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Capitolo 158
Distribuzione di Poisson

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Quando il numero delle prove è grandissimo e la probabilità di successo è piccolissima, ma il loro prodotto rimane di ordine finito, si presenta una distribuzione assai particolare e regolare, che governa il numero di eventi rari in un dato intervallo. La sua espressione contiene il numero \(e\) e il fattoriale: \(P(X = k) = e^{-\lambda } \lambda ^k / k!\), dove \(\lambda \) è il numero medio di eventi attesi.”

— Siméon Denis Poisson, Recherches sur la probabilité des jugements (1837), libro I, traduzione adattata

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158.1 Introduzione motivazionale

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La distribuzione binomiale (157) modella il numero di successi in \(n\) prove. In molte situazioni reali, però, non si conosce “il numero di prove \(n\)”: si osservano semplicemente eventi che accadono nel tempo o nello spazio con una certa frequenza media. Esempi:

In tutti questi casi, la VA “numero di eventi” è di tipo speciale: assume valori interi non negativi \(\{0, 1, 2, \ldots \}\), ma il suo limite superiore non è naturalmente specificato (potrebbero in linea di principio essercene infiniti). La distribuzione che governa questi fenomeni è la distribuzione di Poisson, scoperta da Siméon Denis Poisson nel 1837 e di importanza centrale in fisica, ingegneria, biologia, telecomunicazioni.

In questo capitolo:

158.2 Distribuzione di Poisson

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Definizione 158.1 — Variabile aleatoria di Poisson

Sia \(\lambda > 0\). Una VA discreta \(X\) ha distribuzione di Poisson di parametro \(\lambda \), e si scrive \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\), se assume valori in \(\{0, 1, 2, \ldots \}\) con

\[ P(X = k) = e^{-\lambda } \frac {\lambda ^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]

Verifica della normalizzazione

Usando lo sviluppo in serie di \(e^\lambda = \sum _{k=0}^{+\infty } \lambda ^k/k!\):

\[ \sum _{k=0}^{+\infty } e^{-\lambda } \frac {\lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \sum _{k=0}^{+\infty } \frac {\lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = 1. \quad \checkmark \]

Esempio 158.1 — \(\lambda = 2\)

\[ \begin {array}{c|cccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = k) & e^{-2} & 2 e^{-2} & 2 e^{-2} & \frac {4}{3} e^{-2} & \frac {2}{3} e^{-2} & \frac {4}{15} e^{-2} \end {array} \]

Numericamente: \(e^{-2} \approx 0.135\). Quindi \(P(X=0) \approx 0.135\), \(P(X=1) \approx 0.271\), \(P(X=2) \approx 0.271\) (notabile: \(P(X=1) = P(X=2)\) per \(\lambda = 2\)), \(P(X=3) \approx 0.180\), ecc.

[Picture]

Figura 158.1: Distribuzione di Poisson con \(\lambda = 3\). Il massimo è raggiunto in \(k = 2\) e \(k = 3\) (entrambi \(\approx 0.224\)). Coda destra che tende a \(0\) esponenzialmente.

158.3 Approssimazione della binomiale con la Poisson

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La Poisson appare naturalmente come limite della binomiale in un regime particolare: \(n\) grande, \(p\) piccolo, ma il prodotto \(\lambda = np\) tenuto fissato.

Teorema 158.1 — Teorema degli eventi rari — Poisson 1837

Sia \(X_n \sim B(n, p_n)\) con \(n \to \infty \), \(p_n \to 0\) e \(n \cdot p_n \to \lambda > 0\). Allora per ogni \(k\) fissato:

\[ P(X_n = k) \to e^{-\lambda } \frac {\lambda ^k}{k!} \qquad (n \to \infty ). \]

Cenno della dimostrazione. Ponendo \(p = \lambda /n\):

\[ P(X_n = k) = \binom {n}{k}\left (\frac {\lambda }{n}\right )^k \left (1 - \frac {\lambda }{n}\right )^{n-k}. \]

\(\binom {n}{k}/n^k = \frac {n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!\, n^k} \to 1/k!\). \((1 - \lambda /n)^n \to e^{-\lambda }\) (limite notevole, 129). \((1 - \lambda /n)^{-k} \to 1\). Combinando: \(P(X_n = k) \to \frac {\lambda ^k}{k!} e^{-\lambda }\). \(\square \)

In pratica: si usa la Poisson come approssimazione della binomiale quando \(n \ge 30\) e \(p \le 0.1\) (regola empirica), con \(\lambda = np\).

