13 Numeri decimali limitati e periodici

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Capitolo 13
Numeri decimali limitati e periodici

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Con le frazioni decimali si possono eseguire tutti i calcoli necessari servendosi solo di moltiplicazioni e divisioni per le potenze di dieci.”

— adattamento da Simon Stevin, De Thiende (1585)

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13.1 Introduzione motivazionale

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Quando dividiamo $1$ per $4$ con la divisione in colonna otteniamo $0{,}25$: un numero decimale finito, che si scrive in un numero limitato di cifre dopo la virgola. Quando però dividiamo $1$ per $3$, otteniamo $0{,}333\ldots $: le cifre si ripetono all’infinito. E dividendo $1$ per $7$ si scopre una sequenza ancora più curiosa: $0{,}142857\,142857\,142857\ldots $, in cui sei cifre si ripetono ciclicamente per sempre.

Cosa decide se una frazione “si chiude” in poche cifre oppure si ripete? La risposta, sorprendentemente semplice, sta nella scomposizione in fattori primi del denominatore (capitolo 11). E c’è anche il problema inverso: dato un decimale periodico, come si trova la frazione che lo genera?

In questo capitolo studiamo a fondo il legame fra frazioni e numeri decimali: classifichiamo i decimali (finiti, periodici semplici, periodici misti), enunciamo la regola che permette di prevederne il tipo a partire dal denominatore, e impariamo a calcolare la frazione generatrice di un decimale periodico. Lungo il cammino incontreremo per la prima volta l’idea — che svilupperemo nel capitolo 15 — di numero irrazionale: un decimale infinito non periodico.

13.2 Frazione decimale e numero decimale finito

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Definizione 13.1 — Frazione decimale

Una frazione $\tfrac {a}{b}$ si dice decimale se il suo denominatore $b$ è una potenza di $10$:

\[ b = 10^n \quad \text {con } n\in \mathbb{N} . \]

Esempi: $\tfrac {3}{10}$, $\tfrac {27}{100}$, $\tfrac {1\,247}{1\,000}$.

Le frazioni decimali sono particolarmente comode perché si scrivono direttamente come numeri decimali: basta spostare la virgola di tante posizioni quante sono le cifre dello zero al denominatore.

Esempio 13.1

\[ \frac {3}{10}=0{,}3,\qquad \frac {27}{100}=0{,}27,\qquad \frac {1\,247}{1\,000}=1{,}247. \]

Teorema 13.1 — Caratterizzazione dei decimali finiti

Una frazione $\tfrac {a}{b}$ ridotta ai minimi termini (cioè con $\operatorname{MCD} (a,b)=1$) genera un decimale finito se e solo se il denominatore $b$ ha come fattori primi solo $2$ e $5$:

\[ b = 2^h\cdot 5^k, \quad h,k\in \mathbb{N} . \]

Dimostrazione (idea). Se $b = 2^h\cdot 5^k$, possiamo “equilibrarlo” moltiplicando numeratore e denominatore per quello che manca per arrivare a $10^{\max (h,k)}$. Esempio: $\tfrac {3}{8}=\tfrac {3}{2^3}=\tfrac {3\cdot 5^3}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac {375}{1\,000}=0{,}375$.

Viceversa, se $b$ contiene un primo $p\notin \{2,5\}$, non c’è modo di trasformarlo in una potenza di $10$ moltiplicando per qualcosa di intero: $p$ non scomparirà mai. La divisione $a:b$ non termina e dà un periodico (lo vedremo a breve).

Esempio 13.2 — Riconoscere un decimale finito

$\tfrac {7}{40}$: denominatore $40 = 2^3\cdot 5$. Solo fattori $2$ e $5$: decimale finito. Calcolo: $\tfrac {7}{40}=\tfrac {7\cdot 25}{40\cdot 25}=\tfrac {175}{1\,000}=0{,}175$.
$\tfrac {4}{15}$: denominatore $15=3\cdot 5$. C’è il fattore $3$: non è finito.
$\tfrac {9}{160}$: $160=2^5\cdot 5$. Solo $2$ e $5$: finito.

Attenzione! — Ridurre prima ai minimi termini

La regola vale per frazioni già ridotte. Per esempio $\tfrac {6}{15}$ ha denominatore con il fattore $3$, ma una volta semplificata diventa $\tfrac {2}{5}=0{,}4$, decimale finito. La regola va applicata alla forma ridotta.

