A(-1, 0), B(2, 3), C(5, 0)$;
(d) $A(0, 0), B(3, 1), C(1, 3)$.

7.

Trova $k$ in modo che le rette siano parallele: $r: y = (k-1)x + 3$ e $s: y = (2k + 4)x - 1$.

8.

Trova $h$ in modo che le rette siano perpendicolari: $r: y = hx - 2$ e $s: y = (h+3)x + 1$.

9.

Calcola l’angolo (acuto) tra le rette:

(a) $y = x$ e $y = -x$;
(b) $y = x$ e $y = 0$;
(c) $y = x$ e $y = \tfrac {x}{3}$.

10.

Determina l’altezza relativa al lato $BC$ nel triangolo di vertici $A(2, 5)$, $B(0, 0)$, $C(6, 2)$. (Suggerimento: equazione della retta $BC$, equazione della perpendicolare per $A$, intersezione = piede dell’altezza, e poi calcola la distanza.)

11.

Trova le coordinate dell’ortocentro del triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)$. (L’ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze.)

12.

(Discussione.) Se due rette hanno coefficiente angolare reciproco (cioè $m_s = 1/m_r$, senza cambiare segno), che relazione geometrica esiste tra le due rette? (Suggerimento: scambia $x$ e $y$.)

13.

(Sfida.) Trova le coordinate dei due vertici mancanti del quadrato di cui $A(0, 0)$ e $B(4, 0)$ sono due vertici adiacenti (cioè estremi di un lato).

71.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Significato geometrico di $m$: $m = \tan \alpha $, dove $\alpha $ è l’angolo di inclinazione della retta rispetto all’asse $x$ (94).
- $m = 0$: retta orizzontale; $m$ indef.: verticale.
- $m > 0$: crescente; $m < 0$: decrescente.
- Valori notevoli: $m=1 \Rightarrow 45°$, $m=\sqrt {3}\Rightarrow 60°$, $m=-1 \Rightarrow 135°$.
Parallelismo:
\[ r\parallel s \iff m_r = m_s. \]

Coincidenti se anche $q_r = q_s$. In forma implicita: $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$.
Perpendicolarità:
\[ r\perp s \iff m_r\cdot m_s = -1 \iff m_s = -\tfrac {1}{m_r}. \]

(Il coefficiente perpendicolare è l’antireciproco.) Caso speciale: orizzontale $\perp $ verticale.
Angolo tra due rette:
\[ \tan \varphi = \left |\dfrac {m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right |. \]

Casi limite: $m_r = m_s \Rightarrow \varphi = 0$ (parallele); $m_r m_s = -1 \Rightarrow \varphi = 90°$ (perpendicolari).
Costruzioni tipiche:
- retta per un punto parallela/perpendicolare a una data (forma fondamentale, 70);
- asse di un segmento (perpendicolare per il punto medio);
- altezza di un triangolo (perpendicolare al lato per il vertice opposto);
- ortocentro (intersezione delle tre altezze).
Prossimi passi: distanza punto-retta (72), trasformazioni geometriche (73), e poi le coniche (74).

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Capitolo 71 Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette

71.1 Introduzione motivazionale

71.2 Significato geometrico del coefficiente angolare

71.3 Condizione di parallelismo

71.4 Condizione di perpendicolarità

71.5 Angolo tra due rette

71.6 Esempi svolti

71.7 Esercizi proposti

71.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 71
Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette