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Capitolo 30
Segmenti e loro misura

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“Misura ciò che è misurabile, e rendi misurabile ciò che non lo è.”
— Galileo Galilei

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Stabiliti i concetti primitivi e l’impalcatura logica della geometria, in questo capitolo iniziamo a costruire i primi enti derivati. Il primo passo, naturalissimo, è considerare la parte di una retta delimitata da due punti: il segmento. Sui segmenti definiremo il confronto e le operazioni (somma, differenza, multipli e sottomultipli), introdurremo il punto medio e infine il concetto di misura, che permette di passare dalla geometria pura a un confronto numerico.

L’attenzione all’ordine logico è fondamentale: confronto e operazioni si possono definire senza misurare, sfruttando soltanto il movimento rigido (la congruenza). Solo dopo, scelta un’unità di misura, ad ogni segmento si associa un numero reale positivo, la sua lunghezza.

30.1 Semiretta e segmento

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Un punto \(O\) su una retta \(r\) divide la retta in due parti, ognuna delle quali è detta semiretta. Considerando contemporaneamente due punti distinti \(A\) e \(B\) su una retta, isoliamo la porzione di retta compresa tra essi: il segmento.

Definizione 30.1 — Semiretta

Sia \(O\) un punto di una retta \(r\). Una semiretta di origine \(O\) è una delle due parti in cui \(O\) divide \(r\), comprendente \(O\) stesso. Il punto \(O\) si dice origine della semiretta.

Definizione 30.2 — Segmento

Siano \(A\) e \(B\) due punti distinti di una retta \(r\). Si chiama segmento \(AB\) l’insieme costituito da \(A\), da \(B\) e da tutti i punti di \(r\) compresi fra \(A\) e \(B\). I punti \(A\) e \(B\) si dicono estremi del segmento.

Il segmento \(AB\) e il segmento \(BA\) rappresentano lo stesso insieme di punti: l’ordine in cui si scrivono gli estremi non ne modifica la natura.

Si distinguono inoltre alcune configurazioni reciproche fra segmenti che useremo costantemente.

Definizione 30.3 — Segmenti consecutivi e adiacenti

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Figura 30.1: In alto: semiretta di origine \(O\) e segmento di estremi \(A\) e \(B\). In basso: segmenti consecutivi \(AB\) e \(BC\) (con un solo estremo in comune) e segmenti adiacenti, anch’essi consecutivi ma giacenti su una stessa retta.

30.2 Confronto di segmenti

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Per dire che “due segmenti sono uguali” o che “il segmento \(AB\) è più piccolo del segmento \(CD\)” non abbiamo ancora bisogno di numeri: basta poter sovrapporre i segmenti tramite un movimento rigido.

Definizione 30.4 — Congruenza di segmenti

Due segmenti si dicono congruenti, e si scrive

\[ AB \cong CD , \]

quando si possono trasportare l’uno sull’altro mediante un movimento rigido in modo che gli estremi si corrispondano. La congruenza di segmenti è una relazione di equivalenza: è riflessiva (\(AB \cong AB\)), simmetrica (se \(AB \cong CD\) allora \(CD \cong AB\)) e transitiva (se \(AB \cong CD\) e \(CD \cong EF\), allora \(AB \cong EF\)).

Quando due segmenti non sono congruenti, possiamo confrontarli e dire quale è il maggiore (o il minore).

Procedura  — Confronto di due segmenti

Siano \(AB\) e \(CD\) due segmenti. Per confrontarli:

1.
si trasporta \(CD\) sulla retta che contiene \(AB\), in modo che \(C\) vada a coincidere con \(A\) e \(D\) cada dalla stessa parte di \(B\) rispetto ad \(A\);
2.
sia \(D'\) il punto immagine di \(D\). Si confrontano \(B\) e \(D'\):
  • se \(D' = B\), allora \(AB \cong CD\);
  • se \(D'\) è interno al segmento \(AB\), allora \(CD < AB\);
  • se \(D'\) è esterno al segmento \(AB\) (oltre \(B\)), allora \(CD > AB\).

Esempio 30.1 — Confronto grafico

Si abbiano due segmenti \(AB\) e \(CD\). Trasportato \(CD\) con origine in \(A\) lungo la semiretta \(AB\), l’immagine di \(D\) cade in un punto \(D'\). Se \(D'\) si trova fra \(A\) e \(B\), allora \(CD\) è più corto di \(AB\); se \(D'\) coincide con \(B\), i due segmenti sono congruenti; se \(D'\) supera \(B\), allora \(CD\) è più lungo di \(AB\). Il confronto si traduce in un’operazione puramente geometrica, indipendente dalla scelta di un’unità di misura.

30.3 Operazioni con i segmenti

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Sui segmenti si definiscono le operazioni di somma e differenza in modo grafico. La definizione precede ogni considerazione numerica e si fonda esclusivamente sulla nozione di adiacenza.