13.3 Numeri decimali periodici semplici

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Definizione 13.2 — Decimale periodico semplice

Un numero decimale si dice periodico semplice se, subito dopo la virgola, presenta un gruppo di cifre che si ripete indefinitamente. Tale gruppo di cifre si chiama periodo e si indica con una barra (oppure con parentesi tonde):

\[ 0{,}\overline {3} = 0{,}3333\ldots ,\quad 0{,}\overline {142857} = 0{,}142857\,142857\ldots \]

Teorema 13.2 — Caratterizzazione

Una frazione $\tfrac {a}{b}$ ridotta ai minimi termini genera un decimale periodico semplice se e solo se il denominatore $b$ è coprimo con $10$ (cioè non ha fra i suoi fattori primi né $2$ né $5$):

\[ \operatorname{MCD} (b,10) = 1. \]

Esempio 13.3

$\tfrac {1}{3}$: $b=3$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac {1}{3}=0{,}\overline {3}$.
$\tfrac {1}{7}$: $b=7$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac {1}{7}=0{,}\overline {142857}$ (periodo di lunghezza $6$).
$\tfrac {5}{11}$: $b=11$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac {5}{11}=0{,}\overline {45}$.

Nota — Lunghezza del periodo

Si può dimostrare che la lunghezza del periodo di $\tfrac {1}{n}$ (con $\operatorname{MCD} (n,10)=1$) divide $\varphi (n)$, dove $\varphi $ è la funzione di Eulero. Per i casi più semplici basta provare: $\tfrac {1}{3}$ ha periodo $1$, $\tfrac {1}{7}$ ha periodo $6$, $\tfrac {1}{11}$ ha periodo $2$, $\tfrac {1}{13}$ ha periodo $6$. Approfondiremo questi argomenti in un futuro modulo di teoria dei numeri.

[Picture] — Figura 13.1: Ciclo dei resti nella divisione $1:7$. Partendo da resto $1$ (dividendo iniziale), la divisione produce in sequenza i resti $1,3,2,6,4,5$ e poi torna a $1$: a quel punto le cifre del quoziente cominciano a ripetersi. La lunghezza del ciclo è $6$, quindi $\tfrac {1}{7}$ ha periodo di lunghezza $6$.

13.4 Numeri decimali periodici misti

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Definizione 13.3 — Decimale periodico misto

Un numero decimale si dice periodico misto se, fra la virgola e l’inizio del periodo, compaiono una o più cifre che non si ripetono. Tali cifre formano l’antiperiodo.

\[ 0{,}1\overline {6} = 0{,}16666\ldots \qquad \text {(antiperiodo $1$, periodo $6$).} \]

Teorema 13.3 — Caratterizzazione

Una frazione $\tfrac {a}{b}$ ridotta ai minimi termini genera un decimale periodico misto se e solo se il denominatore $b$ contiene fra i suoi fattori primi sia il $2$ o il $5$ sia almeno un altro primo:

\[ b = 2^h\cdot 5^k \cdot m, \quad \text {con } h+k\ge 1 \text { e } m>1 \text { coprimo con } 10. \]

La lunghezza dell’antiperiodo è $\max (h,k)$.

Esempio 13.4

$\tfrac {1}{6}$: $b=6=2\cdot 3$. C’è $2$ ma anche $3$: periodico misto. Calcolo: $\tfrac {1}{6}=0{,}1\overline {6}$, antiperiodo $1$, periodo $6$.
$\tfrac {5}{12}$: $b=12=2^2\cdot 3$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max (2,0)=2$. Calcolo: $\tfrac {5}{12}=0{,}41\overline {6}$.
$\tfrac {7}{30}$: $b=30=2\cdot 3\cdot 5$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max (1,1)=1$. Calcolo: $\tfrac {7}{30}=0{,}2\overline {3}$.

13.5 Frazione generatrice di un decimale periodico

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Il problema inverso — dato un numero decimale, ricostruire la frazione che lo genera — è interessante per ogni tipo di decimale. Per i finiti è facile, per i periodici serve una regola un po’ più astuta.

Procedura — Decimale finito $\to $ frazione

Dato $0{,}a_1 a_2\ldots a_n$ (cifre dopo la virgola), la frazione corrispondente è

\[ \frac {a_1 a_2\ldots a_n}{10^n}, \]

poi semplificata ai minimi termini.

Esempio 13.5

$0{,}175 = \dfrac {175}{1\,000} = \dfrac {175 : 25}{1\,000 : 25} = \dfrac {7}{40}$.

