Lessico minimo di geometria — capitolo G1

1 · Che cosa studia la geometria

Nelle dispense: ¶ Punti rette piani · ¶ Concetti primitivi e definizioni

1. E1 p. G1Geometria del piano La parte della geometria che studia le figure i cui punti stanno tutti su uno stesso piano. Si chiama anche geometria piana. Es. segmenti, angoli, triangoli, circonferenze. Un cubo invece è argomento della geometria dello spazio.
2. E2 p. G1Oggetti geometrici e proprietà La geometria non studia oggetti concreti ma oggetti ideali (punti, rette, figure) e le loro proprietà, cioè ciò che di essi si può affermare. Es. un foglio è un oggetto concreto; il rettangolo è l'oggetto geometrico che lo descrive. «Il rettangolo ha quattro angoli retti» è una sua proprietà.
3. E3 p. G1Definizione Una frase che spiega con precisione il significato di una parola nuova, usando solo parole già note. Es. «Si dicono incidenti due rette che hanno un solo punto in comune.»
4. E4 p. G1Enti geometrici Gli oggetti di cui parla la geometria: i punti, le rette, i piani e tutte le figure che con essi si costruiscono.

2 · Gli enti primitivi

Nelle dispense: ¶ Punti rette piani

1. E5 p. G1Enti primitivi Gli enti che non si definiscono, perché non esistono parole più semplici con cui spiegarli: sono il punto, la retta e il piano. Ne abbiamo un'idea intuitiva; le loro proprietà sono fissate dai postulati.
2. E6 p. G1Punto Ente primitivo. Non ha dimensioni: né lunghezza, né larghezza, né spessore. Idea. Un granello di sabbia, il segno lasciato dalla punta di una matita ben temperata.
3. E7 p. G1Retta Ente primitivo. Ha una sola dimensione, la lunghezza; non ha spessore ed è illimitata da entrambe le parti. È un insieme di infiniti punti. Idea. Un filo teso che continua senza fine nei due versi.
4. E8 p. G1Piano Ente primitivo. Ha due dimensioni, lunghezza e larghezza; non ha spessore ed è illimitato in tutte le direzioni. È un insieme di infiniti punti. Idea. La superficie di un tavolo o di un lago calmo, pensata senza bordi.
5. E9 p. G1Convenzioni per rappresentare punti, rette e piani Punti: lettere maiuscole A, B, C, P. Rette: lettere minuscole a, b, r, s. Piani: lettere greche minuscole α, β, γ (alfa, beta, gamma). Nei disegni. Il punto è un puntino o una crocetta; la retta è un tratto diritto; il piano è un parallelogramma. Una retta si può indicare anche con due suoi punti: «la retta AB».

3 · Figure e spazio

Nelle dispense: ¶ Caratteristiche dello spazio geometrico

1. E10 p. G2Figura geometrica Un qualsiasi insieme di punti. La parola è usata in senso largo: sono figure anche un solo punto, una retta, un piano. Es. un triangolo, una circonferenza, tre punti sparsi su un foglio: sono tutte figure.
2. E11 p. G2Spazio L'insieme di tutti i punti. Ogni figura geometrica è un sottoinsieme dello spazio.
3. E12 p. G2Figura piana Una figura i cui punti appartengono tutti a uno stesso piano. Es. triangolo, quadrato, cerchio.
4. E13 p. G2Figura solida Una figura i cui punti non appartengono tutti a uno stesso piano. Es. cubo, piramide, sfera.

4 · Postulati, teoremi, dimostrazioni

Nelle dispense: ¶ Assiomi e postulati · ¶ Struttura del teorema · ¶ Corollari e teoremi inversi

