153 Equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili e lineari

“

Data una equazione contenente le quantità fluenti e le loro flussioni, è richiesto di trovare le relazioni fra le sole fluenti. Tale è il problema inverso del calcolo delle flussioni: il più importante e fecondo della matematica naturale, poiché tutte le leggi fisiche si presentano sotto forma di equazioni di questo tipo.”

— Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum (1671, pubbl. 1736), traduzione adattata

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153.1 Introduzione motivazionale

Le equazioni differenziali (in breve, ED) sono equazioni in cui l’incognita non è un numero, ma una funzione, e in cui compaiono — oltre alla funzione stessa — anche le sue derivate. Una soluzione di una ED è dunque una funzione che, sostituita nell’equazione, la verifica identicamente.

L’importanza concettuale e applicativa di questo concetto è enorme: praticamente ogni legge della fisica, della chimica, della biologia, dell’economia ha la forma di una ED.

In questo capitolo introduciamo le ED del primo ordine (cioè in cui compare solo \(y'\), non derivate di ordine superiore) e impariamo a risolvere due famiglie fondamentali:

Vedremo che, in entrambi i casi, la chiave operativa è l’integrazione (di una o più funzioni note). Le ED sono dunque la grande applicazione naturale del calcolo integrale.

Nota storica. Le prime ED appaiono nei lavori di Newton e Leibniz (1670–1690), nel contesto della meccanica e della geometria delle curve. Il termine equazione differenziale è di Leibniz (1684). Eulero (Institutiones calculi integralis, 1768–1770) ha sistematizzato la teoria classificando i casi risolvibili in forma chiusa. La teoria moderna dell’esistenza e unicità delle soluzioni si deve a Cauchy (1820–1830) e Lipschitz (1876).

153.2 Cos’è un’equazione differenziale

Definizione 153.1 — Equazione differenziale ordinaria del primo ordine

Un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine è una relazione della forma

\[ F(x, y, y') = 0, \]

dove \(y = y(x)\) è la funzione incognita e \(y'(x)\) la sua derivata. Una soluzione (o integrale) è una funzione \(y : I \to \mathbb{R} \) derivabile su un intervallo \(I\) tale che \(F(x, y(x), y'(x)) = 0\) per ogni \(x \in I\).

Tipicamente, una ED del primo ordine ha infinite soluzioni, formando una famiglia a un parametro (la costante di integrazione). Per individuare una soluzione specifica si impone una condizione aggiuntiva, tipicamente del tipo \(y(x_0) = y_0\): è il problema di Cauchy.

Definizione 153.2 — Integrale generale, integrale particolare

L’insieme di tutte le soluzioni di un’ED, dipendente da una costante arbitraria, è detto integrale generale. Una soluzione specifica (ottenuta fissando la costante mediante una condizione) è un integrale particolare.

Teorema 153.1 — Esistenza e unicità (Cauchy–Lipschitz, cenno)

Se \(f(x, y)\) è continua su un rettangolo aperto contenente \((x_0, y_0)\) e ammette derivata parziale \(\partial f/\partial y\) anch’essa continua (o, più in generale, è “lipschitziana in \(y\)”), allora il problema di Cauchy

\[ y' = f(x, y), \qquad y(x_0) = y_0, \]

ammette una e una sola soluzione, definita almeno in un intorno di \(x_0\).

(Il teorema verrà rigorosamente dimostrato in analisi universitaria; qui lo accettiamo come fatto, garantendoci che le soluzioni che troveremo sono le soluzioni.)

153.3 Equazioni a variabili separabili

Definizione 153.3 — ED a variabili separabili

Un’ED del primo ordine si dice a variabili separabili se può scriversi nella forma

\[ y' = f(x) \cdot g(y), \]

con \(f, g\) continue su opportuni intervalli.

Metodo risolutivo

L’idea è “separare” algebricamente la variabile \(x\) dalla variabile \(y\):

Procedura — Soluzione di un’ED a variabili separabili

1.: Cercare soluzioni costanti: gli zeri di \(g\) (\(g(y_0) = 0\)) forniscono soluzioni costanti \(y(x) \equiv y_0\).
2.: Separare: scrivere \(\dfrac {\mathrm {d}y}{g(y)} = f(x)\,\mathrm {d}x\) (assumendo \(g(y) \ne 0\)).
3.: Integrare: \(\int \dfrac {\mathrm {d}y}{g(y)} = \int f(x)\,\mathrm {d}x + c\) (una sola costante di integrazione: le due si fondono).
4.: Esplicitare \(y\) in funzione di \(x\) (se possibile).
5.: Se è imposto \(y(x_0) = y_0\) (problema di Cauchy), determinare \(c\).

Esempio 153.1 — \(y' = y\)

\(g(y) = y\). Soluzione costante: \(y \equiv 0\). Altrimenti separo: \(\dfrac {\mathrm {d}y}{y} = \mathrm {d}x \Rightarrow \int \dfrac {\mathrm {d}y}{y} = \int \mathrm {d}x \Rightarrow \ln |y| = x + c \Rightarrow |y| = e^{x + c} = e^c e^x\). Posto \(C = \pm e^c\) (costante non nulla):

\[ y(x) = C e^x. \]

Includendo la soluzione costante \(y \equiv 0\) (corrispondente a \(C = 0\)), l’integrale generale è \(y = C e^x\) con \(C \in \mathbb{R} \).

Esempio 153.2 — \(y' = -k y\), decadimento

\(y = C e^{-k t}\), \(C \in \mathbb{R} \). Modello: numero di atomi radioattivi al tempo \(t\), con \(k = \lambda \) costante di decadimento.

Esempio 153.3 — \(y' = x y\)

\(y \equiv 0\) è soluzione. Separo: \(\dfrac {\mathrm {d}y}{y} = x\,\mathrm {d}x \Rightarrow \ln |y| = x^2/2 + c \Rightarrow y = C e^{x^2/2}\) con \(C \in \mathbb{R} \).

Problema di Cauchy con \(y(0) = 3\): \(3 = C e^0 = C \Rightarrow C = 3\). Soluzione: \(y = 3 e^{x^2/2}\).

Esempio 153.4 — \(y' = y^2\) (esplosione in tempo finito)

\(y \equiv 0\) è soluzione. Altrimenti: \(\dfrac {\mathrm {d}y}{y^2} = \mathrm {d}x \Rightarrow -1/y = x + c \Rightarrow y = -1/(x + c) = \dfrac {1}{C - x}\) (con \(C = -c\)).

Notabile: per condizione \(y(0) = 1\), \(C = 1\), \(y = 1/(1 - x)\), che esplode in tempo finito (\(x = 1\)). Esempio di soluzione non globale.

Esempio 153.5 — \(y' = \cos x / y\)

Separo: \(y\,\mathrm {d}y = \cos x\,\mathrm {d}x \Rightarrow y^2/2 = \operatorname{sen} x + c \Rightarrow y^2 = 2 \operatorname{sen} x + C \Rightarrow y = \pm \sqrt {2 \operatorname{sen} x + C}\) (sui dominii dove l’argomento è \(\ge 0\)).

153.4 Equazioni lineari del primo ordine

Definizione 153.4 — ED lineare del primo ordine

Un’ED del primo ordine si dice lineare se può scriversi nella forma

\[ y' + a(x) y = b(x), \]

con \(a, b\) funzioni continue su un intervallo \(I\). La funzione \(b(x)\) si dice termine noto; se \(b \equiv 0\), l’equazione si dice omogenea, altrimenti completa.

Caso omogeneo: \(y' + a(x) y = 0\)

È a variabili separabili: \(\dfrac {\mathrm {d}y}{y} = -a(x)\,\mathrm {d}x \Rightarrow \ln |y| = -A(x) + c \Rightarrow y = C e^{-A(x)}\), dove \(A(x)\) è una primitiva di \(a(x)\).

Caso completo: il metodo del fattore integrante

L’idea: moltiplicare entrambi i membri per una funzione \(\mu (x)\) (fattore integrante) tale che il primo membro diventi la derivata di \(\mu y\):

Vogliamo \([\mu y]' = \mu y' + \mu ' y = \mu y' + \mu a y\), ovvero \(\mu ' = \mu a\), ovvero \(\mu (x) = e^{A(x)}\) con \(A' = a\). Allora l’equazione diventa

Soluzione dell’ED lineare \(y' + a(x) y = b(x)\). Sia \(A(x)\) una primitiva di \(a(x)\). Allora

\[ y(x) = e^{-A(x)} \left [ \int e^{A(x)} b(x)\,\mathrm {d}x + c \right ], \qquad c \in \mathbb{R} . \]

Procedura — Risoluzione di un’ED lineare del primo ordine

1.: Scrivere l’equazione in forma standard \(y' + a(x) y = b(x)\).
2.: Calcolare \(A(x) = \int a(x)\,\mathrm {d}x\) (senza costante).
3.: Calcolare il fattore integrante \(\mu (x) = e^{A(x)}\).
4.: Calcolare \(\int \mu (x) b(x)\,\mathrm {d}x\).
5.: Scrivere \(y = e^{-A(x)} \bigl [ \int \mu b\,\mathrm {d}x + c \bigr ]\).
6.: Determinare \(c\) se è dato un problema di Cauchy.

