44 Concetto di funzione: dominio, codominio, immagine

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Capitolo 44
Concetto di funzione: dominio, codominio, immagine

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Una funzione di una quantità variabile è un’espressione composta in qualunque modo con quella quantità variabile e con numeri o costanti.”

— Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748)

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44.1 Introduzione motivazionale

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Il concetto di funzione è probabilmente la nozione più importante di tutta la matematica del liceo, e di sicuro della classe quinta: studiare una funzione è ciò che fanno gli esami di stato; risolvere un’equazione significa trovare i valori per cui una funzione vale zero; ogni legge della fisica è una funzione.

Cosa è una funzione? In modo semplice: una macchina che, ricevuto in ingresso un numero (o un oggetto), restituisce in uscita un altro numero (o un altro oggetto), in modo univoco — cioè senza ambiguità. La temperatura di Torino in funzione dell’istante in cui la si misura; l’area di un cerchio in funzione del raggio; lo sconto in euro in funzione del valore della spesa: sono tutte funzioni che usiamo nella vita di tutti i giorni.

In questo capitolo introduciamo formalmente il concetto di funzione, i tre insiemi che la definiscono (dominio, codominio, immagine), le sue rappresentazioni (tabella, grafico, formula), il concetto di grafico e il test della retta verticale. Studieremo poi più a fondo iniettività e suriettività nel capitolo 45, le funzioni elementari notevoli in 68, e le funzioni definite a tratti in 89.

44.2 Definizione di funzione

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Definizione 44.1 — Funzione

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti. Una funzione (o applicazione) da \(A\) a \(B\) è una corrispondenza che a ogni elemento \(x\in A\) associa uno e un solo elemento di \(B\), indicato \(f(x)\). Si scrive

\[ f: A\longrightarrow B,\qquad x\longmapsto f(x). \]

L’insieme \(A\) si chiama dominio di \(f\), l’insieme \(B\) si chiama codominio. L’elemento \(f(x)\in B\) si chiama immagine di \(x\) tramite \(f\).

Nota — Le due condizioni cruciali

Per essere funzione devono essere soddisfatte entrambe le condizioni:

ovunque definita: a ogni \(x\in A\) è associato qualcosa in \(B\) (nessun elemento del dominio “rimane scoperto”);
univoca: a ogni \(x\in A\) corrisponde esattamente uno elemento di \(B\) (mai due o più).

Se manca anche solo una delle due, la corrispondenza non è una funzione.

Esempio 44.1 — Sono funzioni…

L’assegnazione “a ogni studente del liceo Volta il suo codice fiscale”. Ogni studente ne ha esattamente uno.
“A ogni numero reale \(x\), il suo quadrato \(x^2\)”: \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\).
“A ogni cerchio del piano, il suo raggio”: \(f\) dall’insieme dei cerchi a \(\mathbb{R} ^+\).

Esempio 44.2 — …e non sono funzioni

“A ogni studente, il suo numero di telefono”. Non è una funzione: alcuni hanno più telefoni, altri nessuno.
“A ogni \(x\in \mathbb{R} \), il numero \(y\) tale che \(y^2 = x\)”. Non è una funzione: per \(x=4\) ci sono due valori, \(y=2\) e \(y=-2\); per \(x=-1\) non ce ne è nessuno in \(\mathbb{R} \). Per renderla una funzione, bisogna restringere il dominio a \([0,+\infty )\) e scegliere uno solo dei due segni: nasce così \(f(x)=\sqrt {x}\).

44.3 Dominio codominio immagine

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Definizione 44.2 — Immagine di una funzione

Sia \(f: A\to B\) una funzione. L’immagine (o insieme delle immagini, o range) di \(f\) è l’insieme degli elementi di \(B\) che sono effettivamente “raggiunti” da \(f\):

\[ \operatorname {Im}(f) = f(A) = \{\,f(x) \mid x\in A\,\}. \]

Si ha sempre \(\operatorname {Im}(f)\subseteq B\), ma in generale l’inclusione è stretta: nel codominio possono esserci elementi che non sono immagine di alcun \(x\).

Esempio 44.3

Sia \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\).

Dominio: \(\mathbb{R} \).
Codominio: \(\mathbb{R} \) (è quello dichiarato).
Immagine: \(\operatorname {Im}(f) = [0,+\infty )\), perché \(x^2\) è sempre non negativo.

