156 Variabili aleatorie continue: densità e funzione di ripartizione

Capitolo 156
Variabili aleatorie continue: densità e funzione di ripartizione

“

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Quando una grandezza può assumere un’infinità continua di valori, la probabilità che essa cada in un determinato intervallo si esprime mediante un integrale: precisamente, l’integrale di una funzione positiva, la densità di probabilità, estesa a quell’intervallo. Il valor medio della grandezza è poi l’integrale della grandezza moltiplicata per la sua densità.”

— Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812), capitolo introduttivo, traduzione adattata

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156.1 Introduzione motivazionale

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Nel capitolo precedente (155) abbiamo studiato le variabili aleatorie discrete, che assumono un insieme finito o numerabile di valori. Molte grandezze, però, sono naturalmente continue: possono assumere qualsiasi valore reale in un intervallo. Esempi:

il tempo di attesa di un autobus (qualsiasi numero reale positivo);
l’altezza di una persona (qualsiasi valore in un intervallo plausibile);
l’errore di una misura sperimentale (qualsiasi valore reale);
la durata di vita di un componente elettronico.

Per queste variabili aleatorie continue, il modello discreto si rivela inadeguato: la probabilità che una grandezza continua assuma un singolo valore specifico è zero (es. la probabilità che il tempo di attesa sia esattamente $12.345678\ldots $ secondi è zero — ci sono troppi valori possibili). La probabilità si distribuisce invece su intervalli, e il suo studio richiede l’integrazione (148–149).

In questo capitolo introduciamo:

la definizione di variabile aleatoria continua;
la funzione di densità di probabilità $f(x)$;
la funzione di ripartizione $F(x) = P(X \le x)$, legata a $f$ dal teorema fondamentale del calcolo;
le formule per valore atteso e varianza nel caso continuo (integrali al posto di somme).

La distribuzione continua più importante — la normale (gaussiana) — è discussa in 159.

Nota storica. La teoria delle VA continue nasce nel Settecento con Bernoulli, Eulero e Laplace. Il primo trattato sistematico è la Théorie analytique des probabilités di Laplace (1812), che inquadra le probabilità come capitolo dell’analisi: “la probabilità è l’integrazione della densità”. Gauss (1809) introduce la distribuzione che porta il suo nome studiando gli errori di misura astronomici. La sistemazione moderna è di Kolmogorov (1933) con la teoria della misura.

156.2 Definizione di variabile aleatoria continua

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Definizione 156.1 — Variabile aleatoria continua

Una variabile aleatoria $X$ si dice continua se esiste una funzione $f : \mathbb{R} \to [0, +\infty )$, detta densità di probabilità (o funzione di densità) di $X$, tale che per ogni intervallo $[a, b]$:

\[ P(a \le X \le b) = \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x. \]

Conseguenza immediata: la probabilità che $X$ assuma un singolo valore $x_0$ è zero:

\[ P(X = x_0) = \int _{x_0}^{x_0} f(x)\,\mathrm {d}x = 0. \]

Quindi $P(a \le X \le b) = P(a < X < b)$: con le VA continue, gli estremi inclusi o esclusi non contano. Solo gli intervalli di lunghezza positiva hanno probabilità non nulla.

Attenzione!

La densità $f(x)$ non è una probabilità: è la “probabilità per unità di lunghezza”. In particolare, $f(x)$ può essere maggiore di $1$ (si pensi a una densità molto stretta e alta). La quantità che è una probabilità è l’area sotto la densità, cioè $\int _a^b f$.

156.3 Funzione densità di probabilità

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Proprietà fondamentali della densità $f(x)$:

1.: $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in \mathbb{R} $ (positività).
2.: $\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty } f(x)\,\mathrm {d}x = 1$ (normalizzazione: la probabilità totale è $1$).

Viceversa, ogni $f$ che soddisfa queste due proprietà definisce una distribuzione continua.

Esempi notevoli di densità

Esempio 156.1 — Distribuzione uniforme

Una VA $X$ è uniforme su $[a, b]$ se la sua densità è

\[ f(x) = \begin {cases} 1/(b-a) & a \le x \le b \\ 0 & \text {altrimenti.} \end {cases} \]

Verifica della normalizzazione: $\int _a^b 1/(b-a)\,\mathrm {d}x = (b-a)/(b-a) = 1$. $\checkmark $

Interpretazione: tutti i valori in $[a, b]$ sono “ugualmente probabili” (nel senso che la densità è costante). Modello del “totalmente casuale dentro un intervallo”.

