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Capitolo 31
Angoli: classificazione e operazioni

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“L’angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano che si incontrano l’una con l’altra e non giacciono in linea retta.”
— Euclide, Elementi, Libro I, Definizione 8

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La parola angolo appartiene al linguaggio quotidiano e ognuno se ne è formato un’idea intuitiva: lo spigolo di una stanza, l’inclinazione di un raggio di luce, l’apertura di un compasso. La geometria, tuttavia, ha bisogno di una nozione precisa: vogliamo poter dire quando due angoli sono uguali, quando uno è il doppio dell’altro, quando una semiretta divide un angolo in due parti uguali, e ricavare da queste definizioni teoremi rigorosi. In questo capitolo costruiamo i mattoni che servono.

Il filo conduttore è duplice. Da un lato definiamo l’oggetto angolo e ne classifichiamo i tipi (acuto, retto, ottuso, piatto, giro). Dall’altro stabiliamo i primi teoremi non banali della geometria razionale: la congruenza degli angoli opposti al vertice, la congruenza degli angoli supplementari (o complementari) di uno stesso angolo, l’esistenza e unicità della bisettrice. Sono risultati semplici, ma il loro stile dimostrativo è quello che impiegheremo in tutto il resto della geometria.

31.1 Definizione di angolo

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Date due semirette \(a\) e \(b\) uscenti dallo stesso punto \(V\), esse dividono il piano in due regioni distinte. Ciascuna di queste regioni, insieme con le due semirette che la delimitano, costituisce un angolo.

Definizione 31.1 — Angolo

Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette \(a\) e \(b\) uscenti da uno stesso punto \(V\), compresi i punti delle due semirette. Il punto \(V\) è detto vertice; le due semirette \(a\) e \(b\) sono dette lati dell’angolo.

Per indicare un angolo si usano diverse notazioni:

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Figura 31.1: Due semirette \(a\) e \(b\) uscenti dal vertice \(V\) dividono il piano in due angoli: l’angolo convesso \(\alpha = \widehat {AVB}\) (in verde) e l’angolo concavo \(\beta \) (in arancione tratteggiato). Le due semirette sono i lati di entrambi gli angoli; il punto \(V\) ne è il vertice.

Angoli convessi e concavi

Definizione 31.2 — Angolo convesso e angolo concavo

Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati; si dice concavo se li contiene.

In modo equivalente: un angolo è convesso se, presi due qualsiasi suoi punti \(P\) e \(Q\), il segmento \(PQ\) è interamente contenuto nell’angolo stesso. Salvo avviso contrario, quando in queste dispense parleremo di “angolo \(\widehat {AVB}\)” intenderemo l’angolo convesso individuato dalle due semirette.

Casi limite: angolo piatto, angolo giro, angolo nullo

Definizione 31.3 — Angolo piatto, giro, nullo

Angoli piatto, giro e nullo sono casi degeneri rispetto alla definizione generale: l’angolo piatto si ottiene quando le due semirette giacciono sulla stessa retta; angolo giro e angolo nullo quando le due semirette coincidono. Sono comunque oggetti utili per fissare i punti di riferimento della classificazione che segue.

31.2 Classificazione degli angoli

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Misurare gli angoli, come misurare i segmenti, è una operazione che si appoggia sul confronto: due angoli si dicono congruenti se si possono sovrapporre con un movimento rigido in modo che i loro lati e i loro vertici si corrispondano. Anche per gli angoli, dunque, il confronto precede la misura.

Tra tutti gli angoli ne distinguiamo uno particolarmente importante.

Definizione 31.4 — Angolo retto

Si chiama angolo retto l’angolo congruente al proprio supplementare (la nozione di angolo supplementare è ripresa nel sezione 31.4). In modo equivalente, l’angolo retto è la metà dell’angolo piatto.

La definizione moderna di angolo retto, qui adottata, evita di ricorrere a una unità di misura. Euclide la pose come quarto postulato (“tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro”): assumeva quindi l’esistenza dell’angolo retto come dato della teoria e ne richiedeva la congruenza universale. La nostra definizione la traduce in linguaggio moderno facendo uso delle nozioni di supplementare e di metà.

Sulla base dell’angolo retto e dell’angolo piatto, classifichiamo tutti gli angoli convessi.

