124 Eventi indipendenti e prove ripetute

“

Quanti successi in \(n\) prove indipendenti? È la domanda originaria di Jacob Bernoulli, e la risposta è la distribuzione binomiale: una formula combinatoria semplicissima, \(\binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\), che descrive l’esito di esperimenti ripetuti dal lancio di una moneta alle indagini di popolazione, dai test di affidabilità ai sistemi di telecomunicazione.”

— Jacob Bernoulli, Ars conjectandi (postumo 1713) — prima opera sistematica sul calcolo delle probabilità e introduzione delle prove ripetute

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124.1 Introduzione motivazionale

Nel capitolo precedente (123) abbiamo formalizzato la nozione di indipendenza fra eventi. In questo capitolo applichiamo questa nozione al caso più importante: gli esperimenti ripetuti, dove la stessa prova si esegue \(n\) volte in modo indipendente.

Il modello prototipo è il lancio ripetuto di una moneta (o, più in generale, di un esperimento con due esiti possibili: “successo” o “insuccesso”). Lo schema matematico è quello delle prove di Bernoulli, che troviamo dovunque:

La domanda fondamentale è: in \(n\) prove indipendenti, qual è la probabilità di ottenere esattamente \(k\) successi? La risposta è la formula di Bernoulli (o distribuzione binomiale), che ricaveremo in questo capitolo.

124.2 Definizione di indipendenza (richiamo)

Definizione 124.1 — Eventi indipendenti — richiamo

Due eventi \(A, B\) si dicono indipendenti se

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). \]

Equivalentemente (per \(P(A) > 0\)): \(P(B|A) = P(B)\).

Indipendenza di \(n\) eventi

Definizione 124.2 — \(n\) eventi indipendenti

Gli eventi \(A_1, A_2, \ldots , A_n\) si dicono (collettivamente) indipendenti se, per ogni scelta di indici \(1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\),

\[ P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) \cdot P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k}). \]

Caso particolare \(n = 2\): \(P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) P(A_2)\) (uguale alla definizione di indipendenza di due eventi).

Le prime tre garantiscono l’indipendenza a coppie; la quarta è l’indipendenza globale, che è più forte.

Proprietà ereditate

Proprietà (per eventi indipendenti):

se \(A_1, \ldots , A_n\) sono indipendenti, lo è anche qualsiasi sottoinsieme;
se \(A_1, \ldots , A_n\) sono indipendenti, lo sono anche i loro complementari \(A_1^c, \ldots , A_n^c\);
se \(A_1, \ldots , A_n\) sono indipendenti, lo è anche una qualunque combinazione di alcuni di essi e dei complementari degli altri.

124.3 Prove ripetute

Definizione 124.3 — Prova di Bernoulli

Una prova di Bernoulli è un esperimento aleatorio con due soli esiti possibili, convenzionalmente detti successo (S) e insuccesso (I), con probabilità rispettivamente \(p\) e \(1 - p\).

Schema delle prove ripetute

Definizione 124.4 — Schema delle prove ripetute

Si chiama schema delle prove ripetute (o schema di Bernoulli) la situazione in cui si effettuano \(n\) prove di Bernoulli che soddisfano:

1.: ogni prova ha gli stessi due esiti possibili (S, I);
2.: la probabilità \(p\) di successo è la stessa in ogni prova;
3.: le prove sono indipendenti (l’esito di una non influenza l’esito delle altre).

Esempio guida. Lancio una moneta \(5\) volte. Ogni lancio è una prova di Bernoulli con \(p = 1/2\). Le \(5\) prove sono indipendenti. Lo spazio campionario ha \(2^5 = 32\) esiti possibili (ognuno è una sequenza di T e C lunga \(5\)).

Probabilità di una specifica sequenza di successi

In una sequenza di \(n\) prove con \(k\) successi e \(n - k\) insuccessi, in un ordine specifico, la probabilità è (per indipendenza):

Esempio. \(5\) lanci di moneta. La sequenza “T T C T C” ha probabilità \(p^3 (1-p)^2 = (1/2)^5 = 1/32\). Anche la sequenza “C T T T C” ha la stessa probabilità.

124.4 Schema di Bernoulli: la distribuzione binomiale

Formula di Bernoulli (distribuzione binomiale): in uno schema di \(n\) prove di Bernoulli con probabilità di successo \(p\), la probabilità di ottenere esattamente \(k\) successi è

\[ P(k \text { successi in } n \text { prove}) = \binom {n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \]

per \(k = 0, 1, 2, \ldots , n\).

