oppure casi più articolati che si riportano sempre a questo modello dopo essere stati portati
“tutto a sinistra, \(0\) a destra”.
L’errore più frequente è considerare le disequazioni fratte come le equazioni fratte: “moltiplico
per il denominatore e mi libero della frazione”. Questa mossa è vietata senza precauzioni, perché
moltiplicare entrambi i membri per una quantità di segno ignoto cambia il verso della
disuguaglianza. Ad esempio:
Infatti la prima è vera per \(x>0\) e falsa per \(x<0\), mentre la seconda è sempre vera. “Moltiplicando per \(x\)”
senza saperne il segno si perde questa informazione.
La tecnica corretta è una sola e si chiama studio del segno: si determina separatamente il segno
di \(N(x)\) e di \(D(x)\) in funzione di \(x\), e poi si combina con la regola dei segni del prodotto/quoziente. È un
metodo sistematico, sempre applicabile, che incontrerai in tutte le situazioni in cui occorre studiare
il segno di un’espressione algebrica — incluso il segno della derivata prima nello studio di funzione
(capitolo 139).
Nota — Disequazioni \(\ge \) e \(\le \): attenzione
Per \(\dfrac {N}{D}\ge 0\) si accetta anche il caso \(N=0\) (ma sempre con \(D\neq 0\)). Idem per \(\le 0\). Non si include \(D = 0\): il quoziente
non è definito.
Procedura — Risoluzione di una disequazione
fratta
1.
Forma normale: portare tutto al primo membro e ridurre allo stesso denominatore in
modo da avere \(\dfrac {N(x)}{D(x)}\square 0\).
2.
Studio di \(N(x)\): risolvere \(N(x)>0\). Si individuano gli intervalli in cui \(N\) è positivo, negativo, nullo.
3.
Studio di \(D(x)\): risolvere \(D(x)>0\). Si individuano gli intervalli in cui \(D\) è positivo, negativo (e si
esclude il caso \(D=0\)).
4.
Tabella dei segni: si rappresentano gli intervalli sulla retta reale, con i segni di \(N\) e \(D\) riga
per riga, e si calcola il segno di \(N/D\) riga per riga.
5.
Lettura: si selezionano gli intervalli che soddisfano il verso richiesto.
Esempio 54.1 — Caso elementare
Risolvere \(\dfrac {x-2}{x+1}\ge 0\).
Soluzione.
Numeratore: \(x-2\ge 0 \iff x\ge 2\). Quindi \(N>0\) per \(x>2\), \(N=0\) per \(x=2\), \(N<0\) per \(x<2\).
Denominatore: \(x+1>0 \iff x>-1\). Quindi \(D>0\) per \(x>-1\), \(D=0\) per \(x=-1\) (escluso!), \(D<0\) per \(x<-1\).
Vogliamo \(\tfrac {N}{D}\ge 0\): gli intervalli sono \(x<-1\) (dove è \(+\)), \(x = 2\) (dove è \(0\)), \(x>2\) (dove è \(+\)). Soluzione: \((-\infty , -1)\cup [2, +\infty )\).
(Notare: \(x=-1\) è escluso perché lì \(D=0\); \(x=2\) è incluso perché \(N=0\) è ammesso dal \(\ge \).)
Attenzione! — L’errore tipico: moltiplicare per il
denominatore
La tentazione di scrivere “\(\tfrac {x-2}{x+1}\ge 0 \iff x-2\ge 0 \iff x\ge 2\)” è sbagliata: la mossa equivale a moltiplicare per \(x+1\) senza sapere
il suo segno, dimenticando l’intervallo \(x<-1\) dove la disequazione è soddisfatta. Il metodo della
tabella dei segni è l’unico modo sicuro.
Figura 54.1: Rappresentazione grafica della tabella dei segni di \(\dfrac {x-2}{x+1}\ge 0\). In verde il segno di \(N\), in
arancio il segno di \(D\). In blu (sotto) la soluzione \(\tfrac {N}{D}\ge 0\): \(x<-1\) o \(x\ge 2\). Il pallino pieno su \(2\) indica che \(x=2\) è incluso
(lì \(N=0\)); il pallino vuoto su \(-1\) indica che \(x=-1\) è escluso (lì \(D=0\), non definita).