Definizione 31.5 — Classificazione degli angoli convessi

Un angolo convesso \(\alpha \) si dice:

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Figura 31.2: Classificazione degli angoli. In alto da sinistra: acuto, retto (segnalato dal quadratino convenzionale), ottuso. In basso: piatto, giro, nullo. Acuto, retto, ottuso e piatto sono angoli convessi; il giro è la configurazione in cui i due lati coincidono e l’angolo riempie l’intero piano.

31.3 Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice

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Quando si considerano due angoli, è importante distinguere le loro posizioni reciproche più frequenti, perché su di esse si fondano le prime relazioni di congruenza.

Definizione 31.6 — Angoli consecutivi e adiacenti

In altre parole, due angoli adiacenti sono due angoli consecutivi i cui lati non comuni costituiscono insieme un angolo piatto. La nozione di angolo adiacente è il caso particolare “rettilineo” della nozione di angolo consecutivo.

Definizione 31.7 — Angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Due rette \(r\) e \(s\) incidenti in un punto \(V\) formano quattro angoli, organizzati in due coppie di angoli opposti al vertice. La configurazione è così frequente da meritare un nome e un teorema dedicati.

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Figura 31.3: Tre configurazioni fondamentali. Consecutivi: due angoli che hanno un lato e il vertice in comune. Adiacenti: caso particolare di angoli consecutivi i cui lati non comuni formano un angolo piatto. Opposti al vertice: due rette incidenti formano due coppie di angoli (\(\alpha ,\alpha '\)) e (\(\beta ,\beta '\)).

Possiamo ora dimostrare un primo, classico risultato.

Teorema 31.1 — degli angoli opposti al vertice

Due angoli opposti al vertice sono congruenti.

Ipotesi. Le rette \(r\) e \(s\) si intersecano nel punto \(V\); \(\alpha \) e \(\alpha '\) sono i due angoli opposti al vertice che si formano.

Tesi. \(\alpha \cong \alpha '\).

Dimostrazione. Sia \(\beta \) l’angolo adiacente ad \(\alpha \) ottenuto dal lato comune di \(r\) e \(s\) (cfr. Figura 31.3, terza configurazione). Poiché \(\alpha \) e \(\beta \) sono adiacenti, la loro somma è un angolo piatto:

\[ \alpha + \beta \cong \text {piatto} . \]

Analogamente, \(\beta \) è adiacente anche ad \(\alpha '\) (lungo l’altro prolungamento), quindi

\[ \beta + \alpha ' \cong \text {piatto} . \]

Confrontando le due uguaglianze si ha

\[ \alpha + \beta \cong \beta + \alpha ' , \]

e sottraendo \(\beta \) da entrambi i membri (operazione lecita perché si tratta di una somma di angoli):

\[ \alpha \cong \alpha ' . \]

Questo è quanto si voleva dimostrare.

31.4 Angoli complementari, supplementari, esplementari

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Per ricorrenza si introducono nomi specifici per le coppie di angoli la cui somma è un angolo retto, piatto o giro. Sono nozioni che si useranno costantemente, sia in geometria che in trigonometria.

Definizione 31.8 — Complementari, supplementari, esplementari

Due angoli \(\alpha \) e \(\beta \) si dicono:

Si noti la sottile differenza con la nozione di angolo adiacente: due angoli adiacenti sono sempre supplementari, ma due angoli supplementari non sono necessariamente adiacenti (possono essere disposti in qualsiasi posizione del piano, purché la loro somma sia piatta).

[Picture]

Figura 31.4: Coppie di angoli particolari: complementari (somma retto), supplementari (somma piatto), esplementari (somma giro). I disegni mostrano configurazioni adiacenti, ma la definizione non richiede l’adiacenza: due angoli sono ad esempio supplementari se la loro somma è piatta, indipendentemente da dove siano disegnati.

Sui complementari e supplementari valgono due teoremi di congruenza che useremo molto.

Teorema 31.2 — Angoli supplementari di angoli congruenti

Se \(\alpha \cong \alpha '\), e \(\beta \) è un supplementare di \(\alpha \) e \(\beta '\) è un supplementare di \(\alpha '\), allora \(\beta \cong \beta '\).