Esempio 158.2 — Approssimazione

\(X \sim B(100, 0.02)\) (lotto di \(100\) pezzi con \(2\%\) di difetti). \(\lambda = np = 2\). Confronto \(P(X = k)\) binomiale vs Poisson:

\[ \begin {array}{c|ccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline B(100, 0.02) & 0.133 & 0.271 & 0.273 & 0.182 & 0.090 \\ \operatorname {Poisson}(2) & 0.135 & 0.271 & 0.271 & 0.180 & 0.090 \end {array} \]

Indistinguibili a tre cifre.

158.4 Valore atteso e varianza

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Per \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\):

\[ E(X) = \lambda , \qquad \operatorname {Var}(X) = \lambda , \qquad \sigma _X = \sqrt \lambda . \]

Notevole: \(E(X) = \operatorname {Var}(X) = \lambda \). La distribuzione di Poisson è “concentrata” attorno a \(\lambda \) con dispersione di ordine \(\sqrt \lambda \).

Dimostrazione.

\[ E(X) = \sum _{k=0}^{+\infty } k \cdot e^{-\lambda } \frac {\lambda ^k}{k!} = e^{-\lambda } \sum _{k=1}^{+\infty } \frac {\lambda ^k}{(k-1)!} = e^{-\lambda } \cdot \lambda \cdot \sum _{j=0}^{+\infty } \frac {\lambda ^j}{j!} = \lambda e^{-\lambda } \cdot e^\lambda = \lambda . \]

(Si è cambiato indice \(j = k - 1\).)

Analogamente, \(E(X(X-1)) = \lambda ^2\) (esercizio simile), da cui \(E(X^2) = E(X(X-1)) + E(X) = \lambda ^2 + \lambda \), e \(\operatorname {Var}(X) = E(X^2) - \lambda ^2 = \lambda \). \(\square \)

Coerenza col limite della binomiale: per \(B(n, p)\) con \(p = \lambda /n\), \(E(X) = np = \lambda \) e \(\operatorname {Var}(X) = np(1-p) = \lambda (1-\lambda /n) \to \lambda \). Coerente!

Esempio 158.3 — Numero di telefonate

Un centralino riceve in media \(\lambda = 5\) telefonate al minuto. Sia \(X\) il numero di telefonate in un minuto specifico, modellato come \(\operatorname {Poisson}(5)\).

158.5 Applicazioni

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Esempio storico: i cavalli prussiani di Bortkiewicz

Ladislaus Bortkiewicz, nel suo libro Das Gesetz der kleinen Zahlen (La legge dei piccoli numeri, 1898), analizzò il numero di soldati uccisi annualmente da un calcio di cavallo in \(14\) reggimenti dell’esercito prussiano, su un periodo di \(20\) anni (\(280\) “osservazioni” totali). I morti totali furono \(122\), dunque \(\lambda \approx 122/280 \approx 0.436\). Confronto:

\[ \begin {array}{c|ccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text {osservati} & 144 & 91 & 32 & 11 & 2 \\ \operatorname {Poisson}(0.436) & 144.0 & 62.7 & 13.7 & 2.0 & 0.2 \end {array} \]

L’accordo è notevole, considerando i piccoli numeri. È uno dei primi esempi storici di applicazione empirica della Poisson, e dimostra che anche un fenomeno “aleatorio” come la morte per calcio di cavallo segue regolarità statistiche.

Telefonia e code

Esempio 158.4 — Sportello bancario

A uno sportello arrivano in media \(\lambda = 12\) clienti/ora. Sia \(X\) il numero di clienti in un’ora.