1. E14 p. G2Postulati Proposizioni che si accettano come vere senza dimostrarle. Sono il punto di partenza e fissano le proprietà degli enti primitivi. Es. «Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola.»
2. E15 p. G2Assiomi Oggi è un sinonimo di postulati. Euclide invece li distingueva: gli assiomi («nozioni comuni») sono verità generali, valide anche fuori dalla geometria; i postulati sono affermazioni proprie della geometria. Es. di assioma di Euclide: «Il tutto è maggiore della parte.»
3. E16 p. G2Proposizione Una frase di senso compiuto che afferma qualcosa: ha un soggetto e un predicato. Es. «Il quadrato ha quattro lati.»
4. E17 p. G2Proposizione logica Una proposizione di cui si può dire con certezza se è vera o falsa. Si chiama anche enunciato. Lo sono: «7 è un numero primo» (vera); «un triangolo ha quattro lati» (falsa). Non lo sono: «Che ore sono?», «La geometria è bella».
5. E18 p. G2Teoremaaggiunta Una proposizione la cui verità viene dimostrata. Quasi sempre ha la forma «Se … allora …». Es. «Se un numero è multiplo di 4, allora è pari.»
6. E19 p. G2Dimostrazione La catena di ragionamenti (deduzioni) che parte dall'ipotesi e arriva alla tesi, usando solo definizioni, postulati e teoremi già dimostrati.
7. E20 p. G2Ipotesi Ciò che si suppone vero: nell'enunciato è la parte che segue il «se». Es. in «Se un numero è multiplo di 4, allora è pari» l'ipotesi è: il numero è multiplo di 4.
8. E21 p. G2Tesi Ciò che si vuole dimostrare: nell'enunciato è la parte che segue l'«allora». Es. nello stesso teorema la tesi è: il numero è pari.
9. E22 p. G3Corollario Un teorema che è conseguenza immediata di un altro teorema appena dimostrato. Es. dal teorema «la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto» segue subito il corollario «in un triangolo rettangolo i due angoli acuti, sommati, danno un angolo retto».
10. E23 p. G3Teorema inverso o reciproco Il teorema che si ottiene scambiando ipotesi e tesi. Non è detto che sia vero: va dimostrato a parte. Es. «Se un numero è multiplo di 4, allora è pari» è vero. L'inverso, «se un numero è pari, allora è multiplo di 4», è falso: 6 è pari ma non è multiplo di 4.
11. E24 p. G3Illusione ottica Una figura che inganna l'occhio, facendo vedere ciò che non è. È il motivo per cui in geometria non ci si fida del disegno: una proprietà è vera solo se è dimostrata.

5 · Il metodo ed Euclide

Nelle dispense: ¶ Metodo assiomatico-deduttivo · ¶ Euclide e gli Elementi

1. E25 p. G3Metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico Il modo in cui è costruita la geometria: si fissano gli enti primitivi e i postulati; tutto il resto si definisce a partire dagli enti primitivi e si dimostra a partire dai postulati. In breve. Enti primitivi → definizioni; postulati → teoremi.
2. E26 p. G3Elementi di Euclide L'opera in tredici libri scritta da Euclide ad Alessandria d'Egitto intorno al 300 a.C. È la prima esposizione della geometria con il metodo assiomatico: si apre con definizioni, postulati e nozioni comuni, e da lì dimostra tutti i teoremi.
3. E27 p. G3Geometria euclidea La geometria che si costruisce a partire dai postulati di Euclide. È quella che studiamo. Nota. Esistono anche geometrie non euclidee, nate nell'Ottocento cambiando il postulato delle parallele.

6 · Appartenenza

Nelle dispense: ¶ Punti rette piani

1. E28 p. G4Postulati di appartenenza Il primo gruppo di postulati della geometria: dicono come punti, rette e piani stanno gli uni sugli altri. Sono cinque.
2. E29 p. G4Appartenenza di un ente a un altro Un punto appartiene a una retta (o a un piano) se è uno dei suoi punti. Una retta appartiene a un piano se tutti i suoi punti sono punti del piano.
3. E30 p. G4Simbolo di appartenenza ∈  Si legge «appartiene a». Es. A ∈ r: il punto A appartiene alla retta r. Per una retta in un piano si scrive r ⊂ α: la retta r è contenuta nel piano α.
4. E31 p. G4Simbolo di non appartenenza ∉  Si legge «non appartiene a». Es. P ∉ r: il punto P non appartiene alla retta r.
5. E32 p. G4«Stare su», «giacere su», «passare per» Modi di dire che significano la stessa cosa di «appartenere». Es. «A sta su r», «A giace su r», «r passa per A» vogliono dire tutti A ∈ r. «La retta r giace sul piano α» vuol dire che r appartiene ad α.

7 · I cinque postulati di appartenenza

Nelle dispense: ¶ Assiomi e postulati

1. P1 p. G4Primo postulato di appartenenzapostulato A una retta appartengono almeno due punti distinti; a un piano appartengono almeno tre punti distinti e non allineati.

2. P2 p. G4Secondo postulato di appartenenzapostulato Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola. Esistenza e unicità: per due punti passa una retta, e non ce n'è un'altra.

3. P3 p. G4Terzo postulato di appartenenzapostulato Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo. Esistenza e unicità del piano. Idea. Uno sgabello a tre gambe non traballa mai: i tre piedini individuano un solo piano.

4. P4 p. G4Quarto postulato di appartenenzapostulato Considerata una retta su un piano, c'è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta. Cioè. Una retta non riempie il piano: se r ⊂ α, esiste P ∈ α con P ∉ r.

5. P5 p. G5Quinto postulato di appartenenzapostulato Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano: tutti i suoi punti sono punti del piano. Cioè. Se A ∈ α e B ∈ α, allora la retta AB giace su α.

8 · Rette incidenti

Nelle dispense: ¶ Punti rette piani

1. E33 p. G5Rette incidenti Due rette che hanno un solo punto in comune. Quel punto si chiama punto di intersezione. Es. r e s sono incidenti in P: si scrive r ∩ s = {P}.