Esempio 153.6 — \(y' + y = x\)

\(a = 1\), \(b = x\), \(A = x\), \(\mu = e^x\):

\[ e^x y = \int x e^x\,\mathrm {d}x + c = e^x (x - 1) + c \Rightarrow y = (x - 1) + c e^{-x}. \]

Integrale generale: \(y(x) = x - 1 + c e^{-x}\).

Esempio 153.7 — \(y' + 2 y = 4\)

\(a = 2\), \(b = 4\), \(A = 2 x\), \(\mu = e^{2x}\):

\[ e^{2 x} y = \int 4 e^{2 x}\,\mathrm {d}x + c = 2 e^{2 x} + c \Rightarrow y = 2 + c e^{-2 x}. \]

Significato: la soluzione tende all’equilibrio \(y = 2\) per \(x \to +\infty \) (la parte transitoria \(c e^{-2x}\) decade esponenzialmente).

Struttura della soluzione: omogenea + particolare

dove \(y_\mathrm {p}\) è una particolare soluzione dell’equazione completa, e \(y_\mathrm {o}\) è la soluzione generale dell’omogenea associata. Questa struttura è un’eco della linearità (vedremo lo stesso fenomeno nel 154 per le ED lineari del secondo ordine).

153.5 Problemi di Cauchy

Definizione 153.5 — Problema di Cauchy del primo ordine

Un problema di Cauchy per un’ED del primo ordine è il sistema

\[ \begin {cases} y' = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end {cases} \]

che chiede di trovare la (unica) soluzione che, all’istante \(x_0\), assume il valore \(y_0\).

Procedura — Risoluzione di un problema di Cauchy

1.: Trovare l’integrale generale dell’ED (con costante \(c\)).
2.: Imporre la condizione \(y(x_0) = y_0\).
3.: Risolvere l’equazione algebrica risultante per determinare \(c\).
4.: Sostituire \(c\) nell’integrale generale per ottenere la soluzione particolare.

Esempio 153.8 — Problema di Cauchy semplice

\(y' = 2 x y\), \(y(0) = 5\). ED a variabili separabili: \(\mathrm {d}y/y = 2 x\,\mathrm {d}x \Rightarrow \ln |y| = x^2 + c \Rightarrow y = C e^{x^2}\). Condizione: \(y(0) = 5 \Rightarrow C = 5\). Soluzione: \(y(x) = 5 e^{x^2}\).

153.6 Modelli: decadimento e crescita esponenziale

L’ED \(y' = k y\) è probabilmente la più importante ED del calcolo: descrive qualunque grandezza la cui rapidità di variazione è proporzionale alla quantità presente. Per il segno di \(k\):

Esempio 153.9 — Decadimento radioattivo

Una sostanza radioattiva contiene \(N(t)\) atomi al tempo \(t\). Ogni atomo ha probabilità di decadere proporzionale a un parametro fisso \(\lambda \) (costante di decadimento), dunque

\[ N'(t) = -\lambda N(t) \quad \Rightarrow \quad N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. \]

Tempo di dimezzamento: \(T_{1/2}\) è il tempo dopo cui \(N\) si riduce a \(N_0/2\):

\[ N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow T_{1/2} = \frac {\ln 2}{\lambda }. \]

Esempi: \({}^{14}\mathrm {C}\) ha \(T_{1/2} = 5730~anni\) (\(\lambda \approx 1.21\times 10^{-4}~anni\textsuperscript {-1}\), base della datazione al carbonio); \({}^{238}\mathrm {U}\) ha \(T_{1/2} = 4.5\times 10^{9}~anni\) (datazione delle rocce e dell’età della Terra).

Esempio 153.10 — Crescita di una popolazione (modello di Malthus)

Una popolazione \(P(t)\) con tasso di crescita pro capite costante \(r\) soddisfa

\[ P' = r P \Rightarrow P(t) = P_0 e^{r t}. \]

Modello di Malthus (1798), realistico solo a breve termine: a lungo termine, i limiti delle risorse impongono saturazione (modello logistico).

