5 Implicazione condizione necessaria e sufficiente

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Capitolo 5
Implicazione condizione necessaria e sufficiente

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Risolvere un problema significa stabilire un legame preciso fra ciò che è dato e ciò che è cercato.”

— George Pólya, How to Solve It (1945)

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5.1 Introduzione motivazionale

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Nei capitoli precedenti abbiamo definito l’implicazione $p\Rightarrow q$ come connettivo logico (capitolo 3) e abbiamo visto come si comporta con i quantificatori (capitolo 4). Ora facciamo un passo in più: interpretiamo l’implicazione come la struttura portante di ogni teorema, cioè di ogni affermazione matematica che intendiamo dimostrare.

Un teorema ha sempre la forma “se vale $p$, allora vale $q$”: $p$ è l’ipotesi (ciò che si suppone), $q$ è la tesi (ciò che si vuole concludere). Le parole necessario e sufficiente, che usiamo nel linguaggio comune in modo intercambiabile, in matematica indicano due cose nettamente diverse: “sufficiente” è la condizione che, da sola, basta a far succedere qualcosa; “necessaria” è la condizione senza la quale quel qualcosa non può succedere.

Capire bene questa distinzione è essenziale per leggere correttamente gli enunciati, per non confondere un’implicazione con la sua inversa, e per impostare in modo pulito le dimostrazioni. In questo capitolo affrontiamo la struttura logica dei teoremi e introduciamo le quattro forme che si ottengono da un’implicazione: diretta, inversa, contraria e contronominale.

5.2 Premessa e conclusione

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Definizione 5.1 — Struttura di un teorema

La maggior parte degli enunciati matematici ha la forma

\[ \text {se } p \text { allora } q, \qquad \text {in simboli} \qquad p\Rightarrow q. \]

La proposizione $p$ si dice ipotesi (o premessa, antecedente). La proposizione $q$ si dice tesi (o conclusione, conseguente).

Talvolta la struttura “se…allora” è esplicita; più spesso è nascosta nel linguaggio. Riconoscerla è la prima abilità da sviluppare.

Esempio 5.1 — Riconoscere ipotesi e tesi

“In ogni triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti”
Ipotesi $p$: “il triangolo è rettangolo”. Tesi $q$: “vale $a^2+b^2=c^2$ con $c$ ipotenusa”. È il teorema di Pitagora, $p\Rightarrow q$.
“Un numero divisibile per $6$ è divisibile per $3$.”
Ipotesi: “$n$ è divisibile per $6$”. Tesi: “$n$ è divisibile per $3$”.
“Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti.”
Ipotesi: “le rette $r$ ed $s$ sono parallele”. Tesi: “gli angoli alterni interni formati con la trasversale $t$ sono congruenti”.

Attenzione!

Una stessa frase può sembrare formulata senza “se…allora”, e contenere comunque un’implicazione implicita: “i quadrati hanno i lati uguali” significa “se una figura è un quadrato, allora ha i lati uguali”. Saper riformulare un enunciato in forma esplicita di implicazione è il primo passo per dimostrarlo o confutarlo.

Nota — Interpretazione insiemistica

Se $p$ corrisponde a “$x\in A$” e $q$ a “$x\in B$” (dove $A$ e $B$ sono gli insiemi degli oggetti che soddisfano rispettivamente le due proprietà), allora l’implicazione $p\Rightarrow q$ equivale all’inclusione $A\subseteq B$: tutti gli elementi di $A$ sono in $B$. Lo riprenderemo nella figura 5.1.

5.3 Condizione sufficiente

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Definizione 5.2 — Condizione sufficiente

Se vale l’implicazione $p\Rightarrow q$, si dice che $p$ è condizione sufficiente per $q$. In altre parole: “$p$ basta a garantire $q$”; non appena è verificata $p$, anche $q$ è automaticamente vera.

