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Capitolo 151
Calcolo di volumi: solidi di rotazione e sezioni note

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Se due solidi, ugualmente alti, hanno sezioni piane parallele e di area uguale in corrispondenza di ogni piano di taglio, allora i due solidi hanno volumi uguali. È un principio universale, che riduce la stereometria a un esercizio di integrazione di aree.”

— Bonaventura Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635), Principio degli indivisibili, traduzione adattata

____________________________________________________________________________________

151.1 Introduzione motivazionale

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Il calcolo integrale, oltre a fornire aree di regioni piane (150), permette di calcolare volumi di solidi tridimensionali. L’idea-chiave, già intuita da Bonaventura Cavalieri nel 1635 con il suo principio degli indivisibili, è la stessa che abbiamo usato per le aree, applicata in una dimensione in più:

\[ V = \int _a^b A(x)\,\mathrm {d}x, \]

dove \(A(x)\) è l’area della sezione del solido in corrispondenza dell’ascissa \(x\). “Si suddivide il solido in fette di spessore infinitesimo, si somma”.

In questo capitolo trattiamo tre casi:

Nella parte finale anticipiamo, per completezza, anche il calcolo della lunghezza di un arco di curva, altra applicazione classica del calcolo integrale.

151.2 Solidi di rotazione attorno all’asse \(x\)

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Sia \(f : [a, b] \to \mathbb{R} \) continua con \(f(x) \ge 0\). Ruotando il grafico di \(f\) attorno all’asse \(x\), si ottiene un solido di rotazione. La sezione del solido in corrispondenza dell’ascissa \(x\) è un cerchio di raggio \(f(x)\), dunque di area \(\pi [f(x)]^2\).

Volume di un solido di rotazione attorno all’asse \(x\) (metodo dei dischi).

\[ V = \pi \int _a^b [f(x)]^2\,\mathrm {d}x. \]

[Picture]

Figura 151.1: Solido di rotazione attorno all’asse \(x\): la sezione a quota \(x\) è un cerchio di raggio \(f(x)\) e area \(\pi [f(x)]^2\); il volume è l’integrale di queste aree.

Esempio 151.1 — Volume del cono

La retta \(y = (r/h) x\) per \(x \in [0, h]\), ruotata attorno all’asse \(x\), genera un cono di raggio \(r\) e altezza \(h\):

\[ V = \pi \int _0^h \left ( \frac {r x}{h} \right )^2\,\mathrm {d}x = \frac {\pi r^2}{h^2} \cdot \frac {h^3}{3} = \frac {1}{3} \pi r^2 h. \]

La nota formula del volume del cono (\(1/3\) di cilindro di stessa base e altezza), ricavata integrando.

Esempio 151.2 — Volume della sfera

La semicirconferenza \(y = \sqrt {r^2 - x^2}\) per \(x \in [-r, r]\), ruotata attorno all’asse \(x\), genera una sfera di raggio \(r\):

\[ V = \pi \int _{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,\mathrm {d}x = \pi \bigl [ r^2 x - x^3/3 \bigr ]_{-r}^{r} = \pi \left ( 2 r^3 - \frac {2 r^3}{3} \right ) = \frac {4}{3} \pi r^3. \]

La nota formula del volume della sfera, ricavata in tre righe. Si confronti con la dimostrazione geometrica originale di Archimede (III sec. a.C., Sulla sfera e il cilindro), per la quale impiegò decine di pagine.

Esempio 151.3 — Volume del paraboloide

La parabola \(y = \sqrt x\) per \(x \in [0, h]\), ruotata attorno all’asse \(x\), genera un paraboloide di altezza \(h\) e raggio massimo \(\sqrt h\):

\[ V = \pi \int _0^h x\,\mathrm {d}x = \pi \cdot \frac {h^2}{2} = \frac {\pi h^2}{2}. \]

Il paraboloide ha esattamente metà del volume del cilindro circoscritto (di raggio \(\sqrt h\) e altezza \(h\), volume \(\pi h^2\)). Un altro risultato che si trova in Archimede (Sui conoidi e sferoidi).