Perché un solo punto? Se due rette distinte avessero due punti in comune, per quei due punti passerebbero due rette diverse: ma il secondo postulato dice che ne passa una sola. Quindi due rette distinte hanno in comune un punto solo oppure nessuno.

9 · Postulati d'ordine

1. E34 p. G6Postulati d'ordine Il secondo gruppo di postulati: dicono come sono disposti i punti su una retta. Sono quattro.
2. E35 p. G6Retta orientata Una retta sulla quale è stato scelto un verso di percorrenza. Presi due suoi punti, si può dire quale dei due precede l'altro. Es. su una retta orientata da sinistra a destra, il punto più a sinistra precede l'altro.

3. P6 p. G6Primo postulato d'ordine (ordinamento totale)postulato Dati due punti distinti A e B di una retta orientata, o A precede B oppure B precede A: vale una sola delle due. In breve: due punti si possono sempre confrontare, e mai in tutti e due i versi (antisimmetria).
4. P7 p. G6Secondo postulato d'ordine (transitività)postulato Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
5. E36 p. G6Relazione d'ordine Una relazione antisimmetrica e transitiva. Se in più due elementi qualunque sono sempre confrontabili, l'ordine si dice totale. Es. «precede», tra i punti di una retta orientata, è una relazione d'ordine totale: lo dicono P6 e P7. Lo stesso vale per «è minore di» tra i numeri.
6. P8 p. G6Terzo postulato d'ordine (illimitatezza)postulato Su una retta non esistono né un primo né un ultimo punto: ogni punto ne ha uno che lo precede e uno che lo segue. Conseguenza: la retta è illimitata nei due versi e ha infiniti punti.
7. P9 p. G6Quarto postulato d'ordine (densità)postulato Dati due punti distinti di una retta, c'è sempre almeno un punto della retta compreso tra i due. Conseguenza: tra due punti ce ne sono infiniti, e non esiste «il punto successivo» a un punto dato.
8. T1 p. G6Per un punto passano infinite retteteorema Per un punto di un piano passano infinite rette del piano. Si deduce dai postulati; la dimostrazione è laboriosa e non la svolgiamo.
9. T2 p. G6Ogni piano contiene infiniti punti e infinite retteteorema Si deduce dai postulati di appartenenza e d'ordine; anche questa dimostrazione non la svolgiamo.
10. E37 p. G6Fascio proprio di rette e suo centro L'insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso punto. Quel punto è il centro del fascio.

10 · Semirette, segmenti, poligonali

Nelle dispense: ¶ Semiretta e segmento

1. E38 p. G7Figure geometriche fondamentali Le figure che si costruiscono per prime a partire dagli enti primitivi: semirette, segmenti, semipiani, angoli.
2. E39 p. G7Semiretta e sua origine Ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto O. Il punto O è l'origine della semiretta. Es. la semiretta di origine O che passa per A si indica OA, oppure con una lettera minuscola.

3. E40 p. G7Semirette opposte Le due semirette in cui un punto divide una retta: hanno la stessa origine e stanno sulla stessa retta, da parti opposte.
4. E41 p. G8Segmento e suoi estremi La parte di retta formata da due punti A e B e da tutti i punti compresi tra essi. A e B sono gli estremi. Es. il segmento di estremi A e B si indica AB.

5. E42 p. G8Punti interni a un segmento I punti del segmento diversi dagli estremi.
6. E43 p. G8Segmento nullo Il segmento i cui estremi coincidono: si riduce a un solo punto.
7. E44 p. G8Prolungamenti di un segmento Le due semirette che hanno origine negli estremi del segmento, stanno sulla sua retta e non lo contengono.
8. E45 p. G8Segmenti consecutivi Due segmenti che hanno in comune soltanto un estremo.

9. E46 p. G8Segmenti adiacenti Due segmenti consecutivi che stanno sulla stessa retta.
10. E47 p. G8Poligonale (o spezzata) Una figura formata da più segmenti, ciascuno consecutivo al successivo ma non adiacente, in cui ogni estremo appartiene al massimo a due segmenti. I segmenti sono i lati della poligonale.

11. E48 p. G8Primo e ultimo estremo di una poligonale I due estremi che appartengono a un solo segmento.
12. E49 p. G8Poligonale aperta e poligonale chiusa È chiusa se il primo e l'ultimo estremo coincidono; altrimenti è aperta.
13. E50 p. G8Poligonale intrecciata e non intrecciata È intrecciata se due suoi lati non consecutivi si intersecano; altrimenti è non intrecciata.

11 · Semipiani, figure convesse e concave

1. P10 p. G9Postulato di partizione del piano mediante una rettapostulato Una retta r di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi, tali che: se due punti stanno nello stesso insieme, il segmento che li unisce non incontra r; se stanno in insiemi diversi, il segmento incontra r in un punto.