Esempio 156.2 — Distribuzione esponenziale

$X$ è esponenziale di parametro $\lambda > 0$ se la sua densità è

\[ f(x) = \begin {cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0. \end {cases} \]

Normalizzazione: $\int _0^{+\infty } \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x = 1$. $\checkmark $

Modello: tempi di attesa fra eventi rari (decadimenti radioattivi, guasti, arrivi a uno sportello).

Esempio 156.3 — Distribuzione normale (cenno)

$X$ è normale di parametri $\mu \in \mathbb{R} $ e $\sigma > 0$ se la sua densità è

\[ f(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt {2 \pi }} e^{-(x-\mu )^2/(2 \sigma ^2)}. \]

La verifica della normalizzazione richiede il celebre integrale di Gauss $\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-x^2}\,\mathrm {d}x = \sqrt \pi $. La normale è la distribuzione più importante della statistica (vedi 159).

[Picture] — Figura 156.1: Sinistra: densità uniforme su $[a, b]$, costante a $1/(b-a)$. Destra: densità esponenziale $\lambda e^{-\lambda x}$, decrescente esponenzialmente. In entrambi i casi, l’area totale sotto il grafico vale $1$.

156.4 Funzione di ripartizione

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Definizione 156.2 — Funzione di ripartizione di una VA continua

La funzione di ripartizione (o cumulativa) di una VA continua $X$ è

\[ F(x) = P(X \le x) = \int _{-\infty }^x f(t)\,\mathrm {d}t. \]

Legame con la densità

Dal teorema fondamentale del calcolo (149):

\[ F'(x) = f(x) \quad \text {ovunque $f$ è continua}. \]

Quindi, conoscendo $F$, si ricava $f$ derivando; conoscendo $f$, si ricava $F$ integrando. Sono equivalenti.

Proprietà di $F$ (caso continuo):

$F$ è continua su tutto $\mathbb{R} $ (a differenza del caso discreto dove era “a scaletta”).
$F$ è non decrescente, con $\lim _{x \to -\infty } F(x) = 0$, $\lim _{x \to +\infty } F(x) = 1$.
Per ogni $a < b$: $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$.

Esempio 156.4 — Ripartizione della distribuzione uniforme

Per $X$ uniforme su $[a, b]$:

\[ F(x) = \begin {cases} 0 & x < a \\ (x - a)/(b - a) & a \le x \le b \\ 1 & x > b. \end {cases} \]

Verifica: $F'(x) = 1/(b - a)$ su $(a, b)$, $= 0$ altrove, conformemente alla densità.

Esempio 156.5 — Ripartizione della distribuzione esponenziale

Per $X$ esponenziale di parametro $\lambda $:

\[ F(x) = \begin {cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0. \end {cases} \]

Calcolo: $\int _0^x \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm {d}t = [-e^{-\lambda t}]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$.

156.5 Valore atteso e varianza nel continuo

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Le definizioni di valore atteso e varianza nel caso continuo sono analoghe a quelle del discreto, con integrali al posto di somme.

Valore atteso e varianza (caso continuo):

\begin{align*} E(X) &= \mu = \int _{-\infty }^{+\infty } x \, f(x)\,\mathrm {d}x, \\ E(g(X)) &= \int _{-\infty }^{+\infty } g(x) \, f(x)\,\mathrm {d}x, \\ \operatorname {Var}(X) &= \sigma ^2 = E((X - \mu )^2) = \int _{-\infty }^{+\infty } (x - \mu )^2 \, f(x)\,\mathrm {d}x = E(X^2) - \mu ^2. \end{align*}

Proprietà (linearità di $E$, $\operatorname {Var}(aX+b) = a^2 \operatorname {Var}(X)$, ecc.): le stesse del caso discreto, dimostrate per integrale anziché per somma.

