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Capitolo 122
Probabilità condizionata e indipendenza

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Conoscere “qualcosa in più” su un esperimento aleatorio modifica le probabilità che assegniamo agli esiti. Se sappiamo che un dado ha mostrato un numero pari, la probabilità che sia \(5\) scende a \(0\) e quella che sia \(6\) sale a \(1/3\). È la probabilità condizionata: ridistribuzione delle probabilità alla luce di informazione aggiuntiva. Una delle idee più rivoluzionarie della matematica moderna.”

— Adattato da Andrey Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1933) — prima assiomatizzazione moderna della probabilità

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122.1 Introduzione motivazionale

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Nei capitoli precedenti (66, 67) abbiamo introdotto la probabilità classica: il rapporto fra casi favorevoli e casi possibili. In questo capitolo cominciamo a studiare situazioni più complesse, in cui:

Le applicazioni sono pervasive: test diagnostici medici, previsioni meteorologiche, valutazione del rischio, assicurazioni, intelligenza artificiale (filtri spam, riconoscimento immagini), criminologia (analisi delle prove), genetica, fisica statistica. La probabilità condizionata è il cuore di tutta questa famiglia di problemi.

Esempio intuitivo. Lancio due volte una moneta:

L’informazione “primo lancio = testa” modifica le probabilità degli esiti possibili.

122.2 Eventi dipendenti e indipendenti, intuitivamente

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Definizione 122.1 — Eventi indipendenti (intuitivo)

Due eventi \(A\) e \(B\) si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non altera la probabilità dell’altro. Altrimenti si dicono dipendenti.

Esempi di eventi indipendenti:

Esempi di eventi dipendenti:

Schema operativo: “cambia la probabilità?”

Per stabilire se due eventi sono dipendenti o indipendenti, ci si chiede: “conoscere il primo evento modifica la probabilità del secondo?” Se sì, sono dipendenti; se no, indipendenti.

Esempio: l’urna con palline

Un’urna contiene \(3\) palline rosse e \(5\) blu. Estraggo una pallina, poi un’altra. Considero gli eventi:

Con ripristino (rimetto la prima nel sacchetto prima di estrarre la seconda): \(P(A) = 3/8\), \(P(B) = 3/8\) comunque sia andato \(A\). \(A\) e \(B\) indipendenti.

Senza ripristino: \(P(A) = 3/8\). Se \(A\) è avvenuto (rossa estratta), restano \(2\) rosse e \(5\) blu su \(7\), quindi \(P(B|A) = 2/7\). Se invece \(A^c\) è avvenuto (blu estratta), restano \(3\) rosse su \(7\), quindi \(P(B|A^c) = 3/7\). I due valori sono diversi, dunque \(A\) e \(B\) dipendenti.

122.3 Probabilità di eventi composti

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Definizione 122.2 — Evento composto, unione, intersezione

Dati due eventi \(A, B \subseteq \Omega \) (con \(\Omega \) spazio campionario):

Probabilità dell’unione

Probabilità dell’unione di due eventi:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]

Caso particolare. Se \(A\) e \(B\) sono incompatibili (cioè \(A \cap B = \emptyset \)), allora \(P(A \cap B) = 0\) e

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B). \]

Dimostrazione geometrica (diagramma di Venn). Sommando \(P(A)\) e \(P(B)\), si conta due volte la parte \(A \cap B\). Sottraendola una volta otteniamo il valore corretto.

Probabilità del complementare

Probabilità del complementare:

\[ P(A^c) = 1 - P(A). \]

Da \(\Omega = A \cup A^c\) con \(A \cap A^c = \emptyset \) e \(P(\Omega ) = 1\).

Probabilità dell’intersezione

L’intersezione dipende dalla relazione fra gli eventi:

Probabilità dell’intersezione:

Esempio. Lancio due dadi. Probabilità di ottenere “\(6\) al primo” (evento \(A\)) e “\(5\) al secondo” (evento \(B\)). Sono indipendenti: \(P(A \cap B) = (1/6)(1/6) = 1/36\).

Estensione a più eventi (incompatibili)

Per \(n\) eventi \(A_1, A_2, \ldots , A_n\) a due a due incompatibili:

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n). \]

122.4 Diagrammi ad albero

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I diagrammi ad albero sono uno strumento visivo molto utile per organizzare i calcoli di probabilità composte, soprattutto quando ci sono eventi in successione (un esperimento dopo l’altro).