2. E51 p. G9Semipiano e sua origine Ciascuna delle due parti in cui una retta divide il piano. La retta è l'origine (o bordo) dei due semipiani. Nota: nel nostro libro la retta di origine non fa parte né dell'uno né dell'altro semipiano.
3. E52 p. G9Semipiani opposti I due semipiani che hanno la stessa origine.
4. E53 p. G9Punti dalla stessa parte e da parti opposte Due punti stanno dalla stessa parte rispetto a una retta se appartengono allo stesso semipiano, da parti opposte se appartengono a semipiani opposti.
5. E54 p. G9Figura convessa Una figura tale che, presi due suoi punti qualunque, il segmento che li unisce è tutto contenuto nella figura. Es. un cerchio, un semipiano, un triangolo.

6. E55 p. G9Figura concava Una figura non convessa: esistono almeno due suoi punti tali che il segmento che li unisce non è tutto contenuto nella figura. Es. una stella, una mezzaluna.

12 · Angoli

Nelle dispense: ¶ Definizione di angolo · ¶ Angoli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice

1. E56 p. G9Angolo Ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette che hanno la stessa origine, semirette comprese. Attenzione: due semirette con la stessa origine individuano due angoli; bisogna dire, o segnare con un archetto, di quale si parla.

2. E57 p. G9Lati e vertice dell'angolo I lati sono le due semirette; il vertice è la loro origine comune.
3. E58 p. G10Punti interni all'angolo I punti dell'angolo che non appartengono ai lati.
4. E59 p. G10Simboli per gli angoli aÔb (le due semirette a, b e il vertice O con il «cappello»), ∠ab, oppure una lettera greca: α, β, γ. Es. con tre punti: AÔB è l'angolo di vertice O i cui lati passano per A e per B.
5. E60 p. G10Angoli consecutivi Due angoli che hanno in comune il vertice e un lato, e nessun altro punto.

6. E61 p. G10Angoli adiacenti Due angoli consecutivi i cui lati non comuni sono semirette opposte.
7. E62 p. G10Angolo piatto Un angolo i cui lati sono semirette opposte. Coincide con un semipiano (con la sua origine). Misura: 180°, cioè π radianti.
8. E63 p. G10Angolo giro L'angolo i cui lati coincidono e che comprende tutti i punti del piano. Misura: 360°, cioè 2π radianti.
9. E64 p. G10Angolo nullo L'angolo i cui lati coincidono e che comprende soltanto i punti dei lati.
10. E65 p. G10Angolo convesso e angolo concavo (criterio dei prolungamenti) Un angolo è concavo se contiene i prolungamenti dei propri lati, convesso se non li contiene. È un secondo criterio, accanto a quello generale delle figure convesse.

11. E66 p. G10Casi particolari: piatto, giro, nullo L'angolo piatto è convesso per tutti e due i criteri. L'angolo giro lo diciamo convesso. Per l'angolo nullo la risposta dipende dal criterio che si usa (segmenti o prolungamenti): è un caso ambiguo.

13 · Congruenza e trasporto

Nelle dispense: ¶ Confronto di segmenti

1. E67 p. G11Figure uguali Due figure formate dagli stessi punti: sono la stessa figura.
2. E68 p. G11Figure congruenti Due figure che si possono sovrapporre punto per punto con un movimento rigido. Es. due fogli A4 sono congruenti ma non uguali: sono due figure diverse, sovrapponibili.
3. E69 p. G11Simbolo di congruenza ≅  Si legge «è congruente a». Es. AB ≅ CD.
4. E70 p. G11Movimento rigido Uno spostamento che non deforma le figure: non le allunga, non le piega, non le strappa.
5. E71 p. G11Rotazione e ribaltamento Due movimenti rigidi: nella rotazione la figura gira attorno a un punto restando sul piano; nel ribaltamento esce dal piano e vi ritorna capovolta.
6. E72 p. G11Simbolo di figura Una lettera maiuscola corsiva: F, G. Es. F ≅ G: la figura F è congruente alla figura G.
7. E73 p. G11Proprietà della congruenza: relazione di equivalenza La congruenza è riflessiva (ogni figura è congruente a sé stessa), simmetrica (se F ≅ G allora G ≅ F) e transitiva (se F ≅ G e G ≅ H allora F ≅ H). Una relazione con queste tre proprietà si chiama relazione di equivalenza.
8. E74 p. G11Enti sempre congruenti Sono congruenti tra loro: tutti i punti, tutte le rette, tutte le semirette, tutti i piani, tutti i semipiani.
9. E75 p. G11Trasporto di segmenti e di angoli Portare un segmento o un angolo in un'altra posizione con un movimento rigido. I due postulati che seguono (P11 e P12) dicono che si può sempre fare, e in un solo modo.
10. P11 p. G11Postulato del trasporto dei segmentipostulato Dati un segmento AB e una semiretta di origine O, sulla semiretta esiste un solo punto P tale che OP ≅ AB.

