Nel capitolo 15 abbiamo incontrato i numeri irrazionali: \(\sqrt {2}\), \(\sqrt {3}\), \(\pi \), \(e\), \(\ldots \) Sono nati dall’impossibilità di
trovare in \(\mathbb{Q} \) un numero il cui quadrato sia \(2\), e abbiamo visto che “riempiono” la retta reale insieme ai
razionali, dando vita all’insieme \(\mathbb{R} \).
Ora studiamo a fondo l’operazione che genera (la maggior parte di) gli irrazionali algebrici:
l’estrazione di radice. È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza, e va trattata con cura
perché non sempre è “ben definita”: \(\sqrt {-4}\) non esiste in \(\mathbb{R} \) (lo vedremo solo in \(\mathbb{C} \), capitolo 88); \(\sqrt {a^2}\) non è \(a\), ma \(|a|\); \(\sqrt [3]{-8}\)
esiste ed è \(-2\), mentre \(\sqrt [4]{-8}\) no.
In questo capitolo formalizziamo il radicale \(\sqrt [n]{a}\), le sue condizioni di esistenza (perché distinguere
indici pari/dispari), la proprietà invariantiva che permette di semplificare radici, e le tecniche di
trasporto fuori e dentro la radice. Le operazioni (somma, prodotto, quoziente, razionalizzazione)
saranno nel capitolo successivo 47, e le potenze a esponente razionale ed irrazionale nel capitolo 48.
Per chi guarderà avanti, tutto questo è il preludio alla funzione esponenziale e al logaritmo (capitoli
80–83).
Riprendiamo il ragionamento del capitolo 15. Consideriamo l’equazione semplicissima
\[ x^2 = 2. \]
Vorremmo trovare un numero \(x\) il cui quadrato sia esattamente \(2\). Per il teorema dimostrato a suo
tempo (per assurdo, supponendo \(x=a/b\) ridotta), non esiste alcun razionale che la soddisfi. Ma esiste un
punto sulla retta reale che la soddisfa: la diagonale del quadrato di lato \(1\). Lo chiamiamo
\(\sqrt {2}\).
Allargando l’idea: per ogni \(a\ge 0\) vorremmo poter definire “la lunghezza il cui quadrato è \(a\)”. Lo
possiamo fare in \(\mathbb{R} \) proprio perché \(\mathbb{R} \) è completo (capitolo 15). La completezza non solo garantisce
l’esistenza di \(\sqrt {2}\), ma anche di \(\sqrt {3}\), \(\sqrt {5}\), \(\sqrt {1000}\), \(\sqrt [3]{17}\), \(\sqrt [5]{2}\): l’estrazione di radice è un’operazione che lavora dentro \(\mathbb{R} \), anche se
gran parte del tempo produce risultati irrazionali.
Nota — Estensione naturale
Estrarre \(\sqrt [n]{a}\) è l’inverso di elevare a \(n\): se \(a = b^n\), allora \(\sqrt [n]{a} = b\). Vogliamo dunque definire un’operazione
che “annulli” l’elevamento a potenza. Per renderla una funzione (univoca), dovremo fare
scelte di convenzione, specie per le radici di indice pari.
Siano \(n\in \mathbb{N} \) con \(n\ge 2\) e \(a\in \mathbb{R} \). Si chiama radicale (o radice \(n\)-esima) di \(a\) il numero \(b\in \mathbb{R} \) tale che \(b^n = a\), con le seguenti
convenzioni:
se \(n\) è dispari: \(\sqrt [n]{a}\) è definito per ogni \(a\in \mathbb{R} \), ed è l’unico \(b\in \mathbb{R} \) con \(b^n=a\);
se \(n\) è pari: \(\sqrt [n]{a}\) è definito solo per \(a\ge 0\), ed è per convenzione l’unico \(b\ge 0\) con \(b^n=a\) (radice aritmetica).
Il numero \(a\) si chiama radicando, \(n\) si chiama indice del radicale.
Nota — Notazione
\(\sqrt [2]{a}\) si scrive di solito \(\sqrt {a}\), senza scrivere l’indice \(2\). La radice cubica \(\sqrt [3]{a}\) si scrive con l’indice.
Esempio 46.1
\(\sqrt {9} = 3\) (non \(\pm 3\): la radice aritmetica è solo quella positiva).
\(\sqrt [3]{8} = 2\), \(\sqrt [3]{-8} = -2\) (radici cubiche di numeri opposti sono opposte).