Esempio 153.11 — Raffreddamento di Newton

Un corpo a temperatura \(T(t)\) in un ambiente a temperatura \(T_\mathrm {a}\) raffredda (o riscalda) con rapidità proporzionale alla differenza di temperatura:

\[ T'(t) = -k (T(t) - T_\mathrm {a}), \qquad k > 0. \]

Ponendo \(\theta = T - T_\mathrm {a}\): \(\theta ' = -k \theta \), dunque \(\theta (t) = \theta _0 e^{-k t}\), ovvero

\[ T(t) = T_\mathrm {a} + (T_0 - T_\mathrm {a}) e^{-k t}. \]

La temperatura tende esponenzialmente a quella dell’ambiente.

Esempio 153.12 — Caduta in mezzo viscoso (linear)

Un corpo di massa \(m\) in caduta libera nell’aria, con resistenza proporzionale alla velocità (\(-\beta v\)):

\[ m \dot v = m g - \beta v, \quad \text {ovvero} \quad \dot v + \frac {\beta }{m} v = g. \]

ED lineare del primo ordine. Soluzione (Cauchy \(v(0) = 0\)):

\[ v(t) = \frac {m g}{\beta } \bigl ( 1 - e^{-\beta t/m} \bigr ). \]

Velocità limite: \(v_\infty = m g/\beta \) (asintoto orizzontale). Per \(t \to +\infty \), la velocità tende al valore in cui peso e attrito si bilanciano.

Modello logistico (cenno)

Una popolazione con risorse limitate non cresce esponenzialmente all’infinito: arriva un tetto \(K\) (capacità portante). Il modello logistico è:

Crescita inizialmente esponenziale, poi saturazione a \(K\). Modello base in ecologia e epidemiologia.

153.7 Esempi svolti

Esempio 153.13 — ED a variabili separabili con coefficiente complesso

\(y' = (1 - y^2)\). Soluzioni costanti: \(y \equiv \pm 1\). Altrimenti: \(\dfrac {\mathrm {d}y}{1 - y^2} = \mathrm {d}x\). Tabella: \(\int \dfrac {\mathrm {d}y}{1 - y^2} = \dfrac {1}{2} \ln \left |\dfrac {1 + y}{1 - y}\right |\). Quindi

\[ \frac {1}{2} \ln \left |\frac {1+y}{1-y}\right | = x + c \Rightarrow \frac {1+y}{1-y} = C e^{2 x} \Rightarrow y = \frac {C e^{2 x} - 1}{C e^{2 x} + 1} = \tanh (x + c'). \]

(Ricomponendo: \(y(x) = \tanh (x + c')\), da cui si vede che \(y \to \pm 1\) per \(x \to \pm \infty \), in accordo con le soluzioni costanti.)

Esempio 153.14 — Lineare con coefficiente non costante

\(x y' + y = x \cos x\), \(x > 0\). Forma standard: \(y' + (1/x) y = \cos x\). \(a = 1/x\), \(A = \ln x\), \(\mu = x\):

\[ x y = \int x \cos x\,\mathrm {d}x + c = x \operatorname{sen} x + \cos x + c \]

(per parti). Quindi \(y = \operatorname{sen} x + \cos x/x + c/x\).

Esempio 153.15 — Circuito RC: scarica del condensatore

Un condensatore di capacità \(C\) inizialmente carico (\(Q(0) = Q_0\)) si scarica attraverso una resistenza \(R\). Per la seconda legge di Kirchhoff, \(R \dot Q + Q/C = 0\), ovvero \(\dot Q + Q/(RC) = 0\). Soluzione:

\[ Q(t) = Q_0 e^{-t/(RC)}. \]

La costante di tempo \(\tau = RC\) è il tempo in cui la carica si riduce a \(Q_0/e \approx 37\%\) del valore iniziale.

Esempio 153.16 — Mescolamento di salamoia

Un serbatoio contiene \(V = 100\,{\mathrm{L} }\) d’acqua con \(S_0 = 5\,{\mathrm{kg} }\) di sale disciolto. Si aggiunge soluzione salina con concentrazione \(0.1\,{\mathrm{kg} / \mathrm{L} }\) a velocità \(4\,{\mathrm{L} / \mathrm{min} }\); il liquido (ben mescolato) defluisce dal serbatoio a velocità \(4\,{\mathrm{L} / \mathrm{min} }\) (volume costante).