Teorema 13.4 — Frazione generatrice di un decimale periodico semplice

La frazione generatrice del decimale periodico semplice $0{,}\overline {p}$ (dove $p$ è un gruppo di $n$ cifre) è

\[ 0{,}\overline {p} = \frac {p}{\underbrace {99\ldots 9}_{n \text { nove}}}. \]

Più in generale, $i{,}\overline {p}$ (parte intera $i$) ha generatrice $i + \tfrac {p}{99\ldots 9}$.

Dimostrazione. Sia $x=0{,}\overline {p}$ con $p$ di $n$ cifre. Moltiplichiamo per $10^n$, che “sposta” la virgola di $n$ posti:

\[ 10^n\cdot x = p{,}\overline {p}. \]

Sottraendo $x$ a entrambi i membri:

\[ 10^n\cdot x - x = p{,}\overline {p} - 0{,}\overline {p} = p, \]

da cui $x(10^n - 1) = p$, cioè $x = \tfrac {p}{10^n - 1} = \tfrac {p}{99\ldots 9}$ ($n$ nove).

Esempio 13.6

$0{,}\overline {3} = \dfrac {3}{9} = \dfrac {1}{3}$.
$0{,}\overline {45} = \dfrac {45}{99} = \dfrac {5}{11}$.
$0{,}\overline {142857} = \dfrac {142\,857}{999\,999} = \dfrac {1}{7}$.

Teorema 13.5 — Frazione generatrice di un decimale periodico misto

La frazione generatrice del decimale periodico misto $0{,}a\overline {p}$, dove $a$ è l’antiperiodo (di $m$ cifre) e $p$ è il periodo (di $n$ cifre), è

\[ 0{,}a\overline {p} = \frac {a p - a}{\underbrace {99\ldots 9}_{n \text { nove}}\,\underbrace {00\ldots 0}_{m \text { zeri}}}, \]

dove $ap$ è il numero formato concatenando le cifre di $a$ e $p$, e $a$ è il numero formato dalle sole cifre di antiperiodo.

Dimostrazione. Sia $x=0{,}a\overline {p}$. Moltiplicando per $10^m$:

\[ 10^m\cdot x = a{,}\overline {p}. \]

$a{,}\overline {p}$ è un periodico semplice (con parte intera $a$). Per il teorema precedente: $a{,}\overline {p} = a + \tfrac {p}{10^n - 1}$. Quindi

\[ 10^m\cdot x = a + \frac {p}{10^n - 1} = \frac {a(10^n - 1)+p}{10^n - 1} = \frac {a\cdot 10^n - a + p}{10^n - 1} = \frac {ap - a}{10^n - 1}, \]

dove abbiamo riconosciuto $a\cdot 10^n + p$ come il numero “ap” concatenato. Dividendo per $10^m$:

\[ x = \frac {ap - a}{(10^n - 1)\cdot 10^m} = \frac {ap - a}{99\ldots 9\,00\ldots 0}\quad (n\text { nove},\ m\text { zeri}). \]

Procedura — Frazione generatrice — regola pratica

Per un decimale periodico misto della forma $0{,}\underbrace {a\ldots a}_{\text {antiperiodo}}\,\overline {\underbrace {p\ldots p}_{\text {periodo}}}$:

1.: Numeratore: si scrive il numero ottenuto leggendo antiperiodo + periodo (concatenati) e si sottrae il numero formato dal solo antiperiodo.
2.: Denominatore: si scrivono tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti $0$ quante sono le cifre dell’antiperiodo.
3.: Si semplifica ai minimi termini.

Esempio 13.7

$0{,}1\overline {6}$: antiperiodo “$1$” (1 cifra), periodo “$6$” (1 cifra).

\[ \text {numeratore: } 16 - 1 = 15, \qquad \text {denominatore: } 90. \]

$0{,}1\overline {6} = \dfrac {15}{90} = \dfrac {1}{6}$. $\checkmark$

Esempio 13.8

$0{,}41\overline {6}$: antiperiodo “$41$” (2 cifre), periodo “$6$” (1 cifra).

\[ \text {numeratore: } 416 - 41 = 375, \qquad \text {denominatore: } 900. \]

$0{,}41\overline {6} = \dfrac {375}{900} = \dfrac {5}{12}$. $\checkmark$

13.6 Numeri decimali non periodici: cenno agli irrazionali

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Abbiamo visto che ogni razionale, scritto in forma decimale, è finito o periodico. È vero anche il viceversa: ogni decimale finito o periodico è razionale (basta calcolarne la frazione generatrice).

Sorge spontanea la domanda: esistono decimali infiniti non periodici?