Metodo degli anelli (corone circolari)

Se la regione che ruota è racchiusa fra due curve \(y = f(x)\) e \(y = g(x)\) con \(0 \le f \le g\), la sezione del solido è una corona circolare di raggio esterno \(g(x)\) e raggio interno \(f(x)\):

\[ V = \pi \int _a^b \bigl ( [g(x)]^2 - [f(x)]^2 \bigr )\,\mathrm {d}x. \]

Esempio 151.4 — Volume di un toro

Il toro (la “ciambella”) si ottiene facendo ruotare attorno all’asse \(x\) un cerchio di raggio \(r\) con centro in \((0, R)\), con \(R > r\). Il cerchio è compreso fra i grafici della semicirconferenza inferiore \(f(x) = R - \sqrt {r^2 - x^2}\) e di quella superiore \(g(x) = R + \sqrt {r^2 - x^2}\), con \(x \in [-r, r]\):

\[ V = \pi \int _{-r}^{r} (g^2 - f^2)\,\mathrm {d}x = \pi \int _{-r}^{r} 4 R \sqrt {r^2 - x^2}\,\mathrm {d}x = 4 \pi R \cdot \frac {\pi r^2}{2} = 2 \pi ^2 R r^2. \]

(Si è usato \(\int _{-r}^r \sqrt {r^2 - x^2}\,\mathrm {d}x = \pi r^2/2\) dall’esempio dell’area del cerchio.) La formula classica per il volume del toro è \(V = 2 \pi ^2 R r^2\), equivalente a \((\pi r^2)(2 \pi R)\): l’area della sezione circolare per il cammino del centroide (teorema di Pappo–Guldino, sotto). \(\checkmark \)

151.3 Solidi di rotazione attorno all’asse \(y\)

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Per un solido ottenuto ruotando attorno all’asse \(y\) il sottografico di \(f\) su \([a, b]\), due strategie:

1.
Inversione: esprimere la curva come \(x = h(y)\) e applicare il metodo dei dischi in versione “trasposta”:
\[ V = \pi \int _{c}^{d} [h(y)]^2\,\mathrm {d}y, \]

con \(c = f(a)\), \(d = f(b)\) (se \(f\) è invertibile).

2.
Gusci cilindrici (sezione successiva): metodo alternativo che non richiede l’inversione esplicita.

Esempio 151.5 — Sfera generata ruotando attorno all’asse \(y\)

La semicirconferenza \(y = \sqrt {r^2 - x^2}\) può essere scritta come \(x = \sqrt {r^2 - y^2}\) per \(y \in [-r, r]\). Ruotando attorno all’asse \(y\):

\[ V = \pi \int _{-r}^{r} (r^2 - y^2)\,\mathrm {d}y = \frac {4}{3} \pi r^3. \]

Stesso risultato del caso “asse \(x\)”, come atteso per simmetria.

151.4 Metodo dei gusci cilindrici

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Il metodo dei gusci cilindrici scompone il solido in gusci concentrici attorno all’asse di rotazione. È particolarmente utile per rotazioni attorno all’asse \(y\) partendo da \(y = f(x)\).

Idea. Consideriamo una striscia verticale del sottografico di \(f\) a quota \(x\) con larghezza \(\mathrm {d}x\) e altezza \(f(x)\). Ruotando attorno all’asse \(y\), questa striscia genera un guscio cilindrico di raggio \(x\), altezza \(f(x)\) e spessore \(\mathrm {d}x\). Il suo volume è (lateralmente: \(2\pi x \cdot f(x) \cdot \mathrm {d}x\)):

Volume con il metodo dei gusci cilindrici (asse \(y\)). Se \(0 \le a \le b\) e \(f(x) \ge 0\):

\[ V = 2 \pi \int _a^b x \cdot f(x)\,\mathrm {d}x. \]

Esempio 151.6 — Paraboloide via gusci cilindrici

La parabola \(y = x^2\) per \(x \in [0, R]\), ruotata attorno all’asse \(y\), genera un paraboloide. Via gusci:

\[ V = 2 \pi \int _0^R x \cdot x^2\,\mathrm {d}x = 2 \pi \int _0^R x^3\,\mathrm {d}x = 2 \pi \cdot \frac {R^4}{4} = \frac {\pi R^4}{2}. \]

Verifica via dischi: \(y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt y\); \(V = \pi \int _0^{R^2} y\,\mathrm {d}y = \pi R^4/2\). \(\checkmark \)

151.5 Volume di solidi a sezioni note

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Più in generale, se conosciamo l’area \(A(x)\) della sezione di un solido in corrispondenza dell’ascissa \(x \in [a, b]\), il volume è

\[ V = \int _a^b A(x)\,\mathrm {d}x. \]

Questa è la formulazione più generale, che include come casi particolari i solidi di rotazione (dove \(A(x) = \pi [f(x)]^2\)).