Calcoli per le distribuzioni notevoli

Esempio 156.6 — Media e varianza della distribuzione uniforme

\[ E(X) = \int _a^b x \cdot \frac {1}{b - a}\,\mathrm {d}x = \frac {1}{b-a} \cdot \frac {b^2 - a^2}{2} = \frac {a + b}{2}. \]

(La media è il punto centrale dell’intervallo, come ci si aspetta.)

\[ E(X^2) = \frac {1}{b-a} \int _a^b x^2\,\mathrm {d}x = \frac {b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac {a^2 + ab + b^2}{3}. \]

$\operatorname {Var}(X) = E(X^2) - \mu ^2 = \dfrac {a^2 + ab + b^2}{3} - \dfrac {(a+b)^2}{4} = \dfrac {(b - a)^2}{12}$. Deviazione standard $\sigma = (b-a)/\sqrt {12}$.

Esempio 156.7 — Media e varianza della distribuzione esponenziale

\[ E(X) = \int _0^{+\infty } x \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x. \]

Per parti, $u = x$, $v' = \lambda e^{-\lambda x}$, $v = -e^{-\lambda x}$:

\[ E(X) = [-x e^{-\lambda x}]_0^{+\infty } + \int _0^{+\infty } e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x = 0 + \frac {1}{\lambda } = \frac {1}{\lambda }. \]

Analogamente (esercizio): $E(X^2) = 2/\lambda ^2$, dunque $\operatorname {Var}(X) = 2/\lambda ^2 - 1/\lambda ^2 = 1/\lambda ^2$. $\sigma = 1/\lambda $. Coincidenza notevole: media e deviazione standard della distribuzione esponenziale sono uguali.

Esempio 156.8 — Media della distribuzione normale

Per $X$ normale di parametri $\mu , \sigma $: $E(X) = \mu $, $\operatorname {Var}(X) = \sigma ^2$. (Il calcolo richiede sostituzione e l’integrale di Gauss; vedi 159.) I parametri $\mu , \sigma $ della normale sono esattamente la media e la deviazione standard.

156.6 Esempi svolti

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Esempio 156.9 — Determinare la costante di normalizzazione

Per quale valore di $c$ la funzione $f(x) = c x (2 - x)$ su $[0, 2]$ è una densità di probabilità?

Normalizzazione: $\int _0^2 c x(2-x)\,\mathrm {d}x = c \int _0^2 (2x - x^2)\,\mathrm {d}x = c \cdot [x^2 - x^3/3]_0^2 = c (4 - 8/3) = 4c/3$. Imponendo $= 1$: $c = 3/4$.

Esempio 156.10 — Calcolo di una probabilità

$X$ ha densità $f(x) = 3 x^2$ su $[0, 1]$, $0$ altrove. Calcolare $P(X \le 1/2)$ e $P(0.2 \le X \le 0.7)$.

Normalizzazione: $\int _0^1 3 x^2\,\mathrm {d}x = [x^3]_0^1 = 1$. $\checkmark $

$P(X \le 1/2) = \int _0^{1/2} 3 x^2\,\mathrm {d}x = (1/2)^3 = 1/8 = 0.125$.

$P(0.2 \le X \le 0.7) = (0.7)^3 - (0.2)^3 = 0.343 - 0.008 = 0.335$.

Esempio 156.11 — Tempo di attesa di un autobus

Un autobus passa ogni $15$ $\mathrm {\mathrm{min} }$. Se arrivo alla fermata in un istante casuale, il tempo di attesa $T$ è uniforme su $[0, 15]$ minuti. Determinare:

Probabilità di attendere meno di $5$ $\mathrm {\mathrm{min} }$: $P(T \le 5) = 5/15 = 1/3$.
Probabilità di attendere tra $5$ e $10\,{\mathrm{min} }$: $P(5 \le T \le 10) = 5/15 = 1/3$.
Tempo medio di attesa: $E(T) = (0 + 15)/2 = 7.5\,{\mathrm{min} }$.
Deviazione standard: $\sigma = 15/\sqrt {12} \approx 4.33\,{\mathrm{min} }$.

Esempio 156.12 — Decadimento radioattivo: tempo di vita di un atomo

Un atomo di ${}^{14}\mathrm {C}$ ha tempo di vita esponenziale con $\lambda = (\ln 2)/T_{1/2} = (\ln 2)/5730 \approx 1.21\times 10^{-4}$ anni^-1. Calcolare:

Tempo medio di vita: $E(T) = 1/\lambda \approx 8266$ anni.
Mediana (tempo $m$ tale che $P(T \le m) = 1/2$): $F(m) = 1 - e^{-\lambda m} = 1/2 \Rightarrow m = (\ln 2)/\lambda = T_{1/2}$.

