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Capitolo 9
Potenze a esponente naturale e intero

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Il numero dei granelli di sabbia che potrebbero riempire l’universo non è infinito, e può essere scritto in forma compatta — purché si abbia il coraggio di immaginarlo.”

— adattamento da Archimede, Arenarius (iii sec. a.C.)

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9.1 Introduzione motivazionale

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Quando ripetiamo la stessa operazione tante volte di seguito, abbiamo bisogno di una scrittura che la riassuma. Per la somma di un numero ripetuto abbiamo il prodotto: \(7+7+7+7+7\) si scrive \(5\cdot 7\). Per il prodotto di un numero ripetuto serve un altro simbolo: nasce così la potenza.

Le potenze permettono di scrivere in poche cifre numeri altrimenti enormi: la popolazione mondiale, la massa della Terra, il numero di atomi in un grammo di idrogeno. Nel famoso Arenarius, Archimede dimostrò che si possono scrivere numeri ben più grandi del “numero dei granelli di sabbia dell’universo” — bastano una base e un esponente.

In questo capitolo introduciamo le potenze a esponente naturale, studiamo a fondo le loro proprietà — vere e proprie “regole di calcolo” che useremo in tutto il libro — ed estendiamo poi la definizione agli esponenti interi negativi. Chiudiamo con la notazione scientifica, lo strumento standard per scrivere numeri molto grandi o molto piccoli nelle scienze sperimentali.

9.2 Definizione di potenza

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Definizione 9.1 — Potenza a esponente naturale

Sia \(a\) un numero (in \(\mathbb{Z} \) o \(\mathbb{Q} \)) e \(n\in \mathbb{N} \) con \(n\ge 1\). Si chiama potenza di base \(a\) ed esponente \(n\) il numero

\[ a^n = \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n \text { fattori}}. \]

Il numero \(a\) si dice base e il numero \(n\) si dice esponente.

Esempio 9.1

Nota  — Lettura

\(a^n\) si legge “\(a\) alla \(n\)” oppure “\(a\) elevato alla \(n\)-esima potenza”. Casi particolari: \(a^2\) si chiama quadrato di \(a\), \(a^3\) cubo di \(a\).

Teorema 9.1 — Segno di una potenza

Per ogni \(a\neq 0\) e ogni \(n\ge 1\):

Dimostrazione (idea). Discende direttamente dalla regola dei segni del prodotto (capitolo 8): il segno del prodotto di \(n\) fattori uguali al segno di \(a\) è positivo se \(n\) è pari, negativo se \(n\) è dispari.

Attenzione!  — Parentesi e segno

Bisogna distinguere \((-2)^4\) da \(-2^4\):

\[ (-2)^4 = (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2) = +16, \]
\[ -2^4 = -(2^4) = -16. \]

Nel secondo caso la potenza riguarda solo il numero \(2\), e il segno meno resta esterno. Le parentesi non sono un dettaglio: cambiano il valore di verità del calcolo.

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Figura 9.1: Crescita di \(2^n\) per \(n=1,2,3,4,5\). La base \(2\) raddoppia il valore a ogni passo: \(2, 4, 8, 16, 32\). Per esponenti modesti il valore esplode rapidamente, fenomeno noto come crescita esponenziale.

9.3 Proprietà delle potenze stessa base e stesso esponente

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Le quattro proprietà che seguono permettono di semplificare prodotti, quozienti e potenze di numeri usando solo operazioni sugli esponenti.

Teorema 9.2 — Prodotto di potenze con la stessa base

Per ogni \(a\neq 0\) e ogni \(m,n\in \mathbb{N} \):

\[ a^m\cdot a^n = a^{m+n}. \]

Dimostrazione. A sinistra abbiamo \(\underbrace {a\cdots a}_{m}\cdot \underbrace {a\cdots a}_{n}\), in totale \(m+n\) fattori uguali ad \(a\), cioè \(a^{m+n}\).

Esempio 9.2

\(2^3\cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\).

Teorema 9.3 — Quoziente di potenze con la stessa base

Per ogni \(a\neq 0\) e ogni \(m,n\in \mathbb{N} \) con \(m\ge n\):

\[ a^m : a^n = a^{m-n}. \]

Dimostrazione. A numeratore \(m\) fattori \(a\), a denominatore \(n\); semplificando \(n\) di loro si resta con \(m-n\) fattori, ossia \(a^{m-n}\).