Esempio 151.7 — Solido a sezione quadrata

Un solido ha base nel piano \(x\)-\(y\) la regione delimitata da \(y = x^2\) e \(y = 4\). Le sezioni perpendicolari all’asse \(x\) sono quadrati. Calcolare il volume.

La base, per ogni \(x \in [-2, 2]\), ha larghezza \(4 - x^2\) (differenza fra le due curve in \(y\)). Il quadrato corrispondente ha lato \(4 - x^2\) e area \((4 - x^2)^2\):

\[ V = \int _{-2}^{2} (4 - x^2)^2\,\mathrm {d}x = \int _{-2}^{2} (16 - 8 x^2 + x^4)\,\mathrm {d}x = 2 \int _0^2 (16 - 8 x^2 + x^4)\,\mathrm {d}x. \]

\(\int _0^2 = [16 x - 8 x^3/3 + x^5/5]_0^2 = 32 - 64/3 + 32/5 = (480 - 320 + 96)/15 = 256/15\). Totale \(V = 512/15 \approx 34.13\).

Teorema di Pappo–Guldino (cenno)

Una formula elegante per il volume di un solido di rotazione, valida quando la regione che ruota non interseca l’asse:

Teorema di Pappo–Guldino (secondo teorema). Il volume del solido ottenuto ruotando una regione piana \(R\) di area \(A\) attorno a un asse complanare che non la attraversa è

\[ V = 2 \pi \bar x \cdot A, \]

dove \(\bar x\) è la distanza del centroide (baricentro geometrico) di \(R\) dall’asse di rotazione.

Esempio. Toro generato ruotando un disco di raggio \(r\) centrato a distanza \(R\) dall’asse: \(A = \pi r^2\), \(\bar x = R\), \(V = 2 \pi R \cdot \pi r^2 = 2 \pi ^2 R r^2\). \(\checkmark \)

151.6 Lunghezza di un arco di curva

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L’idea “somma di elementi infinitesimi” si estende anche a quantità diverse da aree/volumi. Per la lunghezza di un grafico \(y = f(x)\) su \([a, b]\), un elemento infinitesimo di arco ha lunghezza

\[ \mathrm {d}s = \sqrt {(\mathrm {d}x)^2 + (\mathrm {d}y)^2} = \sqrt {1 + (\mathrm {d}y/\mathrm {d}x)^2}\,\mathrm {d}x = \sqrt {1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm {d}x, \]

e la lunghezza totale è la somma (integrale) di questi elementi:

Lunghezza di un arco di curva \(y = f(x)\) su \([a, b]\):

\[ L = \int _a^b \sqrt {1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm {d}x. \]

Esempio 151.8 — Lunghezza del grafico di una parabola

\(y = x^2\) su \([0, 1]\). \(f'(x) = 2 x\), \(\sqrt {1 + 4 x^2}\):

\[ L = \int _0^1 \sqrt {1 + 4 x^2}\,\mathrm {d}x = \left [ \frac {x \sqrt {1 + 4 x^2}}{2} + \frac {1}{4} \ln (2 x + \sqrt {1 + 4 x^2}) \right ]_0^1 = \frac {\sqrt 5}{2} + \frac {\ln (2 + \sqrt 5)}{4} \approx 1.479. \]

(Si è usata la primitiva di \(\sqrt {1 + 4 x^2}\) tramite sostituzione iperbolica o trigonometrica \(2x = \sinh t\); in alternativa si trova in tabella.)

Esempio 151.9 — Lunghezza di un arco di catenaria

La catenaria è la curva \(y = \cosh x = (e^x + e^{-x})/2\) (forma assunta da una fune flessibile pesante sospesa). \(f'(x) = \sinh x\), e \(1 + \sinh ^2 x = \cosh ^2 x\), dunque \(\sqrt {1 + [f']^2} = \cosh x\):

\[ L = \int _{-a}^{a} \cosh x\,\mathrm {d}x = 2 \sinh a. \]

La lunghezza di un arco di catenaria di estremi \(\pm a\) è semplicemente \(2 \sinh a\). Risultato elegante, motivo per cui la catenaria è una curva molto studiata.

151.7 Esempi svolti

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Esempio 151.10 — Solido fra parabola e retta, asse \(x\)

Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all’asse \(x\) la regione racchiusa fra \(y = x^2\) e \(y = 2 x\).