Lezione: media e mediana coincidono per una distribuzione esponenziale solo in un caso particolare; in generale, per l’esponenziale, mediana $= T_{1/2} = (\ln 2)/\lambda \ne 1/\lambda = $ media. La mediana è il tempo di dimezzamento, la media è il tempo medio di vita.

Esempio 156.13 — Densità a tratti

$f(x) = \begin {cases} k x & 0 \le x \le 1 \\ k (2 - x) & 1 \le x \le 2 \\ 0 & \text {altrove.}\end {cases}$ (Densità “triangolare”.)

Normalizzazione: $\int _0^1 k x\,\mathrm {d}x + \int _1^2 k(2-x)\,\mathrm {d}x = k/2 + k/2 = k = 1$.

$E(X) = \int _0^1 x \cdot x\,\mathrm {d}x + \int _1^2 x(2-x)\,\mathrm {d}x = 1/3 + [x^2 - x^3/3]_1^2 = 1/3 + (4 - 8/3) - (1 - 1/3) = 1/3 + 4/3 - 2/3 = 1$. La media è il centro di simmetria del triangolo.

Esempio 156.14 — Funzione di una VA

$X$ uniforme su $[0, 1]$. Determinare densità di $Y = X^2$.

$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(X \le \sqrt y) = \sqrt y$ per $y \in [0, 1]$. Derivando: $f_Y(y) = 1/(2\sqrt y)$ per $y \in (0, 1]$. Importante: $Y$ non è uniforme, anche se $X$ lo è. La densità di $Y$ diverge a $0^+$ (concentrata vicino a $0$).

Esempio 156.15 — Distribuzione mista (cenno)

Esistono VA che sono né discrete né continue. Esempio: il tempo di vita di un componente che può guastarsi all’istante $0$ con probabilità $p$ (componente difettoso) e altrimenti ha vita esponenziale. Questa VA è “parte discreta + parte continua”. Trattazione completa: corsi universitari.

156.7 Esercizi proposti

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Esercizio 156.1

1.

Per ciascuna funzione, stabilire se può essere una densità di probabilità e, in caso negativo, modificarla per renderla tale (cioè trovare la costante di normalizzazione):

(a): $f(x) = x$ su $[0, 2]$;
(b): $f(x) = e^{-x}$ su $[0, +\infty )$;
(c): $f(x) = \operatorname{sen} x$ su $[0, \pi ]$;
(d): $f(x) = 1/x^2$ su $[1, +\infty )$;
(e): $f(x) = 1$ su $[0, 1] \cup [2, 3]$.

2.

Sia $X$ uniforme su $[2, 8]$. Calcolare:

(a): $P(X \le 4)$;
(b): $P(3 \le X \le 7)$;
(c): $E(X)$ e $\operatorname {Var}(X)$.

3.

Sia $X$ esponenziale di parametro $\lambda = 2$. Calcolare:

(a): $P(X \le 1)$;
(b): $P(1 \le X \le 2)$;
(c): $P(X > 3)$;
(d): $E(X)$ e $\operatorname {Var}(X)$.

4.

Una VA $X$ ha densità $f(x) = k(1 - x^2)$ su $[-1, 1]$, $0$ altrove. Determinare $k$, calcolare $E(X)$, $\operatorname {Var}(X)$, e $P(|X| \le 1/2)$.

5.

Determinare la funzione di ripartizione di una VA con densità $f(x) = 2x$ su $[0, 1]$.

6.

Una VA $X$ ha $F(x) = 0$ per $x < 0$, $F(x) = x^2$ per $0 \le x \le 1$, $F(x) = 1$ per $x > 1$. Determinare $f(x)$ e calcolare $E(X)$.

7.

Una sostanza radioattiva ha tempo di vita esponenziale con media $100~anni$. Qual è la probabilità che un atomo sia ancora presente dopo $50$ anni? Dopo $200$ anni?

8.

Il tempo di attesa di un cliente in fila è esponenziale con media $10$ $\mathrm {\mathrm{min} }$. Determinare la probabilità che un cliente attenda più di $20$ $\mathrm {\mathrm{min} }$.

9.

Mostrare che, se $X$ è uniforme su $[a, b]$, allora $Y = (X - a)/(b - a)$ è uniforme su $[0, 1]$.

10.