Esempio 13.9 — Un decimale costruito ad hoc

Consideriamo il numero

\[ x = 0{,}1\,01\,001\,0001\,00001\,000001\,\ldots \]

in cui dopo ogni $1$ si aggiunge uno zero in più del precedente. Le cifre non si ripetono mai con un periodo costante: $x$ è un decimale infinito non periodico. Per quanto detto, non può essere razionale.

Nota — Esistono dunque numeri non razionali

I numeri di questo tipo si chiamano irrazionali. Sono i numeri reali che non si possono scrivere come $\tfrac {a}{b}$. Esempi famosi: $\sqrt {2}$ (la cui irrazionalità abbiamo dimostrato nel capitolo 6), $\sqrt {3}$, $\pi $, $e$. Per essi, la rappresentazione decimale è infinita e non si stabilisce mai una struttura ciclica.

Razionali $\mathbb{Q} $ + irrazionali = numeri reali $\mathbb{R} $. Approfondiremo questa estensione nel capitolo 15.

Nota — Il caso curioso $0{,}\overline {9}$

La frazione generatrice di $0{,}\overline {9}$ secondo la nostra regola è

\[ 0{,}\overline {9} = \frac {9}{9} = 1. \]

È un’identità: $0{,}9999\ldots = 1$, esattamente. Non è “circa $1$”: è $1$. La cosa è meno scandalosa di quanto sembri, e ha a che fare con i limiti: la somma $0{,}9+0{,}09+0{,}009+\cdots $ tende a $1$ all’aumentare dei termini. Riprenderemo l’argomento nel capitolo 127.

13.7 Esempi svolti

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Esempio 13.10 — Classificare senza dividere

Stabilire se le seguenti frazioni generano decimali finiti, periodici semplici o misti: (a) $\tfrac {3}{8}$; (b) $\tfrac {2}{15}$; (c) $\tfrac {7}{11}$; (d) $\tfrac {11}{50}$; (e) $\tfrac {5}{36}$.

Soluzione. Tutte sono già ridotte. Guardiamo la scomposizione del denominatore:

(a) $8 = 2^3$: solo $2$. Finito.
(b) $15 = 3\cdot 5$: c’è $5$ e c’è $3$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max (0,1)=1$.
(c) $11$: nessun $2$ né $5$. Periodico semplice.
(d) $50 = 2\cdot 5^2$: solo $2$ e $5$. Finito.
(e) $36 = 2^2\cdot 3^2$: c’è $2$ e c’è $3$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max (2,0)=2$.

Esempio 13.11 — Conversione frazione $\to $ decimale

Trasformare in decimale $\tfrac {9}{16}$.

Soluzione. $16=2^4$: decimale finito. “Equilibriamo” a una potenza di $10$:

\[ \frac {9}{16} = \frac {9}{2^4} = \frac {9\cdot 5^4}{2^4\cdot 5^4} = \frac {9\cdot 625}{10\,000} = \frac {5\,625}{10\,000} = 0{,}5625. \]

Esempio 13.12 — Frazione generatrice di un periodico semplice

Calcolare la frazione generatrice di $0{,}\overline {27}$.

Soluzione. Periodo $27$ (2 cifre): $0{,}\overline {27}=\tfrac {27}{99}=\tfrac {3}{11}$.

Esempio 13.13 — Frazione generatrice di un periodico misto

Calcolare la frazione generatrice di $2{,}5\overline {83}$.

Soluzione. Parte intera $2$, parte decimale $0{,}5\overline {83}$. La parte decimale: antiperiodo “$5$” ($m=1$), periodo “$83$” ($n=2$). Numeratore: $583-5=578$. Denominatore: $\underbrace {99}_{2\text { nove}}\underbrace {0}_{1\text { zero}}=990$. Quindi $0{,}5\overline {83}=\tfrac {578}{990}=\tfrac {289}{495}$.

Sommando la parte intera: $2{,}5\overline {83} = 2 + \tfrac {289}{495} = \tfrac {2\cdot 495 + 289}{495} = \tfrac {1\,279}{495}$.

Esempio 13.14 — Decimale con periodo lungo

Calcolare i primi $6$ valori decimali di $\tfrac {1}{13}$. Determinare il periodo.

Soluzione. Divisione in colonna di $1:13$:

\begin{align*} 1{,}\,0 &= 13\cdot 0 + 10, \\ 10{,}\,0 &= 13\cdot 7 + 9, \\ 9{,}\,0 &= 13\cdot 6 + 12, \\ 12{,}\,0 &= 13\cdot 9 + 3, \\ 3{,}\,0 &= 13\cdot 2 + 4, \\ 4{,}\,0 &= 13\cdot 3 + 1. \end{align*}

Tornati al resto $1$ (di partenza), il ciclo si chiude. Periodo di lunghezza $6$: $\tfrac {1}{13}=0{,}\overline {076923}$.

