“
Le quattro operazioni — addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione — sono il fondamento di tutto il
calcolo: ciascuna conserva la propria utilità solo se governata dalle sue regole.”
— adattamento da Luca Pacioli, Summa de Arithmetica (1494)
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Nel capitolo precedente abbiamo conosciuto i tre insiemi numerici del biennio, \(\mathbb{N} \), \(\mathbb{Z} \) e \(\mathbb{Q} \). Ora studiamo a fondo le operazioni che possiamo eseguire al loro interno e le proprietà che le governano.
Conoscere le proprietà delle operazioni non è un esercizio formale: è la chiave per semplificare i calcoli e per giustificare correttamente ogni passaggio di un’espressione algebrica. Quando, fra qualche capitolo, lavoreremo con lettere al posto dei numeri (capitolo 16 e seguenti), saranno proprio queste proprietà a rendere lecito raccogliere un fattore comune, riordinare un polinomio, semplificare una frazione. Imparare ora a riconoscerle e a usarle correttamente è investire in tutto il resto del libro.
In questo capitolo passiamo in rassegna le proprietà delle quattro operazioni in \(\mathbb{N} \), \(\mathbb{Z} \) e \(\mathbb{Q} \), sistemiamo la regola dei segni, introduciamo la legge di annullamento del prodotto e formalizziamo l’ordine di esecuzione nelle espressioni numeriche.
Ricordiamo dal capitolo 7 che in \(\mathbb{N} \) sono chiuse (cioè danno sempre come risultato un naturale) le due operazioni addizione (\(+\)) e moltiplicazione (\(\cdot \)). Sottrazione e divisione non lo sono in generale: per questo le tratteremo a parte.
Teorema 8.1 — Proprietà di addizione e moltiplicazione in \(\mathbb{N} \)
Per ogni \(a,b,c\in \mathbb{N} \) valgono:
Nota — A che serve la commutativa
La proprietà commutativa permette di riordinare i termini di una somma o di un prodotto senza cambiare il risultato. Esempio: \(7+13+3 = 7+3+13 = 10+13 = 23\). Riordinare strategicamente permette spesso calcoli più veloci.
Nota — A che serve l’associativa
La proprietà associativa permette di raggruppare i termini come fa più comodo, senza cambiare il risultato. Esempio: \(25\cdot 4\cdot 7 = (25\cdot 4)\cdot 7 = 100\cdot 7 = 700\). Diventa essenziale quando si lavora con più di due numeri.
Nota — A che serve la distributiva
La proprietà distributiva collega somma e prodotto. Si usa in entrambe le direzioni:
La seconda lettura — il raccoglimento a fattor comune — sarà fondamentale nel calcolo letterale.
Attenzione! — Sottrazione e divisione: operazioni “derivate”
In \(\mathbb{N} \) la sottrazione \(a-b\) è definita solo se \(a\ge b\), e la divisione \(a:b\) solo se \(b\mid a\) con \(b\neq 0\). Inoltre né l’una né l’altra sono commutative o associative:
Lo stesso vale per la divisione: \(12:3\neq 3:12\), \((24:6):2 \neq 24:(6:2)\). Bisogna sempre rispettare l’ordine dei termini.
In \(\mathbb{Z} \) tutte le proprietà di \(\mathbb{N} \) continuano a valere, e in più viene aggiunta una nuova operazione chiusa.
Teorema 8.2 — Chiusura della sottrazione in \(\mathbb{Z} \)
Per ogni \(a,b\in \mathbb{Z} \), anche \(a-b\in \mathbb{Z} \).
La sottrazione si interpreta come somma con l’opposto: \(a-b = a+(-b)\). Da questa identità segue una rilettura comoda: in \(\mathbb{Z} \) esistono solo somme e prodotti, perché ogni sottrazione si riscrive come somma.
Teorema 8.3 — Esistenza dell’opposto
Per ogni \(a\in \mathbb{Z} \) esiste un unico \(-a\in \mathbb{Z} \) tale che \(a+(-a)=0\). Si chiama opposto di \(a\).
L’opposto di \(0\) è \(0\) stesso; l’opposto di un naturale \(n>0\) è il negativo \(-n\); l’opposto di \(-n\) è \(n\). In simboli: \(-(-a)=a\).