Dimostrazione. Per ipotesi

\[ \alpha + \beta \cong \text {piatto} , \qquad \alpha ' + \beta ' \cong \text {piatto} . \]

Confrontando i due primi membri:

\[ \alpha + \beta \cong \alpha ' + \beta ' . \]

Poiché \(\alpha \cong \alpha '\), sottraendo da ambo i membri si ha \(\beta \cong \beta '\).

In particolare, scegliendo \(\alpha = \alpha '\), si ottiene il caso più semplice: due angoli supplementari di uno stesso angolo sono congruenti tra loro. Lo stesso enunciato vale per i complementari, con dimostrazione del tutto analoga sostituendo “piatto” con “retto”.

Teorema 31.3 — Angoli complementari di angoli congruenti

Se \(\alpha \cong \alpha '\), e \(\beta \) è un complementare di \(\alpha \) e \(\beta '\) è un complementare di \(\alpha '\), allora \(\beta \cong \beta '\).

Si può ora rileggere il teorema degli angoli opposti al vertice del sezione 31.3 come un caso particolare di questa famiglia di risultati: due angoli opposti al vertice sono entrambi supplementari di uno stesso angolo (l’angolo adiacente a entrambi) e perciò congruenti.

Corollario 31.1 — Bisettrici di angoli opposti al vertice

Le bisettrici di due angoli opposti al vertice giacciono sulla stessa retta.

Il corollario richiede la nozione di bisettrice, che introduciamo nella prossima sezione; la dimostrazione è proposta come esercizio.

31.5 Bisettrice di un angolo

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Così come il punto medio divide un segmento in due parti congruenti, la bisettrice divide un angolo in due angoli congruenti.

Definizione 31.9 — Bisettrice

Si chiama bisettrice di un angolo \(\widehat {AVB}\) la semiretta di origine \(V\) interna all’angolo che lo divide in due angoli congruenti.

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Figura 31.5: La bisettrice dell’angolo \(\widehat {AVB}\) è la semiretta di origine \(V\), interna all’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.

Teorema 31.4 — esistenza e unicità della bisettrice

Ogni angolo (non nullo e non giro) ammette una e una sola bisettrice.

Dimostrazione (cenni). L’esistenza è del tutto analoga a quella del punto medio di un segmento (Capitolo 30): si muove una semiretta uscente da \(V\) a partire da uno dei due lati verso l’altro, e si confrontano gli angoli da essa formati con i due lati dell’angolo originario; per la continuità del piano esiste una posizione in cui i due angoli sono congruenti. L’unicità si dimostra per assurdo: due bisettrici distinte dividerebbero l’angolo in tre parti, e i due angoli ottenuti da una bisettrice non potrebbero essere entrambi congruenti come imposto dalla definizione.

31.6 Misura sessagesimale degli angoli

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Confronto, somma e bisettrice si definiscono senza ricorrere a una unità di misura. Tuttavia, come per i segmenti, la pratica richiede un sistema di misura numerica. Il sistema più diffuso è quello sessagesimale, di origine babilonese, che fissa convenzionalmente la misura dell’angolo giro a \(360\,{^\circ }\).

Definizione 31.10 — Sistema sessagesimale

Nel sistema sessagesimale:

Si scrive ad esempio \(37\,{^\circ } \, 24' \, 18''\) per indicare un angolo composto da \(37\) gradi, \(24\) primi e \(18\) secondi.

La scelta del \(360\) non è casuale: il numero \(360\) ammette molti divisori interi (\(2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, \dots \)), il che rende comodo dividere l’angolo giro in parti uguali. La tradizione risale ai babilonesi (\(\approx 2000\) a.C.), il cui sistema di numerazione era a base \(60\).

Conversioni tra forma sessagesimale e forma decimale

Un angolo espresso in \(g\) gradi, \(p\) primi e \(s\) secondi corrisponde alla forma decimale

\[ \alpha _{\text {dec}} = g + \frac {p}{60} + \frac {s}{3600} \quad {^\circ } . \]

Viceversa, dato \(\alpha _{\text {dec}}\) in gradi decimali, si ottengono le componenti sessagesimali con la procedura seguente.

