119 Sfera nello spazio cartesiano

“

Nel piano la circonferenza ha equazione \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\). Nello spazio la sfera è la generalizzazione naturale: \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\). Il centro è una terna, il raggio resta uno scalare, e l’equazione cartesiana eredita la pulizia del caso bidimensionale.”

— Adattato da Pierre de Fermat, manoscritto sull’Isagoge ad locos planos et solidos (1636, pubblicato postumo 1679) — prima trattazione analitica della sfera

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119.1 Introduzione motivazionale

In questo capitolo chiudiamo la parte di geometria analitica nello spazio (e con essa l’intera parte di geometria solida della Quarta) studiando la sfera nello spazio cartesiano \(\mathbb{R} ^3\).

La sfera è l’analogo tridimensionale del cerchio: l’insieme dei punti equidistanti da un centro fissato. La sua equazione cartesiana è la naturale generalizzazione di quella della circonferenza nel piano (cap. 75), con un termine in più (\(z\)).

119.2 Equazione cartesiana della sfera

Definizione 119.1 — Sfera in \(\mathbb{R} ^3\)

La sfera di centro \(C = (x_0, y_0, z_0)\) e raggio \(r > 0\) è l’insieme dei punti \(P = (x, y, z)\) di \(\mathbb{R} ^3\) tali che \(d(P, C) = r\), ovvero

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2. \]

È l’equazione canonica (o normale) della sfera.

Notazione. Usiamo “sfera” per indicare la superficie sferica (l’insieme dei punti a distanza esattamente \(r\) dal centro). Il solido delimitato dalla sfera — l’insieme dei punti con \(d(P, C) \le r\) — è la palla chiusa di centro \(C\) e raggio \(r\).

Forma sviluppata

Ponendo \(\alpha = -2 x_0\), \(\beta = -2 y_0\), \(\gamma = -2 z_0\), \(\delta = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - r^2\) otteniamo:

Forma sviluppata (equazione di secondo grado in tre variabili):

\[ x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0. \]

Riconoscere una sfera dalla forma sviluppata

Data un’equazione \(x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\), per riconoscere se rappresenta una sfera (e in tal caso trovarne centro e raggio) si completano i quadrati:

Procedura — Da forma sviluppata a forma canonica

1.: Raggruppare i termini in \(x\), \(y\), \(z\):
\[ (x^2 + \alpha x) + (y^2 + \beta y) + (z^2 + \gamma z) = -\delta . \]
2.: Completare i quadrati:
\[ \left (x + \frac {\alpha }{2}\right )^2 + \left (y + \frac {\beta }{2}\right )^2 + \left (z + \frac {\gamma }{2}\right )^2 = -\delta + \frac {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2}{4}. \]
3.: Identificare il centro \(C = (-\alpha /2, -\beta /2, -\gamma /2)\) e il raggio quadrato \(r^2 = (\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2)/4 - \delta \).

Centro e raggio dalla forma sviluppata:

\[ C = \left ( -\frac {\alpha }{2}, -\frac {\beta }{2}, -\frac {\gamma }{2} \right ), \qquad r = \sqrt {\frac {\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2}{4} - \delta }. \]

Discussione del raggio

Tre casi:

Sfera reale: \((\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2)/4 - \delta > 0\), raggio reale positivo.
Punto: \((\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2)/4 - \delta = 0\), raggio nullo: l’equazione si soddisfa solo nel centro.
Insieme vuoto: \((\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2)/4 - \delta < 0\), raggio quadrato negativo: nessun punto reale.

Sfera per quattro punti

Una sfera è determinata da quattro punti non complanari. L’equazione si trova imponendo che ciascuno soddisfi la forma sviluppata, ottenendo un sistema lineare di 4 equazioni nelle 4 incognite \(\alpha , \beta , \gamma , \delta \).

119.3 Posizioni di una retta rispetto a una sfera

Date una sfera di centro \(C\) e raggio \(r\), e una retta \(\ell \), indichiamo con \(d\) la distanza di \(C\) da \(\ell \) (cap. 118, \(d = |\vec {CP_0} \times \vec {v}|/|\vec {v}|\)). Ci sono tre casi possibili:

Posizioni retta-sfera:

retta esterna: \(d > r\). Nessun punto in comune.
retta tangente: \(d = r\). Un solo punto in comune (punto di tangenza).
retta secante: \(d < r\). Due punti in comune.