Fisica nucleare

Esempio 158.5 — Decadimento radioattivo

Una sostanza emette in media \(\lambda = 3\) decadimenti al secondo. Il numero di decadimenti in un secondo specifico è \(\operatorname {Poisson}(3)\). \(P(X = 0) = e^{-3} \approx 0.050\); \(P(X \ge 1) \approx 0.950\). Cenno fisico: questo è il modello dei rivelatori Geiger, dove la frequenza media di click è \(\lambda \) ma il numero di click in un intervallo varia secondo Poisson.

Stampa e qualità del testo

Esempio 158.6 — Errori tipografici

Un libro di \(300\) pagine ha in media \(\lambda = 2\) errori per pagina. Probabilità che una pagina abbia zero errori: \(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0.135\). Numero atteso di pagine senza errori: \(300 \cdot 0.135 \approx 41\).

158.6 Esempi svolti

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Esempio 158.7 — Approssimazione di una binomiale rara

In una lotteria con \(1000000\) biglietti, ciascuno con probabilità \(1/1000000\) di vincere, una persona compra \(1000\) biglietti. Qual è la probabilità di vincere esattamente \(1\) volta?

\(X \sim B(1000, 10^{-6})\) con \(np = 10^{-3}\). Approssimazione Poisson: \(X \approx \operatorname {Poisson}(0.001)\). \(P(X = 1) = e^{-0.001} \cdot 0.001 \approx 10^{-3} = 0.001 = 0.1\%\). (Calcolo esatto binomiale dà essenzialmente lo stesso.)

Esempio 158.8 — Tempo di attesa medio fra eventi

Un sito web riceve in media \(\lambda = 240\) visite/ora. Il tempo medio fra una visita e la successiva è \(1/240\) ore \(= 15\,{\mathrm{s} }\). (Questo è un’altra distribuzione, l’esponenziale, coniugata alla Poisson: il numero di eventi è Poisson, il tempo di attesa è esponenziale di parametro \(\lambda \).)

Esempio 158.9 — Almeno un evento

Un autobus passa in media \(\lambda = 4\) volte/ora. Probabilità di vederne almeno uno in \(15\) minuti?

\(\lambda _{15} = 4 \cdot (15/60) = 1\) (Poisson è additiva: il parametro su un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza). \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-1} \approx 0.632\).

Esempio 158.10 — Studio di una flotta di server

Una flotta di \(1000\) server ha un tasso di guasti del \(0.5\%\)/giorno per server (probabilità che un server si guasti in un giorno è \(0.005\), indipendentemente). Numero atteso di guasti al giorno: \(\lambda = 1000 \cdot 0.005 = 5\). \(P(X = 0) = e^{-5} \approx 0.0067\) (giornata senza guasti); \(P(X \ge 10) \approx 0.032\) (giornata con almeno \(10\) guasti). Modello Poisson da approssimazione binomiale.

Esempio 158.11 — Numero di refusi in una tesi

In una tesi di \(200\) pagine ci sono in media \(1.5\) errori/pagina. Trovare la probabilità che una pagina campionata casualmente:

Esempio 158.12 — Eventi su volumi diversi

Una cellula contiene in media \(\lambda _0 = 100\) proteine di un certo tipo per \({\mu \mathrm{m} ^{3} }\) di volume. Calcolare la probabilità di trovare meno di \(80\) proteine in un volume di \(1\,{\mu \mathrm{m} ^{3} }\).

\(X \sim \operatorname {Poisson}(100)\). Usando l’approssimazione normale (Poisson è \(\approx \) normale per \(\lambda \) grande): \(\mu = 100\), \(\sigma = \sqrt {100} = 10\). \(P(X < 80) \approx P(Z < (80-100)/10) = P(Z < -2) \approx 0.023\) (\(2.3\%\)). Concentrazioni molto diverse dalla media sono improbabili (per \(\lambda \) grande).