11. P12 p. G11Postulato del trasporto degli angolipostulato Dati un angolo aÔb e una semiretta s di origine O′, in ciascuno dei due semipiani individuati da s esiste una sola semiretta p di origine O′ tale che sÔ′p ≅ aÔb.

14 · Linee, circonferenza e cerchio

1. E76 p. G12Linea piana Una figura del piano che si può tracciare senza staccare la penna dal foglio.
2. E77 p. G12Linea retta e linea curva La retta è una particolare linea piana; una linea piana che non è una retta né una sua parte è una linea curva.
3. E78 p. G12Arco e suoi estremi Un tratto di linea curva. I due punti che lo delimitano sono gli estremi dell'arco.
4. E79 p. G12Versi di percorrenza. Linea chiusa Una linea si può percorrere in due versi. È chiusa se, percorrendola, si ritorna al punto di partenza; altrimenti è aperta.
5. E80 p. G12Linea intrecciata e linea semplice È intrecciata se passa più di una volta per uno stesso punto; è semplice se non è intrecciata.
6. E81 p. G12Punti interni e punti esterni a una linea chiusa Una linea chiusa semplice divide il piano in due regioni. La regione che non contiene rette intere è formata dai punti interni; l'altra, che contiene anche rette, dai punti esterni.

7. P13 p. G12Postulato di partizione del piano mediante una linea chiusapostulato Il segmento che unisce un punto interno e un punto esterno a una linea chiusa semplice interseca la linea in almeno un punto.
8. E82 p. G12Circonferenza, centro e raggio L'insieme di tutti i punti del piano che hanno da un punto C distanza uguale a un segmento dato r. C è il centro, r il raggio.

9. E83 p. G12Raggio (come segmento) Ciascuno degli infiniti segmenti che uniscono il centro a un punto della circonferenza. Sono tutti congruenti.
10. E84 p. G12Arco di circonferenza Un arco che fa parte di una circonferenza.
11. E85 p. G12Cerchio La figura formata da una circonferenza e da tutti i suoi punti interni. Attenzione: la circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie.
12. P14 p. G12Postulato della circonferenzapostulato Dati un punto C e un segmento r, esiste una e una sola circonferenza di centro C e raggio r.

15 · Poligoni

1. E86 p. G12Poligono La figura formata da una poligonale chiusa non intrecciata e da tutti i suoi punti interni.
2. E87 p. G12Poligono convesso e poligono concavo Un poligono può essere una figura convessa oppure concava (una stella è un poligono concavo). Quando diciamo «poligono» senza aggiungere altro intendiamo un poligono convesso.
3. E88 p. G12Lati e vertici del poligono I lati sono i segmenti della poligonale; i vertici sono i loro estremi.
4. E89 p. G12Angoli interni Gli angoli convessi formati dalle semirette di due lati consecutivi. Spesso si dice soltanto «gli angoli del poligono».

5. E90 p. G12Angoli esterni Gli angoli adiacenti agli angoli interni: ciascuno è formato da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo. A ogni angolo interno corrispondono due angoli esterni. Vedi: i due angoli esterni sono congruenti perché opposti al vertice (T6).
6. E91 p. G12Diagonali I segmenti che hanno per estremi due vertici non consecutivi.
7. E92 p. G12Poligono equilatero Un poligono con tutti i lati congruenti. Es. il rombo.
8. E93 p. G12Poligono equiangolo Un poligono con tutti gli angoli congruenti. Es. il rettangolo.
9. E94 p. G12Poligono regolare Un poligono equilatero ed equiangolo. Es. il quadrato, il triangolo equilatero.
10. E95 p. G13Nomi dei poligoni Secondo il numero dei lati (e non importa che siano regolari): triangolo (3), quadrilatero (4), pentagono (5), esagono (6), ettagono (7), ottagono (8), ennagono (9), decagono (10), endecagono (11), dodecagono (12).

16 · Confronto e operazioni con segmenti e angoli

Nelle dispense: ¶ Confronto di segmenti · ¶ Operazioni con i segmenti

1. E96 p. G13Confronto di due segmenti Si trasporta AB su PQ (P11) facendo coincidere A con P, sulla semiretta PQ. Se B coincide con Q, AB ≅ PQ; se B è interno a PQ, AB < PQ; se B è esterno a PQ, AB > PQ.

2. E97 p. G13Confronto di due angoli Si trasporta l'angolo ∠ab su ∠rs facendo coincidere i vertici e il lato a con r, dalla stessa parte. Se b coincide con s i due angoli sono congruenti; se b è interno a ∠rs il primo è minore; se b è esterno il primo è maggiore.
3. E98 p. G13Somma di due segmenti Messi i due segmenti in posizione adiacente, la somma è il segmento che ha per estremi gli estremi non comuni. In formula: AB + BC ≅ AC.