Procedura  — Conversione da forma decimale a sessagesimale

1.
Si pone \(g = \lfloor \alpha _{\text {dec}} \rfloor \) (parte intera dei gradi).
2.
Si calcola la parte decimale residua, espressa in primi: \(r_p = (\alpha _{\text {dec}} - g) \cdot 60\).
3.
Si pone \(p = \lfloor r_p \rfloor \) (parte intera dei primi).
4.
Si calcola la parte decimale residua, espressa in secondi: \(s = (r_p - p) \cdot 60\).

Operazioni con angoli in misura sessagesimale

Quando si sommano o si sottraggono angoli espressi in gradi-primi-secondi, conviene operare colonna per colonna (gradi con gradi, primi con primi, secondi con secondi) e poi normalizzare il risultato:

Nella sottrazione, se i secondi (o i primi) del primo termine sono insufficienti, si “prende in prestito” un’unità dalla colonna superiore: un primo vale \(60\) secondi, un grado \(60\) primi.

Attenzione!

Notazione. Nei calcoli può essere comodo passare dalla forma sessagesimale alla forma decimale e viceversa, soprattutto quando si usano calcolatrici o fogli di calcolo. La forma decimale è sempre quella più adatta alle operazioni; la forma sessagesimale è quella tradizionale e quella richiesta dai problemi di astronomia, navigazione e topografia.

Esempi svolti

Esempio 31.1 — Complementare e supplementare

Determiniamo il complementare e il supplementare dell’angolo \(\alpha = 37\,{^\circ }\).

Complementare. Per definizione, \(\alpha + \alpha _c \cong \text {retto}\), ovvero

\[ \alpha _c = 90\,{^\circ } - \alpha = 90\,{^\circ } - 37\,{^\circ } = 53\,{^\circ } . \]

Supplementare. Per definizione, \(\alpha + \alpha _s \cong \text {piatto}\), ovvero

\[ \alpha _s = 180\,{^\circ } - \alpha = 180\,{^\circ } - 37\,{^\circ } = 143\,{^\circ } . \]

Esempio 31.2 — Conversione da decimale a sessagesimale

Si converta \(\alpha = 42.7825\,{^\circ }\) in forma sessagesimale.

Gradi. \(g = \lfloor 42.7825 \rfloor = 42\).

Primi. La parte decimale è \(42.7825 - 42 = 0.7825\). In primi:

\[ r_p = 0.7825 \cdot 60 = 46.95 . \]

Quindi \(p = \lfloor 46.95 \rfloor = 46\).

Secondi. La parte decimale residua è \(46.95 - 46 = 0.95\). In secondi:

\[ s = 0.95 \cdot 60 = 57 . \]

Risultato. \(\alpha = 42\,{^\circ } \, 46' \, 57''\).

Esempio 31.3 — Somma di angoli sessagesimali

Si calcoli la somma \(\alpha + \beta \), con

\[ \alpha = 47\,{^\circ } \, 38' \, 45'' , \qquad \beta = 28\,{^\circ } \, 54' \, 32'' . \]

Somma colonna per colonna.

\[ \begin {array}{rcc rcc rcc} & 47{^\circ } & & & 38' & & & 45'' & \\ + & 28{^\circ } & & & 54' & & & 32'' & \\ \hline & 75{^\circ } & & & 92' & & & 77'' & \\ \end {array} \]

Normalizzazione. I secondi superano \(60\): \(77'' = 60'' + 17'' = 1' + 17''\). Aggiungiamo \(1'\) ai primi:

\[ 75{^\circ } \quad 93' \quad 17'' . \]

I primi superano \(60\): \(93' = 60' + 33' = 1{^\circ } + 33'\). Aggiungiamo \(1{^\circ }\) ai gradi:

\[ \alpha + \beta = 76\,{^\circ } \, 33' \, 17'' . \]

Esempio 31.4 — Problema con la bisettrice

Due angoli \(\alpha \) e \(\beta \) sono adiacenti e \(\beta \) misura il doppio di \(\alpha \). La bisettrice di \(\alpha \) e la bisettrice di \(\beta \) formano un certo angolo \(\gamma \). Determiniamo \(\gamma \).

