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Capitolo 157
Distribuzione binomiale

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Considero le prove ripetute di un esperimento i cui esiti possibili siano due solamente, che chiamerò “successo” e “insuccesso”. La probabilità che, in \(n\) prove indipendenti, il successo si verifichi esattamente \(k\) volte è data dal binomio: \(\binom {n}{k} p^k q^{n-k}\), dove \(p\) è la probabilità di un successo singolo e \(q = 1 - p\).”

— Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi (postumo 1713), prima trattazione sistematica delle prove ripetute e della legge dei grandi numeri

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157.1 Introduzione motivazionale

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Lo schema più semplice di esperimento aleatorio ripetuto è il seguente: un evento può presentarsi (successo) o non presentarsi (insuccesso) ad ogni prova; le prove sono indipendenti e la probabilità di successo, \(p\), è la stessa in ogni prova. Lo schema è detto schema di Bernoulli (o prove ripetute).

Esempi:

La domanda naturale è: quante volte (su \(n\)) si verifica il successo? La variabile aleatoria “numero di successi in \(n\) prove” si chiama binomiale, e la sua distribuzione, scoperta da Jakob Bernoulli nell’Ars Conjectandi (1713), è una delle più importanti della statistica.

In questo capitolo:

157.2 Schema delle prove ripetute (Bernoulli)

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Definizione 157.1 — Prova di Bernoulli

Una prova di Bernoulli di parametro \(p \in [0, 1]\) è un esperimento aleatorio con due soli esiti, “successo” (probabilità \(p\)) e “insuccesso” (probabilità \(q = 1 - p\)). La variabile aleatoria associata \(Y\) vale \(1\) in caso di successo, \(0\) in caso di insuccesso:

\[ P(Y = 1) = p, \qquad P(Y = 0) = 1 - p. \]

\(Y\) si dice variabile aleatoria di Bernoulli.

Proprietà di una Bernoulli

Esempio 157.1 — Bernoulli di una moneta equa

\(p = 1/2\): \(E(Y) = 1/2\), \(\operatorname {Var}(Y) = 1/4\), \(\sigma = 1/2\). La varianza è massima per \(p = 1/2\) (la massima incertezza).

Schema di Bernoulli (prove ripetute)

Definizione 157.2 — Schema di Bernoulli

Lo schema delle prove ripetute di Bernoulli è la ripetizione di \(n\) prove di Bernoulli con le seguenti caratteristiche:

1.
indipendenza: l’esito di ogni prova è indipendente dagli altri;
2.
identità: la probabilità \(p\) di successo è la stessa in ogni prova.

Nota di realtà. Nella pratica, raramente le ipotesi sono perfettamente verificate (es. estrazione senza reimmissione da un’urna piccola: le probabilità cambiano dopo ogni estrazione, dunque le prove non sono indipendenti — in tal caso si usa la distribuzione ipergeometrica anziché binomiale). Lo schema di Bernoulli è il modello “ideale” al quale ci si avvicina quando le prove sono indipendenti e identiche.

157.3 Distribuzione binomiale

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Definizione 157.3 — Variabile aleatoria binomiale

Sia \(X\) il numero di successi in \(n\) prove di Bernoulli indipendenti di parametro \(p\). Si dice che \(X\) ha distribuzione binomiale di parametri \(n\) e \(p\), e si scrive \(X \sim B(n, p)\).

Valori possibili: \(\{0, 1, 2, \ldots , n\}\).

Formula della distribuzione

Distribuzione binomiale: per \(X \sim B(n, p)\) e \(k \in \{0, 1, \ldots , n\}\),

\[ P(X = k) = \binom {n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}. \]

Dimostrazione. Una sequenza specifica di \(n\) prove con esattamente \(k\) successi e \(n-k\) insuccessi (in un ordine fissato) ha probabilità \(p^k (1-p)^{n-k}\) (per indipendenza, le probabilità si moltiplicano). Il numero di sequenze possibili con \(k\) successi distribuiti tra \(n\) posizioni è \(\binom {n}{k}\) (coefficiente binomiale). Sommando, \(P(X = k) = \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\). \(\square \)

Verifica della normalizzazione

Per il teorema del binomio:

\[ \sum _{k=0}^n \binom {n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1. \quad \checkmark \]

Da qui anche il nome “binomiale”.

