“Condurre per ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili a conoscere,
per salire a poco a poco, come per gradi, fino alla conoscenza dei più composti.” — René Descartes, Discorso sul metodo
In molti problemi reali, una sola disequazione non è sufficiente a descrivere le condizioni richieste:
occorre soddisfare più vincoli contemporaneamente. Pensiamo a un terreno rettangolare di area
minima \(200\,{\mathrm{m} ^{2} }\) e perimetro massimo \(80\,{\mathrm{m} }\), o al budget di una scuola che deve coprire più tipi di spesa, o ancora
ai parametri di un farmaco la cui dose va tenuta sopra una soglia di efficacia ma sotto una soglia di
tossicità. In tutti questi casi, le condizioni del problema si traducono in un sistema di disequazioni,
e la soluzione del problema è l’insieme dei valori che soddisfano tutte le disequazioni del
sistema.
In questo capitolo definiamo i sistemi di disequazioni di primo grado, presentiamo la procedura
risolutiva (basata sull’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni) e introduciamo le
doppie disequazioni, che sono il caso particolare in cui la stessa espressione è confrontata
simultaneamente con due valori.
Nel Capitolo 23 abbiamo imparato a risolvere una singola disequazione di primo grado in una
incognita: il risultato è un sottoinsieme di \(\mathbb{R} \), tipicamente una semiretta o un intervallo. Quando le
disequazioni sono più di una, e devono essere soddisfatte tutte contemporaneamente, parliamo di
sistema.
Definizione 24.1 — Sistema di disequazioni
Un sistema di disequazioni in una incognita \(x\) è l’insieme di due o più disequazioni di
cui si cercano le soluzioni comuni, cioè i valori di \(x\) che soddisfano tutte le disequazioni
simultaneamente. Si scrive racchiudendo le disequazioni in una graffa:
La soluzione del sistema è l’intersezione degli insiemi soluzione delle singole
disequazioni:
\[ S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n , \]
dove \(S_i\) è l’insieme delle soluzioni della \(i\)-esima disequazione.
La parola chiave è intersezione: un valore \(x\) è soluzione del sistema se e solo se è soluzione di ogni
disequazione. Se anche una sola disequazione non è soddisfatta, \(x\) è escluso.
Attenzione!
Sistema di disequazioni \(\neq \) unione di disequazioni. L’intersezione corrisponde al “e”
logico (tutte le condizioni devono valere). L’unione, che corrisponderebbe al “oppure”
logico (almeno una delle condizioni deve valere), non si esprime con un sistema ma
scrivendo le condizioni separate da “oppure” o usando i collegamenti logici. Un sistema
impone sempre la richiesta simultanea di tutte le sue righe.
La procedura risolutiva di un sistema di disequazioni segue dalla definizione: si risolve ciascuna
disequazione separatamente, e poi si intersecano gli insiemi soluzione.
Procedura — Risoluzione di un sistema di
disequazioni
1.
Risolvi ciascuna disequazione del sistema separatamente, ottenendo gli insiemi
soluzione \(S_1, S_2, \dots , S_n\).
2.
Rappresenta ogni \(S_i\) su una retta numerica dedicata, segnando con tratto continuo
(o con campitura) la zona delle soluzioni.
3.
Affianca le rette numeriche (una sopra all’altra, con gli zeri allineati) per
visualizzare graficamente l’intersezione.
4.
Determina la zona di intersezione: è la regione in cui tutte le rette numeriche
segnano simultaneamente la presenza delle soluzioni.
5.
Scrivi l’insieme soluzione \(S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n\) usando la notazione algebrica (intervallo, semiretta,
oppure \(S = \varnothing \) se non esiste alcuna soluzione comune).
Casi particolari nel risultato
Il risultato di un sistema può assumere tre forme.
Soluzione non vuota: l’intersezione è un intervallo (limitato o illimitato), una semiretta,
oppure tutto \(\mathbb{R} \). È il caso tipico.