Teorema 8.4 — Regola dei segni nel prodotto
Per ogni \(a,b\in \mathbb{Z} \) valgono:
In altre parole: il prodotto di due numeri concordi è positivo, di due discordi è negativo.
Dimostrazione (idea). Dalla distributiva si ricava \(0=0\cdot b=(a+(-a))\cdot b=a\cdot b+(-a)\cdot b\), dunque \((-a)\cdot b=-(a\cdot b)\). Analogamente \(a\cdot (-b)=-(a\cdot b)\). Combinando: \((-a)\cdot (-b)=-(a\cdot (-b))=-(-(a\cdot b))=a\cdot b\). La regola dei segni non è una convenzione arbitraria, ma una conseguenza della distributiva.
Esempio 8.1
In generale: il segno del prodotto è positivo se i fattori negativi sono in numero pari, negativo se sono in numero dispari.
Teorema 8.5 — Legge di annullamento del prodotto
Per ogni \(a,b\in \mathbb{Z} \) (e analogamente in \(\mathbb{Q} \), \(\mathbb{R} \)),
Dimostrazione. (\(\Leftarrow \)) Se \(a=0\) allora \(a\cdot b=0\cdot b=0\) (annullamento). Idem se \(b=0\).
(\(\Rightarrow \)) Supponiamo \(a\neq 0\) e mostriamo che \(b=0\). Da \(a\cdot b=0\) e \(a\neq 0\), in \(\mathbb{Q} \) possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(\tfrac {1}{a}\) ottenendo \(b=0\).
Attenzione! — Una proprietà che useremo molto
La legge di annullamento del prodotto è il cuore di tutto il procedimento di scomposizione e risoluzione di equazioni: quando ci troveremo a risolvere \((x-2)(x+3)=0\) scriveremo subito \(x-2=0\) oppure \(x+3=0\). È solo grazie alla legge di annullamento che questo passaggio è lecito. La rivedremo in modo sistematico nei capitoli 19 e 49.
In \(\mathbb{Q} \) tutte le proprietà viste in \(\mathbb{Z} \) continuano a valere, e si aggiunge la chiusura della divisione per un divisore non nullo.
Teorema 8.6 — Chiusura della divisione in \(\mathbb{Q} \)
Per ogni \(a\in \mathbb{Q} \) e ogni \(b\in \mathbb{Q} \) con \(b\neq 0\), anche \(a:b\in \mathbb{Q} \).
Teorema 8.7 — Esistenza dell’inverso
Per ogni \(a\in \mathbb{Q} \) con \(a\neq 0\), esiste un unico \(a^{-1}\in \mathbb{Q} \) (detto inverso o reciproco di \(a\)) tale che \(a\cdot a^{-1}=1\).
Se \(a=\tfrac {p}{q}\) in forma ridotta, l’inverso è \(a^{-1}=\tfrac {q}{p}\). Si nota subito che il numero \(0\) è l’unico privo di inverso: non esiste alcun razionale \(x\) con \(0\cdot x=1\).
Attenzione! — Divisione per zero: impossibile
La scrittura \(\tfrac {a}{0}\) non è definita in nessun insieme numerico, neppure in \(\mathbb{R} \) o in \(\mathbb{C} \). Non si tratta di un valore “troppo grande”: è proprio un’operazione priva di significato. Vedremo l’analisi dettagliata di questa impossibilità nello studio dei limiti (capitolo 128), dove l’espressione \(\tfrac {a}{0}\) si manifesterà come asintoto verticale per le funzioni.
In \(\mathbb{Q} \), la divisione si può sempre interpretare come prodotto per l’inverso: \(a:b = a\cdot b^{-1}\) (per \(b\neq 0\)). Questo riduce, anche qui, tutta l’aritmetica a sole somme e prodotti.
Nota — Le proprietà invariantive
Due regole molto utili in \(\mathbb{Q} \):
La seconda è esattamente il principio della semplificazione di una frazione: \(\tfrac {12}{18}=\tfrac {12:6}{18:6}=\tfrac {2}{3}\).
Esempio 8.2 — Operazioni con razionali
Calcolare \(\displaystyle \frac {2}{3}-\frac {5}{6}+\frac {1}{2}\).
