26 Sistemi lineari: sostituzione, riduzione, Cramer

“

Quando due condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, e ognuna riguarda due quantità sconosciute, si pone un sistema: si cerca la coppia di valori che le rende vere entrambe.”

— adattamento didattico

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26.1 Introduzione motivazionale

Un sistema di equazioni compare ogni volta che dobbiamo determinare due o più grandezze contemporaneamente, sapendo che soddisfano simultaneamente più condizioni. “Due numeri di somma \(10\) e prodotto \(24\)”, “il prezzo di una mela e di una pera sapendo il costo di due acquisti diversi”, “intersezione di due rette nel piano cartesiano”: tutti questi problemi si traducono in un sistema.

Per le equazioni di primo grado, il caso più semplice e fondamentale è il sistema lineare di due equazioni in due incognite: due equazioni del tipo \(ax+by=c\), di cui cerchiamo i valori di \(x\) e \(y\) che le verificano entrambe. Esistono diverse strategie: sostituzione, confronto, riduzione (eliminazione), e la regola di Cramer con i determinanti. Tutti i metodi danno lo stesso risultato; la scelta dipende dal sistema specifico e dalla comodità.

In questo capitolo presentiamo tutti e quattro i metodi, classifichiamo i sistemi in base al numero di soluzioni (determinato/impossibile/indeterminato) e ne discutiamo l’interpretazione geometrica: ogni equazione di primo grado in due variabili rappresenta una retta nel piano cartesiano, e risolvere il sistema equivale a trovare l’intersezione delle due rette.

26.2 Sistemi di due equazioni in due incognite

Definizione 26.1 — Sistema lineare \(2\times 2\)

Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma

\[ \begin {cases} a_{11}\,x + a_{12}\,y = b_1 \\ a_{21}\,x + a_{22}\,y = b_2 \end {cases} \]

dove \(a_{ij}, b_i\in \mathbb{R} \) sono i coefficienti e \(x, y\) sono le incognite. Una soluzione è una coppia ordinata \((x_0, y_0)\) che soddisfa entrambe le equazioni.

Definizione 26.2 — Classificazione

Un sistema lineare può essere:

determinato: ha esattamente una soluzione;
impossibile (o incompatibile): non ha soluzioni;
indeterminato: ha infinite soluzioni.

26.3 Metodo di sostituzione

Procedura — Metodo di sostituzione

1.: Si ricava una delle due incognite (per esempio \(y\)) da una delle due equazioni.
2.: Si sostituisce l’espressione trovata nell’altra equazione, ottenendo un’equazione in una sola incognita.
3.: Si risolve l’equazione e si ottiene il valore della prima incognita.
4.: Si sostituisce il valore trovato nell’espressione ricavata al punto 1, ottenendo l’altra incognita.

Esempio 26.1

Risolvere \(\begin {cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end {cases}\).

Soluzione. Dalla prima: \(x = 7 - 2y\). Sostituisco nella seconda: \(3(7-2y) - y = 7 \Rightarrow 21 - 6y - y = 7 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2\). Allora \(x = 7 - 4 = 3\).

Soluzione: \((x, y) = (3, 2)\). Verifica: \(3+4=7\)\(\checkmark\); \(9-2=7\)\(\checkmark\).

26.4 Metodo di confronto

Procedura — Metodo di confronto

1.: Si ricava la stessa incognita (es. \(y\)) da entrambe le equazioni.
2.: Si confrontano le due espressioni: il valore comune dà un’equazione nell’altra incognita.
3.: Si risolve e si determina \(x\), poi \(y\) sostituendo.

Esempio 26.2

Risolvere lo stesso sistema \(\begin {cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end {cases}\) con il metodo di confronto.

Soluzione. Dalla prima: \(y = \tfrac {7-x}{2}\). Dalla seconda: \(y = 3x - 7\). Confrontando: \(\tfrac {7-x}{2} = 3x - 7 \Rightarrow 7 - x = 6x - 14 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3\). Allora \(y = 3\cdot 3 - 7 = 2\). Soluzione: \((3, 2)\).

26.5 Metodo di riduzione

Procedura — Metodo di riduzione (eliminazione)

1.: Si moltiplica una delle due equazioni (o entrambe) per opportuni numeri, in modo che i coefficienti di una stessa incognita risultino opposti.
2.: Si sommano le due equazioni: l’incognita scelta scompare, e si ottiene un’equazione nell’altra incognita.
3.: Si risolve, poi si sostituisce per trovare la seconda incognita.

Esempio 26.3

Risolvere \(\begin {cases} 2x + 3y = 12 \\ 5x - 2y = 11 \end {cases}\).

Soluzione. Moltiplico la prima per \(2\) e la seconda per \(3\):

\[ \begin {cases} 4x + 6y = 24 \\ 15x - 6y = 33 \end {cases} \]

Sommando: \(19x = 57 \Rightarrow x = 3\). Sostituendo nella prima: \(6 + 3y = 12 \Rightarrow y = 2\). Soluzione: \((3, 2)\).