Per \(n\) pari, l’equazione \(x^n=a\) con \(a>0\) ha due soluzioni reali, \(\pm \sqrt [n]{a}\). Il radicale \(\sqrt [n]{a}\), per convenzione, indica
solo la radice positiva.
\(\sqrt [4]{x^2+1}\): \(x^2+1\ge 1>0\) sempre, dunque esiste per ogni \(x\in \mathbb{R} \).
Teorema 46.1 — Identità della radice \(n\)-esima di una potenza
\(n\)-esima
Per ogni \(a\in \mathbb{R} \) e ogni \(n\ge 2\):
se \(n\) è pari: \(\sqrt [n]{a^n} = |a|\);
se \(n\) è dispari: \(\sqrt [n]{a^n} = a\).
Dimostrazione (idea). Per \(n\) pari, \(a^n\ge 0\) sempre, e il suo radicale è per convenzione il valore non
negativo: dunque \(\sqrt [n]{a^n} = |a|\), non \(a\) (per esempio, \(\sqrt {(-3)^2}=\sqrt {9}=3=|-3|\), non \(-3\)). Per \(n\) dispari, \(a^n\) ha lo stesso segno di \(a\), e la radice \(n\)-esima
conserva il segno, quindi \(\sqrt [n]{a^n}=a\).
Attenzione! — \(\sqrt {a^2}\ne a\) in generale
È uno degli errori più comuni: \(\sqrt {x^2}=|x|\), non \(x\). La formula corretta dà \(\sqrt {4}=2\) per \(x=2\), ma anche \(\sqrt {(-3)^2}=\sqrt {9}=3=|-3|\) per \(x=-3\). Senza
il valore assoluto, si farebbe l’errore \(\sqrt {(-3)^2}=-3\), che è falso (il radicale dev’essere \(\ge 0\)).
La proprietà invariantiva, così formulata, vale solo per \(a\ge 0\). Quando si lavora con radicandi
che contengono lettere, di solito si assume tacitamente che il radicale esista (cioè per
indice pari il radicando \(\ge 0\)). Per radicali a indice dispari su radicando negativo bisogna fare
attenzione: \(\sqrt [3]{-8} = -2\) ma \(\sqrt [6]{(-8)^2} = \sqrt [6]{64} = 2 \neq -2\). La proprietà invariantiva fallisce: il segno è andato perso elevando al
quadrato.
Più in generale, se \(b = c^k\cdot d\) con \(k\ge n\), si può trasportare \(c^{\lfloor k/n\rfloor }\) fuori: \(\sqrt [n]{c^k\cdot d} = c^{\lfloor k/n\rfloor }\cdot \sqrt [n]{c^{k\bmod n}\cdot d}\).
Procedura — Portare fuori dalla radice
Per portare il più possibile fuori da un radicale \(\sqrt [n]{\cdot }\):
1.
Si scompone in fattori primi (o letterali) il radicando.
2.
Per ogni fattore \(c^k\): si esegue la divisione euclidea di \(k\) per \(n\): \(k = nq + r\), con \(0\le r < n\).
Per \(a<0\) (e indice \(n\) dispari): \(a\sqrt [n]{b} = -\sqrt [n]{|a|^n\cdot b} = -\sqrt [n]{(-a)^n\cdot b}\).
Nota — Attenzione al segno
Quando \(a<0\) e \(n\) pari, \(a\sqrt [n]{b}\) è un numero negativo, ma \(\sqrt [n]{a^n b}\ge 0\): non si può semplicemente “portar dentro”
\(a\) senza cambiare segno. La formula corretta è \(a\sqrt [n]{b} = -\sqrt [n]{a^n b}\) se \(a<0\) e \(n\) pari.
\((-3)\sqrt {2} = -\sqrt {9\cdot 2} = -\sqrt {18}\) (radice pari, attenzione: il meno resta fuori).
Confronto di radicali
Procedura — Confrontare due radicali
Per stabilire se \(\sqrt [n]{a} \lessgtr \sqrt [m]{b}\) (con \(a, b\ge 0\)):
1.
Si portano allo stesso indice usando la proprietà invariantiva: \(\sqrt [n]{a} = \sqrt [\operatorname{mcm} (n,m)]{a^{\operatorname{mcm} (n,m)/n}}\), idem per l’altro.
2.
Una volta uguagliati gli indici, si confrontano i radicandi: il radicale è tanto più grande
quanto più lo è il radicando.
Esempio 46.7
Confrontare \(\sqrt [3]{4}\) e \(\sqrt {2}\).