Il fattore \(\binom {n}{k} = \dfrac {n!}{k!(n-k)!}\) è il coefficiente binomiale (cap. 86), che conta in quanti modi si possono scegliere \(k\) posizioni su \(n\) per i successi.

Casi notevoli

Casi particolari:

\(k = 0\) (nessun successo): \((1-p)^n\);
\(k = n\) (tutti successi): \(p^n\);
\(k = 1\) (un solo successo): \(n p (1-p)^{n-1}\).

Verifica della normalizzazione

Sommando le probabilità su tutti i \(k\) possibili otteniamo \(1\) (come deve essere, perché copriamo tutti i casi):

È il binomio di Newton (cap. 87) applicato a \(p + (1-p) = 1\). Da qui il nome “distribuzione binomiale”.

Valor medio e varianza

Valor medio (numero medio di successi attesi in \(n\) prove): \(E[X] = n p\).

Varianza: \(\operatorname {Var}(X) = n p (1 - p)\).

Deviazione standard: \(\sigma = \sqrt {n p (1 - p)}\).

Esempio. Lanciando una moneta \(100\) volte, ci si aspettano in media \(50\) teste, con deviazione standard \(\sigma = \sqrt {100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5\). Quindi i “valori usuali” di teste in \(100\) lanci sono \(50 \pm 5\) (circa).

124.5 Esempi svolti

Esempio 124.1 — Lancio di una moneta: \(3\) teste in \(5\) lanci

Calcolare \(P(3 \text { teste in } 5 \text { lanci})\) di una moneta equa.

Bernoulli: \(n = 5\), \(k = 3\), \(p = 1/2\).

\[ P = \binom {5}{3} (1/2)^3 (1/2)^2 = 10 \cdot 1/8 \cdot 1/4 = 10/32 = 5/16. \]

Esempio 124.2 — Dado: due \(6\) in \(4\) lanci

Calcolare \(P(2 \text { volte ``6''} \text { in } 4 \text { lanci})\) di un dado equo.

Bernoulli: \(n = 4\), \(k = 2\), \(p = 1/6\) (successo = “\(6\)”).

\[ P = \binom {4}{2} (1/6)^2 (5/6)^2 = 6 \cdot 1/36 \cdot 25/36 = 150/1296 \approx 0{,}1157. \]

Esempio 124.3 — Almeno un successo

Lancio una moneta \(4\) volte. Probabilità di ottenere almeno una testa?

Complementare. \(P(\text {almeno una T}) = 1 - P(\text {nessuna T}) = 1 - (1/2)^4 = 1 - 1/16 = 15/16\).

Esempio 124.4 — Trasmissione di dati

Una linea trasmette singoli bit con probabilità di errore \(p = 0{,}01\). Si invia un pacchetto di \(100\) bit. Probabilità che esattamente \(2\) bit siano errati?

Bernoulli: \(n = 100\), \(k = 2\), \(p = 0{,}01\).

\[ P = \binom {100}{2} (0{,}01)^2 (0{,}99)^{98} = 4950 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}3724 \approx 0{,}1843. \]

Valor medio: \(E = 100 \cdot 0{,}01 = 1\) bit errato in media. Probabilità di \(2\) errori (sopra la media): \(\approx 18\%\).

Esempio 124.5 — Test a scelta multipla

Un test ha \(10\) domande con \(4\) risposte ciascuna. Uno studente risponde a caso. Probabilità di:

1.: \(0\) risposte giuste;
2.: \(5\) risposte giuste (sufficienza);
3.: almeno \(8\) risposte giuste.

Bernoulli: \(n = 10\), \(p = 1/4\), \(1 - p = 3/4\).

(a) \(P(0) = (3/4)^{10} \approx 0{,}0563\) (\(5{,}6\%\)).

(b) \(P(5) = \binom {10}{5} (1/4)^5 (3/4)^5 = 252 \cdot (1/1024) \cdot (243/1024) = 252 \cdot 243/1048576 \approx 0{,}0584\) (\(5{,}8\%\)).

\(P(8) = \binom {10}{8}(1/4)^8(3/4)^2 = 45 \cdot 9/4^{10} \approx 0{,}000386\);
\(P(9) = \binom {10}{9}(1/4)^9(3/4) = 10 \cdot 3/4^{10} \approx 0{,}0000286\);
\(P(10) = (1/4)^{10} \approx 0{,}00000095\).