Costruzione di un diagramma ad albero

Procedura  — Diagramma ad albero per esperimenti sequenziali

1.
Tracciare una radice (punto di partenza).
2.
Dalla radice, far partire un ramo per ogni esito del primo esperimento, etichettato con la sua probabilità.
3.
Da ogni nodo del primo livello, far partire i rami del secondo esperimento (con eventuali probabilità condizionate dalla scelta del primo).
4.
Ripetere per ciascun livello.
5.
Le probabilità lungo un percorso (dalla radice alle foglie) si moltiplicano per ottenere la probabilità dell’esito specifico.
6.
Le probabilità di esiti diversi (percorsi diversi) si sommano se vogliamo unirli.

[Picture]

Figura 122.1: Diagramma ad albero per due estrazioni senza ripristino da un’urna con \(3\) palline rosse (R) e \(5\) blu (B). I rami del primo livello hanno probabilità \(3/8\) e \(5/8\); al secondo livello le probabilità cambiano perché c’è una pallina in meno (estrazione senza ripristino). Le probabilità lungo un percorso si moltiplicano: \(P(RR) = (3/8)(2/7) = 6/56\).

Verifica: somma totale \(= 1\)

In un diagramma ad albero completo, la somma delle probabilità di tutte le foglie deve fare \(1\) (gli esiti elementari ricoprono l’intero spazio campionario). Nel grafico sopra: \(6/56 + 15/56 + 15/56 + 20/56 = 56/56 = 1\). \(\checkmark\)

Applicazioni tipiche

122.5 Esempi svolti

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Esempio 122.1 — Due monete: probabilità di due teste

Lancio due volte una moneta equa. Calcolare la probabilità di ottenere due teste.

Indipendenza: i due lanci sono indipendenti. \(P(\text {T}_1) = P(\text {T}_2) = 1/2\).

Probabilità composta: \(P(\text {T}_1 \cap \text {T}_2) = (1/2)(1/2) = 1/4\).

Esempio 122.2 — Tre monete: almeno una testa

Lancio tre monete eque. Probabilità di ottenere almeno una testa?

Complementare. È più comodo calcolare \(P(\text {nessuna testa}) = P(\text {C}\text {C}\text {C}) = (1/2)^3 = 1/8\).

Risposta: \(P(\text {almeno una T}) = 1 - 1/8 = 7/8\).

Esempio 122.3 — Estrazione senza ripristino

Un mazzo di \(52\) carte. Estraggo \(2\) carte senza ripristino. Probabilità che siano entrambe assi?

Eventi dipendenti. \(P(\text {1° asso}) = 4/52 = 1/13\). Sapendo che la prima è un asso, restano \(3\) assi su \(51\), dunque \(P(\text {2° asso} | \text {1° asso}) = 3/51 = 1/17\).

Composta: \(P(\text {2 assi}) = (1/13)(1/17) = 1/221 \approx 0{,}00452\).

Esempio 122.4 — Unione di eventi non incompatibili

In una classe di \(30\) studenti, \(18\) giocano a calcio, \(15\) a basket, \(8\) a entrambi. Probabilità che uno studente preso a caso giochi a calcio o a basket?

Unione: \(P(\text {C} \cup \text {B}) = P(\text {C}) + P(\text {B}) - P(\text {C} \cap \text {B}) = 18/30 + 15/30 - 8/30 = 25/30 = 5/6\).

Esempio 122.5 — Diagramma ad albero: percorsi multipli

Lancio una moneta. Se esce testa, estraggo una carta da un mazzo da \(52\). Se esce croce, lancio un dado. Probabilità di ottenere “estrazione di un asso” o “lancio di un \(6\)”?

Strategia con albero. Due percorsi possibili:

Eventi mutuamente esclusivi (i due percorsi non possono coesistere): sommiamo.

Totale: \(1/26 + 1/12 = 6/156 + 13/156 = 19/156 \approx 0{,}122\).

Esempio 122.6 — Dipendenti vs indipendenti: lancio di due dadi

Lancio due dadi. Eventi:

Sono indipendenti?

Calcolo \(P(A)\). Le coppie con somma \(7\) sono: \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\): \(6\) coppie su \(36\). \(P(A) = 6/36 = 1/6\).

Calcolo \(P(B)\). Il primo dado è pari (\(2, 4, 6\)) con probabilità \(1/2\).

Calcolo \(P(A \cap B)\). Coppie con somma \(7\) e primo dado pari: \((2,5), (4,3), (6,1)\). Tre coppie su \(36\), \(P(A \cap B) = 3/36 = 1/12\).

Verifica indipendenza: \(P(A) \cdot P(B) = (1/6)(1/2) = 1/12 = P(A \cap B)\). \(\checkmark\)

Conclusione: gli eventi sono indipendenti, sorprendentemente! Anche se a prima vista sembrano legati, in realtà sapere che il primo dado è pari non modifica la probabilità che la somma sia \(7\).