Quando \(N(x)\) e/o \(D(x)\) sono polinomi di grado superiore al primo (tipicamente secondo grado), si studia il
segno di ciascuno con le tecniche del capitolo precedente (53), e poi si combina nella tabella dei
segni.
Vogliamo \(N/D > 0\): intervalli \(-2<x<2\) (escludendo i bordi dove \(N=0\)) e \(x>3\) (escludendo \(3\) dove \(D\) non esiste). Soluzione: \((-2, 2)\cup (3, +\infty )\).
Ricondurre a forma standard
Quando la disequazione non è già scritta nella forma “\(\tfrac {N}{D}\square 0\)”, il primo passo è ridurla.
Numeratore \(3>0\) sempre. Denominatore \((x-2)(x+1) > 0 \iff x<-1 \lor x>2\) (regola sul prodotto: positivo dove entrambi i fattori
hanno lo stesso segno).
Vogliamo \(\tfrac {3}{D}\le 0\): \(D < 0\) (perché \(N=3>0\) sempre, mai zero). Quindi \((x-2)(x+1)<0 \iff -1<x<2\). Soluzione: \((-1, 2)\).
(Notare: nessuna soluzione “=0” perché \(N=3\) non si annulla. Gli estremi sono entrambi esclusi
perché lì \(D=0\).)
Numeratore \(-3<0\) sempre. Quindi \(\dfrac {-3}{D}<0 \iff D > 0 \iff x>-2\). Soluzione: \((-2, +\infty )\).
Esempio 54.7 — Numeratore sempre positivo
Risolvere \(\dfrac {x^2 + 1}{x-4}\ge 0\).
Soluzione. \(N = x^2+1 > 0\) per ogni \(x\) (mai zero, mai negativo). \(D = x-4\): \(D>0 \iff x>4\). Quindi \(N/D\) ha lo stesso segno di \(D\). \(N/D\ge 0\)
richiederebbe \(D > 0\) (l’uguale a zero non si raggiunge perché \(N\neq 0\)). Soluzione: \((4, +\infty )\).
Esempio 54.8 — Disequazione fratta con somma a
destra
Trova l’errore in questo “ragionamento”: “\(\dfrac {x-3}{x+2} > 0\), moltiplicando per \(x+2\): \(x-3>0\), da cui \(x>3\)”. Spiega cosa
è sbagliato e qual è la soluzione corretta.
8.
Un’espressione razionale fratta \(f(x) = \dfrac {P(x)}{Q(x)}\) è \(\ge 0\) in un intervallo che contiene un punto in cui \(Q\) si
annulla. Quel punto è incluso o escluso dalla soluzione? Perché?
9.
(Discussione.) Mostra che la disequazione \(\dfrac {1}{x-a}>\dfrac {1}{x-b}\) (con \(a<b\)) può essere risolta riconducendola a
forma normale e studiando un’unica frazione. Discuti il caso \(a=b\) (errore o triviale?).
Una disequazione fratta ha forma \(\dfrac {N(x)}{D(x)}\square 0\) (eventualmente da ridurre).
Mai moltiplicare per il denominatore se non se ne conosce il segno: il verso della
disuguaglianza può cambiare.
Tecnica corretta: studio del segno di \(N\) e \(D\) separati, tabella dei segni, lettura del segno
del quoziente con la regola dei segni della divisione.
Regola del quoziente: \(\dfrac {N}{D}>0\) se \(N\) e \(D\) concordi; \(<0\) se discordi; \(=0\) solo se \(N=0\) con \(D\neq 0\).
Punti critici: zeri di \(N\) (possono essere inclusi in \(\ge ,\le \), esclusi in \(>,<\)) e zeri di \(D\) (sempre esclusi).
Procedura: ridurre alla forma \(\tfrac {N}{D}\square 0\), studiare \(N>0\) e \(D>0\), costruire la tabella, leggere gli intervalli
che soddisfano la condizione richiesta.
Applicazioni: condizioni di esistenza di radicali con frazioni dentro, segno della
derivata, segno di funzioni razionali nello studio di funzione (capitolo 141).
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