158.7 Esercizi proposti

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Esercizio 158.1

1.
Per \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\), calcolare \(P(X = k)\):
(a)
\(\lambda = 1\), \(k = 0\);
(b)
\(\lambda = 2\), \(k = 3\);
(c)
\(\lambda = 5\), \(k = 5\);
(d)
\(\lambda = 10\), \(k = 8\).
2.
Per ciascuna \(\operatorname {Poisson}(\lambda )\), indicare \(E\), \(\operatorname {Var}\), \(\sigma \):
(a)
\(\lambda = 4\);
(b)
\(\lambda = 25\);
(c)
\(\lambda = 0.1\).
3.
Un sito web riceve \(\lambda = 3\) visite/minuto. Calcolare:
(a)
probabilità di nessuna visita in un minuto;
(b)
probabilità di esattamente \(5\) visite;
(c)
probabilità di almeno \(3\) visite.
4.
Un disco rigido ha \(0.001\) probabilità di settore difettoso per ogni settore. Su un disco da \(10000\) settori, qual è la probabilità di avere esattamente \(5\) settori difettosi? (Approssimare con Poisson.)
5.
Una macchina produce viti con tasso di difetto \(2\%\). In un campione di \(200\) viti, qual è la probabilità di trovare al più \(3\) difettose? (Confrontare binomiale e approssimazione Poisson.)
6.
Un libro di matematica ha mediamente \(0.5\) refusi/pagina. Calcolare la probabilità che in una pagina specifica:
(a)
non ci siano refusi;
(b)
ce ne siano esattamente \(2\);
(c)
ce ne siano più di \(1\).
7.
Si osservano i numeri di clienti che arrivano a uno sportello ogni \(10\) minuti per molte ore, ottenendo media \(\bar X = 5.2\) e varianza \(s^2 = 5.0\). È plausibile che la distribuzione sia Poisson? Discutere.
8.
Il numero di chiamate a un centralino è \(\operatorname {Poisson}(8)\) all’ora. Calcolare la probabilità che fra le \(14\):00 e le \(14\):30 (mezz’ora) arrivino almeno \(3\) chiamate (suggerimento: \(\lambda _{30} = 4\)).
9.
Verificare per calcolo diretto che, per \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\), \(E(X(X-1)) = \lambda ^2\). Dedurne \(\operatorname {Var}(X) = \lambda \).
10.
In un campione di sangue ci sono mediamente \(\lambda = 6\) globuli rossi per microlitro. Calcolare \(P(X = 4)\) e la probabilità di trovare meno di \(5\) globuli rossi nel campione.
11.
Mostrare che, per \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda )\):
\[ \frac {P(X = k+1)}{P(X = k)} = \frac {\lambda }{k+1}. \]

Dedurne che il modo (valore più probabile) della Poisson è \(\lfloor \lambda \rfloor \).

12.
Una rete telefonica ha probabilità \(0.001\) che una chiamata sia interrotta. Su \(10000\) chiamate, qual è la probabilità di:
(a)
esattamente \(10\) interruzioni;
(b)
al più \(5\) interruzioni;
(c)
più di \(15\) interruzioni.
13.
Si osservano gli arrivi a un casello: in media \(3\) auto/minuto. Calcolare la probabilità di:
(a)
nessuna auto in \(30\) secondi (suggerimento: \(\lambda _{30s} = 1.5\));
(b)
esattamente \(5\) auto in \(2\) minuti.
14.
Una sorgente radioattiva emette \(2.5\) particelle/secondo in media. Calcolare la probabilità di \(0\) particelle in \(1\) secondo, in \(2\) secondi, in \(5\) secondi.
15.
In una grande popolazione, il \(0.1\%\) degli individui ha una rara malattia. In un campione di \(2000\) persone, qual è la probabilità di trovarne esattamente \(3\)?
16.
Mostrare che la somma di due VA di Poisson indipendenti, \(X \sim \operatorname {Poisson}(\lambda _1)\) e \(Y \sim \operatorname {Poisson}(\lambda _2)\), è ancora Poisson di parametro \(\lambda _1 + \lambda _2\). (Suggerimento: calcolare \(P(X + Y = n)\) usando la convoluzione.)
17.
Sfida (legge degli eventi rari per scuderie prussiane). Riprodurre il calcolo di Bortkiewicz: ricalcola la tabella attesa per \(\operatorname {Poisson}(0.436)\) con \(280\) osservazioni, e verifica i numeri attesi della tabella del testo (anche con un test chi-quadro qualitativo: il fit è eccellente).

158.8 Riepilogo del capitolo

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