Definizione 30.5 — Somma di due segmenti

Si chiama somma dei due segmenti \(AB\) e \(CD\) il segmento \(AC'\) ottenuto disponendo \(AB\) e \(CD\) in posizione adiacente, cioè trasportando \(CD\) sulla retta di \(AB\) in modo che \(C\) coincida con \(B\) e che \(D\) si trovi dalla parte opposta di \(A\) rispetto a \(B\). Il segmento somma ha per estremi \(A\) e l’immagine \(C'\) di \(D\):

\[ AB + CD \cong AC'. \]

Definizione 30.6 — Differenza di due segmenti

Siano \(AB\) e \(CD\) due segmenti con \(AB > CD\). Si chiama differenza dei due segmenti il segmento che, sommato a \(CD\), dà come risultato \(AB\). Operativamente, si trasporta \(CD\) con origine in \(A\) lungo la semiretta \(AB\); sia \(D'\) l’immagine di \(D\). Si ha allora

\[ AB - CD \cong D'B. \]

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Figura 30.2: Operazioni grafiche con i segmenti. In alto a sinistra: somma di \(AB\) e \(CD\), ottenuta affiancando \(CD\) a \(AB\). In alto a destra: differenza di \(AB\) e \(CD\). In basso: multiplo \(3 \cdot AB\), ottenuto giustapponendo tre copie congruenti di \(AB\).

Multipli e sottomultipli

Iterando l’operazione di somma si ottengono i multipli di un segmento.

Definizione 30.7 — Multiplo di un segmento

Si chiama multiplo secondo \(n\) di un segmento \(AB\), e si denota \(n \cdot AB\), il segmento ottenuto giustapponendo \(n\) copie consecutive e congruenti di \(AB\) (\(n\) intero positivo).

Definizione 30.8 — Sottomultiplo di un segmento

Si chiama sottomultiplo \(n\)-esimo di un segmento \(AB\), e si denota \(\frac {1}{n} \cdot AB\), il segmento \(CD\) tale che \(n \cdot CD \cong AB\) (\(n\) intero positivo). Esso esiste ed è unico, ma la dimostrazione di questo fatto richiede l’assioma di continuità della retta.

30.4 Punto medio di un segmento

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Tra le costruzioni elementari più importanti vi è quella del punto medio, che divide un segmento in due parti congruenti.

Definizione 30.9 — Punto medio

Si chiama punto medio del segmento \(AB\) il punto \(M\) del segmento tale che

\[ AM \cong MB . \]

Teorema 30.1 — esistenza e unicità del punto medio

Ogni segmento \(AB\) ammette uno e un solo punto medio.

Dimostrazione (cenni). L’esistenza si fonda sull’assioma di continuità della retta: pensiamo di muovere un punto \(P\) da \(A\) verso \(B\) lungo il segmento, e di confrontare istante per istante \(AP\) con \(PB\). All’inizio \(AP\) è il segmento nullo e \(PB \cong AB\); alla fine \(AP \cong AB\) e \(PB\) è nullo. Per continuità esiste un punto in cui \(AP \cong PB\). L’unicità segue dal fatto che, se esistessero due punti medi \(M_1\) e \(M_2\) distinti, uno dei due sarebbe interno al segmento \(AM_2\) (o \(AM_1\)) e si arriverebbe a una contraddizione con la congruenza richiesta.

Il punto medio è il caso \(n = 2\) del sottomultiplo: si tratta del segmento \(\frac {1}{2} \cdot AB\) riportato a partire da \(A\) lungo \(AB\).

Esempio 30.2 — Costruzione con riga e compasso

Per costruire concretamente il punto medio di \(AB\) con riga e compasso si procede come segue. Si fissa il compasso con un’apertura maggiore di \(\frac {1}{2}AB\). Puntandolo prima in \(A\) e poi in \(B\), si tracciano due archi da entrambe le parti del segmento; gli archi si intersecano in due punti \(C\) e \(D\). La retta \(CD\) è l’asse del segmento \(AB\) (la perpendicolare condotta per il suo punto medio); essa interseca \(AB\) proprio in \(M\), il punto medio cercato. Questa costruzione, attribuita ad Euclide (Proposizione 10 del Libro I degli Elementi), sarà giustificata in modo rigoroso più avanti, dopo l’introduzione dei criteri di congruenza dei triangoli.

30.5 Misura di un segmento

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Il confronto e le operazioni sui segmenti, finora, si sono svolti senza far ricorso a numeri. Per molte applicazioni, però, è necessario associare a ogni segmento un numero: questo è ciò che permette il calcolo numerico, l’uso di formule, il dialogo con la fisica e con le scienze sperimentali.