Esempio 157.2 — \(n = 3\), \(p = 1/2\) (3 lanci di moneta)

\[ \begin {array}{c|cccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X = k) & \binom {3}{0}(1/2)^3 = \frac {1}{8} & \binom {3}{1}(1/2)^3 = \frac {3}{8} & \binom {3}{2}(1/2)^3 = \frac {3}{8} & \binom {3}{3}(1/2)^3 = \frac {1}{8} \end {array} \]

Verifica: \(1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1\). \(\checkmark \)

Esempio 157.3 — \(n = 4\), \(p = 1/3\)

\(P(X = 0) = \binom {4}{0}(1/3)^0 (2/3)^4 = 16/81\). \(P(X = 1) = \binom {4}{1}(1/3)(2/3)^3 = 4 \cdot 8/243 = 32/81\). Eccetera.

[Picture]

Figura 157.1: Distribuzione binomiale \(B(10, 0.5)\). Simmetrica rispetto a \(k = 5\) (media \(np = 5\)). Il valore più probabile è \(k = 5\) con \(P \approx 0.246\).

Casi particolari

157.4 Valore atteso e varianza

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Per \(X \sim B(n, p)\):

\[ E(X) = n p, \qquad \operatorname {Var}(X) = n p (1 - p), \qquad \sigma _X = \sqrt {n p (1-p)}. \]

Dimostrazione (elegante, via linearità). Sia \(X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n\), dove \(Y_i\) è la Bernoulli associata alla \(i\)-esima prova. Per linearità di \(E\):

\[ E(X) = \sum _{i=1}^n E(Y_i) = n p. \]

Per la varianza, sfruttando che le \(Y_i\) sono indipendenti:

\[ \operatorname {Var}(X) = \sum _{i=1}^n \operatorname {Var}(Y_i) = n p (1-p). \qquad \square \]

Lezione metodologica: rappresentare una VA come somma di VA più semplici è una tecnica potentissima. Riduciamo un problema complesso (binomiale) a uno banale (Bernoulli) sfruttando linearità ed indipendenza.

Esempio 157.4 — Lancio di 100 monete

\(X = \) numero di teste in \(n = 100\) lanci di moneta equa (\(p = 1/2\)). \(E(X) = 50\), \(\operatorname {Var}(X) = 25\), \(\sigma = 5\). Interpretazione: ci aspettiamo circa \(50\) teste, con una “incertezza” tipica di \(\pm 5\). Probabilità che il numero di teste sia fra \(45\) e \(55\)? Circa \(68\%\) (regola euristica \(\mu \pm \sigma \), vedi normale 159).

Esempio 157.5 — Sondaggio politico

Un sondaggio su \(n = 1000\) persone stima la quota \(p\) di una certa preferenza. Se la quota reale è \(p = 0.3\) (\(30\%\)), il numero \(X\) di rispondenti favorevoli è \(B(1000, 0.3)\): \(E(X) = 300\), \(\sigma = \sqrt {1000 \cdot 0.3 \cdot 0.7} = \sqrt {210} \approx 14.5\). Errore relativo: \(\sigma /E = 14.5/300 \approx 4.8\%\). Più aumenti \(n\), più precisa è la stima — l’errore relativo va come \(1/\sqrt n\).

157.5 Applicazioni

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Controllo qualità

Esempio 157.6 — Lotto di pezzi difettosi

Un’azienda produce viti con tasso di difetto \(p = 0.02\) (\(2\%\)). Un cliente acquista un lotto di \(n = 50\) viti. Calcolare:

Genetica mendeliana

Esempio 157.7 — Figli di due genitori eterozigoti

Due genitori eterozigoti \(Aa \times Aa\) hanno probabilità \(p = 1/4\) di concepire un figlio omozigote recessivo (\(aa\)). In una famiglia di \(n = 8\) figli, qual è la probabilità che esattamente \(2\) siano omozigoti recessivi?

\(X \sim B(8, 1/4)\). \(P(X = 2) = \binom {8}{2}(1/4)^2 (3/4)^6 = 28 \cdot (1/16) \cdot (729/4096) = 28 \cdot 729 / 65536 \approx 0.311\). Numero atteso: \(E(X) = 8 \cdot 1/4 = 2\).