Il codominio è “lo spazio di arrivo dichiarato”; l’immagine è “ciò che effettivamente arriva”. Possono coincidere oppure no.

[Picture] — Figura 44.1: Diagramma a frecce di una funzione \(f: A\to B\). Ogni elemento del dominio \(A\) ha esattamente una freccia uscente; l’immagine \(\operatorname {Im}(f)\) (in rosso, evidenziata) è il sottoinsieme di \(B\) effettivamente raggiunto. Notare che due elementi diversi di \(A\) (\(x_2, x_3\)) possono finire sullo stesso \(y_2\) (la funzione non è iniettiva), e che \(y_3\in B\) non è immagine di nessuno (la funzione non è suriettiva).

Nota — Suriettività e iniettività, in due parole

Se \(\operatorname {Im}(f)=B\), cioè ogni elemento di \(B\) è immagine di almeno un \(x\), la funzione si dice suriettiva.
Se \(f\) assegna a elementi distinti di \(A\) immagini distinte, \(f\) si dice iniettiva.
Una funzione sia iniettiva che suriettiva si dice biiettiva (o biunivoca, o biiezione).

Approfondiremo queste nozioni nel capitolo 45.

Definizione 44.3 — Variabile indipendente, variabile dipendente

In una funzione \(y = f(x)\) il valore di \(y\) dipende dal valore di \(x\) scelto in ingresso. Per questo \(x\) si dice variabile indipendente e \(y\) si dice variabile dipendente.

44.4 Grafico di una funzione

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Una funzione si può rappresentare in molti modi: a parole, con una tabella, con un grafico nel piano cartesiano, con una formula. Quando lavoriamo con funzioni reali di variabile reale, il grafico è la rappresentazione più ricca e immediata.

Definizione 44.4 — Grafico

Il grafico di una funzione \(f: A\to B\) è l’insieme delle coppie \((x, f(x))\) al variare di \(x\in A\):

\[ G_f = \{\,(x, f(x)) \mid x\in A\,\} \subseteq A\times B. \]

Per una funzione reale di variabile reale (\(A,B\subseteq \mathbb{R} \)), il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \).

Il grafico nel piano cartesiano sarà introdotto in modo sistematico nel capitolo 69 (geometria analitica); qui ci limitiamo all’idea intuitiva: ogni punto del grafico ha ascissa \(x\) (un valore del dominio) e ordinata \(y=f(x)\) (l’immagine di \(x\)).

Teorema 44.1 — Test della retta verticale

Una curva del piano cartesiano è il grafico di una funzione \(y=f(x)\) se e solo se ogni retta verticale interseca la curva al più in un punto.

Dimostrazione (idea). La condizione di univocità della funzione richiede che a ogni \(x\) corrisponda al massimo un \(y\), cioè al massimo un punto della curva con quella ascissa. Una retta verticale di equazione \(x=x_0\) intercetta la curva esattamente nei punti di ascissa \(x_0\): se ce ne sono due, la corrispondenza ha doppia immagine e non è funzione.

44.5 Funzioni numeriche reali

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Definizione 44.5 — Funzione reale di variabile reale

Una funzione reale di variabile reale è una funzione \(f: D\to \mathbb{R} \) con \(D\subseteq \mathbb{R} \). L’insieme \(D\) è il dominio (sottoinsieme di \(\mathbb{R} \)), e i valori \(f(x)\) sono numeri reali.

Sono le funzioni più studiate in matematica e in fisica: tutte le grandezze fisiche misurabili dipendono da numeri reali (tempo, lunghezza, massa, \(\ldots \)) e producono numeri reali. Lo studio sistematico di queste funzioni è il contenuto principale dell’analisi (capitoli 126 e seguenti).

Dominio naturale

Spesso una funzione è data “con la sua formula” senza precisare il dominio: in tal caso si intende il dominio naturale, cioè il più grande sottoinsieme di \(\mathbb{R} \) in cui la formula ha senso e produce un risultato reale.