4. E99 p. G13Somma di due angoli Messi i due angoli in posizione consecutiva, la somma è l'angolo che ha per lati i lati non comuni. In formula: ∠ab + ∠bc ≅ ∠ac.
5. E100 p. G15Differenza di due segmenti La differenza AC − AB (con AC > AB) è il segmento che, sommato ad AB, dà AC. In formula: BC ≅ AC − AB.
6. E101 p. G15Differenza di due angoli La differenza ∠ac − ∠ab è l'angolo che, sommato ad ∠ab, dà ∠ac.
7. E102 p. G15Notazione a una lettera Un segmento si può indicare con una sola lettera minuscola (a, b), un angolo con una lettera greca (α, β).
8. P15 p. G15Postulato della somma e differenza di segmenti congruentipostulato Somme e differenze di segmenti ordinatamente congruenti sono congruenti: se a ≅ a′ e b ≅ b′, allora a + b ≅ a′ + b′ e (se a > b) a − b ≅ a′ − b′.
9. P16 p. G15Postulato della somma e differenza di angoli congruentipostulato Se α ≅ α′ e β ≅ β′, allora α + β ≅ α′ + β′ e (se α > β) α − β ≅ α′ − β′.
10. P17 p. G15Postulato della somma di segmenti ordinatamente disugualipostulato Se a > b e c > d, allora a + c > b + d. Nota: qui non si parla di congruenze, ma di disuguaglianze.
11. P18 p. G15Postulato della somma di angoli ordinatamente disugualipostulato Se α > β e γ > ω, allora α + γ > β + ω.
12. E103 p. G15Proprietà dell'addizione di segmenti e di angoli Valgono la proprietà commutativa e la proprietà associativa, come per i numeri.
13. E104 p. G15Proprietà invariantiva della sottrazione La differenza di due segmenti (o di due angoli) non cambia se a entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso segmento (o angolo).
14. E105 p. G15Elementi neutri: segmento nullo e angolo nullo Sommare o sottrarre il segmento nullo non cambia un segmento; sommare o sottrarre l'angolo nullo non cambia un angolo.

17 · Costruzioni, multipli, punto medio e bisettrice

Nelle dispense: ¶ Punto medio di un segmento · ¶ Bisettrice di un angolo

1. E106 p. G16Costruzione con riga e compasso Un disegno eseguito usando soltanto una riga non graduata (per tracciare rette) e un compasso (per tracciare circonferenze e riportare distanze). Niente squadretta, niente goniometro.
2. C1 p. G16Trasporto di un segmentocostruzione Dati un segmento AB e una semiretta s di origine O, si costruisce su s un segmento congruente ad AB. 1. Si apre il compasso con le punte in A e in B: l'apertura è «la lunghezza» di AB. 2. Senza cambiare apertura si punta in O e si traccia un archetto che taglia s in un punto P. 3. Il segmento OP è quello cercato: OP ≅ AB. Perché funziona: l'archetto è un pezzo della circonferenza di centro O e raggio AB (E82): tutti i suoi punti, e quindi anche P, distano da O quanto AB. Che il punto P esista e sia unico lo dice P11: la costruzione lo trova. Con GeoGebra: Circonferenza(O, Segmento(A, B)), Interseca.

3. C2 p. G16Triangolo equilatero di lato datocostruzione Con apertura AB si punta in A e poi in B: i due archi si incontrano in un punto C equidistante dagli estremi. ABC è il triangolo equilatero.

4. C3 p. G17Angolo congruente a un angolo datocostruzione Dati l'angolo aÔb e una semiretta s di origine O′, si costruisce su s un angolo congruente ad aÔb. 1. Si punta il compasso in O, con un'apertura qualunque, e si traccia un arco che taglia i lati in A (su a) e in B (su b). 2. Con la stessa apertura si punta in O′ e si traccia un arco uguale, che taglia s in A′. 3. Si apre il compasso sulla distanza AB; con questa apertura si punta in A′ e si traccia un archetto che taglia l'arco precedente in B′. 4. La semiretta O′B′ è il secondo lato: l'angolo A′Ô′B′ è congruente ad aÔb. Perché funziona: i triangoli OAB e O′A′B′ hanno i tre lati ordinatamente congruenti (OA ≅ O′A′ e OB ≅ O′B′ per la prima apertura, AB ≅ A′B′ per la seconda), quindi sono congruenti, e lo sono anche i loro angoli in O e in O′. Lo giustificheremo con il terzo criterio di congruenza dei triangoli: per ora, come per C4 e C5, la costruzione si accetta. Che un angolo così esista, e sia unico da ciascuna parte di s, lo dice P12. Con GeoGebra: Circonferenza(O, r), Circonferenza(O', r), Circonferenza(A', Distanza(A, B)), Interseca.