26.6 Metodo di Cramer

Definizione 26.3 — Determinante \(2\times 2\)

Il determinante della matrice \(\begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix}\) è

\[ \det \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix} = ad - bc. \]

Teorema 26.1 — Regola di Cramer per sistemi \(2\times 2\)

Dato il sistema \(\begin {cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end {cases}\), si calcolano i tre determinanti:

\[ D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}, \quad D_x = b_1 a_{22} - a_{12} b_2, \quad D_y = a_{11} b_2 - b_1 a_{21}. \]

Se \(D\neq 0\): sistema determinato con unica soluzione \(x = \dfrac {D_x}{D}\), \(y = \dfrac {D_y}{D}\).
Se \(D=0\) e \(D_x = D_y = 0\): sistema indeterminato (infinite soluzioni).
Se \(D=0\) e almeno uno tra \(D_x, D_y\) è non nullo: sistema impossibile.

\[ x = \dfrac {D_x}{D},\qquad y = \dfrac {D_y}{D} \qquad (D\neq 0). \]

Esempio 26.4

Risolvere \(\begin {cases} 2x + 3y = 12 \\ 5x - 2y = 11 \end {cases}\) con Cramer.

Soluzione. \(D = 2\cdot (-2) - 3\cdot 5 = -4 - 15 = -19\). \(D_x = 12\cdot (-2) - 3\cdot 11 = -24 - 33 = -57\). \(D_y = 2\cdot 11 - 12\cdot 5 = 22 - 60 = -38\).

\(x = \tfrac {-57}{-19} = 3\), \(y = \tfrac {-38}{-19} = 2\). Soluzione: \((3, 2)\).

26.7 Sistemi determinati, indeterminati, impossibili

Nota — Classificazione operativa

Per un sistema \(2\times 2\):

\(D \neq 0\): determinato. Esiste un’unica soluzione.
\(D = 0\), \(D_x = 0\), \(D_y = 0\): indeterminato. Le due equazioni sono “proporzionali”, infinite soluzioni.
\(D = 0\), ma \(D_x \neq 0\) o \(D_y \neq 0\): impossibile. Le due rette sono parallele.

Esempio 26.5 — Sistema indeterminato

\(\begin {cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end {cases}\): la seconda equazione è il doppio della prima (anche i termini noti). \(D = 4 - 4 = 0\), \(D_x = 16 - 16 = 0\), \(D_y = 8 - 8 = 0\): indeterminato. Soluzioni: tutte le coppie \((x, y)\) con \(x + 2y = 4\), ovvero \(y = \tfrac {4-x}{2}\) con \(x\) libero.

Esempio 26.6 — Sistema impossibile

\(\begin {cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end {cases}\): la seconda ha gli stessi coefficienti, ma termine noto \(10\) invece di \(8\). \(D = 0\) ma \(D_x \neq 0\): impossibile.

26.8 Interpretazione grafica

Ogni equazione \(ax+by=c\) rappresenta una retta nel piano cartesiano (capitolo 70). Risolvere il sistema equivale a trovare l’intersezione delle due rette:

26.9 Problemi risolvibili con sistemi

Procedura — Impostare un problema

1.: Identifica due grandezze sconosciute \(x\) e \(y\).
2.: Traduci le condizioni del problema in due equazioni lineari.
3.: Risolvi il sistema con uno dei metodi.
4.: Verifica le soluzioni nel contesto (es. valori positivi se sono lunghezze).

Esempio 26.7 — Problema con due acquisti

Anna compra \(3\) mele e \(2\) pere e spende \(4{,}30\) €. Bruno compra \(5\) mele e \(1\) pera e spende \(5{,}40\) €. Quanto costa una mela e una pera?

Soluzione. Sia \(x\) il prezzo della mela, \(y\) il prezzo della pera. Sistema:

\[ \begin {cases} 3x + 2y = 4{,}30 \\ 5x + y = 5{,}40 \end {cases} \]

Dalla seconda: \(y = 5{,}40 - 5x\). Sostituendo: \(3x + 2(5{,}40 - 5x) = 4{,}30 \Rightarrow 3x + 10{,}80 - 10x = 4{,}30 \Rightarrow -7x = -6{,}50 \Rightarrow x \approx 0{,}93\). Allora \(y \approx 5{,}40 - 4{,}64 = 0{,}76\).

Mela \(\approx 0{,}93\) €, pera \(\approx 0{,}76\) €.

26.10 Esempi svolti

Esempio 26.8 — Sostituzione semplice

\(\begin {cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end {cases}\).

Soluzione. Sommando le due (riduzione): \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\). Dalla seconda: \(y = 1\). Soluzione: \((3, 1)\).

Esempio 26.9 — Riduzione con moltiplicazione

\(\begin {cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 2y = 8 \end {cases}\).

Soluzione. Moltiplico la seconda per \(2\): \(10x - 4y = 16\). Sommo con la prima: \(13x = 26 \Rightarrow x = 2\). Sostituendo: \(6 + 4y = 10 \Rightarrow y = 1\). Soluzione: \((2, 1)\).