Casinò e gioco d’azzardo

Esempio 157.8 — 100 puntate alla roulette

Si gioca \(100\) volte sul rosso alla roulette europea (\(p = 18/37 \approx 0.486\)). \(X = \) numero di vittorie. \(E(X) = 100 \cdot 18/37 \approx 48.6\), \(\sigma = \sqrt {100 \cdot 18/37 \cdot 19/37} \approx 5.0\). La probabilità di vincere almeno la metà delle puntate (cioè \(\ge 50\)) è circa \(40\%\) (calcolo approssimato con la normale).

Test diagnostico

Esempio 157.9 — Falsi positivi

Un test diagnostico ha specificità \(99\%\) (cioè \(P(\text {negativo} \mid \text {sano}) = 0.99\)). In una popolazione di \(n = 1000\) persone sane, qual è il numero atteso di falsi positivi?

\(X \sim B(1000, 0.01)\). \(E(X) = 10\), \(\sigma \approx 3.15\). Su 1000 persone sane testate, ci aspettiamo circa \(10\) falsi positivi.

157.6 Esempi svolti

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Esempio 157.10 — Calcolo di \(P(X \le k)\)

\(X \sim B(5, 0.3)\). Calcolare \(P(X \le 2)\).

\(P(X = 0) = (0.7)^5 = 0.168\). \(P(X = 1) = 5 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^4 = 0.360\). \(P(X = 2) = 10 \cdot (0.3)^2 (0.7)^3 = 0.309\). Somma: \(P(X \le 2) \approx 0.837\).

Esempio 157.11 — Probabilità complementare

\(X \sim B(20, 0.1)\). Calcolare \(P(X \ge 1)\).

Più rapido col complementare: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0.9)^{20} \approx 1 - 0.122 = 0.878\).

Lezione: per “almeno uno” è quasi sempre più rapido calcolare \(1 - P(X = 0)\).

Esempio 157.12 — Quanti tentativi servono?

In quanti lanci di una moneta equa (\(p = 1/2\)) la probabilità di ottenere almeno una testa supera il \(99\%\)?

\(P(\text {almeno una testa}) = 1 - (1/2)^n \ge 0.99 \iff (1/2)^n \le 0.01 \iff n \ge \log _2 100 \approx 6.64\). Quindi \(n \ge 7\) lanci.

Esempio 157.13 — Lotto di lampadine

Un lotto contiene il \(5\%\) di lampadine difettose. Un cliente compra \(n = 20\) lampadine. Probabilità che ne trovi almeno \(3\) difettose?

\(X \sim B(20, 0.05)\). \(E(X) = 1\), \(\sigma \approx 0.97\). \(P(X \ge 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)\):

\(P(X \ge 3) \approx 1 - 0.924 = 0.076\), ovvero circa \(7.6\%\).

Esempio 157.14 — Sondaggio: errore probabile

Un sondaggio elettorale intervista \(n = 400\) persone, di cui \(X = 120\) favorevoli a un candidato. Stimare la quota \(p\) nella popolazione e la sua incertezza.

Stima puntuale: \(\hat p = 120/400 = 0.30\).

Deviazione standard di \(\hat p = X/n\): \(\sigma _{\hat p} = \sigma _X/n = \sqrt {n p (1-p)}/n = \sqrt {p(1-p)/n}\). Sostituendo \(\hat p\): \(\sigma _{\hat p} \approx \sqrt {0.3 \cdot 0.7 / 400} \approx 0.023\) (\(2.3\%\)).

Intervallo di fiducia al \(95\%\) (regola euristica \(\hat p \pm 2 \sigma \)): \(\hat p \in [0.254, 0.346]\), ovvero \(30 \pm 5\%\) circa. Il candidato è stimato al \(30\%\) con un margine di errore di \(\pm 5\) punti percentuali.