Calcolo dei punti di intersezione

Per trovare le intersezioni fra una retta \(\ell : (x, y, z) = P_0 + t\vec {v}\) e una sfera di equazione \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\):

Discriminante e posizioni: l’equazione quadratica in \(t\) ha discriminante \(\Delta \). Allora:

\(\Delta > 0\): retta secante (due intersezioni);
\(\Delta = 0\): retta tangente (un’intersezione, contata due volte);
\(\Delta < 0\): retta esterna (nessuna intersezione).

Corda di una sfera

Il segmento che congiunge due punti di intersezione fra una retta secante e una sfera si chiama corda. Se \(d\) è la distanza del centro dalla retta, la lunghezza della corda è:

(Pitagora nel triangolo rettangolo formato dal centro, dal piede della perpendicolare alla retta, e da un estremo della corda.)

119.4 Posizioni di un piano rispetto a una sfera

Data una sfera di centro \(C\) e raggio \(r\), e un piano \(\pi \), indichiamo con \(d\) la distanza di \(C\) da \(\pi \) (cap. 117, \(d = |a x_C + b y_C + c z_C + d_\pi |/\sqrt {a^2+b^2+c^2}\)).

Posizioni piano-sfera:

piano esterno: \(d > r\). Nessun punto in comune.
piano tangente: \(d = r\). Un solo punto in comune.
piano secante: \(d < r\). L’intersezione è una circonferenza.

Cerchio sezione di una sfera

Quando un piano seca una sfera, l’intersezione è una circonferenza (cerchio sezione). I suoi elementi sono:

Cerchio sezione:

centro \(C'\): proiezione ortogonale del centro \(C\) della sfera sul piano \(\pi \);
raggio \(r' = \sqrt {r^2 - d^2}\);
piano: \(\pi \) stesso.

Dimostrazione del raggio. Sia \(P\) un punto del cerchio sezione (quindi \(P \in \pi \) e \(|CP| = r\)). Sia \(C'\) la proiezione di \(C\) su \(\pi \) (con \(|CC'| = d\)). Il triangolo \(CC'P\) è rettangolo in \(C'\): \(|C'P|^2 = |CP|^2 - |CC'|^2 = r^2 - d^2\). Quindi \(|C'P| = \sqrt {r^2 - d^2}\), lo stesso per qualunque \(P\) del cerchio sezione: il luogo è un cerchio con centro \(C'\) e raggio \(\sqrt {r^2 - d^2}\).

Casi particolari

Cerchio massimo: piano passante per il centro \(C\) (cioè \(d = 0\)). Raggio \(r' = r\) (uguale al raggio della sfera). È il cerchio più grande sezione.

Piano tangente: passa per un punto \(P_0\) della sfera, ed è perpendicolare al raggio \(\vec {CP_0}\).

Equazione del piano tangente in un punto

Piano tangente alla sfera in \(P_0 = (x_0', y_0', z_0')\) di una sfera di centro \(C = (x_0, y_0, z_0)\):

\[ (x_0' - x_0)(x - x_0') + (y_0' - y_0)(y - y_0') + (z_0' - z_0)(z - z_0') = 0. \]

Il vettore normale è \(\vec {CP_0} = P_0 - C\).

119.5 Esempi svolti

Esempio 119.1 — Equazione di una sfera

Scrivere l’equazione della sfera di centro \(C = (1, 2, -3)\) e raggio \(r = 4\), in entrambe le forme canonica e sviluppata.

Forma canonica: \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 16\).

Sviluppata: \(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 6z + 9 = 16\), cioè

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 2 = 0. \]

Esempio 119.2 — Da forma sviluppata a centro e raggio

Riconoscere la sfera di equazione \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 2 = 0\).

Completamento dei quadrati:

\[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 = -2, \]

\[ (x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 + z^2 = -2, \]

\[ (x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 3. \]

Centro: \(C = (2, -1, 0)\). Raggio: \(r = \sqrt {3}\).

Esempio 119.3 — Equazione che non è una sfera

Discutere il luogo geometrico definito da \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).

Completamento: \((x+1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 1 + 4 + 9 - 20 = -6\).

Conclusione: \(r^2 < 0\), l’insieme è vuoto. Non rappresenta alcun luogo reale.

Esempio 119.4 — Sfera per quattro punti

Determinare la sfera passante per \(A = (0,0,0)\), \(B = (2, 0, 0)\), \(C = (0, 2, 0)\), \(D = (0, 0, 2)\).