Esempio 9.3

\(10^7 : 10^3 = 10^{7-3} = 10^4 = 10\,000\).

Teorema 9.4 — Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Per ogni \(a, b\) e ogni \(n\in \mathbb{N} \):

\[ a^n\cdot b^n = (a\cdot b)^n. \]

Dimostrazione. Per la commutativa e l’associativa del prodotto, \(\underbrace {a\cdots a}_{n}\cdot \underbrace {b\cdots b}_{n} = \underbrace {(a\cdot b)\cdots (a\cdot b)}_{n} = (ab)^n\).

Esempio 9.4

\(2^4\cdot 5^4 = (2\cdot 5)^4 = 10^4 = 10\,000\) (calcolo immediato anziché \(16\cdot 625\)).

Teorema 9.5 — Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Per ogni \(a\), \(b\neq 0\) e ogni \(n\in \mathbb{N} \):

\[ a^n : b^n = \left (\frac {a}{b}\right )^n. \]

Esempio 9.5

\(\dfrac {12^3}{4^3} = \left (\dfrac {12}{4}\right )^3 = 3^3 = 27\).

9.4 Potenza di una potenza

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Teorema 9.6 — Potenza di potenza

Per ogni \(a\neq 0\) e ogni \(m,n\in \mathbb{N} \):

\[ \left (a^m\right )^n = a^{m\cdot n}. \]

Dimostrazione. \((a^m)^n\) è il prodotto di \(n\) fattori uguali ad \(a^m\); ciascuno è un prodotto di \(m\) fattori uguali ad \(a\). In totale: \(n\cdot m\) fattori uguali ad \(a\), cioè \(a^{mn}\).

Esempio 9.6

\((2^3)^4 = 2^{3\cdot 4} = 2^{12} = 4096\).

Attenzione!  — Non confondere con \(a^{m^n}\)

\((a^m)^n\) è diverso da \(a^{m^n}\): il primo significa \(a^{mn}\), il secondo significa \(a^{(m^n)}\), in cui l’esponente è esso stesso una potenza. Esempio:

\[ (2^3)^2 = 2^6 = 64, \qquad 2^{3^2} = 2^9 = 512. \]

Le parentesi (e l’ordine di lettura dall’alto al basso negli esponenti) cambiano completamente il risultato.

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Figura 9.2: Le cinque proprietà fondamentali delle potenze. In blu le proprietà “stessa base” (operano sugli esponenti); in verde quelle “stesso esponente” (operano sulle basi); in viola la regola della “potenza di potenza”.

9.5 Potenze a esponente zero e uno

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I casi limite \(n=1\) e \(n=0\) vanno fissati con convenzioni coerenti rispetto alle proprietà appena viste.

Definizione 9.2 — Esponente \(1\)

Per ogni \(a\): \(a^1 = a\). Una potenza con esponente \(1\) è il numero stesso.

Definizione 9.3 — Esponente \(0\)

Per ogni \(a\neq 0\): \(a^0 = 1\). Una potenza con esponente zero (e base non nulla) vale \(1\).

Nota  — Perché \(a^0=1\)

La definizione \(a^0=1\) non è arbitraria: serve a rendere coerente la proprietà del quoziente \(a^m:a^n=a^{m-n}\) quando \(m=n\). Infatti:

\[ \frac {a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0. \]

Ma il primo membro vale \(1\) (qualunque numero diviso per sé stesso, se non nullo); dunque deve essere \(a^0=1\).

Attenzione!  — Il caso \(0^0\)

La scrittura \(0^0\) non è definita in modo univoco: convenzionalmente si pone \(0^0=1\) in molti contesti (algebra, combinatoria, sviluppi di Taylor), ma in altri (limiti) compare come forma indeterminata. In questo libro la trattazione algebrica usa la convenzione \(0^0=1\); per il significato “analitico” rimandiamo al capitolo 128.

9.6 Potenze a esponente intero negativo

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Per dare significato a esponenti negativi ragioniamo come fatto per \(a^0\): estendere la regola del quoziente \(a^m:a^n=a^{m-n}\) anche al caso \(m<n\).