5. E107 p. G17Multiplo di un segmento secondo n La somma di n segmenti congruenti al segmento dato. In formula: b ≅ n·a.
6. E108 p. G17Sottomultiplo di un segmento secondo n Il segmento di cui il segmento dato è multiplo secondo n: è la sua n-esima parte. In formula: a ≅ b/n.
7. E109 p. G17Multiplo e sottomultiplo di un angolo secondo n Come per i segmenti: il multiplo è la somma di n angoli congruenti all'angolo dato; il sottomultiplo è la sua n-esima parte.
8. E110 p. G18Angoli maggiori di un angolo giro Si ottengono pensando l'angolo come una rotazione: dopo un giro completo la semiretta continua a ruotare. Es. un giro e mezzo è un angolo di 540°.
9. P19 p. G18Postulato di Eudosso-Archimede e di divisibilitàpostulato Dati due segmenti (o due angoli) disuguali, esiste sempre un multiplo del minore che supera il maggiore. Inoltre ogni segmento (o angolo) si può dividere in un numero qualunque di parti congruenti. In breve: non esistono segmenti così piccoli da non poter superare, sommandoli, uno grande; né segmenti che non si possano dividere.
10. E111 p. G18Punto medio di un segmento Il punto che divide il segmento in due segmenti congruenti. In formula: M è punto medio di AB se AM ≅ MB.

11. E112 p. G18Bisettrice di un angolo La semiretta, con origine nel vertice, che divide l'angolo in due angoli congruenti.

12. C4 p. G18Punto medio di un segmentocostruzione Dato il segmento AB, si costruisce il suo punto medio M. 1. Si apre il compasso con un'apertura maggiore di metà di AB (va bene anche AB stesso); si punta in A e si traccia un arco da una parte e dall'altra del segmento. 2. Con la stessa apertura si punta in B e si traccia un secondo arco: i due archi si incontrano in due punti C e D, uno per parte. 3. Si traccia la retta CD: taglia AB in M, il punto medio, e lo taglia ad angolo retto. Perché funziona: C e D distano da A quanto da B (stessa apertura). I triangoli ACD e BCD hanno i tre lati ordinatamente congruenti, quindi sono congruenti; da qui, con il primo criterio, si ricava che i triangoli ACM e BCM sono congruenti e quindi AM ≅ MB. Lo giustificheremo con i criteri di congruenza: per ora la costruzione si accetta. Che il punto medio esista e sia unico lo dice P20. Attenzione: con un'apertura minore di metà segmento i due archi non si incontrano. Con GeoGebra: Circonferenza(A, Segmento(A, B)), Circonferenza(B, Segmento(A, B)), Interseca, Retta(C, D), Interseca.

13. C5 p. G18Bisettrice di un angolocostruzione Dato l'angolo aÔb, si costruisce la semiretta che lo divide a metà. 1. Si punta il compasso in O, con un'apertura qualunque, e si traccia un arco che taglia i lati in A (su a) e in B (su b). 2. Si punta in A e poi in B, con una stessa apertura (comoda quella di prima): i due archetti si incontrano in un punto C interno all'angolo. 3. La semiretta OC è la bisettrice: AÔC ≅ CÔB. Perché funziona: i triangoli OAC e OBC hanno OA ≅ OB (primo arco), AC ≅ BC (secondo e terzo arco) e il lato OC in comune: tre lati ordinatamente congruenti, quindi sono congruenti e lo sono anche i loro angoli in O. È lo stesso ragionamento di C3: lo giustificheremo con il terzo criterio di congruenza. Che la bisettrice esista e sia unica lo dice P21. Con GeoGebra: Circonferenza(O, r), Interseca, Circonferenza(A, r), Circonferenza(B, r), Interseca, Semiretta(O, C).

14. P20 p. G19Postulato dell'esistenza e unicità del punto mediopostulato Ogni segmento ha un punto medio e uno solo.
15. P21 p. G19Postulato dell'esistenza e unicità della bisettricepostulato Ogni angolo ha una bisettrice e una sola.
16. P22 p. G19Postulato della congruenza di multipli e sottomultiplipostulato Multipli (o sottomultipli) secondo lo stesso numero di segmenti congruenti sono congruenti. Lo stesso vale per gli angoli. In formula: se a ≅ b allora n·a ≅ n·b e a/n ≅ b/n.

18 · Angoli particolari e primi teoremi

Nelle dispense: ¶ Classificazione degli angoli · ¶ Angoli complementari, supplementari, esplementari

1. E113 p. G19Angolo retto La metà di un angolo piatto. Misura: 90°, cioè π/2 radianti.

2. E114 p. G19Angolo acuto Un angolo minore di un angolo retto.
3. E115 p. G19Angolo ottuso Un angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.
4. E116 p. G19π e π/2 Scritture abbreviate: π indica l'angolo piatto, π/2 l'angolo retto, 2π l'angolo giro.
5. T3 p. G20Tutti gli angoli retti sono congruentiteorema Tutti i semipiani sono congruenti, quindi lo sono tutti gli angoli piatti; allora sono congruenti le loro metà, gli angoli retti. Lo stesso vale per qualunque frazione o multiplo: un terzo di angolo piatto è congruente a ogni altro terzo di angolo piatto. Si usano: la congruenza di tutti i semipiani (E74) e il postulato dei multipli e sottomultipli (P22).
6. E117 p. G20Angoli complementari Due angoli la cui somma è un angolo retto. Es. 30° e 60°.