Soluzione vuota: \(S = \varnothing \). Le condizioni del sistema sono incompatibili fra loro: non esiste alcun
valore di \(x\) che le soddisfi tutte. Si dice che il sistema è impossibile.
Soluzione totale: \(S = \mathbb{R} \). Ogni numero reale soddisfa tutte le disequazioni. Si dice che il sistema
è indeterminato (o soddisfatto da ogni \(x \in \mathbb{R} \)). È un caso meno comune ma possibile.
Figura 24.1: Rappresentazione grafica della risoluzione di un sistema di due disequazioni. La
prima ha come insieme soluzione \(S_1: x > 1\), la seconda \(S_2: x < 4\). L’intersezione \(S = S_1 \cap S_2\) è l’intervallo aperto \(1 < x < 4\), segnato
dal tratto rosso sotto la riga separatrice.
Insiemi di soluzione: notazione
L’insieme delle soluzioni può essere scritto in più forme equivalenti. Per un sistema con soluzione \(1 < x < 4\):
forma con disuguaglianze: \(1 < x < 4\);
forma insiemistica: \(S = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x < 4\}\);
forma a intervallo: \(S = (1, 4)\) (intervallo aperto da \(1\) a \(4\)).
Le parentesi tonde indicano estremi esclusi; le quadre indicano estremi inclusi. Quindi \((1, 4]\) corrisponde a \(1 < x \leq 4\),
e \([1, 4]\) corrisponde a \(1 \leq x \leq 4\).
Un caso molto frequente di sistema, che merita un nome proprio, è quello in cui una stessa
espressione è confrontata simultaneamente con due valori.
Definizione 24.2 — Doppia disequazione
Una doppia disequazione è una scrittura della forma
\[ a \lessgtr f(x) \lessgtr b , \]
dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali (di solito \(a < b\)) e \(f(x)\) è un’espressione che dipende da \(x\). Una doppia
disequazione è equivalente al sistema
\[ \begin {cases} f(x) \lessgtr a \\ f(x) \lessgtr b \end {cases} \]
(con i due segni \(\lessgtr \) coerenti con la scrittura originale).
Per le doppie disequazioni esiste una scorciatoia: si possono operare le stesse trasformazioni su tutti
e tre i membri simultaneamente, finché si arriva a isolare \(x\) al centro. Le regole sono le stesse del
Capitolo 23:
si può sommare (o sottrarre) lo stesso numero a tutti e tre i membri;
si può moltiplicare (o dividere) tutti e tre i membri per uno stesso numero positivo senza
cambiare i versi;
se si moltiplica (o si divide) per un numero negativo, si invertono entrambi i versi delle
disuguaglianze.
Esempio 24.1 — Risoluzione diretta di una doppia
disequazione
Intersezione. La soluzione comune è l’insieme dei valori che soddisfano tutte e tre
le condizioni: \(x \leq 8\), \(x < 10\), \(x \geq -2\). La condizione \(x < 10\) è implicata da \(x \leq 8\) (un numero minore o uguale a \(8\) è
automaticamente minore di \(10\)): non aggiunge restrizioni. Restano \(x \geq -2\) e \(x \leq 8\):
Intersezione. Cerchiamo i valori \(x\) con \(x > 8\) e \(x < 4\). Non esiste alcun numero reale che sia
simultaneamente maggiore di \(8\) e minore di \(4\):
\[ S = S_1 \cap S_2 = \varnothing . \]
Il sistema è impossibile.
Esempio 24.5 — Sistema soddisfatto da ogni
\(x \in \mathbb{R} \)
I due metodi sono equivalenti; il primo è più rapido, il secondo è più sistematico e
robusto (specialmente se la doppia disequazione è complicata o coinvolge moltiplicazioni
per quantità di segno non noto).
Esercizio 24.1
1.
Risolvi i seguenti sistemi di due disequazioni, rappresentando graficamente le
soluzioni.
Risolvi le seguenti doppie disequazioni, usando il metodo che preferisci.