Sia \(S(t)\) la massa di sale al tempo \(t\). Entra: \(0.1 \cdot 4 = 0.4 \,{\mathrm{kg} / \mathrm{min} }\). Esce: \(\dfrac {S}{100} \cdot 4 = \dfrac {S}{25}\,{\mathrm{kg} / \mathrm{min} }\). Equazione: \(\dot S = 0.4 - S/25\). ED lineare. Equilibrio: \(\dot S = 0 \Rightarrow S = 10\,{\mathrm{kg} }\).

Soluzione (con \(S(0) = 5\)): \(S(t) = 10 - 5 e^{-t/25}\). Per \(t \to +\infty \), \(S \to 10\,{\mathrm{kg} }\) (concentrazione asintotica = quella in ingresso).

Esempio 153.17 — Datazione al carbonio

Un fossile contiene il \(30\%\) del \({}^{14}\mathrm {C}\) rispetto a un campione moderno. Determinarne l’età, sapendo \(T_{1/2} = 5730~anni\).

\(N(t)/N_0 = e^{-\lambda t} = 0.30\). \(\lambda = (\ln 2)/T_{1/2} \approx 1.21\times 10^{-4}\,anni\textsuperscript {-1}\). \(t = -\ln (0.30)/\lambda \approx 1.204/1.21\times 10^{-4} \approx 9950\,anni\). Il fossile ha circa \(9950\) anni.

Esempio 153.18 — Modello logistico, \(P_0 = K/2\)

\(P' = r P (1 - P/K)\) con \(P(0) = K/2\) (popolazione iniziale = metà capacità portante). Per simmetria del modello e calcolo diretto:

\[ P(t) = \frac {K}{1 + e^{-r t}}. \]

Verifica: \(P(0) = K/2\) \(\checkmark \); \(P(+\infty ) = K\). Il punto di flesso del grafico è proprio \(t = 0\) (cresceva a velocità massima quando ha attraversato \(K/2\)).

153.8 Esercizi proposti

Esercizio 153.1

1.

Risolvere le seguenti ED a variabili separabili (integrale generale):

(a): \(y' = 3 y\);
(b): \(y' = x y\);
(c): \(y' = (1 + y^2) x\);
(d): \(y y' = x\);
(e): \(y' = e^{x - y}\) (suggerimento: \(e^{x - y} = e^x \cdot e^{-y}\)).

2.

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (variabili separabili):

(a): \(y' = -2 y\), \(y(0) = 7\);
(b): \(y' = y^2\), \(y(0) = 1\) (e determinare l’intervallo massimale di esistenza);
(c): \(y' = (\cos x)/y\), \(y(0) = 1\);
(d): \(y' = y \ln y\), \(y(0) = e\) (suggerimento: \(y \ln y\) in denominatore).

3.

Risolvere le seguenti ED lineari del primo ordine:

(a): \(y' + 3 y = 6\);
(b): \(y' - y = x\);
(c): \(y' + 2 y = e^{-2 x}\);
(d): \(y' + y/x = \ln x\) (per \(x > 0\));
(e): \(y' + y \operatorname{tg} x = \operatorname{sen} x\) (suggerimento: \(A(x) = -\ln |\cos x|\)).

4.

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (ED lineari):

(a): \(y' + y = 2\), \(y(0) = 0\);
(b): \(y' + 2 y = e^{-2 x}\), \(y(0) = 5\);
(c): \(x y' + y = x^2\), \(y(1) = 3\).

5.

Una sostanza radioattiva ha tempo di dimezzamento di \(20\) anni. Quanto tempo occorre perché si riduca al \(10\%\) della quantità iniziale?

6.

Una tazza di caffè è a \(90\,{^\circ\text{C} }\) in una stanza a \(20\,{^\circ\text{C} }\). Dopo \(10\) \(\mathrm {\mathrm{min} }\) è a \(60\,{^\circ\text{C} }\). Quale sarà la sua temperatura dopo \(30\) \(\mathrm {\mathrm{min} }\)? (Modello di raffreddamento di Newton.)

7.

Un paracadutista di massa \(80\) \(\mathrm {\mathrm{kg} }\) cade in aria con resistenza \(-\beta v\), \(\beta = 40\,{\mathrm{N} \mathrm{s} / \mathrm{m} }\). Trovare la velocità \(v(t)\) con \(v(0) = 0\). Quanto vale la velocità limite?

8.

Un serbatoio contiene \(200\) \(\mathrm {\mathrm{L} }\) di acqua pura. Si versa salamoia a \(0.2\,{\mathrm{kg} / \mathrm{L} }\) con portata \(5\,{\mathrm{L} / \mathrm{min} }\), e si svuota alla stessa portata. Determinare la quantità di sale dopo \(30\) \(\mathrm {\mathrm{min} }\).