Intersezioni: \(x = 0, 2\). La retta è sopra: \(g = 2 x\), \(f = x^2\). Anelli:

\[ V = \pi \int _0^2 (4 x^2 - x^4)\,\mathrm {d}x = \pi \bigl [ 4 x^3/3 - x^5/5 \bigr ]_0^2 = \pi (32/3 - 32/5) = \pi \cdot \frac {64}{15} = \frac {64 \pi }{15}. \]

Esempio 151.11 — Stesso solido, attorno all’asse \(y\)

Stessa regione, attorno all’asse \(y\). Con i gusci:

\[ V = 2 \pi \int _0^2 x (2 x - x^2)\,\mathrm {d}x = 2 \pi \int _0^2 (2 x^2 - x^3)\,\mathrm {d}x = 2 \pi \bigl [ 2 x^3/3 - x^4/4 \bigr ]_0^2 = 2 \pi (16/3 - 4) = \frac {8 \pi }{3}. \]

Esempio 151.12 — Tronco di cono

Volume del solido ottenuto ruotando la retta che passa per \((0, R)\) e \((h, r)\) (con \(R > r > 0\)) per \(x \in [0, h]\), attorno all’asse \(x\). (È un tronco di cono.)

Retta: \(y = R + (r - R) x/h\). Volume:

\[ V = \pi \int _0^h \left [ R + (r - R) x/h \right ]^2\,\mathrm {d}x. \]

Calcolando (sostituzione \(u = R + (r-R)x/h\), \(\mathrm {d}u = (r-R)/h\,\mathrm {d}x\), estremi \(R \to r\)):

\[ V = \pi \cdot \frac {h}{r - R} \int _R^r u^2\,\mathrm {d}u = \pi \cdot \frac {h}{r - R} \cdot \frac {r^3 - R^3}{3} = \frac {\pi h}{3} (R^2 + R r + r^2). \]

Riconosciamo la formula classica del tronco di cono. \(\checkmark \)

Esempio 151.13 — Sezioni a triangoli equilateri

Un solido ha base nel piano \(x\)-\(y\) il cerchio \(x^2 + y^2 \le 1\). Le sezioni perpendicolari all’asse \(x\) sono triangoli equilateri (la cui base è la corda del cerchio a quota \(x\)). Calcolare il volume.

A quota \(x\), la corda ha lunghezza \(2 \sqrt {1 - x^2}\). Il triangolo equilatero di lato \(\ell \) ha area \(\ell ^2 \sqrt 3/4\). Quindi:

\[ A(x) = \frac {(2\sqrt {1 - x^2})^2 \sqrt 3}{4} = \sqrt 3 (1 - x^2). \]

Volume:

\[ V = \int _{-1}^{1} \sqrt 3 (1 - x^2)\,\mathrm {d}x = \sqrt 3 \bigl [ x - x^3/3 \bigr ]_{-1}^{1} = \sqrt 3 \cdot \frac {4}{3} = \frac {4 \sqrt 3}{3} \approx 2.309. \]

Esempio 151.14 — Vaso a forma di paraboloide

Un vaso ha forma di paraboloide \(z = x^2 + y^2\) con \(z \in [0, h]\). Calcolare il volume di liquido che contiene se riempito fino ad altezza \(h\).

A quota \(z\), la sezione è il cerchio \(x^2 + y^2 \le z\) di area \(\pi z\):

\[ V = \int _0^h \pi z\,\mathrm {d}z = \frac {\pi h^2}{2}. \]

(Stesso risultato del paraboloide ruotato attorno all’asse \(x\) visto sopra, con \(h\) inteso come “altezza”.)

Esempio 151.15 — Sfera tramite il principio di Cavalieri

Mostriamo che il volume di una sfera di raggio \(r\) è uguale a quello di un cilindro di raggio \(r\) e altezza \(2r\) meno quello di due coni di raggio \(r\) e altezza \(r\).

A quota \(|y| \le r\):

Le sezioni hanno area uguale a ogni quota; per il principio di Cavalieri, i due solidi hanno lo stesso volume:

\[ V_{\text {sfera}} = V_{\text {cilindro}} - 2 V_{\text {cono}} = \pi r^2 \cdot 2 r - 2 \cdot \frac {1}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^3 - \frac {2}{3} \pi r^3 = \frac {4}{3} \pi r^3. \]

È il celebre argomento di Archimede (Sulla sfera e il cilindro), che attribuiva il merito di questa idea a Eudosso/Cavalieri (esaustione).

