In tutta la matematica vista finora — algebra, geometria, equazioni — abbiamo trattato
situazioni deterministiche: dati gli ingressi, gli ingredienti, le ipotesi, esiste una sola risposta, certa
e calcolabile. Il prodotto \(7\cdot 8\) vale \(56\), l’area di un cerchio di raggio \(5\) vale \(25\pi \), la soluzione di \(x^2 = 4\) è \(\pm 2\). Tutto
determinato.
Ma molte situazioni reali non funzionano così. Non possiamo prevedere con certezza:
che faccia uscirà al prossimo lancio di un dado;
se domani pioverà;
se un componente elettronico si guasterà entro un anno;
se una palla estratta da un’urna sarà rossa o nera.
Sono fenomeni aleatori o casuali: pur conoscendo le condizioni di partenza, il risultato non è
univocamente determinato.
La probabilità è la branca della matematica che studia questi fenomeni in modo quantitativo:
assegna a ogni possibile esito un numero (la sua probabilità) che misura quanto è “ragionevole
attendersi” quell’esito. Le sue radici sono nel xvi sec. con Cardano (giochi d’azzardo); il primo
grande salto teorico è del xvii sec. con il carteggio Pascal–Fermat (1654); la sistemazione
assiomatica moderna è del 1933 ad opera di Kolmogorov.
Il punto di partenza della teoria, però, non è il calcolo numerico — quello arriverà nel prossimo
capitolo (67). Prima dobbiamo costruire il linguaggio con cui descriviamo i fenomeni aleatori: cosa
sono gli eventi, come si combinano, quali relazioni hanno tra loro. È un linguaggio puramente
insiemistico (2): un evento è un sottoinsieme dello spazio dei risultati possibili, e le operazioni
tra eventi (unione, intersezione, complementare) sono le operazioni insiemistiche già
note.
In questo capitolo introduciamo dunque il vocabolario: spazio campionario, eventi
elementari e composti, operazioni tra eventi, eventi incompatibili, complementari, certi,
impossibili. Solo nel capitolo successivo associeremo a ogni evento un numero — la sua
probabilità.
Un esperimento aleatorio (o prova) è un’azione o un’osservazione il cui esito non può
essere previsto con certezza ma per cui possiamo descrivere tutti gli esiti possibili.
Esempio 66.1 — Esperimenti aleatori
Lanciare una moneta e osservare la faccia che esce.
Lanciare un dado a sei facce e osservare il numero in alto.
Estrarre una carta da un mazzo di \(40\) carte.
Lanciare due monete contemporaneamente.
Misurare il tempo di vita di una lampadina.
Esempi che non sono aleatori: calcolare \(3+5\), misurare l’area di un rettangolo dati i lati, risolvere
un’equazione di secondo grado.
Definizione 66.2 — Spazio campionario
Si chiama spazio campionario (o universo) dell’esperimento aleatorio l’insieme \(\Omega \) di
tutti i suoi possibili esiti. Ogni elemento di \(\Omega \) è chiamato esito o risultato dell’esperimento.
Esempio 66.2 — Spazi campionari
fondamentali
Lancio di una moneta: \(\Omega = \{T, C\}\) (testa, croce). \(|\Omega |=2\).
Lancio di un dado: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). \(|\Omega |=6\).
Lancio di due monete: \(\Omega = \{TT, TC, CT, CC\}\). \(|\Omega |=4\).
Lancio di due dadi: \(\Omega = \{(i,j) : i, j \in \{1,\ldots ,6\}\}\). \(|\Omega |=36\).
Estrazione di una carta italiana: \(\Omega \) ha \(40\) elementi.
Tempo di vita di una lampadina: \(\Omega = [0, +\infty )\), insieme continuo.
Nota — Spazi campionari finiti, infiniti,
continui
Lo spazio campionario può essere:
finito (lancio di moneta, dado, estrazione di carte): caso più semplice, e l’unico che
tratteremo sistematicamente in questo capitolo e nel prossimo.
infinito numerabile (numero di lanci di una moneta prima di ottenere testa per la
prima volta): \(\Omega = \mathbb {N}\) o \(\mathbb {N}^*\).
continuo (tempo di attesa di un autobus): \(\Omega = [0, T]\) o \(\Omega \subseteq \mathbb{R} \).
Negli ultimi due casi servono strumenti più avanzati (156).
Si chiama evento ogni sottoinsieme \(E \subseteq \Omega \) dello spazio campionario. Si dice che l’evento \(E\) si
verifica (o “si è realizzato”) se l’esito dell’esperimento appartiene a \(E\).
Definizione 66.4 — Evento elementare e evento
composto
Un evento elementare è un evento costituito da un solo esito, cioè un singoletto \(\{\omega \}\)
con \(\omega \in \Omega \).
Un evento composto è un evento costituito da due o più esiti.
Esempio 66.3 — Lancio di un dado
Spazio campionario: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
Evento elementare: \(E_1 = \{4\}\) = “esce il \(4\)”.
Evento composto: \(A = \{2, 4, 6\}\) = “esce un numero pari”.
Evento composto: \(B = \{4, 5, 6\}\) = “esce un numero \(\geq 4\)”.