Esempio 5.2

“Essere divisibile per $6$ è condizione sufficiente per essere divisibile per $3$”. Se $n$ è multiplo di $6$, di sicuro è multiplo di $3$.
“Essere un quadrato è condizione sufficiente per essere un rombo”: ogni quadrato ha i quattro lati uguali, dunque è un rombo.
“Avere $x>5$ è condizione sufficiente per avere $x^2>20$”: se $x>5$ allora $x^2>25>20$.

Attenzione!

“Sufficiente” non significa “unica via”. “Essere un quadrato” è sufficiente per essere un rombo, ma non è l’unica strada: un rombo non quadrato (con angoli diversi da $\ang {90}$) esiste. Sufficiente esprime una freccia che parte; non esclude che ce ne siano altre dirette allo stesso punto.

5.4 Condizione necessaria

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Definizione 5.3 — Condizione necessaria

Se vale l’implicazione $p\Rightarrow q$, si dice che $q$ è condizione necessaria per $p$. In altre parole: “per poter avere $p$ è indispensabile che valga $q$”; senza $q$, $p$ non può essere vera.

La definizione si capisce meglio considerando la contrapposta. $p\Rightarrow q$ equivale (capitolo 3) a $\lnot q\Rightarrow \lnot p$: se $q$ non vale, allora non può valere neppure $p$. Ecco perché diciamo che $q$ è “necessaria”.

Esempio 5.3

“Essere divisibile per $3$ è condizione necessaria per essere divisibile per $6$”: se $n$ non è divisibile per $3$, allora certamente non è divisibile per $6$.
“Avere quattro lati è condizione necessaria per essere un quadrato”: se una figura non ha quattro lati, non può essere un quadrato.
“Avere $x^2>0$ è condizione necessaria per avere $x>5$”: se $x^2\le 0$ (cioè $x=0$), allora $x$ non può essere $>5$.

Attenzione!

“Necessaria” non significa “sufficiente”. Avere quattro lati è necessario per essere un quadrato, ma non basta: anche un rettangolo non quadrato ha quattro lati. Una condizione necessaria è una condizione minima; può essere ben lontana dal garantire la conclusione.

Nota — Una stessa implicazione, due letture

L’implicazione $p\Rightarrow q$ si legge in due modi simmetrici:

“$p$ è sufficiente per $q$” (la freccia parte da $p$);
“$q$ è necessaria per $p$” (la freccia arriva a $q$, e senza $q$ non si arriva a $p$).

Sono due descrizioni della stessa freccia, lette in due direzioni opposte.

[Picture] — Figura 5.1: Lettura insiemistica dell’implicazione. Se $A$ è l’insieme degli oggetti che soddisfano $p$ e $B$ l’insieme di quelli che soddisfano $q$, allora $p\Rightarrow q$ equivale a $A\subseteq B$. Ogni elemento di $A$ è in $B$ (caso di $x$); un elemento di $B$ può non essere in $A$ (caso di $y$).

5.5 Condizione necessaria e sufficiente

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Quando un’implicazione è vera in entrambi i sensi, le due proposizioni $p$ e $q$ stanno “alla pari”: l’una vale se e solo se vale l’altra. Si parla allora di condizione necessaria e sufficiente.

Definizione 5.4 — Condizione necessaria e sufficiente

Se valgono entrambe le implicazioni $p\Rightarrow q$ e $q\Rightarrow p$, si dice che $p$ è condizione necessaria e sufficiente (in breve: c.n.s.) per $q$, e si scrive

\[ p\Leftrightarrow q, \]

si legge “$p$ se e solo se $q$”.

In termini insiemistici, $p\Leftrightarrow q$ equivale all’uguaglianza $A=B$ tra gli insiemi associati: ogni $x\in A$ è in $B$ e viceversa.

