152 Integrali impropri

“

Quando l’intervallo di integrazione si estende all’infinito, oppure quando la funzione integranda non rimane finita in qualche punto, si conviene di intendere per integrale il limite, se esiste, dell’integrale calcolato su un dominio in cui le anomalie sono escluse mediante un parametro che si fa poi tendere al suo valore-limite. Se tale limite esiste finito, l’integrale si dice convergente; altrimenti, divergente.”

— Augustin-Louis Cauchy, Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823), traduzione adattata

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152.1 Introduzione motivazionale

La definizione di integrale di Riemann (148) richiede due ipotesi: che l’intervallo \([a, b]\) sia limitato e che la funzione \(f\) sia limitata. In moltissime applicazioni — calcolo di aree di regioni infinite, densità di probabilità, valor medio asintotico, trasformate integrali — è naturale considerare una o entrambe queste limitazioni rimosse. Otteniamo così gli integrali impropri.

In entrambi i casi, l’integrale viene definito tramite un passaggio al limite: si calcola l’integrale su un dominio “regolare” in cui l’anomalia è esclusa, e si fa tendere il parametro al suo valore-limite. Se il limite esiste finito, l’integrale è convergente; se è infinito, è divergente.

Vedremo che, sorprendentemente, esistono regioni di estensione infinita ma di area finita (come \(\int _1^{+\infty } 1/x^2\,\mathrm {d}x = 1\)) e, viceversa, regioni di estensione apparentemente innocua ma di area infinita (come \(\int _0^1 1/x\,\mathrm {d}x\)). La distinzione fra i due casi è governata da un criterio aritmetico semplicissimo e di portata enorme.

152.2 Integrali impropri di prima specie (intervallo illimitato)

Definizione 152.1 — Integrale improprio su intervallo illimitato

Sia \(f\) continua su \([a, +\infty )\). Si definisce

\[ \int _a^{+\infty } f(x)\,\mathrm {d}x = \lim _{b \to +\infty } \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x. \]

Analogamente: \(\int _{-\infty }^{b} f = \lim _{a \to -\infty } \int _a^b f\) se \(f\) è continua su \((-\infty , b]\). E per \(f\) continua su \(\mathbb{R} \): \(\int _{-\infty }^{+\infty } f = \int _{-\infty }^{c} f + \int _c^{+\infty } f\) per un \(c\) qualsiasi (le due metà sono integrali impropri indipendenti).

Se il limite è finito, l’integrale si dice convergente; se è \(\pm \infty \), divergente; se il limite non esiste, l’integrale è indeterminato.

Esempi guida

Esempio 152.1 — Esponenziale decrescente

\(\displaystyle \int _0^{+\infty } e^{-x}\,\mathrm {d}x = \lim _{b \to +\infty } \int _0^b e^{-x}\,\mathrm {d}x = \lim _{b \to +\infty } \bigl [ -e^{-x} \bigr ]_0^b = \lim _{b \to +\infty } (1 - e^{-b}) = 1\). Convergente.

Esempio 152.2 — Curva di Lorenz: \(\int 1/(1+x^2)\)

\(\displaystyle \int _0^{+\infty } \frac {1}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x = \lim _{b \to +\infty } \bigl [ \operatorname{arctg} x \bigr ]_0^b = \lim _{b \to +\infty } \operatorname{arctg} b = \frac {\pi }{2}\).

Quindi \(\int _{-\infty }^{+\infty } 1/(1+x^2)\,\mathrm {d}x = 2 \cdot \pi /2 = \pi \) (per simmetria). L’integrale della curva di Cauchy–Lorentz sull’intera retta vale \(\pi \).

Esempio 152.3 — Logaritmo divergente

\(\displaystyle \int _1^{+\infty } \frac {1}{x}\,\mathrm {d}x = \lim _{b \to +\infty } \bigl [ \ln x \bigr ]_1^b = \lim _{b \to +\infty } \ln b = +\infty \). Divergente.

Sorprendente: \(1/x\) tende a \(0\) a \(+\infty \), ma la sua area sotto il grafico cresce all’infinito. La causa è che “tende a zero troppo lentamente”.

