Le equazioni algebriche sono il problema più semplice della matematica, e tuttavia il più ricco di conseguenze
inattese: tutto l’edificio dell’algebra moderna poggia sullo studio dei polinomi.” — adattamento da Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801)
Il capitolo precedente ci ha fatto familiarizzare con i monomi: i “mattoni” del calcolo
letterale. In questo passiamo a costruire qualcosa di più grande: i polinomi, somme di
monomi.
I polinomi sono, dopo i numeri, gli oggetti algebrici più importanti che incontrerai al liceo. Una
formula come \(a^2+2ab+b^2\), l’espressione del moto \(s(t)=\tfrac {1}{2}a t^2 + v_0 t + s_0\) in cinematica, la regola di calcolo del volume di una scatola
di lato \(\ell \) ed altezza \(h\): sono tutti polinomi. Le equazioni polinomiali (di primo, secondo, terzo grado\(\ldots \))
sono il pane quotidiano dell’algebra dei prossimi capitoli, e le funzioni polinomiali \(y = P(x)\) saranno
protagoniste in geometria analitica e in analisi.
In questo capitolo introduciamo i polinomi, le loro proprietà e le operazioni elementari (somma,
prodotto), e poi la divisione tra polinomi — un’operazione meno familiare ma fondamentale.
Concluderemo con tre risultati cardine: la regola di Ruffini per dividere rapidamente per binomi
della forma \(x-a\), il teorema del resto che lega il resto a una valutazione del polinomio, e il teorema
di Ruffini che caratterizza le radici di un polinomio. Sono gli strumenti centrali per
le scomposizioni del capitolo 19 e per la risoluzione di equazioni di grado superiore al
secondo.
17.2 Definizione, grado, polinomi ordinati e completi
Un polinomio è una somma algebrica di monomi (capitolo 16). Ciascun monomio del
polinomio si chiama termine.
Esempio 17.1
Sono polinomi: \(\;3x^2 + 2x - 5\), \(a^3 + b^3 - 7ab\), \(\dfrac {1}{2}x^4 - x + 3\), \(5\) (monomio, caso particolare).
Definizione 17.2 — Polinomio ridotto e forma
normale
Un polinomio è ridotto (in forma normale) quando non contiene monomi simili (cioè
non si possono più sommare termini come \(3x^2+5x^2\)). Per ridurre un polinomio si applica la somma
algebrica dei monomi simili.
Esempio 17.2
\(2x^2 + 3x - 4x^2 + 5x - 1 = (2-4)x^2 + (3+5)x - 1 = -2x^2 + 8x - 1\). Il polinomio finale è in forma normale (nessun monomio simile rimasto).
Definizione 17.3 — Polinomi notevoli per numero di
termini
Monomio: un solo termine (\(5x^2\)).
Binomio: due termini (\(x+3\)).
Trinomio: tre termini (\(x^2+2x+1\)).
Quadrinomio: quattro termini.
Definizione 17.4 — Grado di un polinomio
Sia \(P\) un polinomio non nullo in forma normale.
Il grado rispetto a una lettera è il massimo degli esponenti con cui quella lettera
compare nei suoi termini.
Il grado complessivo (o grado) è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini.
con \(a_n\neq 0\). I numeri \(a_n, a_{n-1}, \ldots , a_0\) si chiamano coefficienti; \(a_n\) è il coefficiente direttivo (di grado massimo), \(a_0\) è
il termine noto (di grado \(0\)).
Definizione 17.6 — Ordinato e completo
Un polinomio in una variabile è
ordinato se i termini compaiono per potenze crescenti (o decrescenti) della variabile;
completo se compaiono tutte le potenze da \(x^0\) fino a \(x^n\) (di solito si aggiunge il termine \(0\cdot x^k\)
“mancante” per renderlo completo, utile nelle divisioni).