Soluzione. \(\operatorname{mcm} (3,2)=6\). Allora \(\sqrt [3]{4} = \sqrt [6]{4^2} = \sqrt [6]{16}\) e \(\sqrt {2} = \sqrt [6]{2^3} = \sqrt [6]{8}\). Poiché \(16>8\), \(\sqrt [3]{4} > \sqrt {2}\).
Figura 46.1: Alcuni radicali sulla retta reale. Si nota che \(\sqrt {2}\approx 1{,}414\), \(\sqrt [3]{4}\approx 1{,}587\), \(\sqrt {3}\approx 1{,}732\), \(\sqrt [3]{8}=2\), \(\sqrt {5}\approx 2{,}236\). L’ordinamento si può verificare
con la proprietà invariantiva: \(\sqrt {2}<\sqrt [3]{4}<\sqrt {3}<\sqrt [3]{8}<\sqrt {5}\).
Figura 46.2: Grafici di \(y=\sqrt {x}\) (in blu, definita solo per \(x\ge 0\)) e \(y=\sqrt [3]{x}\) (in verde, definita per ogni \(x\in \mathbb{R} \)). La radice
cubica conserva il segno: \(\sqrt [3]{-1}=-1\), mentre la radice quadrata non è definita su \(x<0\).
Porta fuori dalla radice (assumendo che le lettere indichino quantità non negative):
(a) \(\sqrt {50}\); (b) \(\sqrt {75 a^2}\); (c) \(\sqrt [3]{54}\); (d) \(\sqrt [3]{27 x^4 y^7}\); (e) \(\sqrt {8 x^5 y^2}\); (f) \(\sqrt [4]{32 a^9 b^5}\).
6.
Porta dentro la radice: (a) \(5\sqrt {2}\); (b) \(3\sqrt [3]{4}\); (c) \(2 x\sqrt {y}\) (\(x, y\ge 0\)); (d) \(-2\sqrt {3}\) (occhio al segno).
7.
Ordina in modo crescente: (a) \(\sqrt {2}\), \(\sqrt [3]{3}\), \(\sqrt [6]{10}\); (b) \(\sqrt [3]{5}\), \(\sqrt {2}\), \(\sqrt [6]{20}\), \(\sqrt [4]{3}\).
8.
Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere per ogni \(x\in \mathbb{R} \) (motiva e correggi quelle
false): (a) \(\sqrt {x^2} = x\); (b) \(\sqrt [3]{x^3} = x\); (c) \(\sqrt {x^2} = |x|\); (d) \(\sqrt {(x-3)^2} = x-3\).
9.
(Discussione.) Perché si pone \(\sqrt {a}\ge 0\) per convenzione, e non si ammette anche la radice
negativa? Discuti l’effetto sulla funzione radice \(f(x)=\sqrt {x}\) rispetto all’esigenza di univocità
(capitolo 44).
Il radicale \(\sqrt [n]{a}\) è il numero \(b\) tale che \(b^n = a\). Per \(n\) dispari è definito su tutto \(\mathbb{R} \) e conserva il segno
di \(a\); per \(n\) pari è definito solo per \(a\ge 0\) ed è per convenzione il valore non negativo.
Equazione vs radicale: \(x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3\), ma \(\sqrt {9}=3\) (solo positivo).
Identità chiave: \(\sqrt [n]{a^n}=|a|\) se \(n\) è pari, \(=a\) se \(n\) è dispari. È l’errore tipico “\(\sqrt {x^2}=x\)” a essere falso in generale.
Proprietà invariantiva: \(\sqrt [n]{a}=\sqrt [k\,n]{a^k}\) (con \(a\ge 0\), \(k\in \mathbb{N} ^*\)). Permette di semplificare radicali (dividere indice ed
esponente per il loro MCD) o di portarli allo stesso indice per confrontarli.
Trasporto fuori dalla radice: \(\sqrt [n]{a^n b} = a\,\sqrt [n]{b}\) (con \(a\ge 0\)). Per portar fuori il più possibile, si scompone il
radicando in fattori e si applicano divisioni euclidee degli esponenti per \(n\).
Trasporto dentro la radice: \(a\sqrt [n]{b}=\sqrt [n]{a^n b}\) per \(a\ge 0\); per \(a<0\) e \(n\) pari il segno resta fuori, \(a\sqrt [n]{b}=-\sqrt [n]{a^n b}\).
Confronto: due radicali si confrontano portandoli allo stesso indice (con la proprietà
invariantiva), poi confrontando i radicandi.
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