“
Le equazioni algebriche sono il problema più semplice della matematica, e tuttavia il più ricco di conseguenze
inattese: tutto l’edificio dell’algebra moderna poggia sullo studio dei polinomi.”
— adattamento da Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801)
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Il capitolo precedente ci ha fatto familiarizzare con i monomi: i “mattoni” del calcolo letterale. In questo passiamo a costruire qualcosa di più grande: i polinomi, somme di monomi.
I polinomi sono, dopo i numeri, gli oggetti algebrici più importanti che incontrerai al liceo. Una formula come \(a^2+2ab+b^2\), l’espressione del moto \(s(t)=\tfrac {1}{2}a t^2 + v_0 t + s_0\) in cinematica, la regola di calcolo del volume di una scatola di lato \(\ell \) ed altezza \(h\): sono tutti polinomi. Le equazioni polinomiali (di primo, secondo, terzo grado\(\ldots \)) sono il pane quotidiano dell’algebra dei prossimi capitoli, e le funzioni polinomiali \(y = P(x)\) saranno protagoniste in geometria analitica e in analisi.
In questo capitolo introduciamo i polinomi, le loro proprietà e le operazioni elementari (somma, prodotto), e poi la divisione tra polinomi — un’operazione meno familiare ma fondamentale. Concluderemo con tre risultati cardine: la regola di Ruffini per dividere rapidamente per binomi della forma \(x-a\), il teorema del resto che lega il resto a una valutazione del polinomio, e il teorema di Ruffini che caratterizza le radici di un polinomio. Sono gli strumenti centrali per le scomposizioni del capitolo 19 e per la risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo.
Definizione 17.1 — Polinomio
Un polinomio è una somma algebrica di monomi (capitolo 16). Ciascun monomio del polinomio si chiama termine.
Esempio 17.1
Sono polinomi: \(\;3x^2 + 2x - 5\), \(a^3 + b^3 - 7ab\), \(\dfrac {1}{2}x^4 - x + 3\), \(5\) (monomio, caso particolare).
Definizione 17.2 — Polinomio ridotto e forma normale
Un polinomio è ridotto (in forma normale) quando non contiene monomi simili (cioè non si possono più sommare termini come \(3x^2+5x^2\)). Per ridurre un polinomio si applica la somma algebrica dei monomi simili.
Esempio 17.2
\(2x^2 + 3x - 4x^2 + 5x - 1 = (2-4)x^2 + (3+5)x - 1 = -2x^2 + 8x - 1\).
Il polinomio finale è in forma normale (nessun monomio simile rimasto).
Definizione 17.3 — Polinomi notevoli per numero di termini
Definizione 17.4 — Grado di un polinomio
Sia \(P\) un polinomio non nullo in forma normale.
Esempio 17.3
\(P(x,y) = 3x^3 y - 5xy^2 + 7x^2 - 4\).
Definizione 17.5 — Polinomio in una variabile
Un polinomio in una variabile \(x\) ha la forma generale
con \(a_n\neq 0\). I numeri \(a_n, a_{n-1}, \ldots , a_0\) si chiamano coefficienti; \(a_n\) è il coefficiente direttivo (di grado massimo), \(a_0\) è il termine noto (di grado \(0\)).
Definizione 17.6 — Ordinato e completo
Un polinomio in una variabile è
Esempio 17.4
\(P(x) = 2x^3 - 5x + 1\) è ordinato (per potenze decrescenti) ma non completo (manca il termine in \(x^2\)). La sua forma completa è \(P(x) = 2x^3 + 0\cdot x^2 - 5x + 1\), utile quando si imposta una divisione.
Definizione 17.7 — Polinomio omogeneo
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.
Esempio 17.5
\(P(a,b) = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3\) è omogeneo di grado \(3\) (ogni termine ha grado \(3\)). Riconoscerai presto questo polinomio: è lo sviluppo di \((a-b)^3\) (capitolo 18).
Procedura — Somma e differenza di polinomi
Per sommare (o sottrarre) due polinomi:
Esempio 17.6
\((3x^2 + 5x - 1) + (x^2 - 2x + 4)\).
Soluzione.
Esempio 17.7
\((3x^2 + 5x - 1) - (x^2 - 2x + 4)\).
Soluzione. Cambio di segno il sottraendo:
Attenzione! — Segno davanti alla parentesi
Attenzione al segno meno davanti a una parentesi: esso cambia il segno di ogni termine interno, non solo del primo.
non \(-x^2 - 2x + 4\). È un errore tipico, frequente all’inizio.