Il criterio fondamentale: integrali del tipo \(1/x^p\)

Convergenza degli integrali \(\int _1^{+\infty } 1/x^p\). Per \(p > 0\):

\[ \int _1^{+\infty } \frac {1}{x^p}\,\mathrm {d}x = \begin {cases} \dfrac {1}{p - 1} & \text {se } p > 1 \quad \text {(convergente)} \\ +\infty & \text {se } p \le 1 \quad \text {(divergente)} \end {cases} \]

Dimostrazione. Per \(p \ne 1\): \(\int _1^b x^{-p}\,\mathrm {d}x = [x^{1-p}/(1-p)]_1^b = (b^{1-p} - 1)/(1 - p)\). Per \(b \to +\infty \):

Significato. La soglia critica è \(p = 1\). Sopra di essa, l’integrale converge: la funzione decresce “abbastanza in fretta”. Sotto o uguale, diverge.

152.3 Integrali impropri di seconda specie (funzione illimitata)

Definizione 152.2 — Integrale improprio con singolarità in un estremo

Sia \(f\) continua su \((a, b]\) e \(\lim _{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) (asintoto verticale in \(a\)). Si definisce

\[ \int _a^b f(x)\,\mathrm {d}x = \lim _{\varepsilon \to 0^+} \int _{a + \varepsilon }^b f(x)\,\mathrm {d}x. \]

Analogamente per singolarità in \(b\) o in un punto interno \(c\) (in tal caso si spezza in \(\int _a^c + \int _c^b\) e si tratta separatamente come due integrali impropri).

Esempio 152.4 — Singolarità in \(0\), “buona”

\(\displaystyle \int _0^1 \frac {1}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x = \lim _{\varepsilon \to 0^+} \int _\varepsilon ^1 x^{-1/2}\,\mathrm {d}x = \lim _{\varepsilon \to 0^+} [2 \sqrt x]_\varepsilon ^1 = 2 - 0 = 2\). Convergente.

Esempio 152.5 — Singolarità in \(0\), “cattiva”

\(\displaystyle \int _0^1 \frac {1}{x}\,\mathrm {d}x = \lim _{\varepsilon \to 0^+} [\ln x]_\varepsilon ^1 = \lim _{\varepsilon \to 0^+} (-\ln \varepsilon ) = +\infty \). Divergente.

Esempio 152.6 — Singolarità integrabile: \(\int _0^1 \ln x\,\mathrm {d}x\)

\(\ln x \to -\infty \) per \(x \to 0^+\). Calcoliamo per parti: \(u = \ln x\), \(v' = 1\), \(u' = 1/x\), \(v = x\):

\[ \int \ln x\,\mathrm {d}x = x \ln x - \int 1\,\mathrm {d}x = x \ln x - x + c. \]

Quindi \(\int _0^1 \ln x = \lim _{\varepsilon \to 0^+} [x \ln x - x]_\varepsilon ^1 = (0 - 1) - \lim _{\varepsilon \to 0^+}(\varepsilon \ln \varepsilon - \varepsilon ) = -1 - 0 = -1\). Convergente.

(Si è usato \(\lim _{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon \ln \varepsilon = 0\), limite notevole di 138 via De L’Hôpital o gerarchia degli infiniti.)

Il criterio fondamentale: integrali del tipo \(1/x^p\) vicino a \(0\)

Convergenza di \(\int _0^1 1/x^p\). Per \(p > 0\):

\[ \int _0^1 \frac {1}{x^p}\,\mathrm {d}x = \begin {cases} \dfrac {1}{1 - p} & \text {se } p < 1 \quad \text {(convergente)} \\ +\infty & \text {se } p \ge 1 \quad \text {(divergente)} \end {cases} \]

Notare la simmetria con l’altro criterio. Per \(\int _0^1 1/x^p\) la soglia è di nuovo \(p = 1\), ma stavolta converge sotto la soglia (\(p < 1\), la funzione esplode lentamente vicino a \(0\)) e diverge sopra. È simmetrica al comportamento a \(+\infty \).

Attenzione!

Confronto delle due soglie. Per la funzione \(1/x^p\) esistono solo due regimi convergenti, in due regioni disgiunte:

\(\int _1^{+\infty } 1/x^p\) converge \(\iff p > 1\);
\(\int _0^1 1/x^p\) converge \(\iff p < 1\).