Procedura — Determinare il dominio naturale

Per stabilire il dominio naturale di una funzione \(f(x)\) data tramite una formula, si impongono tutte le condizioni che rendano l’espressione ben definita in \(\mathbb{R} \):

denominatore non nullo: per ogni frazione \(\dfrac {N(x)}{D(x)}\), imporre \(D(x)\neq 0\);
radicando non negativo: per ogni \(\sqrt [2k]{E(x)}\) (radice di indice pari), imporre \(E(x)\ge 0\);
argomento del logaritmo positivo: per ogni \(\log (E(x))\), imporre \(E(x)>0\) (capitolo 82);
argomento di arcoseno/arcocoseno in \([-1,1]\) (capitolo 98, cenno).

Il dominio naturale è l’intersezione di tutte queste condizioni.

Esempio 44.4 — Funzione polinomiale

\(f(x)=3x^2 - 5x + 4\) è definita per ogni \(x\in \mathbb{R} \) (nessuna restrizione). Dominio naturale: \(\mathbb{R} \).

Esempio 44.5 — Funzione razionale

\(f(x)=\dfrac {x+1}{x-2}\). Va imposto \(x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2\). Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Esempio 44.6 — Funzione con radice

\(f(x)=\sqrt {x-3}\). Va imposto \(x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3\). Dominio: \([3, +\infty )\).

Esempio 44.7 — Funzione con radice e frazione

\(f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {x-1}}\). Due condizioni:

radicando \(\ge 0\): \(x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1\);
denominatore \(\neq 0\): \(\sqrt {x-1}\neq 0 \Rightarrow x\neq 1\).

Intersezione: \(x>1\). Dominio: \((1,+\infty )\).

44.6 Esempi svolti

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Esempio 44.8 — Distinzione tra funzione e non-funzione

Per ciascuna delle seguenti relazioni tra \(\mathbb{R} \) e \(\mathbb{R} \), stabilire se è una funzione di \(\mathbb{R} \) in \(\mathbb{R} \).

1.: \(y = 3x + 1\).
2.: \(y^2 = x\) (con \(y\in \mathbb{R} \)).
3.: \(y = |x|\).
4.: \(x^2 + y^2 = 4\).

Soluzione.

(1) Sì, \(f(x)=3x+1\) è definita per ogni \(x\in \mathbb{R} \) e dà un unico \(y\).
(2) No: per \(x=4\) si avrebbe \(y^2=4\), da cui \(y=\pm 2\) (due immagini); per \(x=-1\) nessuna soluzione in \(\mathbb{R} \). Non funzione.
(3) Sì, \(f(x)=|x|\) è una funzione di \(\mathbb{R} \) in \(\mathbb{R} \) con \(\operatorname {Im}(f)=[0,+\infty )\).
(4) No, è il cerchio di raggio \(2\): per \(|x|<2\) ci sono due valori di \(y\).

Esempio 44.9 — Dominio naturale

Determinare il dominio naturale di \(f(x) = \dfrac {\sqrt {x+2}}{x-3}\).

Soluzione. Condizioni:

\(x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2\);
\(x-3\neq 0 \Rightarrow x\neq 3\).

Dominio: \([-2,+\infty )\setminus \{3\}\), ossia \([-2, 3)\cup (3,+\infty )\).

Esempio 44.10 — Calcolo di immagini

Sia \(f(x) = x^2 - 2x + 3\). Calcolare \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-2)\), \(f(\sqrt {2})\).

Soluzione.

\(f(0) = 0 - 0 + 3 = 3\).
\(f(1) = 1 - 2 + 3 = 2\).
\(f(-2) = 4 + 4 + 3 = 11\).
\(f(\sqrt {2}) = 2 - 2\sqrt {2} + 3 = 5 - 2\sqrt {2}\).

Esempio 44.11 — Da tabella a funzione

Sia data la tabella:

\[ \begin {array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 \\ \hline \end {array} \]

Indovinare una formula per \(f(x)\).

Soluzione. I valori sono \(2, 5, 10, 17, 26\): le differenze tra valori consecutivi sono \(3, 5, 7, 9\), ossia i dispari. Questo suggerisce \(f(x)=x^2+1\): \(1+1=2\), \(4+1=5\), \(9+1=10\), \(16+1=17\), \(25+1=26\). \(\checkmark\)

Esempio 44.12 — Immagine di una funzione

Determinare l’immagine di \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2+4\).