13.8 Esercizi proposti

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Esercizio 13.1

1.: Stabilisci, senza fare le divisioni, se le seguenti frazioni generano un decimale finito, periodico semplice o misto (riducendole prima ai minimi termini se necessario): (a) $\tfrac {3}{8}$; (b) $\tfrac {5}{6}$; (c) $\tfrac {7}{50}$; (d) $\tfrac {4}{9}$; (e) $\tfrac {12}{75}$; (f) $\tfrac {17}{40}$; (g) $\tfrac {3}{14}$; (h) $\tfrac {9}{125}$.
2.: Trasforma in decimale (senza calcolatrice): (a) $\tfrac {3}{4}$; (b) $\tfrac {1}{8}$; (c) $\tfrac {7}{20}$; (d) $\tfrac {11}{16}$; (e) $\tfrac {1}{125}$.
3.: Trasforma in frazione (decimale finito): (a) $0{,}4$; (b) $0{,}25$; (c) $1{,}125$; (d) $0{,}0625$; (e) $3{,}8$.
4.: Trova la frazione generatrice (periodici semplici): (a) $0{,}\overline {1}$; (b) $0{,}\overline {6}$; (c) $0{,}\overline {27}$; (d) $0{,}\overline {142857}$; (e) $1{,}\overline {2}$; (f) $0{,}\overline {18}$.
5.: Trova la frazione generatrice (periodici misti): (a) $0{,}1\overline {6}$; (b) $0{,}41\overline {6}$; (c) $0{,}1\overline {27}$; (d) $1{,}2\overline {3}$; (e) $0{,}08\overline {3}$; (f) $2{,}5\overline {83}$.
6.: Calcola, riducendo i risultati a frazione e poi a decimale: (a) $0{,}\overline {6} + 0{,}\overline {3}$; (b) $0{,}\overline {2}\cdot 0{,}\overline {3}$; (c) $\tfrac {1}{3} + \tfrac {1}{2}$ — scrivi il risultato come decimale e classifica il tipo.
7.: Mostra (riconducendoti ai casi visti nelle dimostrazioni) che $\tfrac {1}{99}=0{,}\overline {01}$. E $\tfrac {1}{999}$?
8.: Sia $x=0{,}\overline {a_1 a_2}$ con $a_1, a_2 \in \{0,1,\ldots ,9\}$, non entrambi nulli. Mostra che il denominatore della frazione generatrice ridotta divide $99$.
9.: (Discussione.) È vero che $0{,}\overline {9}=1$? Convinci un compagno scettico fornendo almeno due argomenti diversi.

13.9 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Una frazione decimale ha denominatore potenza di $10$: si converte subito in numero decimale finito spostando la virgola.
Data $\tfrac {a}{b}$ ridotta ai minimi termini, il tipo di decimale dipende dalla scomposizione di $b$:
- solo fattori $2$ e $5$ $\Rightarrow $ finito;
- nessun $2$ né $5$ $\Rightarrow $ periodico semplice;
- misto (qualche $2$ o $5$ + altri primi) $\Rightarrow $ periodico misto, con antiperiodo di lunghezza $\max (h,k)$ dove $b=2^h\,5^k\,m$.
Generatrice di un finito: $0{,}a_1\ldots a_n = \tfrac {a_1\ldots a_n}{10^n}$ (poi semplifica).
Generatrice di un periodico semplice: $0{,}\overline {p}=\tfrac {p}{99\ldots 9}$ ($n$ nove se $p$ ha $n$ cifre).
Generatrice di un periodico misto: $0{,}a\overline {p}=\tfrac {ap-a}{99\ldots 9\,00\ldots 0}$ ($n$ nove, $m$ zeri).
Ogni razionale ha rappresentazione decimale finita o periodica, e viceversa. Esistono però decimali infiniti non periodici: si chiamano irrazionali (es. $\sqrt {2}$, $\pi $, $e$). Approfondimento nel capitolo 15.
Curiosità: $0{,}\overline {9}=1$ esattamente — è un caso speciale della formula del periodico semplice.

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Capitolo 13 Numeri decimali limitati e periodici

13.1 Introduzione motivazionale

13.2 Frazione decimale e numero decimale finito

13.3 Numeri decimali periodici semplici

13.4 Numeri decimali periodici misti

13.5 Frazione generatrice di un decimale periodico

13.6 Numeri decimali non periodici: cenno agli irrazionali

13.7 Esempi svolti

13.8 Esercizi proposti

13.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 13
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