151.8 Esercizi proposti

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Esercizio 151.1

1.
Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando attorno all’asse \(x\) i grafici delle seguenti funzioni:
(a)
\(y = x\) su \([0, 2]\) (cono);
(b)
\(y = \operatorname{sen} x\) su \([0, \pi ]\);
(c)
\(y = e^x\) su \([0, 1]\);
(d)
\(y = \sqrt x\) su \([0, 4]\);
(e)
\(y = 1/x\) su \([1, e]\).
2.
Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando attorno all’asse \(x\) le regioni racchiuse fra le coppie di curve:
(a)
\(y = x\) e \(y = x^2\);
(b)
\(y = \sqrt x\) e \(y = x^2\);
(c)
\(y = 4 - x^2\) e \(y = 0\).
3.
Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando attorno all’asse \(y\):
(a)
\(y = x^2\) su \([0, 2]\) (sia per dischi via \(x = \sqrt y\), sia per gusci);
(b)
\(y = \ln x\) su \([1, e]\) (suggerimento: gusci).
4.
Calcolare il volume del solido a base circolare \(x^2 + y^2 \le 4\) con sezioni perpendicolari all’asse \(x\):
(a)
triangoli rettangoli isosceli con un cateto sulla base (cateto = corda del cerchio);
(b)
semicerchi con diametro sulla base.
5.
Calcolare il volume del solido ottenuto ruotando attorno all’asse \(x\) la regione racchiusa fra \(y = \sqrt x\), \(y = 0\), \(x = 4\).
6.
Calcolare il volume del paraboloide di rotazione di equazione \(z = x^2 + y^2\) contenuto fra \(z = 0\) e \(z = h\).
7.
Calcolare il volume dell’ellissoide di rotazione \(x^2/a^2 + (y^2 + z^2)/b^2 = 1\) (rotazione di un’ellisse attorno al suo asse maggiore).
8.
Determinare la lunghezza dell’arco di curva \(y = (2/3) x^{3/2}\) su \([0, 3]\) (suggerimento: \(\sqrt {1 + (f')^2}\) si semplifica).
9.
Determinare la lunghezza della circonferenza di raggio \(r\) come integrale, partendo da \(y = \sqrt {r^2 - x^2}\) su \([-r, r]\). (Suggerimento: \(\sqrt {1 + (y')^2} = r/\sqrt {r^2 - x^2}\), sostituzione \(x = r \operatorname{sen} t\), risultato \(L = \pi r\) per la semicirconferenza, \(L = 2 \pi r\) per la circonferenza intera.)
10.
Un imbuto a forma di cono retto ha raggio di apertura \(R\), altezza \(h\) e apice in basso. Determinare il volume di liquido contenuto se riempito fino ad altezza \(y_0 < h\). (Suggerimento: il raggio della superficie a quota \(y\) è \(r(y) = R y/h\).)
11.
Una boccia di vetro ha forma di una sfera (raggio \(r\)) intersecata con un piano orizzontale a distanza \(d\) dal centro, ottenendo una calotta sferica. Calcolare il volume della calotta in funzione di \(r\) e \(d\).
12.
(Anello sferico) Si pratichi un foro cilindrico passante coassiale in una sfera di raggio \(r\); il foro ha raggio \(a < r\). Il volume del solido residuo (la sfera meno il foro cilindrico e le due calotte) è \(\frac {4}{3}\pi (r^2 - a^2)^{3/2}\). Curiosità: dipende solo dalla altezza del solido residuo, non dal raggio originale della sfera. Verificare via integrazione.
13.
Calcolare la lunghezza della catenaria \(y = a \cosh (x/a)\) su \([-b, b]\). (Suggerimento: la derivata è \(\sinh (x/a)\), e \(1 + \sinh ^2 = \cosh ^2\), quindi \(\sqrt {1 + (y')^2} = \cosh (x/a)\). Risultato: \(L = 2 a \sinh (b/a)\).)
14.
Mostrare con il teorema di Pappo–Guldino che il volume del toro è \(2\pi ^2 R r^2\), partendo dall’area del disco \(\pi r^2\) e dal centroide a distanza \(R\).
15.
Un cono toroidale si ottiene ruotando un triangolo isoscele di base \(2a\) e altezza \(h\) attorno a un asse parallelo alla base, a distanza \(R > a\) dal vertice. Determinare il suo volume con il teorema di Pappo–Guldino.
16.
Sfida (volume del simplesso). Si consideri il solido in \(\mathbb{R} ^3\) delimitato dai piani coordinati e dal piano \(x + y + z = 1\) (simplesso unitario). Mostrare che il suo volume è \(1/6\) via doppia integrazione: la sezione perpendicolare all’asse \(x\) a quota \(x\) è il triangolo \(y + z \le 1 - x\), \(y, z \ge 0\), di area \((1 - x)^2/2\).

151.9 Riepilogo del capitolo

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