Definizione 9.4 — Esponente intero negativo

Per ogni \(a\neq 0\) e ogni \(n\in \mathbb{N} \) con \(n\ge 1\):

\[ a^{-n} = \frac {1}{a^n}. \]

La potenza con esponente intero negativo è il reciproco della potenza con esponente positivo opposto.

Nota  — Perché questa definizione

Vogliamo che continui a valere \(a^m:a^n=a^{m-n}\). Per esempio:

\[ \frac {a^3}{a^5} = \frac {a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} = \frac {1}{a^2}. \]

D’altra parte, \(a^3:a^5=a^{3-5}=a^{-2}\). Confrontando, deve essere \(a^{-2}=\tfrac {1}{a^2}\). La definizione è obbligata.

Esempio 9.7

Teorema 9.7 — Reciproco di una frazione elevata a potenza

Per ogni \(a,b\neq 0\) e ogni \(n\in \mathbb{Z} \):

\[ \left (\frac {a}{b}\right )^{-n} = \left (\frac {b}{a}\right )^n. \]

Dimostrazione. \(\left (\tfrac {a}{b}\right )^{-n}=\tfrac {1}{(a/b)^n}=\tfrac {1}{a^n/b^n}=\tfrac {b^n}{a^n}=\left (\tfrac {b}{a}\right )^n\).

Nota  — Tutte le proprietà restano valide

Con la definizione data, tutte e cinque le proprietà delle potenze viste sopra continuano a valere per esponenti interi qualunque (in \(\mathbb{Z} \), non solo \(\mathbb{N} \)). Le verificheremo in pratica negli esempi e negli esercizi.

9.7 Notazione scientifica

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Numeri molto grandi (la massa del Sole) o molto piccoli (il diametro di un atomo) sono scomodi da scrivere nella forma decimale ordinaria: contengono troppe cifre. La notazione scientifica li riscrive in modo compatto sfruttando le potenze di \(10\).

Definizione 9.5 — Notazione scientifica

Un numero \(x>0\) è scritto in notazione scientifica quando ha la forma

\[ x = a \cdot 10^n, \]

con \(1 \le a < 10\) (il coefficiente) e \(n\in \mathbb{Z} \) (l’ordine di grandezza). Per \(x<0\) si applica la stessa scrittura al modulo: \(x = -|a|\cdot 10^n\).

Procedura  — Convertire in notazione scientifica

1.
Si individua la prima cifra significativa del numero.
2.
Si sposta la virgola fino a metterla subito dopo la prima cifra: si ottiene il coefficiente \(a\) con \(1\le a<10\).
3.
Il numero di posizioni di cui si è spostata la virgola, con segno, è l’esponente \(n\): positivo se la virgola si è spostata verso sinistra (numero grande, \(\ge 10\)); negativo se si è spostata verso destra (numero piccolo, \(<1\)).

Esempio 9.8

Nota  — Ordine di grandezza

L’ordine di grandezza di un numero scritto in notazione scientifica \(a\cdot 10^n\) è \(10^n\). Confrontare ordini di grandezza permette di paragonare numeri anche molto diversi: la massa del Sole (\(\approx 2\cdot 10^{30}\,{\mathrm{kg} }\)) è circa \(2\cdot 10^{60}\) volte la massa di un elettrone (\(\approx 9\cdot 10^{-31}\,{\mathrm{kg} }\)): fra le due ci sono sessanta ordini di grandezza. Riprenderemo gli ordini di grandezza nei capitoli del libro di fisica.

9.8 Esempi svolti

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Esempio 9.9 — Calcolo con le 5 proprietà

Calcolare \(\dfrac {2^7\cdot 2^3}{2^5\cdot 4^2}\).

Soluzione. Per la proprietà del prodotto con la stessa base: \(2^7\cdot 2^3 = 2^{10}\). Al denominatore, \(4=2^2\) quindi \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\), e \(2^5\cdot 2^4 = 2^9\). Allora:

\[ \frac {2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2. \]

Esempio 9.10 — Esponenti negativi

Calcolare \(\left (\dfrac {2}{5}\right )^{-3}\cdot \left (\dfrac {2}{5}\right )^{5}\).

Soluzione. Per il prodotto a stessa base: \(\left (\tfrac {2}{5}\right )^{-3+5}=\left (\tfrac {2}{5}\right )^2=\tfrac {4}{25}\).