Esempio 17.4
\(P(x) = 2x^3 - 5x + 1\) è ordinato (per potenze decrescenti) ma non completo (manca il termine in \(x^2\)). La sua
forma completa è \(P(x) = 2x^3 + 0\cdot x^2 - 5x + 1\), utile quando si imposta una divisione.
Definizione 17.7 — Polinomio omogeneo
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.
Esempio 17.5
\(P(a,b) = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3\) è omogeneo di grado \(3\) (ogni termine ha grado \(3\)). Riconoscerai presto questo polinomio:
è lo sviluppo di \((a-b)^3\) (capitolo 18).
Figura 17.1: Anatomia di un polinomio in una variabile: \(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 4\). Il termine di grado massimo
determina il grado complessivo del polinomio (qui \(3\)). Il suo coefficiente (\(3\)) è il coefficiente
direttivo. Il termine senza \(x\) (\(4\)) è il termine noto.
Si scrivono uno di seguito all’altro tutti i monomi, conservando i loro segni (per la
sottrazione si cambiano i segni di tutti i monomi del sottraendo prima di scrivere).
2.
Si riducono i monomi simili sommandone i coefficienti.
Per moltiplicare due polinomi si applica la distributiva due volte: si moltiplica ogni
termine del primo polinomio per ogni termine del secondo, e si sommano tutti i prodotti
ottenuti riducendo i simili.
Il grado del prodotto di due polinomi è la somma dei gradi dei fattori. Esempio: grado
\(1\cdot \)grado \(2\) = grado \(3\), come nell’esempio sopra. (È coerente con la regola del prodotto delle
potenze, capitolo 9.)
Per polinomi in una sola variabile esiste un’operazione di divisione del tutto analoga alla
divisione euclidea tra interi (capitolo 10).
Teorema 17.1 — Divisione euclidea di
polinomi
Siano \(A(x)\) e \(B(x)\) due polinomi in \(x\) a coefficienti reali, con \(B(x)\not \equiv 0\). Esistono e sono unici due polinomi \(Q(x)\)
(quoziente) e \(R(x)\) (resto) tali che
Quando il divisore è un binomio della forma \(x-a\) (con \(a\in \mathbb{R} \)), c’è una scorciatoia molto rapida: la regola
di Ruffini (Paolo Ruffini, 1804). È un metodo tabellare che produce direttamente i coefficienti del
quoziente e il resto.
Procedura — Regola di Ruffini per dividere \(P(x)\) per
\((x-a)\)
1.
Si scrivono in riga i coefficienti di \(P(x)\) ordinato e completo (zeri al posto dei termini
mancanti).
2.
Si scrive il valore \(a\) a sinistra, separato da una linea verticale.
3.
Si abbassa il primo coefficiente come primo coefficiente del quoziente.
4.
Si moltiplica per \(a\) e si scrive il prodotto sotto il coefficiente successivo. Si somma in
colonna: ottieni il coefficiente successivo del quoziente.
5.
Si ripete fino all’ultimo coefficiente: l’ultimo numero ottenuto in colonna è il resto,
gli altri (in sequenza) sono i coefficienti del quoziente, che ha grado \(\deg P - 1\).
Esempio 17.12 — Ruffini su un esempio
Dividere \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 5\) per \((x-2)\) con la regola di Ruffini.
Soluzione. \(a=2\). Coefficienti di \(P\): \(2,\ -3,\ 1,\ 5\).
Quoziente: \(Q(x) = 2x^2 + x + 3\). Resto: \(R = 11\). Stesso risultato del metodo lungo, in molto meno tempo.
Figura 17.2: Schema visivo della regola di Ruffini per dividere \(P(x)=2x^3-3x^2+x+5\) per \((x-2)\). I coefficienti del polinomio
in alto, il valore di \(a\) a sinistra; nella seconda riga i prodotti \(a\times (\text {coefficiente già abbassato})\); la riga finale dà coefficienti del
quoziente (in viola) e resto (in arancio, ultimo).