Soluzione. Si porta tutto al minimo comune denominatore (qui \(6\)):
L’ultima semplificazione usa la proprietà invariantiva della divisione (divisione per \(2\)). Le operazioni con le frazioni saranno trattate nel dettaglio nel capitolo 12.
Quando in un’espressione compaiono più operazioni, l’ordine in cui si eseguono cambia il risultato. Per evitare ambiguità si fissano regole di precedenza.
Procedura — Ordine di esecuzione (precedenze)
In un’espressione numerica, dove non vi siano parentesi a forzare un ordine diverso, si esegue:
Le parentesi hanno precedenza assoluta: si eseguono prima ciò che è racchiuso nelle parentesi più interne, poi via via verso l’esterno, secondo la convenzione tonde \((\,)\), quadre \([\,]\), graffe \(\{\,\}\).
Esempio 8.3 — Importanza delle parentesi
Le parentesi cambiano completamente il risultato perché alterano l’ordine di esecuzione.
Attenzione! — Sottrazione e divisione da sinistra a destra
Quando in una sequenza di soli operatori dello stesso livello (per esempio \(:\) e \(\cdot \), oppure \(+\) e \(-\)) si applica la regola da sinistra a destra:
Mettiamo insieme tutto ciò che abbiamo visto per imparare a calcolare espressioni numeriche complesse.
Procedura — Calcolo di un’espressione
Esempio 8.4 — Espressione in \(\mathbb{Z} \)
Calcolare \(\bigl (\,4 + (-3)\cdot 2\,\bigr ) - \bigl (\,(-6):(-2)\,\bigr )\).
Soluzione. Cominciamo dalle parentesi tonde.
Sostituendo: \(-2 - 3 = -5\). Quindi il risultato è \(-5\).
Esempio 8.5 — Espressione in \(\mathbb{Q} \)
Calcolare \(\displaystyle \frac {3}{4}\cdot \left (\frac {2}{3}-\frac {1}{6}\right )+\frac {1}{2}\).
Soluzione. Si esegue prima la parentesi tonda. Minimo comune denominatore \(6\):
Si esegue poi la moltiplicazione:
Infine la somma:
Il risultato è \(\tfrac {7}{8}\).
Esempio 8.6 — Calcolo strategico con la commutativa
Calcolare \(\;7+18+13+22\;\) sfruttando le proprietà delle operazioni.
Soluzione. Per la commutativa si possono riordinare i termini, accoppiando quelli che danno somme “rotonde”:
L’idea è cercare coppie la cui somma sia un multiplo di \(10\).
Esempio 8.7 — Raccoglimento a fattor comune
Calcolare \(\;47\cdot 26+47\cdot 74\;\) sfruttando la distributiva.
Soluzione.
Senza la distributiva avremmo dovuto eseguire due moltiplicazioni a tre cifre, ben più lunghe.
Esempio 8.8 — Segno di un prodotto di più fattori
Determinare il segno di \(\;(-2)\cdot (-3)\cdot (-5)\cdot (+4)\cdot (-1)\;\) senza calcolare il valore.
Soluzione. Contiamo i fattori negativi: \(-2\), \(-3\), \(-5\), \(-1\), cioè quattro. Un numero pari di fattori negativi dà segno positivo. Il prodotto è dunque positivo. (Valore: \(120\).)
Esempio 8.9 — Espressione con parentesi annidate
Calcolare \(\;\bigl \{\,3+\bigl [\,2\cdot (5-3)+1\,\bigr ]\,\bigr \}\cdot 2\).
Soluzione. Si va dal di dentro al di fuori.
Il risultato è \(16\).
Esempio 8.10 — Annullamento del prodotto
Per quali \(x\in \mathbb{R} \) si ha \((x-3)(x+5)=0\)?
Soluzione. Per la legge di annullamento del prodotto, \((x-3)(x+5)=0\) se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo:
cioè \(x=3\) oppure \(x=-5\). Le soluzioni sono \(\{3,-5\}\). È esattamente la strategia che useremo per risolvere equazioni di secondo grado scomposte (capitolo 49).
Esercizio 8.1
Riepilogo
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