Esempio 5.4 — Caratterizzazioni notevoli

“$n$ è pari $\Leftrightarrow $ $n^2$ è pari” (sui naturali). Sia “pari $\Rightarrow $ $n^2$ pari” che il viceversa sono veri.
“Un quadrilatero è un rombo $\Leftrightarrow $ ha le diagonali perpendicolari e che si bisecano”.
“$ax^2+bx+c=0$ con $a\neq 0$ ha due soluzioni reali distinte $\Leftrightarrow $ il discriminante $\Delta =b^2-4ac>0$”.

Procedura — Dimostrare un “se e solo se”

Per dimostrare un enunciato della forma $p\Leftrightarrow q$ si procede in due passi:

1.: Dimostrazione del “solo se” (freccia $\Rightarrow $): si suppone $p$ e si conclude $q$.
2.: Dimostrazione del “se” (freccia $\Leftarrow $): si suppone $q$ e si conclude $p$.

Le due dimostrazioni vanno fatte separatamente: nessuna delle due implica l’altra.

Esempio 5.5 — Pari e quadrato pari

Dimostrare: $n$ è pari $\Leftrightarrow $ $n^2$ è pari, per $n\in \mathbb{N} $.

Soluzione. Spezziamo in due implicazioni.

($\Rightarrow $) Sia $n$ pari: $n=2k$ con $k\in \mathbb{N} $. Allora $n^2=4k^2=2(2k^2)$ è pari.

($\Leftarrow $) Per contrapposizione: se $n$ è dispari, $n=2k+1$, allora $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ è dispari. Quindi se $n^2$ è pari, $n$ non può essere dispari, dunque è pari.

Le due implicazioni insieme provano l’equivalenza.

5.6 Implicazione contraria, inversa, contronominale

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Data un’implicazione $p\Rightarrow q$ (detta diretta), si possono costruire tre implicazioni derivate scambiando o negando ipotesi e tesi.

Definizione 5.5 — Le quattro implicazioni

Data l’implicazione diretta $p\Rightarrow q$, si chiamano:

inversa: $q\Rightarrow p$ (si scambiano ipotesi e tesi);
contraria: $\lnot p\Rightarrow \lnot q$ (si negano ipotesi e tesi);
contronominale (o contrapposta): $\lnot q\Rightarrow \lnot p$ (si scambiano e si negano).

Teorema 5.1 — Equivalenze tra le quattro forme

Per ogni $p$, $q$ valgono le seguenti equivalenze e non valgono le altre:

\[ (p\Rightarrow q) \equiv (\lnot q\Rightarrow \lnot p) \qquad \text {(diretta $\equiv $ contronominale),} \]

\[ (q\Rightarrow p) \equiv (\lnot p\Rightarrow \lnot q) \qquad \text {(inversa $\equiv $ contraria).} \]

In generale, invece, diretta e inversa (o contraria) non sono logicamente equivalenti.

Dimostrazione. La prima equivalenza è la legge di contrapposizione (capitolo 3). La seconda si ottiene applicando la stessa legge all’implicazione inversa $q\Rightarrow p$: la sua contrapposta è $\lnot p\Rightarrow \lnot q$, cioè la contraria di $p\Rightarrow q$.

Attenzione! — L’errore più frequente

Confondere un’implicazione con la sua inversa è uno degli errori più comuni nei ragionamenti. Da “se piove, la strada è bagnata” non segue “se la strada è bagnata, allora piove”: la strada potrebbe essere bagnata per un’autobotte o per la rugiada. Dal punto di vista logico, l’inversa va dimostrata a parte; non discende dalla diretta.

Esempio 5.6 — Le quattro forme in un esempio concreto

Considera l’implicazione diretta: “se $n$ è divisibile per $4$, allora $n$ è pari” (vera).

Inversa: “se $n$ è pari, allora $n$ è divisibile per $4$”. Falsa: $n=6$ è pari ma non multiplo di $4$.
Contraria: “se $n$ non è divisibile per $4$, allora $n$ è dispari”. Falsa: $n=6$.
Contronominale: “se $n$ è dispari, allora $n$ non è divisibile per $4$”. Vera, e infatti è equivalente alla diretta.