Attenzione! — Solo divisore \(x-a\)
La regola di Ruffini funziona esclusivamente quando il divisore è un binomio di primo
grado del tipo \(x-a\). Per divisori di grado maggiore o con coefficiente direttivo \(\neq 1\) va riscritto
opportunamente: per esempio, dividere per \(2x-3\) si riconduce a dividere per \(x-\tfrac {3}{2}\) aggiustando il
quoziente, ma con il metodo lungo è spesso più sicuro.
Sia \(P(x)\) un polinomio e \(a\in \mathbb{R} \). Il resto della divisione di \(P(x)\) per \((x-a)\) è il valore \(P(a)\):
\[ P(x) = (x-a)\cdot Q(x) + P(a). \]
Dimostrazione. Per il teorema della divisione, esistono unici \(Q(x)\) e \(R\) (resto di grado \(0\), cioè costante)
tali che \(P(x)=(x-a)\,Q(x)+R\). Valutando in \(x=a\): \(P(a) = (a-a)\,Q(a) + R = 0 + R = R\). Dunque \(R=P(a)\).
Esempio 17.13
Calcolare il resto della divisione di \(P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 5\) per \((x-1)\), senza eseguire la divisione.
Soluzione. Per il teorema del resto, \(R = P(1) = 1 - 2 + 1 - 5 = -5\).
\[ \text {resto della divisione di } P(x) \text { per } (x-a) = P(a). \]
Un valore \(a\in \mathbb{R} \) si dice radice (o zero) di un polinomio \(P(x)\) se \(P(a)=0\).
Teorema 17.3 — Teorema di Ruffini
Sia \(P(x)\) un polinomio e \(a\in \mathbb{R} \). Allora \((x-a)\) divide \(P(x)\) se e solo se \(a\) è radice di \(P\), cioè \(P(a)=0\).
Dimostrazione. È un corollario diretto del teorema del resto. \((x-a)\mid P(x)\) significa che il resto della divisione
è zero: per il teorema del resto, questo equivale a \(P(a)=0\), ossia \(a\) è radice.
Nota — Importanza del teorema
Il teorema di Ruffini è uno strumento di scomposizione: se troviamo una radice \(a\) di \(P(x)\) (per
esempio per tentativi), allora possiamo scomporre \(P(x) = (x-a)\cdot Q(x)\), con \(Q(x)\) ottenibile con Ruffini. Iterando,
si scompone \(P\) il più possibile. Lo applicheremo nel capitolo 19.
Esempio 17.14 — Trovare una radice e
scomporre
Scomporre \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).
Soluzione. Per il teorema di Ruffini, basta trovare una radice. Per tentativi sui divisori
del termine noto \(-6\), proviamo \(a=1\): \(P(1)=1-6+11-6=0\). \(\checkmark\) Allora \((x-1)\mid P(x)\). Con Ruffini:
Quindi \(P(x) = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3)\) (l’ultima scomposizione di \(x^2-5x+6\) si ottiene cercando due numeri di somma \(5\) e prodotto
\(6\)). Le radici di \(P\) sono \(1, 2, 3\).
Nota — Trovare le radici razionali: criterio
Se \(P(x)=a_n x^n + \cdots + a_0\) ha coefficienti interi e \(a_n\neq 0\), le sue eventuali radici razionali \(\tfrac {p}{q}\) ridotte ai minimi termini
soddisfano: \(p\mid a_0\) e \(q\mid a_n\). Ne segue il metodo di tentativi per cercare radici intere: provare i divisori
di \(a_0\). È quello che abbiamo applicato qui sopra (divisori di \(-6\)).
Considera \(P(x,y) = 3xy + 2x^2 y - 5xy + x^2 y + 7\). Riducilo, indica grado complessivo, grado rispetto a \(x\) e a \(y\), e stabilisci se è
omogeneo.