122.6 Esercizi proposti

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Esercizio 122.1

1.
Per ciascuna coppia di eventi, indicare se sono indipendenti o dipendenti (con giustificazione intuitiva):
(a)
l’esito di un lancio di moneta e il sesso del prossimo nato;
(b)
l’esito di un lancio di moneta e l’esito del successivo lancio;
(c)
le carte estratte da un mazzo senza ripristino;
(d)
le carte estratte da un mazzo con ripristino;
(e)
piovere oggi e piovere domani;
(f)
ottenere “testa” e ottenere “\(6\)” al dado, in lanci simultanei.
2.
Lancio due dadi (uno rosso, uno blu). Calcolare:
(a)
probabilità che la somma sia \(5\);
(b)
probabilità che il rosso sia \(\ge 4\);
(c)
probabilità che sia somma \(5\) e rosso \(\ge 4\);
(d)
probabilità che sia somma \(5\) o rosso \(\ge 4\).
3.
Lancio una moneta tre volte. Calcolare:
(a)
probabilità di esattamente \(2\) teste;
(b)
probabilità di almeno \(1\) testa;
(c)
probabilità di al massimo \(2\) teste.
4.
Un’urna contiene \(4\) palline bianche, \(3\) rosse, \(3\) verdi. Estraggo \(2\) palline senza ripristino. Costruire l’albero e calcolare:
(a)
probabilità di estrarre due bianche;
(b)
probabilità di estrarne una bianca e una rossa (in qualunque ordine);
(c)
probabilità di non estrarre nessuna verde.
5.
Ripetere l’esercizio precedente con estrazione con ripristino.
6.
Estraggo \(3\) carte da un mazzo da \(52\) senza ripristino. Probabilità che siano tutte di cuori?
7.
In un’urna ci sono \(10\) palline, di cui \(4\) rosse. Estraggo \(5\) palline senza ripristino. Probabilità che esattamente \(2\) siano rosse? (Suggerimento: combinazione di scelte.)
8.
Una scatola contiene \(20\) chiodi, di cui \(4\) difettosi. Estraggo \(2\) chiodi senza ripristino. Probabilità che almeno uno sia difettoso?
9.
Vero o falso (giustificando):
(a)
se \(A\) e \(B\) sono incompatibili, sono indipendenti;
(b)
se \(A\) e \(B\) sono indipendenti, sono incompatibili;
(c)
se \(A \subseteq B\), allora \(P(A \cap B) = P(A)\);
(d)
due eventi disgiunti possono essere indipendenti solo se uno dei due ha probabilità \(0\).
10.
Una classe ha \(25\) studenti, di cui \(14\) ragazze e \(11\) ragazzi. Tra le ragazze, \(8\) studiano francese e \(6\) tedesco. Tra i ragazzi, \(4\) studiano francese e \(7\) tedesco. Scelgo a caso uno studente. Probabilità che:
(a)
sia una ragazza;
(b)
sia una ragazza che studia francese;
(c)
studi francese, sapendo che è una ragazza;
(d)
sia una ragazza, sapendo che studia francese.
11.
Un sistema ha due componenti \(A\) e \(B\) in serie (entrambi devono funzionare per il sistema). \(A\) funziona con probabilità \(0{,}9\), \(B\) con \(0{,}95\). Sono indipendenti. Probabilità che il sistema funzioni?
12.
Un sistema ha due componenti \(A, B\) in parallelo (basta che uno funzioni). Con le stesse probabilità di prima, probabilità che il sistema funzioni?
13.
Lancio una moneta truccata con \(P(T) = 0{,}6\) tre volte. Probabilità di esattamente \(2\) teste?
14.
Sfida (paradosso dei compleanni). In una classe di \(23\) studenti, qual è la probabilità che almeno due abbiano lo stesso compleanno? (Suggerimento: complementare. Approssimazione: \({\sim } 50\%\), sorprendentemente alta!)
15.
Costruire l’albero per il seguente esperimento: si estrae una carta da un mazzo di \(52\); se è rossa, si lancia un dado; se è nera, si lancia due dadi e si guarda la somma. Calcolare la probabilità che il risultato finale sia \(\ge 5\).
16.
In un test a \(10\) domande con \(4\) scelte ciascuna, un candidato risponde a caso. Probabilità di:
(a)
esattamente \(3\) risposte giuste;
(b)
almeno \(7\) risposte giuste;
(c)
nessuna giusta.

(Suggerimento: schema di Bernoulli, anticipo cap. 124.)

122.7 Riepilogo del capitolo

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