(a)
\(-3 < x + 2 < 7\);
(b)
\(1 \leq 2x - 5 \leq 9\);
(c)
\(-6 < 3 - 2x \leq 5\);
(d)
\(0 \leq \dfrac {x-1}{4} < 2\).
5.
Per ciascuna doppia disequazione del precedente esercizio, scrivi il sistema equivalente e
verifica che produce lo stesso insieme soluzione.
6.
Determina i valori di \(x\) per cui il numero \(2x - 3\) è simultaneamente positivo e minore di
\(11\).
7.
Un terreno rettangolare ha base \(30\,{\mathrm{m} }\) e altezza incognita \(x\) (in metri). Si vogliono determinare i
valori di \(x\) per cui l’area è compresa fra \(300\,{\mathrm{m} ^{2} }\) e \(600\,{\mathrm{m} ^{2} }\) (estremi inclusi).
(a)
Scrivi il sistema di disequazioni che modella la condizione.
(b)
Risolvi il sistema e interpreta il risultato.
8.
Un commerciante vuole acquistare un certo numero di articoli a \(15~€\) l’uno, spendendo non
meno di \(120~€\) e non più di \(300~€\).
(a)
Scrivi il sistema (o doppia disequazione) che modella la condizione, detta \(n\) la
quantità incognita.
(b)
Quanti articoli può acquistare?
9.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Un sistema di tre disequazioni può avere come soluzione un singolo punto.
(b)
Un sistema con tutte le disequazioni soddisfatte da ogni \(x \in \mathbb{R} \) è indeterminato.
(c)
Se l’insieme soluzione di una delle disequazioni è \(\varnothing \), allora anche il sistema è
impossibile.
(d)
Una doppia disequazione del tipo \(a \leq f(x) < b\) ha sempre come soluzione un intervallo del tipo
\([c, d)\).
10.
Per quali valori di \(k \in \mathbb{R} \) il sistema
\[ \begin {cases} x > 3 \\ x < k \end {cases} \]
ammette soluzioni? In tal caso, qual è l’insieme soluzione in funzione di \(k\)?
11.
Determina i valori di \(x \in \mathbb{R} \) per cui il numero \(\dfrac {2x + 1}{3}\) appartiene all’intervallo \(\left [ -1, 5 \right )\).
12.
Sia \(f(x) = 2x - 5\). Determina gli \(x\) per cui \(|f(x)| < 7\). (Suggerimento: anticipa il Capitolo 25, ricordando che \(|y| < c\)
equivale alla doppia disequazione \(-c < y < c\).)
13.
Risolvi il seguente sistema misto con parametro:
\[ \begin {cases} 2x - 1 > 3 \\ x + a \leq 5 \end {cases} \]
Un sistema di disequazioni è una raccolta di due o più disequazioni di cui si cercano
le soluzioni comuni: la soluzione del sistema è l’intersezione \(S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n\) degli insiemi soluzione
delle singole disequazioni.
La procedura risolutiva consiste nel risolvere ciascuna disequazione separatamente
e poi intersecare gli insiemi soluzione, tipicamente con l’aiuto di una rappresentazione
grafica con rette numeriche affiancate.
Tre casi possibili per il risultato:
soluzione non vuota (intervallo, semiretta, o \(\mathbb{R} \));
soluzione vuota (\(S = \varnothing \)): il sistema è impossibile;
soluzione totale (\(S = \mathbb{R} \)): il sistema è indeterminato.
Una doppia disequazione \(a \lessgtr f(x) \lessgtr b\) è equivalente al sistema delle due disequazioni \(f(x) \lessgtr a\) e \(f(x) \lessgtr b\). Si può
risolvere:
direttamente: operando le stesse trasformazioni su tutti e tre i membri (attenzione
all’inversione dei versi quando si moltiplica per un numero negativo);
come sistema: trasformandola in due disequazioni e procedendo per intersezione.
Notazione degli intervalli: parentesi tonde per estremi esclusi, quadre per estremi inclusi;
\(\mathbb{R} = (-\infty , +\infty )\).
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