Mostrare la proprietà di assenza di memoria dell’esponenziale: $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ per ogni $s, t > 0$. Cioè “il futuro non dipende dal passato”: la distribuzione del tempo residuo è sempre la stessa esponenziale di parametro $\lambda $, indipendentemente da quanto è già passato. (Suggerimento: $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.)

11.

Sia $X$ con densità $f(x) = 3 x^2$ su $[0, 1]$. Calcolare $E(X)$, $E(X^2)$, $\operatorname {Var}(X)$, e $P(X > 1/2)$.

12.

Una VA $X$ ha densità $f(x) = 1/(2 \sqrt x)$ su $(0, 1]$, $0$ altrove. Verificare la normalizzazione, calcolare $F(x)$ e $E(X)$.

13.

Determinare la densità di $Y = e^X$ se $X$ è uniforme su $[0, 1]$. (Risposta: $f_Y(y) = 1/y$ su $[1, e]$.)

14.

Determinare la densità di $Y = -\ln X$ se $X$ è uniforme su $(0, 1]$. (Risultato: $Y$ è esponenziale di parametro $\lambda = 1$. È il metodo standard di simulazione di una esponenziale partendo da un’uniforme.)

15.

Una VA $X$ continua è simmetrica rispetto a $\mu $ se $f(\mu - t) = f(\mu + t)$ per ogni $t$. Mostrare che $E(X) = \mu $ in tal caso, purché l’integrale esista.

16.

Sfida (densità di Cauchy). La densità di Cauchy è $f(x) = 1/(\pi (1 + x^2))$ su $\mathbb{R} $. Verificare la normalizzazione. Mostrare che $E(X)$ non esiste (l’integrale $\int x/(1+x^2)$ diverge a entrambi gli infiniti). Lezione: una VA continua può avere densità ben definita ma media non definita. La Cauchy è un esempio classico, importante in fisica (curve di risonanza) e in statistica robusta.

156.8 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Variabile aleatoria continua: $X$ con densità $f \ge 0$ tale che $P(a \le X \le b) = \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x$.
Conseguenza: $P(X = x_0) = 0$ per ogni singolo valore. La probabilità si concentra su intervalli.
Proprietà di $f$: $f \ge 0$, $\int _{-\infty }^{+\infty } f = 1$. (La densità non è una probabilità ma una “probabilità per unità di lunghezza”, e può superare $1$.)
Funzione di ripartizione: $F(x) = \int _{-\infty }^x f(t)\,\mathrm {d}t$, continua e crescente, con $F(-\infty ) = 0$, $F(+\infty ) = 1$. Legame: $F' = f$ (teorema fondamentale del calcolo).
Valore atteso: $E(X) = \int x f(x)\,\mathrm {d}x$.
Varianza: $\operatorname {Var}(X) = E((X - \mu )^2) = \int (x - \mu )^2 f(x)\,\mathrm {d}x = E(X^2) - \mu ^2$.
Distribuzioni notevoli:
- Uniforme su $[a, b]$: $f = 1/(b-a)$, $E = (a+b)/2$, $\operatorname {Var} = (b-a)^2/12$.
- Esponenziale di parametro $\lambda $: $f = \lambda e^{-\lambda x}$ per $x \ge 0$, $E = 1/\lambda $, $\operatorname {Var} = 1/\lambda ^2$, mediana $= (\ln 2)/\lambda $, assenza di memoria.
- Normale di parametri $\mu , \sigma $: $f = \frac {1}{\sigma \sqrt {2\pi }} e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma ^2)}$, $E = \mu $, $\operatorname {Var} = \sigma ^2$ (vedi 159).
Nei prossimi capitoli: 157 distribuzione binomiale (discreta), 158 distribuzione di Poisson (discreta), 159 distribuzione normale (continua, distribuzione regina della statistica).

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Capitolo 156 Variabili aleatorie continue: densità e funzione di ripartizione

156.1 Introduzione motivazionale

156.2 Definizione di variabile aleatoria continua

156.3 Funzione densità di probabilità

Esempi notevoli di densità

156.4 Funzione di ripartizione

Legame con la densità

156.5 Valore atteso e varianza nel continuo

Calcoli per le distribuzioni notevoli

156.6 Esempi svolti

156.7 Esercizi proposti

156.8 Riepilogo del capitolo

Capitolo 156
Variabili aleatorie continue: densità e funzione di ripartizione