Diretta e contronominale hanno lo stesso valore di verità; inversa e contraria lo stesso valore di verità (qui entrambe false).

5.7 Esempi svolti

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Esempio 5.7 — Riformulare con “necessario” e “sufficiente”

Esprimere la frase “ogni triangolo equilatero è isoscele” usando i termini necessario e sufficiente.

Soluzione. Posto $p$: “il triangolo è equilatero” e $q$: “il triangolo è isoscele”, la frase è $p\Rightarrow q$. Possiamo dire:

“Essere equilatero è condizione sufficiente per essere isoscele.”
“Essere isoscele è condizione necessaria per essere equilatero.”

L’inversa “ogni triangolo isoscele è equilatero” è falsa: un triangolo isoscele con angolo al vertice diverso da $\ang {60}$ ha solo due lati uguali. Quindi “essere isoscele” non è sufficiente per essere equilatero.

Esempio 5.8 — Caratterizzare con un “se e solo se”

Provare che un numero naturale è divisibile per $9$ se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per $9$.

Soluzione. Sia $n=a_k\,10^k+a_{k-1}\,10^{k-1}+\cdots +a_1\,10+a_0$ con $a_i$ cifre. Poiché $10\equiv 1\pmod 9$, si ha $10^i\equiv 1\pmod 9$ per ogni $i\ge 0$. Quindi

\[ n \equiv a_k+a_{k-1}+\cdots +a_1+a_0 \pmod 9. \]

Ne segue che $9\mid n$ se e solo se $9$ divide la somma delle cifre. Le due frecce sono provate simultaneamente da una sola equivalenza modulare. È una c.n.s. (il celebre criterio di divisibilità per $9$).

Esempio 5.9 — Smentire un’implicazione con un controesempio

Confutare la frase “se un numero è un quadrato perfetto, allora è dispari”.

Soluzione. La frase ha la forma $\forall n\in \mathbb{N} : (n\text { è quadrato}\Rightarrow n\text { è dispari})$. Per smentirla basta un controesempio: $n=4=2^2$ è un quadrato perfetto, ma è pari. La frase è falsa.

Esempio 5.10 — Dimostrazione per contronominale

Dimostrare: “se $n^2$ è dispari, allora $n$ è dispari” (con $n\in \mathbb{N} $).

Soluzione. È più comodo dimostrare la contronominale: “se $n$ è pari, allora $n^2$ è pari”. Sia $n=2k$ con $k\in \mathbb{N} $: allora $n^2=4k^2=2(2k^2)$ è pari. Per la legge di contrapposizione (diretta $\equiv $ contronominale), abbiamo dimostrato anche l’implicazione di partenza.

Esempio 5.11 — Identificare condizioni nelle definizioni

Considera la definizione: “un parallelogrammo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli”. Quali sono le condizioni necessarie e sufficienti coinvolte?

Soluzione. Una definizione è sempre una c.n.s. Posto $p$: “il quadrilatero è un parallelogrammo” e $q$: “il quadrilatero ha i lati opposti paralleli”, la definizione afferma $p\Leftrightarrow q$:

$p\Rightarrow q$: ogni parallelogrammo ha lati opposti paralleli (definizione);
$q\Rightarrow p$: ogni quadrilatero con lati opposti paralleli è un parallelogrammo (definizione, in senso opposto).

È così che funzionano tutte le definizioni: introducono un nome per chi soddisfa una proprietà, e dichiarano simultaneamente le due frecce.