Il prodotto di polinomi si fonda sulla proprietà distributiva, vista nel capitolo 8.
Procedura — Polinomio per monomio
Per moltiplicare un polinomio per un monomio si distribuisce il monomio su ogni termine del polinomio:
Esempio 17.8
\(3x\cdot (2x^2 - 5x + 4) = 6x^3 - 15x^2 + 12x\).
Procedura — Polinomio per polinomio
Per moltiplicare due polinomi si applica la distributiva due volte: si moltiplica ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo, e si sommano tutti i prodotti ottenuti riducendo i simili.
Esempio 17.9
\((x+2)\cdot (x+3) = x\cdot x + x\cdot 3 + 2\cdot x + 2\cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\).
Esempio 17.10
\((2x-1)(x^2 + 3x - 4)\).
Soluzione. Distribuiamo i due termini di \((2x-1)\) su tutto il trinomio:
Riducendo:
Nota — Grado del prodotto
Il grado del prodotto di due polinomi è la somma dei gradi dei fattori. Esempio: grado \(1\cdot \)grado \(2\) = grado \(3\), come nell’esempio sopra. (È coerente con la regola del prodotto delle potenze, capitolo 9.)
Per polinomi in una sola variabile esiste un’operazione di divisione del tutto analoga alla divisione euclidea tra interi (capitolo 10).
Teorema 17.1 — Divisione euclidea di polinomi
Siano \(A(x)\) e \(B(x)\) due polinomi in \(x\) a coefficienti reali, con \(B(x)\not \equiv 0\). Esistono e sono unici due polinomi \(Q(x)\) (quoziente) e \(R(x)\) (resto) tali che
Se \(R(x)\equiv 0\) si dice che \(B(x)\) divide \(A(x)\), e si scrive \(B(x)\mid A(x)\).
Procedura — Algoritmo della divisione polinomiale
Per dividere \(A(x)\) per \(B(x)\) (con \(\deg A\ge \deg B\)):
Esempio 17.11 — Divisione lunga
Dividere \(A(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 5\) per \(B(x) = x - 2\).
Soluzione. Schema della divisione:
Il quoziente è \(Q(x) = 2x^2 + x + 3\) e il resto è \(R = 11\). Verifica:
Quando il divisore è un binomio della forma \(x-a\) (con \(a\in \mathbb{R} \)), c’è una scorciatoia molto rapida: la regola di Ruffini (Paolo Ruffini, 1804). È un metodo tabellare che produce direttamente i coefficienti del quoziente e il resto.
Procedura — Regola di Ruffini per dividere \(P(x)\) per \((x-a)\)
Esempio 17.12 — Ruffini su un esempio
Dividere \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 5\) per \((x-2)\) con la regola di Ruffini.
Soluzione. \(a=2\). Coefficienti di \(P\): \(2,\ -3,\ 1,\ 5\).
Spiegazione passo passo: \(2\) si abbassa; \(2\cdot 2 = 4\), \(-3+4=1\); \(1\cdot 2 = 2\), \(1+2=3\); \(3\cdot 2 = 6\), \(5+6=11\).
Quoziente: \(Q(x) = 2x^2 + x + 3\). Resto: \(R = 11\). Stesso risultato del metodo lungo, in molto meno tempo.
Attenzione! — Solo divisore \(x-a\)
La regola di Ruffini funziona esclusivamente quando il divisore è un binomio di primo grado del tipo \(x-a\). Per divisori di grado maggiore o con coefficiente direttivo \(\neq 1\) va riscritto opportunamente: per esempio, dividere per \(2x-3\) si riconduce a dividere per \(x-\tfrac {3}{2}\) aggiustando il quoziente, ma con il metodo lungo è spesso più sicuro.
Teorema 17.2 — Teorema del resto
Sia \(P(x)\) un polinomio e \(a\in \mathbb{R} \). Il resto della divisione di \(P(x)\) per \((x-a)\) è il valore \(P(a)\):
Dimostrazione. Per il teorema della divisione, esistono unici \(Q(x)\) e \(R\) (resto di grado \(0\), cioè costante) tali che \(P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\). Valutando in \(x=a\): \(P(a) = (a-a)\,Q(a) + R = 0 + R = R\). Dunque \(R=P(a)\).