Esempio 26.10 — Cramer

\(\begin {cases} 4x + 5y = 23 \\ 7x - 3y = 1 \end {cases}\).

Soluzione. \(D = 4\cdot (-3) - 5\cdot 7 = -12 - 35 = -47\). \(D_x = 23\cdot (-3) - 5\cdot 1 = -69 - 5 = -74\). \(D_y = 4\cdot 1 - 23\cdot 7 = 4 - 161 = -157\).

\(x = \tfrac {-74}{-47} = \tfrac {74}{47}\approx 1{,}57\), \(y = \tfrac {-157}{-47}\approx 3{,}34\).

(Il sistema non ha soluzione intera; Cramer è particolarmente comodo nei casi parametrici.)

Esempio 26.11 — Problema dell’età

Un padre ha il triplo dell’età del figlio. Tra \(10\) anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio. Quanti anni hanno oggi?

Soluzione. Sia \(p\) età padre, \(f\) età figlio.

\[ \begin {cases} p = 3f \\ p + 10 = 2(f + 10) \end {cases} \]

Sostituendo: \(3f + 10 = 2f + 20 \Rightarrow f = 10\). Allora \(p = 30\).

Padre \(30\) anni, figlio \(10\) anni. Verifica: tra \(10\) anni, \(40\) e \(20\), e \(40 = 2\cdot 20\). \(\checkmark\)

Esempio 26.12 — Sistema parametrico

Discutere il sistema \(\begin {cases} x + ky = 2 \\ 2x + 4y = k \end {cases}\) al variare di \(k\).

Soluzione. \(D = 4 - 2k\). \(D_x = 4 - k^2\). \(D_y = k - 4\).

\(D\neq 0\), cioè \(k\neq 2\): determinato. \(x = \tfrac {4-k^2}{4-2k} = \tfrac {(2-k)(2+k)}{2(2-k)} = \tfrac {2+k}{2}\), \(y = \tfrac {k-4}{4-2k} = -\tfrac {1}{2}\).
\(k = 2\): \(D = 0\), \(D_x = 0\), \(D_y = -2\neq 0\): impossibile (sistema \(\{x + 2y = 2,\ 2x + 4y = 2\}\) è incoerente).

26.11 Esercizi proposti

Esercizio 26.1

1.: Risolvi con il metodo di sostituzione: (a) \(\begin {cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} 3x - 2y = 11 \\ x + y = 3 \end {cases}\).
2.: Risolvi con il metodo di confronto: (a) \(\begin {cases} 2x + y = 8 \\ x - y = 1 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} x + 3y = 10 \\ 2x - y = 6 \end {cases}\).
3.: Risolvi con il metodo di riduzione: (a) \(\begin {cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - y = 3 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} 4x - 3y = 11 \\ 3x + 2y = 9 \end {cases}\).
4.: Risolvi con Cramer: (a) \(\begin {cases} 7x + 2y = 30 \\ 3x - 5y = 7 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end {cases}\).
5.: Classifica e (se possibile) risolvi: (a) \(\begin {cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end {cases}\); (b) \(\begin {cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 5 \end {cases}\); (c) \(\begin {cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end {cases}\).
6.: Problemi: (a) La somma di due numeri è \(25\) e la loro differenza è \(7\). Trovali. (b) Due numeri sono in rapporto \(3:5\) e la loro somma è \(40\). Quali sono? (c) Un’auto e una moto percorrono insieme \(350\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) in \(5\) ore. Sapendo che la velocità dell’auto è il doppio di quella della moto, calcola le due velocità.
7.: Discuti il sistema \(\begin {cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = k \end {cases}\) al variare di \(k\in \mathbb{R} \).
8.: (Discussione.) Interpreta graficamente i tre casi (determinato/impossibile/indeterminato) di un sistema lineare \(2\times 2\). Disegna un esempio per ciascuno.

26.12 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Un sistema lineare \(2\times 2\) è \(\{a_{11}x+a_{12}y=b_1,\ a_{21}x+a_{22}y=b_2\}\). Una soluzione è una coppia \((x_0, y_0)\) che soddisfa entrambe.
4 metodi risolutivi:
- Sostituzione: ricava una incognita, sostituiscila;
- Confronto: ricava la stessa incognita da entrambe, uguagliale;
- Riduzione: combina linearmente per eliminare un’incognita;
- Cramer: usa i determinanti \(D\), \(D_x\), \(D_y\).
Cramer: \(x = D_x/D\), \(y = D_y/D\). Vale se \(D\neq 0\).
Classificazione: \(D\neq 0\) determinato; \(D=0\) con \(D_x = D_y = 0\) indeterminato; \(D=0\) ma \(D_x\) o \(D_y \neq 0\) impossibile.
Interpretazione grafica: ogni equazione è una retta, soluzione = intersezione. Determinato = incidenti; indeterminato = coincidenti; impossibile = parallele.
Applicazioni: problemi con due incognite (acquisti, età, miscele, miscelazioni, intersezioni geometriche). Generalizzazione a \(3\times 3\) nel capitolo 27.

Capitolo 26 Sistemi lineari: sostituzione, riduzione, Cramer