\(P(\ge 8) \approx 0{,}000416\) (\(0{,}04\%\)). Quasi nullo: a caso non si supera il test.

Esempio 124.6 — Lampadine difettose

Un campionamento di \(20\) lampadine da una grande produzione con il \(5\%\) di difetti. Probabilità di:

1.: \(0\) difettose;
2.: esattamente \(1\) difettosa;
3.: \(\le 2\) difettose.

Bernoulli: \(n = 20\), \(p = 0{,}05\).

(a) \(P(0) = (0{,}95)^{20} \approx 0{,}3585\).

(b) \(P(1) = \binom {20}{1}(0{,}05)(0{,}95)^{19} = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}3774 \approx 0{,}3774\).

\(P(\le 2) = P(0) + P(1) + P(2) \approx 0{,}9246\) (\(92{,}5\%\)).

Esempio 124.7 — Valor medio e varianza

Si lancia una moneta truccata con \(P(T) = 0{,}6\) per \(50\) volte. Calcolare valor medio e deviazione standard del numero di teste.

Bernoulli: \(n = 50\), \(p = 0{,}6\).

Valor medio: \(E[X] = np = 30\).

Varianza: \(\operatorname {Var}(X) = np(1-p) = 50 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 12\).

Deviazione standard: \(\sigma = \sqrt {12} \approx 3{,}46\).

Interpretazione: ci si aspetta circa \(30 \pm 3\) teste su \(50\) lanci.

124.6 Esercizi proposti

Esercizio 124.1

1.

Lancio una moneta equa \(6\) volte. Calcolare:

(a): probabilità di esattamente \(3\) teste;
(b): probabilità di esattamente \(0\) teste;
(c): probabilità di almeno \(4\) teste;
(d): probabilità di al più \(2\) teste.

2.

Lancio un dado \(5\) volte. Probabilità di:

(a): ottenere esattamente \(2\) volte “\(6\)”;
(b): non ottenere mai “\(6\)”;
(c): ottenere almeno una volta “\(6\)”.

3.

Una moneta truccata ha \(P(T) = 0{,}7\). Lancio \(4\) volte. Probabilità di:

(a): \(4\) teste;
(b): \(3\) teste;
(c): \(2\) teste;
(d): \(1\) testa;
(e): \(0\) teste.

Verificare che la somma delle probabilità sia \(1\).

4.

In una linea di produzione il \(3\%\) dei pezzi è difettoso. Si esamina un campione di \(50\) pezzi. Probabilità di:

(a): nessun pezzo difettoso;
(b): esattamente \(1\) pezzo difettoso;
(c): al più \(2\) pezzi difettosi;
(d): almeno \(3\) pezzi difettosi.

5.

Una squadra di pallavolo vince ogni partita con probabilità \(0{,}65\) (le partite sono indipendenti). In \(10\) partite calcolare:

(a): probabilità di vincerne esattamente \(7\);
(b): probabilità di vincerne almeno \(8\);
(c): numero atteso di vittorie e deviazione standard.

6.

Un test diagnostico ha sensibilità \(90\%\) (positivo nei veri malati). Si testano \(20\) malati. Probabilità che il test sia positivo in:

(a): tutti \(20\);
(b): esattamente \(18\);
(c): almeno \(15\).

7.

Mostrare che, per uno schema di Bernoulli con \(n\) prove e \(p = 1/2\), la probabilità di \(k\) successi è \(\binom {n}{k}/2^n\) (formula simmetrica nelle code).

8.

Calcolare il valor medio e la varianza del numero di teste in \(100\) lanci di moneta equa.

9.

Confrontare le probabilità (per chi vuole una conferma del nome “binomiale”) di ottenere:

(a): esattamente \(50\) teste in \(100\) lanci (\(p = 1/2\));
(b): esattamente \(5\) teste in \(10\) lanci;
(c): esattamente \(1\) testa in \(2\) lanci.

Quale è più probabile? (Risposta: tutte simili intorno a \(25\%\), ma diminuiscono al crescere di \(n\) — un sintomo della distribuzione normale anticipato in PS-015.)

10.

Un esame ha \(20\) domande vero/falso. Probabilità di rispondere a caso e ottenere almeno \(14\) risposte giuste? (Suggerimento: \(n = 20\), \(p = 1/2\), \(k \ge 14\).)