Esempio 17.13
Calcolare il resto della divisione di \(P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 5\) per \((x-1)\), senza eseguire la divisione.
Soluzione. Per il teorema del resto, \(R = P(1) = 1 - 2 + 1 - 5 = -5\).
Definizione 17.8 — Radice di un polinomio
Un valore \(a\in \mathbb{R} \) si dice radice (o zero) di un polinomio \(P(x)\) se \(P(a)=0\).
Teorema 17.3 — Teorema di Ruffini
Sia \(P(x)\) un polinomio e \(a\in \mathbb{R} \). Allora \((x-a)\) divide \(P(x)\) se e solo se \(a\) è radice di \(P\), cioè \(P(a)=0\).
Dimostrazione. È un corollario diretto del teorema del resto. \((x-a)\mid P(x)\) significa che il resto della divisione è zero: per il teorema del resto, questo equivale a \(P(a)=0\), ossia \(a\) è radice.
Nota — Importanza del teorema
Il teorema di Ruffini è uno strumento di scomposizione: se troviamo una radice \(a\) di \(P(x)\) (per esempio per tentativi), allora possiamo scomporre \(P(x) = (x-a)\cdot Q(x)\), con \(Q(x)\) ottenibile con Ruffini. Iterando, si scompone \(P\) il più possibile. Lo applicheremo nel capitolo 19.
Esempio 17.14 — Trovare una radice e scomporre
Scomporre \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
Soluzione. Per il teorema di Ruffini, basta trovare una radice. Per tentativi sui divisori del termine noto \(-6\), proviamo \(a=1\): \(P(1)=1-6+11-6=0\). \(\checkmark\) Allora \((x-1)\mid P(x)\). Con Ruffini:
Quindi \(P(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)\) (l’ultima scomposizione di \(x^2-5x+6\) si ottiene cercando due numeri di somma \(5\) e prodotto \(6\)). Le radici di \(P\) sono \(1, 2, 3\).
Nota — Trovare le radici razionali: criterio
Se \(P(x)=a_n x^n + \cdots + a_0\) ha coefficienti interi e \(a_n\neq 0\), le sue eventuali radici razionali \(\tfrac {p}{q}\) ridotte ai minimi termini soddisfano: \(p\mid a_0\) e \(q\mid a_n\). Ne segue il metodo di tentativi per cercare radici intere: provare i divisori di \(a_0\). È quello che abbiamo applicato qui sopra (divisori di \(-6\)).
Esempio 17.15 — Riduzione e classificazione
Considera \(P(x,y) = 3xy + 2x^2 y - 5xy + x^2 y + 7\). Riducilo, indica grado complessivo, grado rispetto a \(x\) e a \(y\), e stabilisci se è omogeneo.
Soluzione. Riducendo i monomi simili:
Esempio 17.16 — Prodotto e riduzione
Calcolare \((x^2 - 2x + 3)(x + 1)\).
Soluzione. Distribuiamo:
Esempio 17.17 — Divisione lunga
Eseguire \((x^3 + 2x^2 - 3) : (x^2 - 1)\).
Soluzione. Completiamo il dividendo: \(x^3 + 2x^2 + 0\cdot x - 3\).
Resto \(x-1\) ha grado \(1 < 2 = \deg B\), ci fermiamo. Quindi \(Q(x) = x + 2\), \(R(x) = x - 1\).
Esempio 17.18 — Ruffini e teorema del resto
Calcolare il resto della divisione di \(P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 1\) per \((x+1)\).
Soluzione. Per il teorema del resto, \(R = P(-1) = 2 + 3 - 1 - 1 = 3\). Il resto è \(3\). (Nota: \((x+1)=(x-(-1))\), dunque \(a=-1\).)
Esempio 17.19 — Scomporre con Ruffini
Scomporre \(P(x) = x^3 - 7x + 6\) usando il teorema di Ruffini.
Soluzione. Cerchiamo una radice tra i divisori di \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
\(P(1) = 1 - 7 + 6 = 0\). \(\checkmark\) Quindi \((x-1)\) divide \(P\). Ruffini:
Quoziente \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\) (somma \(-1\)? attento: \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\) visto che \(-2+3=1\) e \(-2\cdot 3=-6\)). Quindi:
Radici: \(1, 2, -3\).
Esercizio 17.1
Riepilogo
Presentazioni— slide NotebookLM (clic per aprire il PDF)
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