9.

Un circuito RC ha \(R = 1000\,{\Omega }\), \(C = 10\,{\mu \mathrm{F} }\), e una tensione \(V(t) = V_0 = 5\) V costante. Il condensatore parte scarico. Determinare \(Q(t)\) e calcolare quando \(Q\) raggiunge il \(90\%\) del valore asintotico.

10.

Risolvere \(y' + y = \operatorname{sen} x\). (Suggerimento: l’integrale generale ha parte particolare \(y_p = (\operatorname{sen} x - \cos x)/2\).)

11.

Modello logistico applicato. Una colonia batterica segue il modello logistico con \(r = 0.5\,{/ \mathrm{h} }\) e capacità portante \(K = 10000\). Se \(P(0) = 100\), determinare il numero di batteri dopo \(20\) \(\mathrm {\mathrm{h} }\). A quale istante la popolazione raggiunge \(5000\) (= \(K/2\))?

12.

Mostrare che, per l’ED \(y' = y^2\), qualunque soluzione non costante con \(y(0) > 0\) “esplode in tempo finito” (cioè diverge a \(+\infty \) in un istante finito). Determinare l’istante di esplosione in funzione di \(y(0)\).

13.

Sia \(y(x)\) soluzione di \(y' = y\) con \(y(0) = 1\) (\(y = e^x\)). Sapendo che \(y(\ln 2) = 2\), \(y(\ln 3) = 3\), mostrare che \(y(\ln a + \ln b) = a b\) per ogni \(a, b > 0\). (Cioè: \(y(\ln (ab)) = a \cdot b\). Significato: \(e^x\) è l’unica funzione, a meno di costanti moltiplicative, che trasforma somme in prodotti.)

14.

Mostrare che, per il modello logistico \(P' = r P (1 - P/K)\), il punto di flesso del grafico di \(P(t)\) è esattamente \(P = K/2\). (Suggerimento: derivare nuovamente e impostare \(P'' = 0\).)

15.

Sfida (orto-curve). Determinare la famiglia di curve \(y = y(x)\) ortogonali a tutte le rette passanti per l’origine. (Suggerimento: una retta per l’origine ha equazione \(y = m x\), dunque ha coefficiente angolare \(y/x\) in ogni suo punto. Le curve ortogonali hanno coefficiente angolare \(-x/y\): si risolve l’ED \(y' = -x/y\).)

153.9 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Equazione differenziale ordinaria. Equazione in cui l’incognita è una funzione \(y(x)\) e compaiono \(y\) e \(y'\) (per primo ordine). Soluzione = funzione che verifica identicamente l’equazione. Integrale generale (con parametro), integrale particolare (con condizione).
Problema di Cauchy: \(\{y' = f(x, y),\, y(x_0) = y_0\}\). Per ipotesi standard (Cauchy–Lipschitz), unica soluzione locale.
Variabili separabili: \(y' = f(x) g(y)\). Procedura: cercare soluzioni costanti \(g(y_0) = 0\); separare \(\mathrm {d}y/g(y) = f(x)\,\mathrm {d}x\); integrare entrambi i membri; esplicitare \(y\).
Lineari del primo ordine: \(y' + a(x) y = b(x)\). Fattore integrante \(\mu = e^{A}\), con \(A = \int a\). Soluzione: \(y = e^{-A} [\int e^A b\,\mathrm {d}x + c]\). Struttura: \(y = y_\mathrm {p} + c \cdot y_\mathrm {o}\).
Crescita/decadimento esponenziale: \(y' = k y \Rightarrow y = y_0 e^{k t}\). Tempo di dimezzamento \(T_{1/2} = (\ln 2)/|k|\) per \(k < 0\).
Modelli notevoli:
- Decadimento radioattivo, datazione al carbonio (\(T_{1/2} = 5730~anni\) per \({}^{14}\mathrm {C}\)).
- Raffreddamento di Newton: \(T \to T_\mathrm {a}\) esponenzialmente.
- Caduta in fluido viscoso: \(v \to v_\infty = m g/\beta \).
- Circuito RC: costante di tempo \(\tau = RC\).
- Crescita logistica (cenno): soluzione sigmoide con saturazione a \(K\).
Nel prossimo capitolo (154) si introduce un esempio fondamentale di ED del secondo ordine, \(y'' = -\omega ^2 y\), l’oscillatore armonico, con soluzioni \(\operatorname{sen} , \cos \).

Capitolo 153 Equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili e lineari