Soluzione. Riducendo i monomi simili:
\[ P(x,y) = (2+1)x^2 y + (3-5)xy + 7 = 3x^2 y - 2xy + 7. \]
Grado complessivo: \(3\) (termine \(3x^2y\)).
Grado rispetto a \(x\): \(2\).
Grado rispetto a \(y\): \(1\).
Non omogeneo: i termini hanno gradi \(3, 2, 0\) (diversi).
Riduci a forma normale e indica grado complessivo: (a) \(2a^2 b - 3ab + 4 a^2 b + ab - 7\); (b) \(x^3 - 2x^2 + x - x^3 + 3x^2 + 5\); (c) \(5xy - 3y^2 x + 2xy + y^2 x - xy\).
2.
Stabilisci grado, ordina (per potenze decrescenti di \(x\)), completa con eventuali \(0\): (a)
\(5 + 3x - x^4 + 2x^2\); (b) \(4x^5 - x^3 + 7\); (c) \(x^3 + x^2 - x + 1\) (verifica che è già completo).
Esegui con la regola di Ruffini: (a) \((x^3 - 2x^2 + 3x - 4) : (x - 1)\); (b) \((x^3 + x^2 - x + 1) : (x + 2)\); (c) \((2x^4 - 5x^3 + x - 6) : (x - 3)\); (d) \((x^5 - 1) : (x - 1)\).
7.
Per ciascuno dei seguenti polinomi, calcola con il teorema del resto il resto della
divisione per il binomio indicato (senza eseguire la divisione): (a) \(P(x) = x^3 - 4x + 1\) per \((x-2)\); (b) \(P(x) = 2x^4 + x^2 - 3\) per \((x+1)\);
(c) \(P(x) = x^5 - x - 6\) per \((x-1)\).
8.
Usa il teorema di Ruffini per trovare le radici reali (almeno una intera) e scomporre:
(a) \(P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\); (b) \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\); (c) \(P(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2\) (suggerimento: prova \(x=1\) e \(x=-2\)).
9.
(Discussione.) Un compagno osserva che il polinomio \(P(x) = x^2 + 1\) non ha radici reali. Dimostra
che effettivamente \(P(a)>0\) per ogni \(a\in \mathbb{R} \). (Cenno: studieremo le sue radici complesse nel capitolo
88.)
Un polinomio è una somma algebrica di monomi. In forma normale non ha più termini
simili.
Si chiamano binomio, trinomio, quadrinomio i polinomi con 2, 3, 4 termini.
Grado complessivo: il massimo dei gradi dei monomi. Grado rispetto a una lettera:
massimo esponente di quella lettera nei suoi termini.
Un polinomio in una variabile \(P(x)=a_n x^n+\cdots +a_0\) è ordinato (potenze crescenti o decrescenti) e completo
(tutte le potenze da \(0\) a \(n\) presenti). \(a_n\) è il coefficiente direttivo, \(a_0\) è il termine noto.
Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado complessivo.
Somma e sottrazione: si riducono i monomi simili. Attenzione al segno meno davanti
a parentesi.
Prodotto: distributiva (semplice per polinomio\(\times \)monomio, doppia per
polinomio\(\times \)polinomio). Il grado del prodotto è la somma dei gradi.
Divisione di polinomi in una variabile: \(A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x)\) con \(\deg R<\deg B\). Si esegue con l’algoritmo lungo.
Regola di Ruffini: scorciatoia tabellare per dividere \(P(x)\) per \((x-a)\). Produce direttamente i
coefficienti del quoziente e il resto.
Teorema del resto: il resto della divisione di \(P(x)\) per \((x-a)\) è \(P(a)\).
Teorema di Ruffini: \((x-a)\mid P(x)\iff P(a)=0\), cioè \(a\) è radice di \(P\). È la base di tutte le scomposizioni del capitolo
19.
Per cercare radici intere di un polinomio a coefficienti interi: si provano i divisori del
termine noto \(a_0\).
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