Evento composto: \(C = \{1, 2, 3\}\) = “esce un numero \(\leq 3\)”.
Esempio 66.4 — Lancio di due dadi
Spazio campionario: \(\Omega = \{(i,j) : i, j \in \{1,\ldots ,6\}\}\), \(|\Omega | = 36\).
Gli eventi sono insiemi, quindi le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, differenza,
complementare) hanno una naturale interpretazione probabilistica. La corrispondenza linguistica
è:
\[ \begin {array}{l|l} \text {Insiemi} & \text {Eventi (linguaggio della probabilità)} \\ \hline \omega \in A & \text {l'evento $A$ si verifica} \\ A \cup B & \text {si verifica $A$ \emph {o} $B$ (o entrambi)} \\ A \cap B & \text {si verificano \emph {sia} $A$ \emph {sia} $B$} \\ \bar {A} & \text {\emph {non} si verifica $A$} \\ A \subseteq B & \text {$A$ \emph {implica} $B$} \\ A \cap B = \varnothing & \text {$A$ e $B$ \emph {incompatibili}} \\ \end {array} \]
Definizione 66.5 — Unione di eventi
L’unione\(A \cup B\) è l’evento che si verifica quando si verifica almeno uno dei due (o entrambi):
\[ A \cup B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text { \emph {oppure} } \omega \in B\}. \]
L’intersezione\(A \cap B\) è l’evento che si verifica quando si verificano entrambi:
\[ A \cap B = \{\omega \in \Omega : \omega \in A \text { \emph {e} } \omega \in B\}. \]
Corrisponde alla congiunzione “e” della logica.
Figura 66.1: Rappresentazione con diagrammi di Venn. A sinistra l’intersezione \(A\cap B\) (zona di
sovrapposizione): si verifica solo se entrambi gli eventi si realizzano. A destra l’unione \(A\cup B\)
(entrambi i cerchi): si verifica se almeno uno dei due si realizza.
Esempio 66.5 — Operazioni tra eventi
Lancio di un dado: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Siano \(A = \{2, 4, 6\}\) (“pari”) e \(B = \{4, 5, 6\}\) (“\(\geq 4\)”).
\(A \cap B = \{4, 6\}\) = “pari e \(\geq 4\)”.
\(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\) = “pari o \(\geq 4\)”.
Teorema 66.1 — Proprietà delle operazioni tra
eventi
Per qualunque \(A, B, C \subseteq \Omega \) valgono:
Commutativa: \(A\cup B = B\cup A\), \(A\cap B = B\cap A\).
Associativa: \((A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)\) (idem per \(\cap \)).
Distributiva: \(A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)\); \(A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)\).
Leggi di De Morgan: \(\overline {A\cup B} = \bar A\cap \bar B\); \(\overline {A\cap B} = \bar A \cup \bar B\).
Queste proprietà sono identiche a quelle dell’algebra degli insiemi (2) e dell’algebra
di Boole: la teoria della probabilità eredita dall’insiemistica tutta la sua impalcatura
formale.
Definizione 66.7 — Eventi incompatibili o
disgiunti
Due eventi \(A\) e \(B\) si dicono incompatibili (o disgiunti, o “mutuamente esclusivi”) se non
possono verificarsi entrambi, cioè
\[ A \cap B = \varnothing . \]
Esempio 66.6 — Eventi incompatibili
Lancio di un dado: \(A = \{1, 2\}\) (“\(\leq 2\)”) e \(B = \{5, 6\}\) (“\(\geq 5\)”) sono incompatibili: \(A\cap B = \varnothing \).
Lancio di un dado: \(A = \{2, 4, 6\}\) (“pari”) e \(B = \{1, 3, 5\}\) (“dispari”) sono incompatibili e ricoprono tutto \(\Omega \)
(partizione).
Definizione 66.8 — Evento complementare o
contrario
Si chiama evento complementare (o contrario) di \(A\), e si indica con \(\bar A\) (oppure \(A^c\), \(\lnot A\)), l’evento
che si verifica esattamente quando \(A\) non si verifica:
\[ \bar A = \Omega \setminus A = \{\omega \in \Omega : \omega \notin A\}. \]
Nota — Proprietà dell’evento complementare
Per ogni \(A \subseteq \Omega \):
\(A \cap \bar A = \varnothing \) (\(A\) e \(\bar A\) sono incompatibili);
\(A \cup \bar A = \Omega \) (\(A\) e \(\bar A\) ricoprono tutto \(\Omega \));
\(\overline {\bar A} = A\) (il contrario del contrario è \(A\) stesso).
Quindi \(\{A, \bar A\}\) è sempre una partizione di \(\Omega \) in due eventi incompatibili.
Figura 66.2: A sinistra: eventi incompatibili (i due cerchi non si sovrappongono). A destra:
l’evento complementare \(\bar A\) è la regione di \(\Omega \) esterna ad \(A\).
Incompatibili significa \(A\cap B = \varnothing \) (non possono verificarsi insieme).
Complementari significa \(A\cap B = \varnothing \) e \(A\cup B = \Omega \) (uno dei due si verifica certamente).