5.8 Esercizi proposti

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Esercizio 5.1

1.: Identifica ipotesi e tesi nelle seguenti proposizioni: (a) “ogni numero primo maggiore di $2$ è dispari”; (b) “se due rette sono parallele, hanno lo stesso coefficiente angolare”; (c) “i triangoli equilateri hanno tutti gli angoli congruenti”; (d) “se $a^2+b^2=0$ con $a,b\in \mathbb{R} $, allora $a=b=0$”.
2.: Per ciascuna delle seguenti implicazioni, scrivi inversa, contraria e contronominale, e stabilisci quali sono vere e quali false: (a) “se $n$ è pari, allora $n+2$ è pari”; (b) “se $x>0$, allora $x^2>0$”; (c) “se un quadrilatero ha quattro angoli retti, allora è un rettangolo”.
3.: Per ciascuna proposizione, riformula usando “necessario” e “sufficiente”: (a) “ogni rettangolo ha gli angoli retti”; (b) “se $\Delta >0$, l’equazione $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) ha due soluzioni reali distinte”; (c) “se un numero è multiplo di $12$, è multiplo di $4$”.
4.: Stabilisci, motivando, quali tra le seguenti coppie di condizioni sono c.n.s. tra loro: (a) “$n$ è multiplo di $5$” / “l’ultima cifra di $n$ è $0$ o $5$”; (b) “un quadrilatero è un quadrato” / “ha tutti i lati uguali”; (c) “$x^2=4$” / “$x=2$” (con $x\in \mathbb{R} $); (d) “$x^2=4$” / “$x=\pm 2$”.
5.: Dimostra per contronominale: “se $3n+1$ è pari, allora $n$ è dispari” (con $n\in \mathbb{N} $).
6.: Trova un controesempio per la frase “se $n$ è dispari, allora $n$ è primo” (con $n\in \mathbb{N} $).
7.: Scrivi una formula del tipo $p\Rightarrow q$ il cui senso comune sembra suggerire l’equivalenza con la propria inversa, ma che in realtà non vale. (Suggerimento: pensa a frasi del linguaggio quotidiano del tipo “se la macchina parte, allora c’è benzina”.)
8.: (Discussione.) Un compagno dice: “per dimostrare $p\Leftrightarrow q$ basta dimostrare $p\Rightarrow q$, poi negare le proposizioni e ottenere automaticamente $q\Rightarrow p$”. È corretto? Giustifica e, se necessario, indica quale è il passo logico mancante.

5.9 Riepilogo del capitolo

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Riepilogo

Ogni teorema ha la struttura $p\Rightarrow q$, dove $p$ è l’ipotesi e $q$ è la tesi.
Dall’implicazione $p\Rightarrow q$ si dice: $p$ è condizione sufficiente per $q$ (basta $p$ per concludere $q$); $q$ è condizione necessaria per $p$ (senza $q$, $p$ non può essere vera).
L’interpretazione insiemistica è $A\subseteq B$, dove $A$ è l’insieme degli oggetti che soddisfano $p$, $B$ quelli che soddisfano $q$.
Se valgono entrambe $p\Rightarrow q$ e $q\Rightarrow p$, si scrive $p\Leftrightarrow q$ e si dice che $p$ è condizione necessaria e sufficiente (c.n.s.) per $q$. In insiemi: $A=B$.
Per dimostrare un “se e solo se” si dimostrano le due frecce separatamente.
Da $p\Rightarrow q$ si costruiscono: inversa $q\Rightarrow p$, contraria $\lnot p\Rightarrow \lnot q$, contronominale $\lnot q\Rightarrow \lnot p$.
Equivalenze: diretta $\equiv $ contronominale; inversa $\equiv $ contraria. In generale diretta e inversa non sono equivalenti — confonderle è un errore tipico.
Per smentire un’implicazione basta un controesempio: un caso in cui l’ipotesi è verificata ma la tesi no.

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Capitolo 5 Implicazione condizione necessaria e sufficiente

5.1 Introduzione motivazionale

5.2 Premessa e conclusione

5.3 Condizione sufficiente

5.4 Condizione necessaria

5.5 Condizione necessaria e sufficiente

5.6 Implicazione contraria, inversa, contronominale

5.7 Esempi svolti

5.8 Esercizi proposti

5.9 Riepilogo del capitolo

Capitolo 5
Implicazione condizione necessaria e sufficiente