Conseguenza: \(\int _0^{+\infty } 1/x^p\) diverge per ogni \(p > 0\), perché non c’è un \(p\) che renda buona sia la regione vicino a \(0\) sia quella all’infinito. Per avere convergenza all’infinito serve \(p > 1\), ma allora vicino a \(0\) diverge. Lezione filosofica: nessuna potenza pura \(1/x^p\) è integrabile su \((0, +\infty )\). Servono funzioni che decrescono “in modo diverso” alle due estremità, come \(e^{-x}\) o \(x^a e^{-x}\) (funzione gamma).

152.4 Convergenza e divergenza

In molti casi non interessa il valore esatto dell’integrale (spesso non calcolabile in forma chiusa), ma solo sapere se converge. Per questo si usano i criteri di confronto, che evitano il calcolo della primitiva.

Teorema 152.1 — Criterio del confronto

Siano \(f, g\) continue su \([a, +\infty )\) con \(0 \le f(x) \le g(x)\) definitivamente (per \(x\) abbastanza grande).

Se \(\int _a^{+\infty } g\) converge, allora anche \(\int _a^{+\infty } f\) converge.
Se \(\int _a^{+\infty } f\) diverge, allora anche \(\int _a^{+\infty } g\) diverge.

Idea della dimostrazione. La funzione integrale \(F(b) = \int _a^b f\) è monotòna (perché \(f \ge 0\)) e maggiorata da \(G(b) = \int _a^b g\) (per il confronto puntuale). Una funzione monotona e limitata superiormente ha limite finito.

Teorema 152.2 — Criterio del confronto asintotico

Siano \(f, g > 0\) continue su \([a, +\infty )\) con \(f(x) \sim c \cdot g(x)\) per \(x \to +\infty \) (con \(c > 0\), cioè \(\lim _{x \to +\infty } f/g = c\) finito e non nullo). Allora \(\int _a^{+\infty } f\) e \(\int _a^{+\infty } g\) hanno lo stesso carattere (entrambi convergono o entrambi divergono).

Strategia di confronto: si paragona la funzione con \(1/x^p\) (per stabilire il carattere “a \(+\infty \)” o “vicino a un punto singolare”) e si conclude usando il criterio del confronto \(p\).

Esempio 152.7 — Confronto asintotico

Studiare la convergenza di \(\displaystyle \int _1^{+\infty } \frac {1}{x^2 + \sqrt x}\,\mathrm {d}x\).

A \(+\infty \), \(x^2 + \sqrt x \sim x^2\), quindi \(1/(x^2 + \sqrt x) \sim 1/x^2\). Poiché \(\int _1^{+\infty } 1/x^2\) converge (\(p = 2 > 1\)), anche l’integrale dato converge.

Esempio 152.8 — Confronto diretto

Studiare \(\displaystyle \int _0^{+\infty } e^{-x^2}\,\mathrm {d}x\) (la celebre “integrale di Gauss”).

Per \(x \ge 1\), \(e^{-x^2} \le e^{-x}\). Poiché \(\int _1^{+\infty } e^{-x} = 1/e\) converge, anche \(\int _1^{+\infty } e^{-x^2}\) converge. E \(\int _0^1 e^{-x^2}\) è un integrale di una funzione continua su un intervallo limitato, dunque finito. Conclusione: \(\int _0^{+\infty } e^{-x^2}\) converge.

(In realtà vale il famoso risultato \(\int _0^{+\infty } e^{-x^2}\,\mathrm {d}x = \sqrt \pi /2\), ma la dimostrazione richiede tecniche multidimensionali — vedi corsi universitari. Qui ci limitiamo a stabilire la convergenza.)

Convergenza assoluta

Definizione 152.3 — Convergenza assoluta

\(\int _a^{+\infty } f\) si dice assolutamente convergente se \(\int _a^{+\infty } |f|\) converge.

Teorema 152.3 — Assoluta \(\Rightarrow \) semplice

Se \(\int |f|\) converge, allora \(\int f\) converge.