7. E118 p. G20Angoli supplementari Due angoli la cui somma è un angolo piatto. Es. 30° e 150°. Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
8. E119 p. G20Angoli esplementari Due angoli la cui somma è un angolo giro. Es. 30° e 330°.
9. T4 p. G20Complementari di uno stesso angoloteorema Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, allora sono congruenti. Dimostrazione: se α + γ ≅ π/2 e β + γ ≅ π/2, allora α e β sono entrambi la differenza tra un angolo retto e γ: per il postulato della differenza di angoli congruenti (P16), α ≅ β.
10. T5 p. G20Complementari di angoli congruentiteorema Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti, allora sono congruenti. Nota: enunciato senza dimostrazione; si procede come in T4.
11. E120 p. G20Angoli opposti al vertice Due angoli che hanno il vertice in comune e tali che i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

12. T6 p. G21Teorema degli angoli opposti al verticeteorema Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti. Dimostrazione: siano α e β i due angoli e γ uno dei due angoli compresi tra essi. α e γ sono adiacenti, quindi α + γ ≅ π; anche β e γ sono adiacenti, quindi β + γ ≅ π. α e β sono la differenza tra un angolo piatto e lo stesso angolo γ: sono congruenti (E74 per gli angoli piatti, poi P16).
13. T7 p. G21Corollario: supplementari di uno stesso angoloteorema Angoli supplementari di uno stesso angolo, o di angoli congruenti, sono congruenti.
14. T8 p. G21Corollario: esplementari di uno stesso angoloteorema Angoli esplementari di uno stesso angolo, o di angoli congruenti, sono congruenti.

19 · Lunghezze, ampiezze, misure

Nelle dispense: ¶ Misura di un segmento · ¶ Misura sessagesimale degli angoli

1. E121 p. G21Lunghezza di un segmento La proprietà comune a tutti i segmenti congruenti a quel segmento. In breve: segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza, e viceversa.
2. E122 p. G22Ordinamento delle lunghezze Le lunghezze si ordinano come i segmenti: se un segmento è maggiore di un altro, anche la sua lunghezza è maggiore, e viceversa.
3. E123 p. G22Distanza tra due punti La lunghezza del segmento che li unisce.
4. E124 p. G22Ampiezza di un angolo La proprietà comune a tutti gli angoli congruenti a quell'angolo. In breve: angoli congruenti hanno la stessa ampiezza, e viceversa.
5. E125 p. G22Misura di un segmento rispetto a un'unità Scelto un segmento AB come unità di misura, la misura di PQ è il numero che dice quante volte l'unità sta in PQ. In formula: se PQ ≅ (m/n)·AB, la misura di PQ rispetto ad AB è la frazione m/n.
6. E126 p. G22Segmenti commensurabili e incommensurabili Due segmenti sono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune, cioè se la misura dell'uno rispetto all'altro è una frazione m/n. Non tutte le coppie di segmenti lo sono: quando non lo sono si dicono incommensurabili.
7. E127 p. G22Simbolo della misura La barretta sopra: PQ è la misura del segmento PQ. È un numero, non un segmento.
8. E128 p. G22Misura di segmenti incommensurabili Se PQ e l'unità AB sono incommensurabili, la misura di PQ è un numero reale irrazionale.
9. E129 p. G23Un esempio di segmenti incommensurabili In un triangolo rettangolo con l'ipotenusa di misura 4 e un cateto di misura 3, l'altro cateto misura √7: è incommensurabile con gli altri due lati.
10. E130 p. G23Misura e commensurabilità degli angoli Tutto quanto detto per i segmenti vale per gli angoli: scelto un angolo come unità, la misura di un angolo è il numero che dice quante volte l'unità vi è contenuta.
11. E131 p. G23Grado L'unità di misura più usata per gli angoli: è la 360-esima parte dell'angolo giro, cioè la 90-esima parte dell'angolo retto. Es. angolo retto 90°, angolo piatto 180°, angolo giro 360°.

★ Tabelle di riferimento

Le sigle servono per i rimandi nelle dimostrazioni: «per P11», «per T6». Toccando una sigla si va alla voce.

I 22 postulati

Si accettano senza dimostrazione.

I 8 teoremi e corollari

Si dimostrano (o si potrebbero dimostrare) a partire dai postulati.

Le 5 costruzioni con riga e compasso

I 131 enti e definizioni

Solo i nomi, nell'ordine del libro.