Sistema. Sostituendo i punti in \(x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\):

\(A\): \(\delta = 0\);
\(B\): \(4 + 2\alpha + \delta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\);
\(C\): \(4 + 2\beta + \delta = 0 \Rightarrow \beta = -2\);
\(D\): \(4 + 2\gamma + \delta = 0 \Rightarrow \gamma = -2\).

Equazione: \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z = 0\).

Centro e raggio: \(C = (1, 1, 1)\), \(r = \sqrt {3}\).

Esempio 119.5 — Intersezione retta-sfera

Trovare le intersezioni fra la retta \(\ell : (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 1, 1)\) e la sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 12\).

Sostituzione: \(t^2 + t^2 + t^2 = 12 \iff 3t^2 = 12 \iff t = \pm 2\).

Punti di intersezione: \(P_1 = (2, 2, 2)\) e \(P_2 = (-2, -2, -2)\).

Lunghezza della corda: \(|P_1 P_2| = \sqrt {16 + 16 + 16} = \sqrt {48} = 4\sqrt {3}\).

Verifica con la formula: \(r = \sqrt {12} = 2\sqrt {3}\), distanza dal centro alla retta = \(0\) (la retta passa per il centro). Lunghezza corda \(= 2\sqrt {r^2 - 0} = 2 r = 4\sqrt {3}\). \(\checkmark\)(Corda massima: diametro!)

Esempio 119.6 — Intersezione piano-sfera (cerchio sezione)

Trovare il cerchio sezione della sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\) con il piano \(z = 3\).

Distanza centro-piano: il centro della sfera è \(C = (0, 0, 0)\), il piano \(z = 3\) ha distanza \(|0 - 3|/1 = 3\) dal centro.

Raggio del cerchio sezione: \(r' = \sqrt {25 - 9} = 4\).

Centro del cerchio sezione: proiezione di \(C\) su \(z = 3\) è \(C' = (0, 0, 3)\).

Equazione del cerchio: in \(\mathbb{R} ^3\), \(\{(x, y, z) : x^2 + y^2 = 16, z = 3\}\).

Esempio 119.7 — Piano tangente a una sfera

Scrivere l’equazione del piano tangente alla sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\) nel punto \(P_0 = (1, 2, 3)\).

Verifica \(P_0\) sulla sfera: \(1 + 4 + 9 = 14\). \(\checkmark\)

Vettore normale: \(\vec {CP_0} = (1, 2, 3)\) (centro nell’origine).

Equazione tangente:

\[ 1 \cdot (x - 1) + 2 (y - 2) + 3(z - 3) = 0 \iff x + 2y + 3z = 14. \]

119.6 Esercizi proposti

Esercizio 119.1

1.

Scrivere l’equazione canonica e sviluppata della sfera:

(a): centro \(C = (0,0,0)\), raggio \(r = 5\);
(b): centro \(C = (1, -2, 3)\), raggio \(r = 2\);
(c): centro \(C = (2, 0, -1)\), raggio \(r = \sqrt {6}\).

2.

Riconoscere centro e raggio delle seguenti sfere (oppure stabilire se l’equazione non rappresenta una sfera reale):

(a): \(x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 8z + 4 = 0\);
(b): \(x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 1 = 0\);
(c): \(x^2 + y^2 + z^2 + 8z + 20 = 0\);
(d): \(x^2 + y^2 + z^2 - 4y = 0\).

3.

Determinare la sfera passante per i quattro punti:

(a): \(A = (0,0,0)\), \(B = (4, 0, 0)\), \(C = (0, 4, 0)\), \(D = (0, 0, 4)\);
(b): \(A = (1, 1, 1)\), \(B = (3, 1, 1)\), \(C = (1, 3, 1)\), \(D = (1, 1, 3)\).

4.

Stabilire la posizione reciproca fra la retta \(\ell \) e la sfera \(S\):

(a): \(\ell : (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(1, 0, 0)\), \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 4\);
(b): \(\ell : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -1, 0)\), \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 1\);
(c): \(\ell : (x, y, z) = (3, 0, 0) + t(0, 1, 0)\), \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 4\) (tangente o esterna?).

5.

Calcolare le intersezioni della retta con la sfera (se esistono):

(a): \(\ell : x = 1 + t, y = 2, z = 3 - t\); \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 25\);
(b): \(\ell : x = 0, y = 0, z = t\); \(S: (x-1)^2 + y^2 + z^2 = 5\).