Non vale il viceversa: esistono integrali che convergono ma non assolutamente. Esempio classico: \(\int _1^{+\infty } (\operatorname{sen} x)/x\,\mathrm {d}x\) converge (vale \(\pi /2 - \mathrm {Si}(1)\) in termini di funzione speciale), ma \(\int _1^{+\infty } |\operatorname{sen} x|/x\,\mathrm {d}x\) diverge (per confronto, \(|\operatorname{sen} x|/x\) ha valor medio \(\sim 1/(\pi x)\), e \(\int 1/x\) diverge).

152.5 Esempi svolti

Esempio 152.9 — Trombetta di Torricelli (paradosso)

Si consideri la regione del piano sotto \(y = 1/x\) per \(x \in [1, +\infty )\), ruotata attorno all’asse \(x\). Si ottiene la celebre trombetta di Torricelli (1641).

Volume: con il metodo dei dischi (151):

\[ V = \pi \int _1^{+\infty } (1/x)^2\,\mathrm {d}x = \pi \int _1^{+\infty } 1/x^2\,\mathrm {d}x = \pi \cdot 1 = \pi . \]

Volume finito, \(= \pi \).

Superficie laterale: con \(L_{\text {laterale}} = 2\pi \int _1^{+\infty } y \sqrt {1 + (y')^2}\,\mathrm {d}x = 2\pi \int _1^{+\infty } (1/x) \sqrt {1 + 1/x^4}\,\mathrm {d}x \ge 2 \pi \int _1^{+\infty } 1/x\,\mathrm {d}x = +\infty \). Superficie infinita!

Paradosso: una trombetta di volume finito ma superficie infinita. Per riempirla bastano \(\pi \) unità di vernice; ma per dipingerla all’esterno ce ne vorrebbero infinite. Apparentemente assurdo, è in realtà perfettamente coerente. (Storicamente, Torricelli si rese conto del paradosso ed esitò a pubblicarlo per anni, tanto sembrava sovversivo.)

Esempio 152.10 — Singolarità in mezzo all’intervallo

\(\displaystyle \int _{-1}^{1} \frac {1}{x}\,\mathrm {d}x\). La funzione non è integrabile in \(0\); spezzo:

\[ \int _{-1}^{0} \frac {\mathrm {d}x}{x} + \int _0^{1} \frac {\mathrm {d}x}{x}. \]

Ciascuno dei due integrali è del tipo \(\int 1/x\) vicino a \(0\): diverge. Quindi l’integrale è divergente (non importa che le due divergenze sembrino “cancellarsi” nel valor principale di Cauchy: nella definizione standard, basta che una delle due parti diverga).

Trappola: se calcolassi ingenuamente \([\ln |x|]_{-1}^1 = 0 - 0 = 0\), sbaglierei. L’esistenza di una primitiva su \((-1, 0) \cup (0, 1)\) non implica l’integrabilità in \(0\).

Esempio 152.11 — Integrale assoluto vs misto

Studiare \(\displaystyle \int _0^{+\infty } \frac {\cos x}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x\).

Vicino a \(0\): \(\cos x \to 1\), quindi \(f(x) \sim 1/\sqrt x\), e \(\int _0^1 1/\sqrt x\) converge (\(p = 1/2 < 1\)). A \(+\infty \): \(\cos x\) oscilla; integrale di un’oscillazione divisa per \(\sqrt x\) converge “per cancellazione” (lo si verifica con la sostituzione \(t = x^{1/2}\) e l’argomento di Dirichlet); l’integrale converge (vale \(\sqrt {\pi /2}\)). Tuttavia \(\int _1^{+\infty } |\cos x|/\sqrt x\) diverge (per stesso argomento di \(|\operatorname{sen} x|/x\)). Esempio di convergenza semplice non assoluta.

Esempio 152.12 — Densità di probabilità: distribuzione esponenziale

Verificare che \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) per \(x \ge 0\), \(0\) altrove, è una densità di probabilità, ovvero \(\int _{-\infty }^{+\infty } f = 1\).

\[ \int _0^{+\infty } \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x = \lambda \cdot \frac {1}{\lambda } = 1. \]

\(\checkmark \) Calcolare anche il valor medio \(\mu = \int _0^{+\infty } x \lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x\): per parti, \(u = x\), \(v' = \lambda e^{-\lambda x}\), \(v = -e^{-\lambda x}\):

\[ \mu = [-x e^{-\lambda x}]_0^{+\infty } + \int _0^{+\infty } e^{-\lambda x}\,\mathrm {d}x = 0 + 1/\lambda = 1/\lambda . \]

La distribuzione esponenziale di parametro \(\lambda \) ha media \(1/\lambda \). (Strumento centrale per modellare attese, decadimenti radioattivi, vita di componenti.)