Esempio 157.15 — Famiglia con 5 figli: genere

Assumendo \(p = 0.5\) per la probabilità di femmina, qual è la probabilità che in una famiglia di \(5\) figli vi siano:

157.7 Esercizi proposti

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Esercizio 157.1

1.
Calcolare i seguenti valori di \(P(X = k)\) per \(X \sim B(n, p)\):
(a)
\(n = 4\), \(p = 0.5\), \(k = 2\);
(b)
\(n = 6\), \(p = 1/3\), \(k = 2\);
(c)
\(n = 10\), \(p = 0.2\), \(k = 3\);
(d)
\(n = 5\), \(p = 0.7\), \(k = 4\).
2.
Per ciascuna \(B(n, p)\), calcolare \(E(X)\), \(\operatorname {Var}(X)\), \(\sigma \):
(a)
\(B(20, 0.5)\);
(b)
\(B(50, 0.1)\);
(c)
\(B(100, 0.4)\).
3.
Si lancia una moneta equa \(8\) volte. Calcolare:
(a)
probabilità di esattamente \(5\) teste;
(b)
probabilità di almeno \(6\) teste;
(c)
probabilità che il numero di teste sia compreso fra \(3\) e \(5\) (inclusi).
4.
Un giocatore di basket realizza il \(0.8\) dei tiri liberi. Tira \(n = 10\) volte. Calcolare:
(a)
probabilità di tutti canestri;
(b)
probabilità di esattamente \(7\) canestri;
(c)
numero atteso e deviazione standard dei canestri.
5.
Un dado a 6 facce viene lanciato \(12\) volte. Sia \(X\) il numero di \(6\) ottenuti. Calcolare:
(a)
\(E(X)\), \(\operatorname {Var}(X)\);
(b)
\(P(X = 2)\);
(c)
\(P(X \ge 1)\).
6.
Un test a risposta multipla ha \(20\) domande, ciascuna con \(4\) alternative, e bisogna rispondere a caso. Calcolare:
(a)
probabilità di esattamente \(5\) risposte corrette;
(b)
probabilità di superare la prova (\(\ge 10\) corrette);
(c)
numero atteso di risposte corrette.
7.
Per quale valore di \(p\) la varianza di una Bernoulli è massima? Calcolare il massimo.
8.
Un negozio osserva che il \(30\%\) dei clienti acquista qualcosa. Quanti clienti devono entrare in media perché ne acquisti almeno uno? (Suggerimento: probabilità che \(X = 0\) in \(n\) ingressi è \((0.7)^n\), imporre \(\le 0.5\) ed estrarre \(n\).)
9.
In una lotteria, ogni biglietto ha probabilità \(1/1000\) di essere vincente. Una persona compra \(50\) biglietti. Calcolare:
(a)
probabilità di nessun vincita;
(b)
probabilità di esattamente \(1\) vincita;
(c)
probabilità di almeno \(1\) vincita.
10.
Una famiglia ha \(4\) figli. Calcolare:
(a)
probabilità che siano tutti dello stesso sesso;
(b)
probabilità che ci siano \(2\) maschi e \(2\) femmine.
11.
Una macchina produce viti con il \(3\%\) difettoso. Si controllano \(n\) viti. Per quale \(n\) la probabilità di trovare almeno una difettosa supera il \(90\%\)?
12.
Mostrare che, per \(X \sim B(n, p)\), \(E((X-np)^2) = np(1-p)\) ricalcolando esplicitamente.
13.
In una città vivono \(50000\) persone. Il \(0.2\%\) è affetto da una certa malattia. Un test di screening ha sensibilità \(0.95\) (positivo se malato) e specificità \(0.98\) (negativo se sano). Calcolare il numero atteso di positivi al test (suggerimento: distinguere malati e sani).
14.
Verificare per induzione su \(n\) la formula del valore atteso di una binomiale: \(E(X) = np\) per \(X \sim B(n, p)\).
15.
Una compagnia aerea ha riservato \(200\) posti per un volo, ma vende \(210\) biglietti (overbooking). Ogni passeggero ha probabilità \(0.95\) di presentarsi all’aeroporto. Calcolare la probabilità che vi siano più passeggeri di posti.
16.
Sfida (legge dei grandi numeri, cenno). Sia \(X_n\) il numero di teste in \(n\) lanci di una moneta equa. Mostrare che la frequenza relativa \(X_n/n\) ha media \(1/2\) e varianza \(1/(4n) \to 0\). Dedurne intuitivamente che \(X_n/n \to 1/2\) “in probabilità” (la frequenza relativa converge alla probabilità teorica al crescere di \(n\)). Questa è la legge dei grandi numeri di Bernoulli (1713), pietra angolare della statistica.

157.8 Riepilogo del capitolo

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