6.

Determinare il cerchio sezione della sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 100\) con il piano \(z = 6\). Calcolarne centro e raggio.

7.

Stabilire se il piano \(\pi \) è secante, tangente o esterno alla sfera:

(a): \(\pi : x + y + z = 5\), \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 9\) (calcolare \(d\));
(b): \(\pi : 2x - y + 2z = 9\), \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 9\);
(c): \(\pi : x + 2y - z = 7\), \(S: (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4\).

8.

Scrivere l’equazione del piano tangente alla sfera nel punto specificato:

(a): \(S: x^2 + y^2 + z^2 = 9\) in \(P_0 = (1, 2, 2)\);
(b): \(S: (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 4\) in \(P_0 = (3, 0, 0)\) (verificare \(P_0 \in S\)).

9.

Una sfera ha centro nell’origine e passa per \((3, 4, 12)\). Calcolarne il raggio e l’equazione cartesiana.

10.

Una sfera è inscritta nel cubo \([0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]\). Scriverne l’equazione (centro e raggio).

11.

Una sfera è circoscritta al cubo \([0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]\). Scriverne l’equazione.

12.

Determinare la lunghezza della corda staccata dalla retta \(\ell : x = t, y = t, z = 0\) sulla sfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 4\).

13.

Sfida (sfera per 3 punti e tangente a un piano). Trovare la sfera che passa per \(A = (1, 0, 0)\), \(B = (0, 1, 0)\), \(C = (0, 0, 1)\) ed è tangente al piano \(x + y + z = 4\). (Suggerimento: i quattro punti devono soddisfare l’equazione, ma il quarto è caratterizzato dalla condizione di tangenza, non da appartenenza.)

14.

Calcolare la distanza fra le due sfere \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) e \((x - 5)^2 + y^2 + z^2 = 4\). (Suggerimento: distanza fra centri meno somma dei raggi se esterne.)

15.

Sfida. Mostrare che la sfera \(S_1: x^2 + y^2 + z^2 = 25\) e il piano \(\pi : x + 2y + 2z = 9\) si intersecano in una circonferenza. Calcolarne centro e raggio.

16.

Una sfera ha centro \(C = (1, 2, 3)\) ed è tangente al piano \(\pi : 2x - y + 2z + 1 = 0\). Determinarne il raggio e l’equazione.

119.7 Riepilogo del capitolo

Riepilogo

Equazione canonica della sfera di centro \(C = (x_0, y_0, z_0)\) e raggio \(r\):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2. \]
Forma sviluppata: \(x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\).
Centro e raggio dalla forma sviluppata:
\[ C = (-\alpha /2, -\beta /2, -\gamma /2), \quad r^2 = (\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2)/4 - \delta . \]

Casi: \(r^2 > 0\) sfera; \(r^2 = 0\) punto; \(r^2 < 0\) insieme vuoto.
Sfera per quattro punti non complanari: sistema lineare \(4 \times 4\) nelle incognite \(\alpha , \beta , \gamma , \delta \).
Posizioni retta-sfera: dipendono dalla distanza \(d\) del centro dalla retta:
- \(d > r\): retta esterna (no intersezioni);
- \(d = r\): retta tangente (un punto);
- \(d < r\): retta secante (due punti).
Lunghezza corda (retta secante a distanza \(d < r\) dal centro): \(2 \sqrt {r^2 - d^2}\).
Posizioni piano-sfera: dipendono dalla distanza \(d\) del centro dal piano:
- \(d > r\): piano esterno;
- \(d = r\): piano tangente (un solo punto);
- \(d < r\): piano secante (circonferenza sezione).
Cerchio sezione: per \(d < r\), è una circonferenza con centro la proiezione di \(C\) sul piano e raggio \(r' = \sqrt {r^2 - d^2}\). Caso \(d = 0\): cerchio massimo, \(r' = r\).
Piano tangente alla sfera in \(P_0\): ha vettore normale \(\vec {CP_0}\) ed equazione \((P_0 - C) \cdot (P - P_0) = 0\).
Si chiude qui la parte di geometria solida e analitica nello spazio (cap. 109–119). I prossimi capitoli (120–121) tornano sui numeri complessi (forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici).

Capitolo 119 Sfera nello spazio cartesiano