11.

In un sondaggio elettorale si chiedono \(1000\) persone se voteranno il candidato \(X\). Se la vera popolarità è \(30\%\), qual è la deviazione standard del numero di favorevoli?

12.

Mostrare che, per \(n\) prove di Bernoulli con probabilità \(p\), la probabilità del numero atteso di successi \(k = np\) (se intero) è \(\binom {n}{np} p^{np} (1-p)^{n - np}\).

13.

Una palla viene lanciata \(10\) volte verso un canestro con probabilità di successo \(0{,}8\). Probabilità di:

(a): segnare ogni tiro;
(b): sbagliare ogni tiro;
(c): segnare almeno \(7\) tiri;
(d): segnare esattamente \(8\) tiri (probabilmente il caso più probabile).

14.

Un sistema redondante ha \(3\) componenti, ognuno funzionante con probabilità \(0{,}9\) (indipendenti). Il sistema funziona se almeno \(2\) componenti funzionano. Probabilità che il sistema funzioni?

15.

Sfida (paradosso di De Méré). Chevalier de Méré (XVII sec.) scommetteva su questi due eventi:

(a): ottenere almeno un “\(6\)” in \(4\) lanci di un dado;
(b): ottenere almeno un doppio “\(6\)” in \(24\) lanci di due dadi.

Pascal calcolò le probabilità e scoprì che (a) ha probabilità \(1 - (5/6)^4 \approx 0{,}5177\) (favorevole), mentre (b) ha probabilità \(1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}4914\) (sfavorevole). De Méré, scommettendo solo sull’esperienza, aveva intuito correttamente la differenza. Calcolare numericamente e confermare.

16.

Sfida (approssimazione di Poisson). Per \(n\) grande e \(p\) piccolo (con \(np\) moderato), la distribuzione binomiale approssima la Poisson: \(P(k) \approx \dfrac {(np)^k e^{-np}}{k!}\). Verificare numericamente per \(n = 100\), \(p = 0{,}01\) (calcolare \(P(2)\) con entrambe e confrontare). Anticipo della distribuzione di Poisson, cap. 158.

124.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Indipendenza di \(n\) eventi (richiamo): per ogni sottoinsieme di indici, la probabilità dell’intersezione è il prodotto delle probabilità.
Prova di Bernoulli: esperimento aleatorio con due esiti “successo” (\(p\)) e “insuccesso” (\(1-p\)).
Schema di Bernoulli (o prove ripetute): \(n\) prove di Bernoulli identiche e indipendenti.
Probabilità di una specifica sequenza con \(k\) successi: \(p^k (1-p)^{n-k}\) (dipende solo dal numero, non dall’ordine).
Formula di Bernoulli (distribuzione binomiale): probabilità di \(k\) successi in \(n\) prove:
\[ P(k) = \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots , n. \]

Si ricava combinando il numero di sequenze possibili (\(\binom {n}{k}\)) con la probabilità di ciascuna (\(p^k(1-p)^{n-k}\)).
Normalizzazione: \(\sum _{k=0}^n P(k) = (p + (1-p))^n = 1\) (binomio di Newton).
Valor medio e varianza:
\[ E[X] = np, \qquad \operatorname {Var}(X) = np(1-p), \qquad \sigma = \sqrt {np(1-p)}. \]
Applicazioni:
- lanci di moneta/dado, estrazioni con ripristino;
- produzione industriale (controllo di qualità);
- trasmissione di dati (errori di bit);
- test diagnostici, sondaggi;
- modellazione di sistemi a due stati (fun./guasto, riuscito/non).
Limite per \(n \to \infty \): la binomiale tende alla distribuzione normale di parametri \(\mu = np\) e \(\sigma ^2 = np(1-p)\) (teorema centrale del limite, cap. 159 in Quinta).
Approssimazione di Poisson (per \(p\) piccolo, \(n\) grande, \(np\) moderato): \(P(k) \approx (np)^k e^{-np}/k!\) (cap. 158).
Nel prossimo (e ultimo per la Quarta!) capitolo (125) introduciamo il teorema di Bayes, che permette di “invertire” la probabilità condizionata e ha applicazioni cruciali nei test diagnostici e nell’intelligenza artificiale.

Capitolo 124 Eventi indipendenti e prove ripetute