Impostazione algebrica. Poiché \(\alpha \) e \(\beta \) sono adiacenti, la loro somma è un angolo piatto:

\[ \alpha + \beta \cong \text {piatto} . \]

Con la condizione \(\beta = 2\alpha \):

\[ \alpha + 2\alpha = 3\alpha \cong \text {piatto} , \]

da cui \(\alpha = \frac {1}{3}\,\text {piatto}\) e \(\beta = \frac {2}{3}\,\text {piatto}\).

L’angolo \(\gamma \) tra le due bisettrici è la somma delle metà:

\[ \gamma = \frac {\alpha }{2} + \frac {\beta }{2} = \frac {\alpha +\beta }{2} = \frac {\text {piatto}}{2} \cong \text {retto} . \]

Verifica numerica. Con \(\alpha = 60\,{^\circ }\) e \(\beta = 120\,{^\circ }\):

\[ \gamma = \frac {60\,{^\circ }}{2} + \frac {120\,{^\circ }}{2} = 30\,{^\circ } + 60\,{^\circ } = 90\,{^\circ } . \]

Si noti il fatto, interessante per sé, che \(\gamma \) non dipende dai valori particolari di \(\alpha \) e \(\beta \), ma solo dal fatto che siano adiacenti.

Esercizio 31.1

1.
Determina il complementare e il supplementare dei seguenti angoli: \(12\,{^\circ }\), \(45\,{^\circ }\), \(73\,{^\circ } \, 18'\), \(120\,{^\circ }\) (per quest’ultimo discuti il caso del complementare).
2.
Converti in forma sessagesimale (gradi-primi-secondi):
(a)
\(25.5\,{^\circ }\);
(b)
\(72.375\,{^\circ }\);
(c)
\(18.1234\,{^\circ }\).
3.
Converti in forma decimale (con due cifre dopo la virgola, salvo precisione richiesta):
(a)
\(30\,{^\circ } \, 45'\);
(b)
\(67\,{^\circ } \, 12' \, 30''\);
(c)
\(8\,{^\circ } \, 7' \, 6''\).
4.
Calcola le seguenti somme e differenze di angoli sessagesimali.
(a)
\(32\,{^\circ } \, 47' + 28\,{^\circ } \, 35'\);
(b)
\(74\,{^\circ } \, 23' \, 18'' + 18\,{^\circ } \, 49' \, 53''\);
(c)
\(90\,{^\circ } - 42\,{^\circ } \, 36' \, 47''\);
(d)
\(180\,{^\circ } - 105\,{^\circ } \, 27' \, 38''\).
5.
Un angolo è il triplo del suo complementare. Determina i due angoli.
6.
Un angolo supera il suo supplementare di \(40\,{^\circ }\). Determina i due angoli.
7.
Due angoli sono adiacenti e uno è \(\frac {2}{7}\) dell’altro. Determina i due angoli.
8.
Due angoli sono opposti al vertice. Sapendo che uno di essi misura \(42\,{^\circ } \, 18'\), determina la misura degli altri tre angoli formati dalle due rette.
9.
Vero o falso? Motiva la risposta.
(a)
Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
(b)
Due angoli supplementari sono sempre adiacenti.
(c)
Due angoli congruenti hanno bisettrici congruenti.
(d)
Il complementare di un angolo acuto è sempre acuto.
(e)
Il supplementare di un angolo acuto è sempre ottuso.
10.
Dimostra il corollario enunciato al sezione 31.4: le bisettrici di due angoli opposti al vertice giacciono sulla stessa retta.
11.
Due angoli consecutivi \(\alpha \) e \(\beta \) hanno somma \(132\,{^\circ }\). Sapendo che la bisettrice del primo forma con il lato comune un angolo di \(27\,{^\circ }\), determina la misura di \(\alpha \) e di \(\beta \).
12.
Tre semirette uscenti da uno stesso punto formano tre angoli consecutivi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) che insieme costituiscono un angolo piatto. Sapendo che \(\beta = 2\alpha \) e \(\gamma = 3\alpha \), determina la misura di ciascuno.
13.
Sia \(\widehat {AVB}\) un angolo retto e sia \(VC\) la sua bisettrice. Quanto misurano gli angoli \(\widehat {AVC}\) e \(\widehat {CVB}\)? E i loro complementari?
14.
Dimostra il seguente enunciato: se due angoli sono congruenti, allora i loro complementari sono congruenti. (Suggerimento: imita la dimostrazione del teorema sui supplementari.)

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