Esempio 152.13 — Funzione Gamma di Eulero (cenno)

La funzione Gamma è definita da

\[ \Gamma (s) = \int _0^{+\infty } x^{s-1} e^{-x}\,\mathrm {d}x, \qquad s > 0. \]

L’integrale converge per ogni \(s > 0\): vicino a \(0\), \(x^{s-1}\) ha tipo \(1/x^{1-s}\) con \(1 - s < 1\) (\(s > 0\)); a \(+\infty \), \(e^{-x}\) domina ogni potenza. Proprietà fondamentali:

\(\Gamma (1) = 1\);
\(\Gamma (s + 1) = s \, \Gamma (s)\) (per parti);
\(\Gamma (n + 1) = n!\) per \(n \in \mathbb{N} \).

La Gamma estende il fattoriale ai numeri reali (positivi); è una delle funzioni speciali più importanti della matematica.

152.6 Esercizi proposti

Esercizio 152.1

1.

Stabilire la convergenza/divergenza e calcolare (quando convergono) i seguenti integrali di prima specie:

(a): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {1}{x^3}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _0^{+\infty } e^{-2 x}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {1}{\sqrt x}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int _{-\infty }^{0} e^x\,\mathrm {d}x\);
(e): \(\int _0^{+\infty } \dfrac {x}{1 + x^4}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: sostituzione \(t = x^2\)).

2.

Stabilire la convergenza/divergenza dei seguenti integrali di seconda specie:

(a): \(\int _0^1 \dfrac {1}{x^{2/3}}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _0^1 \dfrac {1}{x^{3/2}}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _0^1 \ln x\,\mathrm {d}x\) (rifatto: confronto col testo);
(d): \(\int _0^1 \dfrac {\operatorname{sen} x}{x}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: vicino a \(0\), \(\operatorname{sen} x/x \to 1\));
(e): \(\int _0^{\pi /2} \operatorname{tg} x\,\mathrm {d}x\) (singolarità in \(\pi /2\)).

3.

Calcolare:

(a): \(\int _0^{+\infty } x e^{-x^2}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _0^{+\infty } \dfrac {1}{(1 + x)^3}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {\ln x}{x^2}\,\mathrm {d}x\) (per parti);
(d): \(\int _0^{+\infty } e^{-x} \cos x\,\mathrm {d}x\) (per parti ricorsiva, vedi 146).

4.

Studiare la convergenza tramite confronto asintotico:

(a): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {1}{x + \ln x}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {x}{e^x}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {1}{x^2 + x \operatorname{sen} x}\,\mathrm {d}x\);
(d): \(\int _0^1 \dfrac {1}{\sqrt {1 - x^2}}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: vicino a \(1\), \(1 - x^2 \sim 2(1 - x)\)).

5.

Trovare la primitiva di \(f(x) = 1/(x^2 + 4)\) e usarla per calcolare \(\int _{-\infty }^{+\infty } 1/(x^2 + 4)\,\mathrm {d}x\).

6.

Determinare per quali valori del parametro \(a > 0\) converge:

(a): \(\int _1^{+\infty } \dfrac {1}{x^a (\ln x + 1)}\,\mathrm {d}x\);
(b): \(\int _0^1 \dfrac {1}{x^a (1 - \ln x)}\,\mathrm {d}x\);
(c): \(\int _0^{+\infty } x^a e^{-x}\,\mathrm {d}x\) (riconoscere la funzione Gamma).

7.

Verificare che \(\int _{-\infty }^{+\infty } \dfrac {1}{\sqrt {2 \pi }} e^{-x^2/2}\,\mathrm {d}x = 1\) (densità della normale standard), dato per noto che \(\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-x^2}\,\mathrm {d}x = \sqrt \pi \).

8.

Calcolare l’area della regione fra \(y = 1/(x^2 + 1)\) e l’asse \(x\) su tutto \(\mathbb{R} \).

9.

Calcolare l’area della regione fra \(y = e^{-|x|}\) e l’asse \(x\) su tutto \(\mathbb{R} \).