Esempio 9.11 — Riscrivere come potenza di una sola base

Riscrivere \(\dfrac {8^4\cdot 16^{-2}}{2^3}\) come potenza di \(2\).

Soluzione. Convertiamo tutto in base \(2\): \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\). Allora:

\[ \frac {(2^3)^4 \cdot (2^4)^{-2}}{2^3} = \frac {2^{12}\cdot 2^{-8}}{2^3} = \frac {2^{12-8}}{2^3} = \frac {2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2. \]

Esempio 9.12 — Confronto di ordini di grandezza

Stabilire se \(3{,}1\cdot 10^{17}\) è maggiore o minore di \(2{,}9\cdot 10^{18}\).

Soluzione. I due ordini di grandezza sono \(10^{17}\) e \(10^{18}\), dunque il secondo numero è “una decina di volte” più grande. In particolare:

\[ \frac {2{,}9\cdot 10^{18}}{3{,}1\cdot 10^{17}} = \frac {2{,}9}{3{,}1}\cdot 10^{18-17} \approx 0{,}94\cdot 10^1 \approx 9{,}4. \]

Il secondo è circa \(9{,}4\) volte il primo, quindi è maggiore.

Esempio 9.13 — Notazione scientifica e operazioni

Calcolare \((3\cdot 10^4)\cdot (2{,}5\cdot 10^{-2})\) esprimendo il risultato in notazione scientifica.

Soluzione. Sfruttiamo la commutativa e la proprietà del prodotto a stesso esponente:

\[ (3\cdot 2{,}5)\cdot 10^{4-2} = 7{,}5\cdot 10^{2}. \]

Poiché \(1\le 7{,}5<10\), è già in notazione scientifica. Il valore numerico è \(750\).

9.9 Esercizi proposti

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Esercizio 9.1

1.
Calcola, riducendo i risultati alla forma più semplice: (a) \(5^3\); (b) \((-3)^4\); (c) \(-3^4\); (d) \((-2)^5\); (e) \(\left (\dfrac {1}{2}\right )^4\); (f) \(\left (-\dfrac {2}{3}\right )^3\).
2.
Applica la proprietà del prodotto/quoziente con la stessa base: (a) \(3^4\cdot 3^2\); (b) \(7^5 : 7^3\); (c) \(5^6\cdot 5^{-2}\); (d) \(10^{-3}\cdot 10^7\); (e) \(\left (\dfrac {2}{3}\right )^4 : \left (\dfrac {2}{3}\right )^2\).
3.
Applica la proprietà del prodotto/quoziente con lo stesso esponente: (a) \(4^3\cdot 25^3\); (b) \(5^4\cdot 2^4\); (c) \(\dfrac {30^5}{6^5}\); (d) \(\dfrac {12^7}{4^7}\).
4.
Applica la proprietà della potenza di potenza: (a) \((2^3)^4\); (b) \((5^2)^{-3}\); (c) \(\left (\left (-\dfrac {1}{3}\right )^{-2}\right )^3\).
5.
Riscrivi come potenza di una sola base (la base più piccola possibile): (a) \(\dfrac {9^3\cdot 27^2}{3^5}\); (b) \(\dfrac {16\cdot 8^{-2}}{4^3}\); (c) \(\dfrac {25^{-1}\cdot 125}{5^4}\).
6.
Scrivi in notazione scientifica: (a) \(12 000\); (b) \(0.000725\); (c) \(3 000 000 000\); (d) \(0.0000049\).
7.
Riscrivi in notazione decimale ordinaria: (a) \(2{,}5\cdot 10^4\); (b) \(8\cdot 10^{-3}\); (c) \(1{,}7\cdot 10^{0}\); (d) \(4{,}1\cdot 10^{6}\).
8.
Esegui in notazione scientifica e dai il risultato sempre in notazione scientifica: (a) \((4\cdot 10^5)\cdot (2\cdot 10^3)\); (b) \((3\cdot 10^{-4})\cdot (6\cdot 10^7)\); (c) \(\dfrac {8\cdot 10^9}{2\cdot 10^4}\); (d) \((7\cdot 10^{-2})^2\).
9.
(Discussione.) Un compagno scrive \(a^m + a^n = a^{m+n}\), basandosi sull’analogia con il prodotto. Spiega perché è sbagliato e fornisci un controesempio numerico.

9.10 Riepilogo del capitolo

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