Soluzione. Per ogni \(x\in \mathbb{R} \), \(x^2\ge 0\), dunque \(f(x)\ge 4\). Inoltre, ogni valore \(y\ge 4\) è raggiunto (con \(x=\pm \sqrt {y-4}\)). Quindi \(\operatorname {Im}(f) = [4,+\infty )\). Il codominio \(\mathbb{R} \) è più ampio dell’immagine: \(f\) non è suriettiva.

44.7 Esercizi proposti

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Esercizio 44.1

1.: Stabilisci quali tra le seguenti relazioni di \(\mathbb{R} \) in \(\mathbb{R} \) sono funzioni, motivando: (a) \(y = 2x - 5\); (b) \(y^2 = x + 1\); (c) \(y = \sqrt {x^2}\); (d) \(x = y^3\); (e) \(x + y = 7\).
2.: Determina il dominio naturale di: (a) \(f(x) = \dfrac {3}{x}\); (b) \(f(x) = \dfrac {x+1}{x^2-4}\); (c) \(f(x) = \sqrt {2x-6}\); (d) \(f(x) = \dfrac {1}{\sqrt {4-x}}\); (e) \(f(x) = \sqrt {x^2-9}\).
3.: Per \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), calcola \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-1)\), \(f(2)\), \(f(\sqrt {3})\) e \(f(t+1)\) (in funzione di \(t\)).
4.: Per \(f(x) = \dfrac {1}{x+2}\), calcola \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(-3)\) e indica il dominio.
5.: Determina l’immagine di: (a) \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=3x-2\); (b) \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=x^2\); (c) \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(f(x)=|x|+1\); (d) \(f:[0, 2\pi ]\to \mathbb{R} \), \(f(x)=\operatorname{sen} x\) (puoi ragionare graficamente).
6.: Applica il test della retta verticale alle seguenti curve (descrivendole intuitivamente): (a) una parabola con asse verticale; (b) un’ellisse; (c) una retta orizzontale; (d) una retta verticale. Quali sono grafici di funzione?
7.: Dato \(f(x) = x^2 + bx + c\), determina \(b\) e \(c\) sapendo che \(f(0)=5\) e \(f(1)=8\).
8.: Un radiotaxi applica una tariffa: scatto fisso di \(3\) € all’inizio + \(0,80\) € per ogni km percorso. Scrivi la funzione \(T(k)\) del costo \(T\) in euro al variare del km \(k\), e calcolane il valore per \(k=5\), \(k=10\), \(k=25\).
9.: (Discussione.) Una temperatura misurata ogni minuto per 24 ore è una funzione del tempo. Indica dominio (in unità di misura concreta), codominio ragionevole, e descrivi una possibile immagine in una giornata di gennaio a Torino.

44.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Una funzione \(f:A\to B\) è una corrispondenza che a ogni \(x\in A\) associa uno e un solo \(f(x)\in B\). Le due condizioni cruciali: ovunque definita e univoca.
\(A\) è il dominio, \(B\) è il codominio; l’immagine \(\operatorname {Im}(f)=f(A)\) è il sottoinsieme di \(B\) effettivamente raggiunto.
\(x\) è la variabile indipendente, \(y=f(x)\) è la variabile dipendente.
Una funzione si può rappresentare verbalmente, con una tabella, con un grafico (\(G_f = \{(x, f(x))\}\)), con una formula.
Test della retta verticale: una curva è grafico di una funzione \(y=f(x)\) se e solo se ogni retta verticale la incontra al più in un punto.
Una funzione reale di variabile reale è \(f:D\to \mathbb{R} \) con \(D\subseteq \mathbb{R} \). Il dominio naturale è il più grande \(D\) in cui la formula ha senso, ottenuto imponendo: denominatori non nulli, radicandi pari non negativi, argomenti dei logaritmi positivi, ecc.
Cenni: \(f\) suriettiva se \(\operatorname {Im}(f)=B\); iniettiva se elementi distinti di \(A\) hanno immagini distinte; biiettiva se entrambe (approfondimento nel capitolo 45).

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Capitolo 44 Concetto di funzione: dominio, codominio, immagine

44.1 Introduzione motivazionale

44.2 Definizione di funzione

44.3 Dominio codominio immagine

44.4 Grafico di una funzione

44.5 Funzioni numeriche reali

Dominio naturale

44.6 Esempi svolti

44.7 Esercizi proposti

44.8 Riepilogo del capitolo

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