Definizione 30.10 — Misura di un segmento

Si fissi un segmento \(u\), detto unità di misura. Per ogni segmento \(AB\) esiste un unico numero reale positivo \(\ell \) tale che

\[ AB \cong \ell \cdot u , \]

nel senso che, riportando \(u\) ripetutamente lungo \(AB\) ed eventualmente i suoi sottomultipli, si copre \(AB\) esattamente. Il numero \(\ell \) si chiama misura (o lunghezza) di \(AB\) rispetto all’unità \(u\) e si denota \(\overline {AB}\).

L’esistenza e l’unicità di \(\ell \) riposano su una proprietà profonda della retta euclidea, l’assioma di Eudosso-Archimede e la completezza dei numeri reali, che assumeremo qui come fatto. La conseguenza pratica è che, una volta scelta un’unità, ogni segmento corrisponde univocamente a un numero reale positivo.

Sistema Internazionale e unità di misura

Nel Sistema Internazionale (SI) l’unità di misura della lunghezza è il metro, denotato \(\mathrm {\mathrm{m} }\). Da esso si derivano i multipli e sottomultipli decimali. Riportiamo i più frequenti:

Le operazioni sui segmenti si traducono nelle corrispondenti operazioni sulle loro misure: se \(\overline {AB} = a\) e \(\overline {CD} = b\), allora la misura del segmento somma è \(a + b\), quella del differenza (con \(a > b\)) è \(a - b\), e quella del multiplo \(n\)-esimo è \(n \cdot a\).

Esempio 30.3 — Somma di lunghezze

Si abbiano due segmenti \(AB\) e \(CD\) con misure rispetto all’unità metro

\[ \overline {AB} = a , \qquad \overline {CD} = b , \]

e si vogliano determinare la misura \(s\) del segmento somma e la misura \(d\) del segmento differenza (\(AB > CD\)).

Le operazioni di somma e differenza si trasferiscono direttamente alle misure:

\[ s = a + b , \qquad d = a - b . \]

Numericamente, con \(a = 2.45\,{\mathrm{m} }\) e \(b = 0.85\,{\mathrm{m} }\):

\begin{align*} s &= 2.45\,{\mathrm{m} } + 0.85\,{\mathrm{m} } = 3.30\,{\mathrm{m} } , \\ d &= 2.45\,{\mathrm{m} } - 0.85\,{\mathrm{m} } = 1.60\,{\mathrm{m} } . \end{align*}

Esempio 30.4 — Punto medio in coordinate

Sia \(AB\) un segmento e \(\overline {AB} = a\). La misura del segmento \(\overline {AM}\), dove \(M\) è il punto medio, è

\[ \overline {AM} = \frac {a}{2} . \]

Numericamente, con \(a = 14.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\):

\[ \overline {AM} = \frac {14.6\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}{2} = 7.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Esempio 30.5 — Confronto fra segmenti tramite la misura

Per confrontare due segmenti basta confrontare le loro misure rispetto a una stessa unità. Siano \(AB\) e \(CD\) con

\[ \overline {AB} = 12.3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } , \qquad \overline {CD} = 0.118\,{\mathrm{m} } . \]

Conviene esprimere entrambe le misure nella stessa unità, ad esempio in centimetri. Ricordando che \(1\,{\mathrm{m} } = e2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\):

\[ \overline {CD} = 0.118\,{\mathrm{m} } = 0.118 \cdot e2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 11.8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Poiché \(12.3 > 11.8\), si ha \(AB > CD\).

Attenzione!

Misura e segmento sono cose diverse. Il segmento \(AB\) è un ente geometrico: un sottoinsieme di punti dello spazio. La sua misura \(\overline {AB}\) è un numero reale: dipende dalla scelta dell’unità di misura. Riportare \(\overline {AB} = 2.5\) senza precisare l’unità è privo di significato; lo stesso segmento ha misura \(2.5\) in metri, \(250\) in centimetri, \(0.0025\) in chilometri.

Esempi svolti

Esempio 30.6 — Operazioni concatenate con segmenti

Su una retta sono dati, nell’ordine, i punti \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) con

\[ \overline {AB} = 4.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }, \quad \overline {BC} = 3.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }, \quad \overline {CD} = 2.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Determiniamo la misura del segmento \(AD\) e la posizione del suo punto medio \(M\) rispetto a \(B\).

Misura di \(AD\). I tre segmenti sono adiacenti, quindi

\[ \overline {AD} = \overline {AB} + \overline {BC} + \overline {CD} . \]

Sostituendo:

\[ \overline {AD} = 4.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } + 3.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } + 2.1\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 9.8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Posizione di \(M\). Il punto medio dista da \(A\):

\[ \overline {AM} = \frac {\overline {AD}}{2} = \frac {9.8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}{2} = 4.9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Poiché \(\overline {AB} = 4.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } < \overline {AM} = 4.9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), il punto \(M\) si trova oltre \(B\), nel segmento \(BC\). La sua distanza da \(B\) è

\[ \overline {BM} = \overline {AM} - \overline {AB} = 4.9\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } - 4.2\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 0.7\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Esempio 30.7 — Problema con incognita

Un segmento \(AB\) è tale che la sua quinta parte sommata alla sua metà dà come risultato un segmento di lunghezza \(14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Determiniamo la misura di \(AB\).