10.

Mostrare che \(\int _0^{+\infty } \dfrac {1}{1 + x^n}\,\mathrm {d}x\) converge per ogni \(n > 1\) intero. (Suggerimento: vicino a \(+\infty \), \(\sim 1/x^n\).)

11.

Mostrare che \(\int _0^1 \dfrac {1}{\sqrt {1 - x}}\,\mathrm {d}x = 2\) (singolarità in \(1\)).

12.

Si consideri la regione del piano racchiusa fra \(y = 1/x\) e l’asse \(x\) per \(x \ge 1\). Determinare:

(a): l’area (suggerimento: diverge);
(b): il volume del solido di rotazione attorno all’asse \(x\) (trombetta di Torricelli, vedi testo).

13.

Studiare \(\int _2^{+\infty } \dfrac {1}{x \ln ^p x}\,\mathrm {d}x\) al variare di \(p > 0\) (suggerimento: sostituzione \(t = \ln x\) riduce al criterio \(\int 1/t^p\,\mathrm {d}t\) a \(+\infty \)).

14.

Calcolare \(\int _0^{+\infty } \dfrac {\ln x}{1 + x^2}\,\mathrm {d}x\) (suggerimento: spezzare \(\int _0^1 + \int _1^{+\infty }\) e nel secondo fare la sostituzione \(x = 1/t\)). Risultato: \(0\).

15.

Mostrare per induzione che \(\Gamma (n) = (n - 1)!\) per \(n \in \mathbb{N} \), \(n \ge 1\), partendo da \(\Gamma (1) = 1\) e usando \(\Gamma (s + 1) = s \Gamma (s)\).

16.

Sfida (paradosso di Torricelli, secondo Saint-Vincent). Mostrare che \(\int _1^{+\infty } 1/x\,\mathrm {d}x = +\infty \) ma \(\int _1^M 1/x\,\mathrm {d}x = \ln M\) — un logaritmo dell’estremo. Discutere come questo risultato sia uno dei primi esempi storici di una relazione fra integrale e logaritmo (Saint-Vincent 1647, Mengoli 1659), che precede la definizione moderna del logaritmo come integrale di \(1/x\).

152.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Integrale improprio di prima specie: \(\int _a^{+\infty } f = \lim _{b \to +\infty } \int _a^b f\). Convergente, divergente o indeterminato.
Integrale improprio di seconda specie: \(\int _a^b f\) con \(f\) illimitata in \(a\) (o \(b\), o interno) si definisce escludendo un intorno della singolarità e passando al limite.
Criterio fondamentale (\(1/x^p\)): a \(+\infty \), \(\int _1^{+\infty } 1/x^p\) converge \(\iff p > 1\); vicino a \(0\), \(\int _0^1 1/x^p\) converge \(\iff p < 1\). Conseguenza: \(\int _0^{+\infty } 1/x^p\) diverge per ogni \(p > 0\).
Criteri di confronto: se \(0 \le f \le g\) definitivamente, allora \(\int g\) converge \(\Rightarrow \int f\) converge; \(\int f\) diverge \(\Rightarrow \int g\) diverge. Più utile in pratica: criterio del confronto asintotico (se \(f \sim c \cdot g\), hanno lo stesso carattere).
Convergenza assoluta: \(\int |f| < +\infty \Rightarrow \int f < +\infty \). Non vale il viceversa.
Esempi notevoli:
- Esponenziale: \(\int _0^{+\infty } e^{-\lambda x} = 1/\lambda \).
- Lorentziana: \(\int _{-\infty }^{+\infty } 1/(1 + x^2) = \pi \).
- Gaussiana: \(\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-x^2} = \sqrt \pi \) (dato per noto in questo corso).
- Funzione Gamma: \(\Gamma (s) = \int _0^{+\infty } x^{s-1} e^{-x}\,\mathrm {d}x\), \(\Gamma (n+1) = n!\).
- Trombetta di Torricelli: volume \(\pi \) ma superficie infinita.
Nel prossimo capitolo (153) si introducono le equazioni differenziali, dove l’integrazione torna come strumento centrale ma applicato alla ricerca di funzioni (non solo numeri).

Capitolo 152 Integrali impropri