Quindi: due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due incompatibili non
sono in generale complementari. Esempio: “esce 1” e “esce 2” sono incompatibili ma non
complementari.
L’evento certo è \(\Omega \) stesso: si verifica sempre, in qualunque esito dell’esperimento.
Definizione 66.10 — Evento impossibile
L’evento impossibile è l’insieme vuoto \(\varnothing \): non si verifica mai.
Esempio 66.7 — Lancio di un dado
“Esce un numero compreso tra \(1\) e \(6\)” \(= \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (certo).
“Esce \(7\)” \(= \varnothing \) (impossibile).
“Esce un numero pari o dispari” \(= \Omega \) (certo).
Nota — Tre categorie di eventi rispetto alla
certezza
Ogni evento \(E\) rientra in una di queste tre categorie:
Certo: \(E = \Omega \).
Impossibile: \(E = \varnothing \).
Aleatorio: \(\varnothing \subsetneq E \subsetneq \Omega \) (cioè \(E\) contiene almeno un esito ma non tutti).
È solo per gli eventi aleatori che ha senso “calcolare una probabilità”. Per gli altri due la
risposta è ovvia: probabilità \(1\) per il certo, \(0\) per l’impossibile (lo vedremo formalmente in 67).
\(S_2\) e \(S_{12}\) sono incompatibili. \(S_2 \cup S_3 \cup \ldots \cup S_{12} = \Omega \) (somma sempre tra \(2\) e \(12\)): è una partizione di \(\Omega \) in \(11\) eventi.
Esempio 66.10 — Estrazione di una carta
Mazzo di \(40\) carte (italiane): \(\Omega \) ha \(40\) elementi (quattro semi \(\times \) dieci valori).
\(R\) = “carta di coppe” (uno dei quattro semi): \(|R|=10\).
Lancio di un dado: \(A = \) “pari” \(=\{2,4,6\}\), \(B = \) “\(\geq 4\)” \(=\{4,5,6\}\).
Verifica della prima legge di De Morgan: \(\overline {A\cup B} = \bar A \cap \bar B\).
\(A\cup B = \{2,4,5,6\}\), quindi \(\overline {A\cup B} = \{1,3\}\).
\(\bar A = \{1,3,5\}\), \(\bar B = \{1,2,3\}\), quindi \(\bar A\cap \bar B = \{1,3\}\). \(\checkmark\)
A parole: “non (pari o \(\geq 4\))” equivale a “dispari e \(\leq 3\)”, cioè \(\{1,3\}\).
Esempio 66.12 — Partizione in eventi
incompatibili
Lancio di un dado: i tre eventi \(A=\{1,2\}\), \(B=\{3,4\}\), \(C=\{5,6\}\) sono a due a due incompatibili e \(A\cup B\cup C = \Omega \): formano una
partizione di \(\Omega \).
La partizione in eventi incompatibili è uno strumento fondamentale: in PS-006 vedremo
che la probabilità di un’unione di eventi incompatibili si calcola come somma.
Determina se le seguenti coppie di eventi sono incompatibili, complementari, o nessuno dei
due (esempio: lancio di un dado):
(a) “pari” e “dispari”;
(b) “\(<3\)” e “\(\geq 4\)”;
(c) “pari” e “primo”;
(d) “\(\leq 4\)” e “\(> 4\)”.
6.
Trova due eventi \(A\) e \(B\), definiti nel lancio di un dado a \(6\) facce, tali che:
(a) \(A\cap B = \{2\}\), \(A\cup B = \{1,2,3,5\}\);
(b) \(A\subseteq B\), \(|A|=2\), \(|B|=4\);
(c) \(A\) e \(B\) siano complementari con \(|A|=4\).
7.
Verifica entrambe le leggi di De Morgan per \(A=\{1,2,4\}\) e \(B=\{2,3,5\}\) nel lancio di un dado.
8.
Costruisci una partizione di \(\Omega = \{1,2,\ldots ,6\}\) (lancio di un dado) in:
(a) \(2\) eventi;
(b) \(3\) eventi;
(c) \(6\) eventi (la più fine possibile).
9.
(Vero o falso, con giustificazione.)
(a) Due eventi complementari sono sempre incompatibili.
(b) Due eventi incompatibili sono sempre complementari.
(c) Se \(A\subseteq B\), allora \(A\cap B = A\).
(d) \(\overline {A\cap B} = \bar A\cap \bar B\).
(e) L’evento certo è il complementare dell’evento impossibile.
10.
(Discussione.) Definisci un esperimento aleatorio della vita reale (non legato a
giochi d’azzardo) e descrivi tre eventi interessanti su di esso, indicando lo spazio
campionario.
Leggi di De Morgan: \(\overline {A\cup B} = \bar A\cap \bar B\), \(\overline {A\cap B} = \bar A\cup \bar B\).
Una partizione di \(\Omega \) è una famiglia di eventi a due a due incompatibili la cui unione è \(\Omega \).
Strumento centrale per il calcolo della probabilità (67).
Prossimo passo: associare a ogni evento un numero — la sua probabilità — usando la
definizione classica \(P(E) = |E|/|\Omega |\) (67).
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