Impostazione algebrica. Sia \(\overline {AB} = a\) la misura incognita. La condizione si scrive

\[ \frac {a}{5} + \frac {a}{2} = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Risoluzione. Riducendo a denominatore comune \(10\):

\[ \frac {2a}{10} + \frac {5a}{10} = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }, \qquad \frac {7a}{10} = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Da cui

\[ a = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } \cdot \frac {10}{7} = 20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } . \]

Verifica. Si controlla:

\[ \frac {20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}{5} + \frac {20\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }}{2} = 4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } + 10\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } = 14\,{\mathrm{c} \mathrm{m} } , \]

in accordo con il dato.

Esercizio 30.1

1.
Disegna due segmenti \(AB\) e \(CD\) con \(\overline {AB} = 5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(\overline {CD} = 3\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Costruisci graficamente i segmenti \(AB + CD\) e \(AB - CD\).
2.
Quattro punti \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sono allineati nell’ordine indicato, con \(\overline {AB} = 2.4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(\overline {BC} = 1.8\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), \(\overline {CD} = 3.0\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola le misure dei segmenti \(AD\), \(AC\), \(BD\).
3.
Sia \(AB\) un segmento con \(\overline {AB} = 18\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Calcola le misure dei segmenti \(\frac {1}{3}\cdot AB\), \(\frac {2}{3}\cdot AB\), \(\frac {5}{6}\cdot AB\).
4.
Tre punti \(A\), \(B\), \(C\) sono allineati e \(B\) è il punto medio di \(AC\). Sapendo che \(\overline {AC} = 12.4\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), calcola \(\overline {AB}\) e \(\overline {BC}\).
5.
Su una retta, nell’ordine \(A\), \(B\), \(C\), si ha \(\overline {AB} = 3.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\) e \(\overline {BC} = 4.5\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\). Trova la distanza del punto medio di \(AC\) da \(B\).
6.
Su un segmento \(AB\) di misura \(40\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), si fissi un punto \(P\) tale che \(\overline {AP} = 3 \cdot \overline {PB}\). Determina \(\overline {AP}\) e \(\overline {PB}\).
7.
Un segmento è suddiviso in tre parti tali che la prima è la metà della seconda e la terza è il doppio della seconda. Sapendo che il segmento misura \(42\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\), determina la misura di ciascuna parte.
8.
Stabilisci se le seguenti coppie di segmenti sono congruenti, oppure indica quale è il maggiore. Esprimi tutte le misure nella stessa unità.
(a)
\(\overline {AB} = 0.85\,{\mathrm{m} }\) e \(\overline {CD} = 85\,{\mathrm{c} \mathrm{m} }\);
(b)
\(\overline {AB} = 1.20\,{\mathrm{m} }\) e \(\overline {CD} = 1180\,{\mathrm{m} \mathrm{m} }\);
(c)
\(\overline {AB} = 0.0034\,{\mathrm{k} \mathrm{m} }\) e \(\overline {CD} = 3.50\,{\mathrm{m} }\).
9.
Tre punti \(A\), \(B\), \(C\) sono allineati nell’ordine indicato, con \(\overline {AB} = a\) e \(\overline {BC} = b\). Sia \(M\) il punto medio di \(AC\). Esprimi \(\overline {BM}\) in funzione di \(a\) e \(b\), distinguendo i casi \(a > b\), \(a = b\), \(a < b\).
10.
Sia \(AB\) un segmento e siano \(M_1\) il punto medio di \(AB\) e \(M_2\) il punto medio di \(AM_1\). Esprimi \(\overline {AM_2}\), \(\overline {M_2 M_1}\), \(\overline {M_1 B}\) in funzione di \(\overline {AB}\).
11.
Spiega, con parole tue, perché le definizioni di confronto, somma e punto medio dei segmenti possono essere date senza aver introdotto la nozione di misura. Quale ruolo gioca la misura?
12.
Si abbia un segmento \(AB\) di misura \(\overline {AB} = a\). Costruisci, sulla retta che lo contiene e a partire da \(A\), un punto \(P\) tale che \(\overline {AP} = \frac {2a}{5}\). Quale frazione di \(AB\) rappresenta \(PB\)?
13.
Un segmento misura \(2.4\,{\mathrm{m} }\). Esprimi la sua misura in centimetri, in millimetri, in chilometri.

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